资源简介

第1课时　半角公式
[分值：100分]
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分
1.已知180°<α<360°，则cos 的值等于(　　)
A.- B.
C.- D.
2.下列各式与tan α相等的是(　　)
A. B.
C. D.
3.(多选)已知2sin α=1+cos α，则tan的可能取值为(　　)
A.　B.1　C.2　D.不存在
4.设a=cos 6°-sin 6°，b=2sin 13°cos 13°，c=，则有(　　)
A.cC.a5.若α是第三象限角，且sin(α+β)cos β-sin βcos(α+β)=-，则tan的值为(　　)
A.-5　B.5　C.-　D.
6.已知α为锐角，且tan α=m，cos 2α=-，则sin2等于(　　)
A.　B.+　C.　D.
7.(5分)若θ∈，sin 2θ=，则sin θ=　　　　.
8.(5分)若α∈，sin 2α=cos2α，则cos 2α=　　　　.
9.(10分)化简：(0<α<π).
10.(11分)已知α为钝角，β为锐角，且sin α=，sin β=，求cos 与tan的值.
11.在△ABC中，若sin Asin B=cos2，则△ABC是(　　)
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.不等边三角形 D.直角三角形
12.函数f(x)=(1+cos 2x)·sin2x(x∈R)是(　　)
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数
D.最小正周期为的偶函数
13.若cos α=-，α是第三象限角，则等于(　　)
A.-　B.　C.2　D.-2
14.(5分)sin -cos =　　　　.
15.(多选)下列命题是真命题的有(　　)
A. x∈R，sin2 +cos2 =
B. x，y∈R，sin(x-y)=sin x-sin y
C. x∈[0，π]，=sin x
D.sin x=cos y x+y=
16.(12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值等于同一个常数：
①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°；
②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°；
③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°；
④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°；
⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(6分)
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.(6分)
答案精析
1.C　2.D　3.AD　4.C　5.A　6.B　7.　8.
9.解　∵tan=，
∴tan(1+cos α)=sin α.
又∵cos=-sin α，
且1-cos α=2sin2，
∴原式=
==-.
∵0<α<π，∴0<<，
∴sin >0，∴原式=-2cos .
10.解　因为α为钝角，β为锐角，
sin α=，sin β=，
所以cos α=-，cos β=.
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.
因为<α<π，且0<β<，
所以0<α-β<π，即0<<，
方法一　由0<<，
得cos=
==，
sin=
=，
所以tan==.
方法二　由0<α-β<π，
cos(α-β)=，得
sin(α-β)==.
所以tan===.
11.B　[由题意得sin Asin B=(1+cos C)，
即2sin Asin B=1+cos C，
∴2sin Asin B=1-cos Acos B+sin Asin B，
故得cos(A-B)=1，又因为A-B∈(-π，π)，
∴A-B=0，即A=B，则△ABC是等腰三角形.]
12.D　[由题意，得f(x)=(1+cos 2x)·(1-cos 2x)=(1-cos22x)
=sin22x=(1-cos 4x).
又f(-x)=f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为的偶函数.]
13.A　[∵α是第三象限角，cos α=-，
∴sin α=-，∴tan ===-3，
∴==-.]
14.
解析　sin ======，
cos ======，
则sin -cos =-=.
15.BC　[因为sin2 +cos2 =1≠，所以A为假命题；当x=y=0时，sin(x-y)=sin x-sin y，所以B为真命题；因为==|sin x|=sin x，x∈[0，π]，所以C为真命题；
当x=，y=2π时，sin x=cos y，但x+y≠，所以D为假命题.]
16.解　(1)选②式：sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-sin 30°=1-=.故这个常数为.
(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)=.
证明如下：
左边=+-sin α(cos 30°·cos α+sin 30° sin α)
=1-[cos 2α-cos(60°-2α)]-sin αcos α-sin2α
=1-(cos 2α-cos 60°cos 2α-sin 60°sin 2α)-sin 2α-(1-cos 2α)
=1-cos 2α+sin 2α-sin 2α-+cos 2α
==右边，所以等式成立.第1课时　半角公式
[学习目标]　1.能用二倍角公式推导出半角公式、万能公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想.2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.
导语
同学们，前面我们学习了三角函数中的很多公式，有同角的三角函数的基本关系、诱导公式、两角和、差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，它们都属于三角变换.对于三角变换，我们不仅要考虑三角函数式结构形式方面的差异，还要考虑三角函数式包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换，在实际操作中，我们要从函数式的结构、种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，从而选择一个合适的公式进行化简、求值、证明等，这就是我们今天要讲的三角恒等变换.
一、半角公式
问题1　余弦的二倍角展开有几种形式？请写出.
知识梳理
半角公式
sin=__________， ①
cos=__________， ②
tan=__________(无理形式). ③
tan==____________(有理形式).
上面的公式①②③统称为半角公式，分别简记为，，.半角公式的符号需要根据角所在的象限来判断.
注意点：
求tan 常用上面的有理形式.
例1　已知sin α=-，π<α<，求sin ，cos ，tan 的值.
反思感悟　利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ==，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2=，cos2=计算.
跟踪训练1　已知cos α=，α为第四象限角，求sin ，cos ，tan .
二、万能公式
问题2　能否用tan α表示sin 2α，cos 2α？试给出推导过程.
知识梳理
万能公式
sin α=， ④
cos α=， ⑤
tan α=. ⑥
角α(α≠2kπ+π，k∈Z)的所有三角函数值都可以用tan 来表示，这组公式(④~⑥)简称为“万能公式”.
例2　已知=-，求sin的值.
反思感悟　万能公式的优点：只要求出某一个角的半角的正切值，就可以求出该角的任一个三角函数值.因此灵活应用万能公式解答三角函数的化简求值，更加方便、快捷.
跟踪训练2　已知tan=，则的值为(　　)
A.　B.-　C.　D.-
三、三角恒等式的证明
例3　证明：=.
反思感悟　(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
(2)证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
跟踪训练3　已知3π<θ<4π，求证：=-cos.
1.知识清单：
(1)半角公式.
(2)万能公式.
(3)三角恒等式的证明.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：不判断角α所在的象限，盲目套用半角公式.
1.已知cos α=-，<α<π，则sin等于(　　)
A.-　B.　C.-　D.
2.若tan α=3，则sin 2α等于(　　)
A.　B.-　C.-　D.
3.tan 67.5°-tan 22.5°的值为(　　)
A.2　B.2　C.2　D.3
4.若sin α=，α∈，则tan =__________.
答案精析
问题1　三种形式：cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
知识梳理
±　±　
±　
例1　解　∵π<α<，sin α=-，
∴cos α=-，且<<，
∴sin==，
cos =-=-，
tan ==-2.
跟踪训练1　解　∵α为第四象限角，
∴为第二或第四象限角，
当为第二象限角时，
sin==，
cos=-=-，
tan=-=-.
当为第四象限角时，
sin=-=-，
cos==，
tan=-=-.
问题2　能.
sin 2α=2sin αcos α==.
cos 2α=cos2α-sin2α==.
例2　解　∵=-，
∴3tan α=-2tan，
∴3tan α=-，
∴3tan2α-5tan α-2=0，
∴tan α=-或tan α=2.
当tan α=-时，sin 2α==-，
cos 2α==.
∴sin=(sin 2α+cos 2α)=.
当tan α=2时，sin 2α=，
cos 2α=-，
∴sin=(sin 2α+cos 2α)=.
综上，sin的值为.
跟踪训练2　A
例3　证明　左边=
==
==.
右边==
=，
所以左边=右边，即等式成立.
跟踪训练3　证明　因为3π<θ<4π，所以<<2π，<<π，
所以cos=，
cos=-，
所以左边====-cos=右边，所以等式成立.
随堂演练
1.D　2.A　3.A　4.5-2
第2课时　和差化积与积化和差公式及三角恒等变换的应用
例1　解　(1)原式=2sincos
=2sin 60°·cos 16°=cos 16°.
(2)原式=2coscos=2cos 46°cos 4°.
(3)原式=-2sinsin
=2sin 4xsin x.
(4)原式=2cossin
=2cos 60°sin(-10°)=-sin 10°.
跟踪训练1　解　(1)原式=2cos·sin=2cos αsin =cos α.
(2)原式=sin x+sin
=2sin cos
=2sincos.
例2　(1)B
(2)解　①原式=[sin(64°+134°)+sin(64°-134°)]=(sin 198°-sin 70°).
②原式=[cos(2+1.2)+cos(2-1.2)]
=(cos 3.2+cos 0.8).
跟踪训练2　解　原式=cos 15°cos 75°=×[cos(15°+75°)+cos(15°-75°)]
=×(0+cos 60°)=.
问题1　sin x±cos x=sin，sin x±cos x=2sin，
cos x±sin x=2sin.
问题2　第一步：提常数，提出，
得到y=；
第二步：定角度，确定一个角φ满足cos φ=，sin φ=，
得到y=(cos φsin x+sin φcos x)；
第三步：化简、逆用公式得y=asin x+bcos x
=sin(x+φ)，其中tan φ=.
知识梳理
sin(x+θ)
例3　解　(1)f(x)=2sin x(cos x-sin x)+1=sin 2x+cos 2x
=sin ，
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)因为f=sin =，
所以sin =，
又α∈，
所以α+∈，
所以cos =-，
所以sin α=sin
=sincos-cossin
=×-×=.
跟踪训练3　解　(1)由已知，得f(x)=-
=-cos 2x
=sin 2x-cos 2x
=sin，
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为x∈，
所以2x-∈，
当-≤2x-≤-，
即-≤x≤-时，f(x)单调递减；
当-≤2x-≤，
即-≤x≤时，f(x)单调递增，
所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且f=-，f=-，f=，
所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为-.
随堂演练
1.A　2.C　3.0　4.2(共64张PPT)
第1课时
第2章
<<<
半角公式
1.能用二倍角公式推导出半角公式、万能公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想.
2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.
学习目标
同学们，前面我们学习了三角函数中的很多公式，有同角的三角函数的基本关系、诱导公式、两角和、差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，它们都属于三角变换.对于三角变换，我们不仅要考虑三角函数式结构形式方面的差异，还要考虑三角函数式包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换，在实际操作中，我们要从函数式的结构、种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，从而选择一个合适的公式进行化简、求值、证明等，这就是我们今天要讲的三角恒等变换.
导 语
一、半角公式
二、万能公式
课时对点练
三、三角恒等式的证明
随堂演练
内容索引
半角公式
一
提示　三种形式：cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
余弦的二倍角展开有几种形式？请写出.
问题1
半角公式
sin=__________， ①
cos=__________， ②
tan=__________(无理形式). ③
tan==________(有理形式).
上面的公式①②③统称为半角公式，分别简记为，，.半角公式的符号需要根据角所在的象限来判断.
±
±
±
求tan 常用上面的有理形式.
注 意 点
<<<
　已知sin α=-，π<α<，求sin ，cos ，tan 的值.
例 1
∵π<α<，sin α=-，
∴cos α=-<<，
∴sin==，
cos =-=-，tan ==-2.
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ==
，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2=，cos2=计算.
利用半角公式求值的思路
反
思
感
悟
　已知cos α=，α为第四象限角，求sin ，cos ，tan .
跟踪训练 1
∵α为第四象限角，
∴为第二或第四象限角，
当为第二象限角时，
sin==，
cos=-=-，
tan=-=-.
当为第四象限角时，
sin=-=-，
cos==，
tan=-=-.
二
万能公式
提示　能.
sin 2α=2sin αcos α==.
cos 2α=cos2α-sin2α==.
能否用tan α表示sin 2α，cos 2α？试给出推导过程.
问题2
万能公式
sin α=， ④
cos α=， ⑤
tan α=. ⑥
角α(α≠2kπ+π，k∈Z)的所有三角函数值都可以用tan 来表示，这组公式(④~⑥)简称为“万能公式”.
　已知=-，求sin的值.
例 2
∵=-，
∴3tan α=-2tan，
∴3tan α=-，
∴3tan2α-5tan α-2=0，
∴tan α=-或tan α=2.
当tan α=-时，sin 2α==-，cos 2α==.
∴sin=(sin 2α+cos 2α)=.
当tan α=2时，sin 2α=，cos 2α=-，
∴sin=(sin 2α+cos 2α)=.
综上，sin.
反
思
感
悟
万能公式的优点：只要求出某一个角的半角的正切值，就可以求出该角的任一个三角函数值.因此灵活应用万能公式解答三角函数的化简求值，更加方便、快捷.
∵tan=，∴sin θ==.
cos θ==.
∴==.
　已知tan=，则的值为
A.　 B.-　 C.　 D.-
跟踪训练 2
√
三角恒等式的证明
三
　证明：=.
例 3
左边=
=====.
右边===，
所以左边=右边，即等式成立.
反
思
感
悟
(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
(2)证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
　已知3π<θ<4π，求证：=-cos.
跟踪训练 3
因为3π<θ<4π，所以<<2π，<<π，所以cos=，cos=
-，所以左边====-cos=右边，所以等式成立.
1.知识清单：
(1)半角公式.
(2)万能公式.
(3)三角恒等式的证明.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：不判断角α所在的象限，盲目套用半角公式.
随堂演练
四
1.已知cos α=-，<α<π，则sin等于
A.-　 B.　 C.-　 D.
由<α<π可知<<，故sin===.
√
1
2
3
4
2.若tan α=3，则sin 2α等于
A.　 B.-　 C.-　 D.
原式===.
√
1
2
3
4
3.tan 67.5°-tan 22.5°的值为
A.2　 B.2　 C.2　 D.3
tan 67.5°-tan 22.5°=-=-=2.
√
1
2
3
4
4.若sin α=，α∈，则tan =　　　　.
∵sin α=，α∈，∴cos α=，
∴tan ===5-2.
1
2
3
4
5-2
课时对点练
五
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C D AD C A B 　
题号 8 11 12 13 14　 15
答案 B D A BC
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.
∵tan=，
∴tan(1+cos α)=sin α.
又∵cos=-sin α，
且1-cos α=2sin2，
∴原式===-.
∵0<α<π，∴0<<，
∴sin >0，∴原式=-2cos .
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
因为α为钝角，β为锐角，
sin α=，sin β=，
所以cos α=-，cos β=.
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.
因为<α<π，且0<β<，
所以0<α-β<π，即0<<，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
方法一　由0<<，
得cos===，sin==，
所以tan==.
方法二　由0<α-β<π，
cos(α-β)=，得sin(α-β)==.
所以tan===.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
(1)选②式：sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-sin 30°=1-=.故这个常数为.
(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)=.
证明如下：
左边=+-sin α(cos 30°·cos α+sin 30° sin α)
=1-[cos 2α-cos(60°-2α)]-sin αcos α-sin2α
=1-(cos 2α-cos 60°cos 2α-sin 60°sin 2α)-sin 2α-(1-cos 2α)
=1-cos 2α+sin 2α-sin 2α-+cos 2α==右边，所以等式成立.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.已知180°<α<360°，则cos 的值等于
A.- B.
C.- D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
答案
由半角公式知cos =±，
∵180°<α<360°，∴90°<<180°，
∴cos <0，∴cos =-.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
2.下列各式与tan α相等的是
A. B.
C. D.
===tan α.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
3.(多选)已知2sin α=1+cos α，则tan的可能取值为
A.　 B.1　 C.2　 D.不存在
由题意知4sincos=1+2cos2-1，故有2sincos-cos2=0，若2sin-cos=0，则tan=；若cos=0，则tan不存在.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
答案
4.设a=cos 6°-sin 6°，b=2sin 13°cos 13°，c=，则有
A.cC.aa=sin 30°cos 6°-cos 30°sin 6°=sin(30°-6°)=sin 24°，b=
2sin 13°cos 13°=sin 26°，c=sin 25°，
∵y=sin x在0°≤x≤90°时上单调递增，∴a√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
5.若α是第三象限角，且sin(α+β)cos β-sin βcos(α+β)=-，则tan的值为
A.-5　 B.5　 C.-　 D.
由已知及正弦公式得，sin α=-，
∵α是第三象限角，∴cos α=-.
∴tan ===-5.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
6.已知α为锐角，且tan α=m，cos 2α=-，则sin2等于
A.　 B.+　 C.　 D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
∵tan α=m，cos 2α=-，又cos 2α=，
∴=-，∴m2=2.
∴cos 2α=-.
∵0<α<，∴sin 2α==，
∴sin2==+sin 2α=+.
1
2
3
4
5
6
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8
9
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16
答案
7.若θ∈，sin 2θ=，则sin θ=　　　.
由θ∈，可得2θ∈，
∴cos 2θ=-=-，
∴sin θ==.
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答案
8.若α∈，sin 2α=cos2α，则cos 2α=　　　.
∵sin 2α=cos2α，∴2sin αcos α=cos2α，
又α∈，∴2sin α=cos α，即tan α=.
∴cos 2α==.
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答案
9.化简：(0<α<π).
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∵tan=，∴tan(1+cos α)=sin α.又∵cos=-sin α，且
1-cos α=2sin2，∴原式===-.
∵0<α<π，∴0<<，∴sin >0，
∴原式=-2cos .
答案
10.已知α为钝角，β为锐角，且sin α=，sin β=，求cos 与tan的值.
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答案
因为α为钝角，β为锐角，sin α=，sin β=，
所以cos α=-，cos β=.
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.
因为<α<π，且0<β<，
所以0<α-β<π，即0<<，
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答案
方法一　由0<<，得cos===，sin==，所以tan==.
方法二　由0<α-β<π，cos(α-β)=，得sin(α-β)==.
所以tan===.
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答案
11.在△ABC中，若sin Asin B=cos2，则△ABC是
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.不等边三角形 D.直角三角形
√
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综合运用
答案
由题意得sin Asin B=(1+cos C)，
即2sin Asin B=1+cos C，
∴2sin Asin B=1-cos Acos B+sin Asin B，
故得cos(A-B)=1，又因为A-B∈(-π，π)，
∴A-B=0，即A=B，则△ABC是等腰三角形.
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答案
12.函数f(x)=(1+cos 2x)·sin2x(x∈R)是
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数
D.最小正周期为的偶函数
√
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答案
由题意，得f(x)=(1+cos 2x)(1-cos 2x)=(1-cos22x)=sin22x=(1-cos 4x).又f(-x)=f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为的偶函数.
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答案
13.若cos α=-，α是第三象限角，则等于
A.-　 B.　 C.2　 D.-2
∵α是第三象限角，cos α=-，
∴sin α=-，∴tan ===-3，
∴==-.
√
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答案
14.sin -cos =　　　　.
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答案
sin ======，
cos ======，
则sin -cos =-=.
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答案
拓广探究
15.(多选)下列命题是真命题的有
A. x∈R，sin2 +cos2 =
B. x，y∈R，sin(x-y)=sin x-sin y
C. x∈[0，π]，=sin x
D.sin x=cos y x+y=
√
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√
答案
因为sin2 +cos2 =1≠，所以A为假命题；
当x=y=0时，sin(x-y)=sin x-sin y，所以B为真命题；
因为==|sin x|=sin x，x∈[0，π]，所以C为真命题；
当x=，y=2π时，sin x=cos y，但x+y≠，所以D为假命题.
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答案
16.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值等于同一个常数：
①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°；
②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°；
③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°；
④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°；
⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
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答案
选②式：sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-sin 30°=1-=.故这个常数为.
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答案
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.
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答案
三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)=.
证明如下：
左边=+-sin α(cos 30°·cos α+sin 30° sin α)
=1-[cos 2α-cos(60°-2α)]-sin αcos α-sin2α
=1-(cos 2α-cos 60°cos 2α-sin 60°sin 2α)-sin 2α-(1-cos 2α)
=1-cos 2α+sin 2α-sin 2α-+cos 2α
==右边，所以等式成立.
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答案第2课时　和差化积与积化和差公式及三角恒等变换的应用
[分值：100分]
单选题每小题5分，共50分
1.sincos 等于(　　)
A.-- B.-+
C.+ D.-
2.已知cos(α+β)·cos(α-β)=，则cos2α-sin2β等于(　　)
A.-　B.-　C.　D.
3.函数f(x)=sin x+cos x的一个对称中心是(　　)
A. B.
C. D.
4.使函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数的θ的一个值是(　　)
A.　B.　C.　D.
5.已知sin x+cos x=，则cos等于(　　)
A.　B.　C.　D.
6.若函数f(x)=sin 2x+cos 2x，则(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)的最大值为2
C.函数f(x)的一个对称中心为
D.函数f(x)在上单调递增
7.(5分)已知函数f(x)=asin x+bcos x的图象过点和，则a=　　　　，b=　　　　，f(x)的最大值是　　　　.
8.(5分)化简：=　　　　.
9.(10分)求证：=.
10.(12分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2-2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(6分)
(2)若x∈，求函数的值域.(6分)
11.设直角三角形中两锐角分别为A和B，则cos Acos B的取值范围是(　　)
A.　B.(0，1)　C.　D.
12.当x∈时，关于x的方程sin x-cos x-m=0有解，则实数m的取值范围为(　　)
A.(-2，) B.[-2，]
C.(-，) D.[-，]
13.若函数f(x)=|3sin x+4cos x+m|的最大值是8，则m等于(　　)
A.3　B.13　C.3或-3　D.-3或13
14.(5分)设向量a=，b=(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|=|b|，则x的值为　　　　；
(2)设函数f(x)=a·b，则f(x)的最大值为　 　.
15.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为(　　)
A.　B.　C.　D.
16.(13分)如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m.
(1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？(7分)
(2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？(6分)
答案精析
1.A　2.C　3.D　4.D　5.B　6.D　
7.1　-　2　8.tan
9.证明　左边=
=
==
=右边，
所以原等式成立.
10.解　(1)因为f(x)=(sin x+cos x)2-2sin2x
=sin2x+2sin xcos x+cos2x-2sin2x
=2sin xcos x+cos2x-sin2x
=sin 2x+cos 2x
=sin，
所以f(x)的最小正周期为T==π.
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)当x∈时，2x∈[0，π]，
所以2x+∈，
所以sin∈，
所以函数f(x)的值域是.
11.A　[直角三角形中两锐角分别为A和B，
则A+B=，
则cos Acos B=[cos(A-B)+cos(A+B)]=cos(A-B)，
再结合A-B∈，
可得cos(A-B)∈(0，1]，
∴cos(A-B)∈.]
12.B　[由题意知，关于x的方程sin x-cos x-m=0有解，即sin x-cos x=m在x∈上有解，则函数y=sin x-cos x=2sin的图象与直线y=m在上有交点，如图，
由图象易得，-2≤m≤.]
13.C　[∵f(x)=|3sin x+4cos x+m|，
∴f(x)=|5sin(x+φ)+m|，
∵-5≤5sin(x+φ)≤5，
∴当m>0时，f(x)max=|5+m|=8，
解得m=3；
当m<0时，f(x)max=|-5+m|=8，
解得m=-3.]
14.(1)　(2)
解析　(1)由|a|2=(sin x)2+sin2x=4sin2x，
|b|2=cos2x+sin2x=1，
及|a|=|b|，得4sin2x=1.
又x∈，从而sin x=，
所以x=.
(2)因为f(x)=a·b
=sin xcos x+sin2x
=sin 2x-cos 2x+
=sin+，
所以当2x-=+2kπ(k∈Z)，
即x=+kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，
又x∈，
所以当k=0，x=时，
f(x)max=1+=，
所以f(x)的最大值为.
15.B　[f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin(ω>0)，
由x∈[0，π]，
令t=ωx+∈，
又函数y=2sin t在t∈上有两个零点，如图，
则2π≤ωπ+<3π，
解得ω∈.]
16.解　(1)连接OB，如图所示，
设∠AOB=θ，
则AB=OBsin θ=20sin θ，OA=OBcos θ=20cos θ，
且θ∈.
因为点A，D关于点O对称，
所以AD=2OA=40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则
S=AD·AB=40cos θ·20sin θ=400sin 2θ.
因为θ∈，
所以2θ∈(0，π)，
所以当sin 2θ=1，
即θ=时，Smax=400(m2).
此时AO=DO=10(m).
故当点A，D距离圆心O为10 m时，
矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
(2)由(1)知AB=20sin θ，AD=40cos θ，
所以AB+BC+CD=40sin θ+40cos θ=40sin，
又θ∈，
所以θ+∈，
当θ+=，
即θ=时，(AB+BC+CD)max=40(m)，
此时AO=DO=10(m)，
即当点A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远.第2课时　和差化积与积化和差公式及三角恒等变换的应用
[学习目标]　1.了解和差化积、积化和差公式的推导过程.2.掌握和差化积、积化和差及辅助角公式并能用公式解决一些简单的问题.
导语
在求解三角函数的有关问题时，有时需要把三角函数的积化为和或差的形式，有时又需要把和或差化为积的形式.
(1)如何将两个三角函数的积化为和(差)形式？
(2)如何将两个三角函数的和(差)化为积的形式？
这就是本节课将要学习的内容，让我们一起来探索吧.
一、和差化积
知识梳理
和差化积公式
(1)cos α+cos β=2cos cos ；
(2)sin α+sin β=2sin cos ；
(3)cos α-cos β=-2sin sin ；
(4)sin α-sin β=2cos sin .
例1　把下列各式化成积的形式：
(1)sin 44°+sin 76°；
(2)cos 50°+cos 42°；
(3)cos 3x-cos 5x；
(4)sin 50°-sin 70°.
反思感悟　利用和差化积公式化简求值时的两个注意点
(1)必须是同名的三角函数和与差的形式才能化为乘积形式.
(2)若不同名，应用诱导公式化为同名的三角函数和差形式再利用和差化积公式.
跟踪训练1　将下列各式化成积的形式：
(1)sin-sin；(2)sin x+.
二、积化和差
知识梳理
积化和差公式
(1)cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]；
(2)sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]；
(3)sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]；
(4)cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
例2　(1)sin cos 等于(　　)
A.- B.+
C.- D.+
(2)把下列各式化成和或差的形式：
①sin 64° cos 134°；②cos 2·cos 1.2.
反思感悟　在利用积化和差公式化简求值时，应注意：左端是异名函数乘积形式时，右端是正弦函数的和、差形式；左端是同名函数乘积形式时，右端是余弦函数的和、差形式.
跟踪训练2　求cos 15°cos 60°cos 75°的值.
三、辅助角公式及其应用
问题1　请同学们根据两角和、差的正弦公式对下面几个式子进行合并：sin x±cos x，sin x±cos x，cos x±sin x.
问题2　一般地，对于y=asin x+bcos x，你能对它进行合并吗？
知识梳理
辅助角公式
y=asin x+bcos x=__________.
注意点：
(1)该函数的最大值为，最小值为-.
(2)有时y=asin x+bcos x=cos(x-θ).
例3　已知函数f(x)=2sin x(cos x-sin x)+1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)设α∈，f=，求sin α的值.
反思感悟　研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式，将y=asin x+bcos x转化为y=sin(x+φ)或y=cos(x-φ)的形式，以便研究函数的性质.
跟踪训练3　已知函数f(x)=sin2x-sin2，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
1.知识清单：
(1)和差化积公式.
(2)积化和差公式.
(3)辅助角公式及其应用.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：公式应用不熟导致解题错误.
1.f(x)=12sin x+5cos x化为y=Asin(x+φ)形式，其中正确的是(　　)
A.f(x)=13sin(x+φ)
B.f(x)=13sin(x+φ)
C.f(x)=13sin(x-φ)
D.f(x)=13sin(x-φ)
2.已知cos2α-cos2β=m，那么sin(α+β)sin(α-β)等于(　　)
A.-　B.　C.-m　D.m
3.化简：sin 10°+sin 50°-cos 20°=__________.
4.y=cos x-sin x的最大值为__________.
答案精析
例1　C
跟踪训练1　-cos θ
例2　解　∵sinsin=，
∴sincos=，
即sin=，即cos 2α=.
又α∈，2α∈(π，2π)，
∴sin 2α=-
=- =-.
∴===-.
跟踪训练2　解　tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°
=tan(25°+35°)(1-tan 25°tan 35°)+tan 25°tan 35°
=tan 60°(1-tan 25°tan 35°)+
tan 25°tan 35°
=-tan 25°tan 35°+tan 25°·tan 35°=.
例3　解　(1)f(x)=cos x·-cos2x+=sin x·cos x-cos2x+
=sin 2x-(1+cos 2x)+
=sin 2x-cos 2x
=sin.
∴f(x)的最小正周期T==π.
(2)∵-≤x≤，
∴-≤2x-≤，
∴-1≤sin≤，
∴-≤f(x)≤，
∴函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为-.
跟踪训练3　解　(1)∵f(x)=sin +
=sin +cos
=2sin.
∴f(x)的最小正周期T==4π.
当sin=-1时，f(x)取得最小值-2；
当sin=1时，f(x)取得最大值2.
(2)g(x)是偶函数.理由如下：
由(1)知f(x)=2sin，
又g(x)=f，
∴g(x)=2sin=2sin=2cos .
∵g(-x)=2cos=2cos =g(x)，
∴函数g(x)是偶函数.
例4　解　如图所示，图1中，O是半圆圆心，设∠COD=θ，
则CD=rsin θ，OC=rcos θ，
S矩形ABCD=2OC·CD=2rcos θ·rsin θ=r2sin 2θ，
当θ=时，S甲==r2，
图2中，设∠EGF=α，
则EF=2Rsin α，FG=2Rcos α，
S矩形EFGH=EF·FG=2Rcos α·2Rsin α=2R2sin 2α，
当α=时，S乙==2R2，
若S甲=S乙，则r2=2R2，
所以r=R.
跟踪训练4　6-2
解析　连接BP(图略)，
设∠CBP=α，其中0≤α<，
则PM=1-sin α，PN=2-cos α，
周长L=6-2(sin α+cos α)
=6-2sin，
因为≤α+<，
所以当α+=，即α=时，
周长有最小值6-2.(共76张PPT)
第2课时
第2章
<<<
和差化积与积化和差公式及三角恒等变换的应用
1.了解和差化积、积化和差公式的推导过程.
2.掌握和差化积、积化和差及辅助角公式并能用公式解决一些简单的问题.
学习目标
在求解三角函数的有关问题时，有时需要把三角函数的积化为和或差的形式，有时又需要把和或差化为积的形式.
(1)如何将两个三角函数的积化为和(差)形式？
(2)如何将两个三角函数的和(差)化为积的形式？
这就是本节课将要学习的内容，让我们一起来探索吧.
导 语
一、和差化积
二、积化和差
课时对点练
三、辅助角公式及其应用
随堂演练
内容索引
和差化积
一
和差化积公式
(1)cos α+cos β=2cos cos ；
(2)sin α+sin β=2sin cos ；
(3)cos α-cos β=-2sin sin ；
(4)sin α-sin β=2cos sin .
　把下列各式化成积的形式：
(1)sin 44°+sin 76°；
例 1
原式=2sincos=2sin 60°·cos 16°=cos 16°.
(2)cos 50°+cos 42°；
原式=2coscos=2cos 46°cos 4°.
(3)cos 3x-cos 5x；
原式=-2sinsin=2sin 4xsin x.
(4)sin 50°-sin 70°.
原式=2cossin=2cos 60°sin(-10°)=-sin 10°.
(1)必须是同名的三角函数和与差的形式才能化为乘积形式.
(2)若不同名，应用诱导公式化为同名的三角函数和差形式再利用和差化积公式.
利用和差化积公式化简求值时的两个注意点
反
思
感
悟
　将下列各式化成积的形式：
(1)sin-sin；
跟踪训练 1
原式=2cos·
sin=2cos αsin =cos α.
(2)sin x+.
原式=sin x+sin =2sin cos =2sincos.
二
积化和差
积化和差公式
(1)cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]；
(2)sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]；
(3)sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]；
(4)cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
　(1)sin cos 等于
A.- B.+
C.- D.+
例 2
√
原式===+.
(2)把下列各式化成和或差的形式：
①sin 64° cos 134°；
原式=[sin(64°+134°)+sin(64°-134°)]=(sin 198°-sin 70°).
原式=[cos(2+1.2)+cos(2-1.2)]=(cos 3.2+cos 0.8).
②cos 2·cos 1.2.
反
思
感
悟
在利用积化和差公式化简求值时，应注意：左端是异名函数乘积形式时，右端是正弦函数的和、差形式；左端是同名函数乘积形式时，右端是余弦函数的和、差形式.
　求cos 15°cos 60°cos 75°的值.
跟踪训练 2
原式=cos 15°cos 75°
=×[cos(15°+75°)+cos(15°-75°)]
=×(0+cos 60°)=.
辅助角公式及其应用
三
请同学们根据两角和、差的正弦公式对下面几个式子进行合并：sin x±cos x，sin x±cos x，cos x±sin x.
提示　sin x±cos x=sin，sin x±cos x=2sin，cos x
±sin x=2sin.
问题1
一般地，对于y=asin x+bcos x，你能对它进行合并吗？
提示　第一步：提常数，提出，
得到y=；
第二步：定角度，确定一个角φ满足cos φ=，sin φ=，
得到y=(cos φsin x+sin φcos x)；
第三步：化简、逆用公式得y=asin x+bcos x
=sin(x+φ)，其中tan φ=.
问题2
辅助角公式
y=asin x+bcos x=__________________.
sin(x+θ)
(1)该函数的最大值为，最小值为-.
(2)有时y=asin x+bcos x=cos(x-θ).
注 意 点
<<<
　已知函数f(x)=2sin x(cos x-sin x)+1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
例 3
f(x)=2sin x(cos x-sin x)+1
=sin 2x+cos 2x=sin ，
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)设α∈，f =，求sin α的值.
因为f =sin =，
所以sin =，
又α∈，
所以α+∈，
所以cos =-，
所以sin α=sin =sincos-cossin
=×-×=.
反
思
感
悟
研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式，将y=asin x+bcos x转化为y=sin(x+φ)或y=cos(x-φ)的形式，以便研究函数的性质.
　已知函数f(x)=sin2x-sin2，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
跟踪训练 3
由已知，得f(x)=-
=-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin，
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
因为x∈，
所以2x-∈，
当-≤2x-≤-，即-≤x≤-时，f(x)单调递减；当-≤2x-≤，即
-≤x≤时，f(x)单调递增，
所以f(x)在区间上单调递增，
且f =-，f =-，f =，
所以f(x)在区间，最小值为-.
1.知识清单：
(1)和差化积公式.
(2)积化和差公式.
(3)辅助角公式及其应用.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：公式应用不熟导致解题错误.
随堂演练
四
1.f(x)=12sin x+5cos x化为y=Asin(x+φ)形式，其中正确的是
A.f(x)=13sin(x+φ)
B.f(x)=13sin(x+φ)
C.f(x)=13sin(x-φ)
D.f(x)=13sin(x-φ)
√
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1
2
3
4
f(x)=12sin x+5cos x
=13
=13sin(x+φ)，其中tan φ=.
2.已知cos2α-cos2β=m，那么sin(α+β)sin(α-β)等于
A.-　 B.　 C.-m　 D.m
sin(α+β)sin(α-β)=-(cos 2α-cos 2β)=-(2cos2α-1-2cos2β+1)=cos2β-cos2α
=-m.
√
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4
3.化简：sin 10°+sin 50°-cos 20°=　　　.
原式=2sin ·cos -cos 20°=cos 20°-cos 20°=0.
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0
4.y=cos x-sin x的最大值为　　　.
y=cos x-sin x=2
=2=2cos，
所以ymax=2.
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3
4
2
课时对点练
五
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A C D D B D 1　-　2
题号 8 11 12 13 14　 15
答案 tan A B C (1)　(2) B
答案
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9.
左边==
===右边，
所以原等式成立.
答案
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10.
(1)因为f(x)=(sin x+cos x)2-2sin2x=sin2x+2sin xcos x+cos2x-2sin2x
=2sin xcos x+cos2x-sin2x=sin 2x+cos 2x=sin，
所以f(x)的最小正周期为T==π.
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
答案
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10.
(2)当x∈时，2x∈[0，π]，
所以2x+∈，
所以sin∈，
所以函数f(x)的值域是.
答案
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16.
(1)连接OB，如图所示，
设∠AOB=θ，则AB=OBsin θ=20sin θ，OA=OBcos θ=20cos θ，且θ∈.
因为点A，D关于点O对称，所以AD=2OA=40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则S=AD·AB=40cos θ·20sin θ=400sin 2θ.
因为θ∈，所以2θ∈(0，π)，所以当sin 2θ=1，
即θ=时，Smax=400(m2).
此时AO=DO=10(m).
故当点A，D距离圆心O为10 m时，
矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
答案
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16.
(2)由(1)知AB=20sin θ，AD=40cos θ，
所以AB+BC+CD=40sin θ+40cos θ=40sin，
又θ∈，
所以θ+∈，
当θ+=，
即θ=时，(AB+BC+CD)max=40(m)，
此时AO=DO=10(m)，
即当点A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远.
答案
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1.sincos 等于
A.-- B.-+
C.+ D.-
原式===--.
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基础巩固
答案
2.已知cos(α+β)·cos(α-β)=，则cos2α-sin2β等于
A.-　 B.-　 C.　 D.
cos(α+β)·cos(α-β)=(cos 2α+cos 2β)
=[(2cos2α-1)+(1-2sin2β)]=cos2α-sin2β=.
√
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答案
3.函数f(x)=sin x+cos x的一个对称中心是
A. B.
C. D.
因为f(x)=sin x+cos x=sin，根据函数y=Asin(ωx+φ)的对称中心特征可知，对称中心是函数f(x)的图象与x轴的交点，四个选项中只有当x=-时，f =0，即函数f(x)的一个对称中心为.
√
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答案
4.使函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数的θ的一个值是
A.　 B.　 C.　 D.
√
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答案
f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin.
∵f(x)为奇函数，∴f(0)=0，
∴2sin=0，∴sin=0，
则+θ=kπ，k∈Z，
∴θ=-+kπ，k∈Z，故当k=1时，θ=.
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答案
5.已知sin x+cos x=，则cos等于
A.　 B.　 C.　 D.
∵sin x+cos x=2sin=，
∴sin=，
则cos=cos=sin=.
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√
答案
6.若函数f(x)=sin 2x+cos 2x，则
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)的最大值为2
C.函数f(x)的一个对称中心为
D.函数f(x)在上单调递增
√
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答案
f(x)=sin 2x+cos 2x=sin，
∴函数f(x)的最小正周期为π，函数f(x)的最大值为，故A，B错误；
由f =sin=≠0，故C错误；
由π1
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答案
7.已知函数f(x)=asin x+bcos x的图象过点和，则a=　　　，b=　　　，f(x)的最大值是　　　.
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-
2
答案
由题意得
解得
∴f(x)=sin x-cos x=2sin，
∴f(x)的最大值为2.
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答案
8.化简：=　　　　.
原式====tan.
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tan
答案
9.求证：=.
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左边=====右边，
所以原等式成立.
答案
10.已知函数f(x)=(sin x+cos x)2-2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
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答案
因为f(x)=(sin x+cos x)2-2sin2x=sin2x+2sin xcos x+cos2x-2sin2x=
2sin xcos x+cos2x-sin2x=sin 2x+cos 2x=sin，
所以f(x)的最小正周期为T==π.
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
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答案
(2)若x∈，求函数的值域.
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当x∈时，2x∈[0，π]，
所以2x+∈，
所以sin∈，
所以函数f(x)的值域是.
答案
11.设直角三角形中两锐角分别为A和B，则cos Acos B的取值范围是
A.　 B.(0，1)　 C.　 D.
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综合运用
答案
直角三角形中两锐角分别为A和B，
则A+B=，
则cos Acos B=[cos(A-B)+cos(A+B)]=cos(A-B)，
再结合A-B∈，
可得cos(A-B)∈(0，1]，
∴cos(A-B)∈.
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答案
12.当x∈时，关于x的方程sin x-cos x-m=0有解，则实数m的取值范围为
A.(-2，) B.[-2，]
C.(-，) D.[-，]
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答案
由题意知，关于x的方程sin x-cos x-m=0有解，即sin x-cos x=m在x∈上有解，则函数y=sin x-cos x
=2sin的图象与直线y=m在上
有交点，如图，
由图象易得，-2≤m≤.
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答案
13.若函数f(x)=|3sin x+4cos x+m|的最大值是8，则m等于
A.3　 B.13　 C.3或-3　 D.-3或13
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答案
∵f(x)=|3sin x+4cos x+m|，
∴f(x)=|5sin(x+φ)+m|，
∵-5≤5sin(x+φ)≤5，
∴当m>0时，f(x)max=|5+m|=8，
解得m=3；
当m<0时，f(x)max=|-5+m|=8，
解得m=-3.
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答案
14.设向量a=，b=(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|=|b|，则x的值为　　　；
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答案
由|a|2=(sin x)2+sin2x=4sin2x，
|b|2=cos2x+sin2x=1，
及|a|=|b|，得4sin2x=1.
又x∈，从而sin x=，
所以x=.
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答案
(2)设函数f(x)=a·b，则f(x)的最大值为　 　.
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答案
因为f(x)=a·b=sin xcos x+sin2x=sin 2x-cos 2x+=sin+，
所以当2x-=+2kπ(k∈Z)，
即x=+kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，
又x∈，所以当k=0，x=时，
f(x)max=1+=，
所以f(x)的最大值为.
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答案
拓广探究
15.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为
A.　 B.　 C.　 D.
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答案
f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin(ω>0)，由x∈[0，π]，
令t=ωx+∈，
又函数y=2sin t在t∈上有两个
零点，如图，
则2π≤ωπ+<3π，解得ω∈.
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答案
16.如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m.
(1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以
使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
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答案
连接OB，如图所示，设∠AOB=θ，
则AB=OBsin θ=20sin θ，OA=OBcos θ=20cos θ，且θ∈.
因为点A，D关于点O对称，
所以AD=2OA=40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则
S=AD·AB=40cos θ·20sin θ=400sin 2θ.
因为θ∈，
所以2θ∈(0，π)，
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答案
所以当sin 2θ=1，即θ=时，Smax=400(m2).
此时AO=DO=10(m).
故当点A，D距离圆心O为10 m时，
矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
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答案
(2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？
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答案
由(1)知AB=20sin θ，
AD=40cos θ，
所以AB+BC+CD=40sin θ+40cos θ=40sin，
又θ∈，所以θ+∈，
当θ+=，
即θ=时，(AB+BC+CD)max=40(m)，
此时AO=DO=10(m)，
即当点A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远.
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答案

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