资源简介

4.4.1　平面与平面平行
第1课时　平面与平面平行的判定
[学习目标]　1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面的位置关系、平面与平面平行的判定定理，并加以证明.2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行.
一、空间中平面与平面的位置关系
问题1　将一本书看作一个平面，随意上下、左右移动和翻转，它和桌面所在平面的位置关系有几种？有什么特点？
知识梳理
1.两个平面平行的定义
如果两个平面α，β没有　　　　　，就称这两个平面平行，记作　　　　　，用集合语言描述，就是α∥β α∩β=　　　　.
2.空间中任意两个不重合的平面的位置关系
位置关系 图形 写法 公共点情况
两平面相交 α∩β=a 有一条公共直线
两平面平行 α∥β 没有公共点
例1　(多选)以下四个命题中，正确的有(　　)
A.在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
B.在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行
C.平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行
D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交
反思感悟　利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外，先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法.
跟踪训练1　如果在两个不重合的平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是　　　　　　　　.
二、平面与平面平行的判定
问题2　如图(1)，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？
知识梳理　
平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的　　　　　　　　与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 α∥β
图形语言
例2　如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BC1D.
反思感悟　平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点.
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
跟踪训练2　如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.
三、线面平行、面面平行的综合应用
例3　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为BD的中点，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？
反思感悟　解决线面平行与面面平行的综合问题的策略
(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的.
(2)线线平行线面平行面面平行.
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理.
跟踪训练3　已知在四棱锥S-ABC中，G是AB上的点，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.
1.知识清单：
(1)空间中平面与平面的位置关系.
(2)平面与平面平行的判定.
(3)线面平行、面面平行的综合应用.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：平面与平面平行的条件不充分.
1.已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，则直线m与n的关系是(　　)
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行或异面
2.六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有(　　)
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
3.已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是　　　　(填“平行”或“相交”).
4.如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是　　　　　　　.
答案精析
问题1　有两种.平行、相交.
特点：两个平面平行时，两者没有公共点；两个平面相交时，两者有一条公共直线.
知识梳理
1.公共点　α∥β　
例1　CD　[当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行于另一个平面，所以A，B错误；显然C，D正确.]
跟踪训练1　平行或相交
问题2　三角尺和桌面一定平行，硬纸片和桌面不一定平行.
知识梳理　
两条相交直线　b α　a∩b=A　
a∥β
例2　证明　∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，
∴D1C1A1B1，ABA1B1，
∴D1C1AB.
∴四边形D1C1BA为平行四边形.
∴D1A∥C1B.
又D1A 平面BC1D，C1B 平面BC1D，
∴D1A∥平面BC1D.
同理D1B1∥平面BC1D.
又D1A∩D1B1=D1，D1A，D1B1 平面AB1D1，
∴平面AB1D1∥平面BC1D.
跟踪训练2　证明　∵E，G分别是PC，BC的中点，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB.
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，
又∵AB∥CD，∴EF∥AB，
∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
又EF∩EG=E，EF，EG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PAB.
例3　解　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
证明如下：
连接PQ(图略)，在△DBD1中，P是DD1的中点，O为DB的中点，
∴PO∥D1B，
又∵PO 平面PAO，D1B 平面PAO，
∴D1B∥平面PAO.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q为CC1的中点，P为DD1的中点，
∴PQ∥CD，PQ=CD.
又CD∥AB，CD=AB，
∴PQ∥AB，且PQ=AB，
∴四边形ABQP为平行四边形，
∴BQ∥AP，
又∵BQ 平面PAO，PA 平面PAO，
∴BQ∥平面PAO，
又∵D1B∩BQ=B，D1B，BQ 平面D1BQ，
∴平面D1BQ∥平面PAO，即当点Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
跟踪训练3　解　SG∥平面DEF.
证明如下：
方法一　连接CG，交DE于点H，连接FH.
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB.
在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，
∴H为CG的中点.
∵F是SC的中点，
∴FH是△SCG的中位线，
∴FH∥SG.
又SG 平面DEF，FH 平面DEF，
∴SG∥平面DEF.
方法二　∵EF为△SBC的中位线，
∴EF∥SB.
∵EF 平面SAB，SB 平面SAB，
∴EF∥平面SAB.
同理可得DF∥平面SAB.
又EF∩DF=F，EF，DF 平面DEF，
∴平面SAB∥平面DEF.
又SG 平面SAB，
∴SG∥平面DEF.
随堂演练
1.D　2.D　3.平行　4.平行(共73张PPT)
第1课时
第4章
<<<
平面与平面平行的判定
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面的位置关系、平面与平面平行的判定定理，并加以证明.
2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行.
学习目标
上海世界博览会的中国国家馆被永久保留，中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉.
导 语
一、空间中平面与平面的位置关系
二、平面与平面平行的判定
课时对点练
三、线面平行、面面平行的综合应用
随堂演练
内容索引
空间中平面与平面的位置关系
一
提示　有两种.平行、相交.
特点：两个平面平行时，两者没有公共点；两个平面相交时，两者有一条公共直线.
将一本书看作一个平面，随意上下、左右移动和翻转，它和桌面所在平面的位置关系有几种？有什么特点？
问题1
1.两个平面平行的定义
如果两个平面α，β没有_______，就称这两个平面平行，记作_______，用集合语言描述，就是α∥β α∩β=____.
公共点
α∥β

2.空间中任意两个不重合的平面的位置关系
位置关系 图形 写法 公共点情况
两平面相交 α∩β=a 有一条公共直线
两平面平行 α∥β 没有公共点
　　　(多选)以下四个命题中，正确的有
A.在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
B.在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行
C.平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不
　为0，那么这两个平面平行
D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行
　或相交
例 1
√
√
当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行于另一个平面，所以A，B错误；
显然C，D正确.
利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外，先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法.
反
思
感
悟
　　　　　如果在两个不重合的平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是　　　　　　.
跟踪训练 1
平行或相交
根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系，如图所示.
二
平面与平面平行的判定
提示　三角尺和桌面一定平行，硬纸片和桌面不一定平行.
如图(1)，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？
问题2
平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的_____________与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 α∥β
图形语言
两条相交直线
b α
α∥β
a∩b=A
　　　如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BC1D.
例 2
∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，∴D1C1　A1B1，AB　A1B1，
∴D1C1　AB.
∴四边形D1C1BA为平行四边形.
∴D1A∥C1B.
又D1A 平面BC1D，C1B 平面BC1D，
∴D1A∥平面BC1D.
同理D1B1∥平面BC1D.
又D1A∩D1B1=D1，D1A，D1B1 平面AB1D1，
∴平面AB1D1∥平面BC1D.
反
思
感
悟
(1)定义法：两个平面没有公共点.
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
平面与平面平行的判定方法
　　　　　如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.
跟踪训练 2
∵E，G分别是PC，BC的中点，∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB.
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，
又∵AB∥CD，∴EF∥AB，
∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
又EF∩EG=E，EF，EG 平面EFG，∴平面EFG∥平面PAB.
线面平行、面面平行的综合应用
三
　　　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为BD的中点，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？
例 3
当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
证明如下：
连接PQ(图略)，在△DBD1中，P是DD1的中点，
O为DB的中点，
∴PO∥D1B，
又∵PO 平面PAO，D1B 平面PAO，
∴D1B∥平面PAO.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q为CC1的中点，P为DD1的中点，
∴PQ∥CD，PQ=CD.
又CD∥AB，CD=AB，
∴PQ∥AB，且PQ=AB，
∴四边形ABQP为平行四边形，
∴BQ∥AP，
又∵BQ 平面PAO，PA 平面PAO，
∴BQ∥平面PAO，
又∵D1B∩BQ=B，D1B，BQ 平面D1BQ，
∴平面D1BQ∥平面PAO，即当点Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
反
思
感
悟
(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的.
解决线面平行与面面平行的综合问题的策略
(2) 　　　　　　　　　　　　　　　　　.
线线平行
线面平行
面面平行
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理.
　　　　　已知在四棱锥S-ABC中，G是AB上的点，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.
跟踪训练 3
SG∥平面DEF.
证明如下：方法一　连接CG，交DE于点H，连接FH.
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB.
在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，
∴H为CG的中点.∵F是SC的中点，
∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.
又SG 平面DEF，FH 平面DEF，
∴SG∥平面DEF.
方法二　∵EF为△SBC的中位线，
∴EF∥SB.
∵EF 平面SAB，SB 平面SAB，
∴EF∥平面SAB.
同理可得DF∥平面SAB.
又EF∩DF=F，EF，DF 平面DEF，
∴平面SAB∥平面DEF.
又SG 平面SAB，∴SG∥平面DEF.
1.知识清单：
(1)空间中平面与平面的位置关系.
(2)平面与平面平行的判定.
(3)线面平行、面面平行的综合应用.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：平面与平面平行的条件不充分.
随堂演练
四
1.已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，则直线m与n的关系是
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行或异面
∵α∥β，∴α与β无公共点，
又m α，n β，
∴m与n无公共点，
∴m与n平行或异面.
√
1
2
3
4
2.六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有
A.1对　　　　　B.2对　　　　　C.3对　　　　　D.4对
如图所示，平面ABB1A1∥平面EDD1E1，
平面BCC1B1∥平面FEE1F1，
平面AFF1A1∥平面CDD1C1，
平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，
∴此六棱柱的面中互相平行的有4对.
√
1
2
3
4
3.已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是　　　(填“平行”或“相交”).
若α∩β=l，则在平面α内，存在与l相交的直线a，
设a∩l=A，对于β内的任一直线b，
若b过点A，则a与b相交，
若b不过点A，则a与b异面，
即β内不存在直线b∥a，与题意矛盾.故α∥β.
1
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3
4
平行
4.如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是　　　.
由题图知，A1E∥BE1，
∵A1E 平面BCF1E1，BE1 平面BCF1E1，
∴A1E∥平面BCF1E1.
同理，A1D1∥平面BCF1E1.
又A1E∩A1D1=A1，A1E，A1D1 平面EFD1A1，
∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
平行
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课时对点练
五
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C C C A B AB (1)平面BCC1B1　(2)平面DCC1D1 (3)平面AB1C
题号 8 11 12 13 14 15
答案 相交或平行 ABC C D M在线段FH上 (1)1　
(2)
对一对
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16
∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
由题意知A1G EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
9.
答案
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10.
在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，
又因为GH 平面AEF，EF 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD=O，则点O为AC的中点，连接OH，如图所示，在△ACF中，
因为点H为CF的中点，所以OH∥AF，
又因为OH 平面AEF，AF 平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH=H，OH，GH 平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
答案
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16.
在线段BC上存在一点F，使平面AEF∥平面PCD.理由如下：
如图，作EF∥PC，交BC于F，连接AF，AC，因为PB=3BE，所以E是PB上靠近点B的三等分点，F是BC上靠近点B的三等分点，可得BF=.
因为AB=AD=2，BC=CD=2，AC=AC，所以△ABC≌△ADC，
因为BC⊥AB，所以∠ABC=90°，tan∠ACB===，
所以∠ACB=∠ACD=30°，所以∠BCD=60°，
因为tan∠AFB===，所以∠AFB=60°，所以AF∥CD.
因为AF 平面PCD，CD 平面PCD，所以AF∥平面PCD，
又EF∥PC，EF 平面PCD，PC 平面PCD，所以EF∥平面PCD，
因为AF∩EF=F，AF，EF 平面AEF，所以平面AEF∥平面PCD，
所以在线段BC上存在一点F，使平面AEF∥平面PCD，此时BF=.
答案
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1.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加条件
A.n是直线且n α，n∥β
B.n，m是异面直线，n∥β
C.n，m是相交直线且n α，n∥β
D.n，m是平行直线且n α，n∥β
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基础巩固
答案
2.已知平面α，β和直线m，n，下列说法正确的是
A.若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
B.若m∥α，m∥β，则α∥β
C.若α∥β，直线m与平面α相交，则直线m必与平面β相交
D.若平面α内有无数条直线都与平面β平行，则平面α与平面β平行
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答案
对于A，若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；
对于B，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，故B错误；
对于C，若α∥β，直线m与平面α相交，则直线m必与平面β相交，故C正确；
对于D，若平面α内有无数条直线都与平面β平行，则平面α与平面β平行或相交，故D错误.
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答案
3.下列四个说法中正确的是
A.平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β
B.α∩γ=a，α∩β=b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则
　γ∥β
C.平面α内的一个三角形的三条边分别平行于平面β内的一个三角形的三
　条边，则α∥β
D.平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边
　对应平行，则α∥β
由平面与平面平行的判定定理知C正确.
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答案
4.如图，在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
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答案
如图，∵EG∥E1G1，
EG 平面E1FG1，
E1G1 平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1.
又G1F∥H1E，
同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG=E，H1E，EG 平面EGH1，
∴平面E1FG1∥平面EGH1.
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答案
5.下列四个正方体图形中，A，B，C为其所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是
B中，易证AB∥DE，BC∥DF，故可以证明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF.
又AB∩BC=B，且AB，BC 平面ABC，所以平面ABC∥平面DEF.
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答案
6.(多选)经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可能有
A.0个　　　　　B.1个　　　　　C.2个　　　　　D.无数个
①当经过平面α外两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β，使得β∥α；
②当经过平面α外两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故不能作出与平面α平行的平面.
故满足条件的平面有0个或1个.
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答案
7.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，写出一个满足条件的平面：
(1)与平面ADD1A1平行的平面为　　　　　　；
(2)与平面ABB1A1平行的平面为　　　　　　；
(3)与平面A1DC1平行的平面为　　　　　.
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平面BCC1B1
平面DCC1D1
平面AB1C
答案
因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，
所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1，
平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
同时A1C1∥AC，DC1∥AB1，
又因为AC 平面A1DC1，AB1 平面A1DC1，
所以AC∥平面A1DC1，AB1∥平面A1DC1，
因为AC∩AB1=A，AC，AB1 平面AB1C，
所以平面A1DC1∥平面AB1C.
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答案
8.已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a α，b，c β，则α与β的关系是　　　　　　.
b，c β，a α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；
若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，
故α与β的关系为相交或平行.
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相交或平行
答案
9.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.求证：平面EFA1∥平面BCHG.
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答案
∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
由题意知A1G　EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E，A1E，EF 平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.
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答案
10.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF.
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在△CEF中，
因为G，H分别是CE，CF的中点，
所以GH∥EF，
又因为GH 平面AEF，EF 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD=O，则点O为AC的中点，
连接OH，
答案
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如图所示，在△ACF中，
因为点H为CF的中点，
所以OH∥AF，
又因为OH 平面AEF，AF 平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH=H，OH，GH 平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
答案
11.(多选)如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，在此几何体中，下列结论正确的是
A.平面EFGH∥平面ABCD
B.平面PAD∥BC
C.平面PCD∥AB
D.平面PAD∥平面PAB
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综合运用
√
√
答案
如图所示，把平面展开图还原为四棱锥，
则EF∥AB，易证EF∥平面ABCD.
同理可证EH∥平面ABCD，
又EF∩EH=E，EF，EH 平面EFGH，
所以平面EFGH∥平面ABCD，故A正确；
平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，它们两两相交.
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答案
因为AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，
所以平面PCD∥AB.
同理，平面PAD∥BC，故B，C正确；
显然D错误.
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答案
12.如图所示，在三棱台ABC-A1B1C1中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1ACC1，则动点M的轨迹是
A.平面 　　 B.直线
C.线段，但只含1个端点 D.圆
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答案
如图，过D作DN∥A1C1，交B1C1于N，连接BN.
∵在三棱台A1B1C1-ABC中，点D在A1B1上，
且AA1∥BD，AA1∩A1C1=A1，BD∩DN=D，
∴平面BDN∥平面A1ACC1.
∵点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，
且有平面BDM∥平面A1ACC1，
∴M的轨迹是线段DN，且M与D不重合，
∴动点M的轨迹是线段，但只含1个端点.
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答案
13.如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与P，R，Q三点所在平面平行的是
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√
答案
由题意可知，经过P，Q，R三点的平面如图.
截面为六边形PQEFRS(E，F，S为所在棱的中点)，
可知N在经过P，Q，R三点的平面上，
所以B，C错误；
MC1与QE是相交直线，所以A错误；
由图知D符合题意.
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答案
14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足　　　 　时，有MN∥平面B1BDD1.
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M在线段FH上
答案
连接HN，FH，FN(图略).
由题易知HN∥DB，FH∥D1D，HN∩HF=H，BD∩DD1=D，HN，HF 平面FHN，DB，DD1 平面B1BDD1，
∴平面FHN∥平面B1BDD1.
∵点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，
∴M∈FH.
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答案
拓广探究
15.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，E，F分别为AD，AA1的中点，Q是BC上一个动点，且BQ=λQC(λ>0).
(1)当λ=　　时，平面BEF∥平面A1DQ；
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答案
当λ=1时，Q为BC中点，
因为E是AD的中点，
所以ED=BQ，ED∥BQ，
则四边形BEDQ是平行四边形，
所以BE∥DQ.
又BE 平面A1DQ，DQ 平面A1DQ，
所以BE∥平面A1DQ.
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答案
又F是A1A的中点，所以EF∥A1D，
因为EF 平面A1DQ，A1D 平面A1DQ，
所以EF∥平面A1DQ.
因为BE∩EF=E，EF 平面BEF，BE 平面BEF，
所以平面BEF∥平面A1DQ.
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答案
(2)当λ=　　时，使得BD⊥FQ.
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答案
连接AQ，
因为A1A⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以A1A⊥BD.
若BD⊥FQ，A1A，FQ 平面A1AQ，且AA1∩FQ=F，
所以BD⊥平面A1AQ.
因为AQ 平面A1AQ，所以AQ⊥BD.
在矩形ABCD中，由AQ⊥BD，
得△AQB∽△DBA，
所以AB2=AD·BQ.
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答案
又AB=1，AD=2，
所以BQ=，QC=，
则=，即λ=.
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答案
16.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB是等边三角形，BC⊥AB，BC=CD =2，AB=AD=2.若PB=3BE，则在线段BC上是否存在一点F，使平面AEF∥平面PCD？若存在，求出线段BF的长；若不存在，请说明理由.
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答案
在线段BC上存在一点F，使平面AEF∥平面PCD.理由如下：
如图，作EF∥PC，交BC于F，连接AF，AC，因为PB=3BE，所以E是PB上靠近点B的三等分点，F是BC上靠近点B的三等分点，
可得BF=.
因为AB=AD=2，BC=CD=2，AC=AC，
所以△ABC≌△ADC，
因为BC⊥AB，所以∠ABC=90°，
tan∠ACB===，所以∠ACB=∠ACD=30°，所以∠BCD=60°，
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答案
因为tan∠AFB===，所以∠AFB=60°，所以AF∥CD.
因为AF 平面PCD，CD 平面PCD，
所以AF∥平面PCD，
又EF∥PC，EF 平面PCD，PC 平面PCD，
所以EF∥平面PCD，
因为AF∩EF=F，AF，EF 平面AEF，
所以平面AEF∥平面PCD，
所以在线段BC上存在一点F，使平面AEF∥平面PCD，此时BF=.
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答案第2课时　平面与平面平行的性质
[学习目标]　1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的性质定理，并加以证明.2.能用平面与平面平行的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题.
一、平面与平面平行的性质定理
问题　若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β有何位置关系？平面α内的直线a与平面β内的任一直线b有何位置关系？
知识梳理　
平面与平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果一个平面与这两个平面相交，那么两条交线
符号语言 α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b
图形语言
例1　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F.
(1)求证：四边形BFD1E为平行四边形；
(2)试确定点F的位置.
反思感悟　应用平面与平面平行的性质定理的基本步骤
跟踪训练1　如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
二、与平行平面相关的距离、长度问题
知识梳理
1.夹在两个平行平面间的两条平行线段　　　　.
2.如果平面α平行于平面β，则称平面α上　　　　一点到平面β的距离为平面α到平面β的距离.
例2　如图，平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS=3，BS=9，CD=34，求CS的长.
反思感悟　解决与平行平面有关的距离、长度问题时，往往先由两平面平行的性质定理得出线线平行，然后再由平行线截线段成比例定理，列出比例式，进而求解.
跟踪训练2　已知平面α∥β∥γ，两条相交直线l，m分别与平面α，β，γ相交于A，B，C与D，E，F，若AB=6，DE∶DF=2∶5，则AC=　　　.
三、平行关系的综合应用
例3　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点.求证：
(1)PQ∥平面DCC1D1；
(2)EF∥平面BB1D1D.
反思感悟　(1)证明线面平行的两种方法：一是由线线平行推出线面平行；二是由面面平行推出线面平行.
(2)线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化，要注意转化思想的灵活运用.
跟踪训练3　如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论.
1.知识清单：
(1)平面与平面平行的性质定理.
(2)与平行平面相关的距离及长度问题.
(3)平行关系的综合应用.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：线线平行、线面平行与面面平行之间的转化错误.
1.已知长方体ABCD-A'B'C'D'，平面α∩平面ABCD=EF，平面α∩平面A'B'C'D'=E'F'，则EF与E'F'的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
2.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行
B.一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行
C.平行于同一个平面的两平面平行
D.夹在两个平行平面间的平行线段相等
3.若平面α∥平面β，直线a α，点M∈β，过点M的所有直线中(　　)
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.有且只有一条与a平行的直线
4.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，线段PA，PB，PC分别交α于A'，B'，C'，若PA'∶AA'=2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC=　　　　.
答案精析
问题　直线a与平面β平行.直线a与平面β内的直线b平行或异面.
知识梳理　
平行　a∥b
例1　(1)证明　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面BFD1E∩平面ABB1A1=BE，
平面BFD1E∩平面DCC1D1=FD1，
由平面与平面平行的性质定理得BE∥FD1，
同理BF∥D1E，
∴四边形BFD1E为平行四边形.
(2)解　取BB1的中点M，连接MC1，ME，如图，
∵M，E分别为棱BB1，AA1的中点，
∴MEA1B1，
又A1B1C1D1，
∴MEC1D1，
∴四边形D1EMC1为平行四边形，
∴D1EMC1，
又D1EBF，∴MC1BF，
∴四边形MBFC1为平行四边形，
∴BMC1F，∴F为棱CC1的中点.
跟踪训练1　证明　因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，
又DE∩DF=D，DE，DF 平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF=NF，平面PCM∩平面ABC=CM，
所以NF∥CM.
知识梳理
1.相等
2.任意
例2　解　设AB，CD所在平面为γ，因为γ∩α=AC，γ∩β=BD，且α∥β，
所以AC∥BD，
所以△SAC∽△SBD，
所以=，
即=，所以CS=17.
跟踪训练2　15
例3　证明　(1)如图，连接AC，CD1.因为四边形ABCD是正方形，且Q是BD的中点，所以Q是AC的中点，
又P是AD1的中点，所以PQ∥CD1.
又PQ 平面DCC1D1，CD1 平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.
(2)方法一　取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，如图所示，
则有FO1∥B1C1且FO1=B1C1.
又BE∥B1C1且BE=B1C1，
所以BE∥FO1，BE=FO1，
所以四边形BEFO1为平行四边形，
所以EF∥BO1.
又EF 平面BB1D1D，BO1 平面BB1D1D，
所以EF∥平面BB1D1D.
方法二　取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，如图所示，
则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，
且FE1∩EE1=E1，B1D1∩BB1=B1，FE1，EE1 平面EE1F，B1D1，BB1 平面BB1D1D，
所以平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF 平面EE1F，
所以EF∥平面BB1D1D.
跟踪训练3　解　当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
证明如下：
如图所示，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，
∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，
∴EF∥AB1，
∵AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1.
同理可证FD∥平面AB1C1.
∵EF∩FD=F，EF，FD 平面EFD，
∴平面EFD∥平面AB1C1.
∵DE 平面EFD，
∴DE∥平面AB1C1.
随堂演练
1.A　2.BCD　3.D　4.4∶25(共75张PPT)
第2课时
第4章
<<<
平面与平面平行的性质
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的性质定理，并加以证明.
2.能用平面与平面平行的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题.
学习目标
上节课我们学面与平面平行的判定定理，可简记为“线线平行，则面面平行”.有同学会类比前面线面平行的性质定理得出面面平行的一些性质，如“面面平行，则线线平行”，这里的线线平行是哪些线？带着这些问题进入今天的课堂吧！
导 语
一、平面与平面平行的性质定理
二、与平行平面相关的距离、长度问题
课时对点练
三、平行关系的综合应用
随堂演练
内容索引
平面与平面平行的性质定理
一
提示　直线a与平面β平行.直线a与平面β内的直线b平行或异面.
若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β有何位置关系？平面α内的直线a与平面β内的任一直线b有何位置关系？
问题
平面与平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果一个平面与这两个平面相交，那么两条交线_____
符号语言 α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b ______
图形语言
平行
a∥b
(1)性质定理成立的条件：两平面平行，第三个平面与这两个平面都相交.
(2)性质定理的实质：面面平行 线线平行.
(3)面面平行还有如下的性质：两个平面平行，一个平面内的直线平行于另一平面.可作为证明直线与平面平行的依据.
注 意 点
<<<
　　　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F.
(1)求证：四边形BFD1E为平行四边形；
例 1
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面BFD1E∩平面ABB1A1=BE，
平面BFD1E∩平面DCC1D1=FD1，
由平面与平面平行的性质定理得BE∥FD1，
同理BF∥D1E，
∴四边形BFD1E为平行四边形.
(2)试确定点F的位置.
取BB1的中点M，连接MC1，ME，如图，
∵M，E分别为棱BB1，AA1的中点，
∴ME　A1B1，
又A1B1　C1D1，∴ME　C1D1，
∴四边形D1EMC1为平行四边形，
∴D1E　MC1，
又D1E　BF，∴MC1　BF，
∴四边形MBFC1为平行四边形，
∴BM　C1F，∴F为棱CC1的中点.
应用平面与平面平行的性质定理的基本步骤
反
思
感
悟
　　　　　如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
跟踪训练 1
因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，
又DE∩DF=D，DE，DF 平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF=NF，平面PCM∩平面ABC=CM，所以NF∥CM.
二
与平行平面相关的距离、长度问题
1.夹在两个平行平面间的两条平行线段_____.
2.如果平面α平行于平面β，则称平面α上_____一点到平面β的距离为平面α到平面β的距离.
相等
任意
　　　如图，平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS=3，BS=9，CD=34，求CS的长.
例 2
设AB，CD所在平面为γ，
因为γ∩α=AC，γ∩β=BD，且α∥β，
所以AC∥BD，
所以△SAC∽△SBD，所以=，
即=，所以CS=17.
反
思
感
悟
解决与平行平面有关的距离、长度问题时，往往先由两平面平行的性质定理得出线线平行，然后再由平行线截线段成比例定理，列出比例式，进而求解.
　　　　　已知平面α∥β∥γ，两条相交直线l，m分别与平面α，β，γ相交于A，B，C与D，E，F，若AB=6，DE∶DF=2∶5，则AC=　　　.
跟踪训练 2
15
由面面平行的性质定理知AD∥BE∥CF，
所以=，所以AC=·AB=×6=15.
平行关系的综合应用
三
　　　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点.求证：
(1)PQ∥平面DCC1D1；
例 3
如图，连接AC，CD1.
因为四边形ABCD是正方形，且Q是BD的中点，
所以Q是AC的中点，又P是AD1的中点，
所以PQ∥CD1.
又PQ 平面DCC1D1，CD1 平面DCC1D1，
所以PQ∥平面DCC1D1.
(2)EF∥平面BB1D1D.
方法一　取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，如图所示，
则有FO1∥B1C1且FO1=B1C1.
又BE∥B1C1且BE=B1C1，
所以BE∥FO1，BE=FO1，
所以四边形BEFO1为平行四边形，
所以EF∥BO1.
又EF 平面BB1D1D，BO1 平面BB1D1D，
所以EF∥平面BB1D1D.
方法二　取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，如图所示，
则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，
且FE1∩EE1=E1，B1D1∩BB1=B1，
FE1，EE1 平面EE1F，
B1D1，BB1 平面BB1D1D，
所以平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF 平面EE1F，
所以EF∥平面BB1D1D.
反
思
感
悟
(1)证明线面平行的两种方法：一是由线线平行推出线面平行；二是由面面平行推出线面平行.
(2)线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化，要注意转化思想的灵活运用.
　　　　　如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论.
跟踪训练 3
当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
证明如下：
如图所示，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，
∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，
∴EF∥AB1，
∵AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.
∵EF∩FD=F，EF，FD 平面EFD，∴平面EFD∥平面AB1C1.
∵DE 平面EFD，∴DE∥平面AB1C1.
1.知识清单：
(1)平面与平面平行的性质定理.
(2)与平行平面相关的距离及长度问题.
(3)平行关系的综合应用.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：线线平行、线面平行与面面平行之间的转化错误.
随堂演练
四
1.已知长方体ABCD-A'B'C'D'，平面α∩平面ABCD=EF，平面α∩平面A'B'C'D'=E'F'，则EF与E'F'的位置关系是
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
由面面平行的性质定理易得.
√
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4
2.(多选)下列说法正确的是
A.一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行
B.一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则
　这两个平面平行
C.平行于同一个平面的两平面平行
D.夹在两个平行平面间的平行线段相等
√
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√
√
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4
A中，直线还可以在平面内，A错误；
B中，一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，可得两条相交直线与另一个平面平行，即两个平面平行，B正确；
C，D显然正确.
3.若平面α∥平面β，直线a α，点M∈β，过点M的所有直线中
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.有且只有一条与a平行的直线
由于α∥β，a α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确.
√
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4
4.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，线段PA，PB，PC分别交α于A'，B'，C'，若PA'∶AA'=2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC=　　　　.
∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A'B'，AB，
∴A'B'∥AB，同理B'C'∥BC，易得△ABC∽△A'B'C'，
∴S△A'B'C'∶S△ABC===4∶25.
1
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4∶25
课时对点练
五
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 BD ACD D D B A 平行四边形
题号 8 11 12 13 14 15
答案 C B 1　 等腰梯形　
对一对
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因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，
所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC=B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE=EC，平面A1DCE∩平面AA1D=A1D，
所以EC∥A1D.
9.
答案
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10.
设FC的中点为I，连接GI，HI.
在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.
又EF∥OB，所以GI∥OB，
在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，
又HI∩GI=I，OB∩BC=B，HI，GI 平面GHI，OB，BC 平面ABC，
所以平面GHI∥平面ABC，
因为GH 平面GHI，所以GH∥平面ABC.
答案
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16.
(1)证明　在平面图形中，连接MN，设MN与AB交于点G(图略).
∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形且AD=AF，
∴AD∥BE且AD=BE，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∴AE∥DB.
又AM=DN，∴根据比例关系可得MN∥AD，
由翻折不变性可知，MG∥AF，NG∥AD，
又MG∩NG=G，AD∩AF=A，∴平面ADF∥平面GNM.
又MN 平面GNM，∴MN∥平面ADF.
∴当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面ADF.
答案
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16.
(2)解　这个结论不正确.
要使上述结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点.理由如下：
当点F，A，D共线时，易证得MN∥FD.
当点F，A，D不共线时，如图，由(1)知平面MNG∥平面FDA，则要使
MN∥FD总成立，根据面面平行的性质定理，只要FD与MN共面即可.
若要使FD与MN共面，连接FM，只要FM与DN相交即可.
∵FM 平面ABEF，DN 平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴若FM与DN相交，则交点只能为点B，此时只有M，N分别为AE，DB的中点才满足.
由FM∩DN=B，可知它们确定一个平面，即F，D，N，M四点共面.
∵平面FDNM∩平面MNG=MN，平面FDNM∩平面FDA=FD，平面MNG∥平面FDA，
∴MN∥FD.
答案
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1.(多选)若α∥β，a α，b β，则下列说法中正确的是
A.a∥b
B.a与β内无数条直线平行
C.a与β内的任何一条直线都不垂直
D.a∥β
∵α∥β，a α，b β，∴a∥β，且a与β内无数条直线平行.
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基础巩固
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答案
2.(多选)设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，则下列四个命题中正确的是
A.若α∥β，γ∥β，则α∥γ
B.若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
C.若α∥β，l α，则l∥β
D.若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n
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√
答案
对于A，由面面平行的传递性可知A正确；
对于B，由面面平行的性质可知，m与n可能平行、相交或异面，所以B错误；
对于C，若两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线都与另一个平面平行，所以C正确；
对于D，因为α∩β=l，β∩γ=m，l∥γ，所以l∥m，又γ∩α=n，则l∥n，由平行线的传递性可得m∥n，所以D正确.
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答案
3.已知AB，CD是夹在两个平行平面间的线段，若两线段的长度相等，则直线AB，CD的位置关系是
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上均有可能
当A，B，C，D四点共面时，AB与CD平行或相交，当A，B，C，D四点不共面时，AB与CD异面，故选D.
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答案
4.平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则“直线AC∥直线BD”的充要条件是
A.AB∥CD
B.AD∥BC
C.AB与CD相交
D.A，B，C，D四点共面
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答案
若直线AC∥直线BD，则AB与CD平行或相交，AD与BC平行或相交，A，B，C选项都不满足要求；
若直线AC∥直线BD，则A，B，C，D四点共面，即“直线AC∥直线BD” “A，B，C，D四点共面”；
若A，B，C，D四点共面，设这四点确定的平面为γ，
因为平面α∥平面β，平面α∩平面γ=AC，平面β∩平面γ=BD，
由面面平行的性质可得AC∥BD，
即“直线AC∥直线BD” “A，B，C，D四点共面”.
因此，“直线AC∥直线BD”的充要条件是“A，B，C，D四点共面”.
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答案
5.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，每个平面内以交点为顶点的两个三角形是
A.相似但不全等的三角形
B.全等三角形
C.面积相等的不全等三角形
D.以上结论都不对
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答案
由面面平行的性质定理得AC∥A'C'，
则四边形ACC'A'为平行四边形，∴AC=A'C'.
同理BC=B'C'，AB=A'B'，∴△ABC≌△A'B'C'.
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答案
6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E=1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面ABB1A1=A1F，则AF的长为
A.1　　　　　B.1.5　　　　　C.2　　　　　D.3
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答案
∵平面α∥平面BC1E，平面α∩平面ABB1A1=A1F，平面BC1E∩平面ABB1A1=BE，
∴A1F∥BE，又A1E∥FB，
∴四边形A1FBE为平行四边形，
∴FB=A1E=3-1=2，
∴AF=1.
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答案
7.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是　　　　　　.
由夹在两平行平面间的平行线段相等可得.
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平行四边形
答案
8.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则= 　　.
∵平面MNE∥平面ACB1，
由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，
又∵E为BB1的中点，
∴M，N分别为BA，BC的中点，
∴MN=AC，即=.
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答案
9.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
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答案
因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，
BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC=B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE=EC，
平面A1DCE∩平面AA1D=A1D，
所以EC∥A1D.
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答案
10.在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线.已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH ∥平面ABC.
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答案
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设FC的中点为I，连接GI，HI.
在△CEF中，因为G是CE的中点，
所以GI∥EF.
又EF∥OB，所以GI∥OB，
在△CFB中，因为H是FB的中点，
所以HI∥BC，
又HI∩GI=I，OB∩BC=B，HI，GI 平面GHI，OB，BC 平面ABC，
所以平面GHI∥平面ABC，
因为GH 平面GHI，所以GH∥平面ABC.
答案
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则该截面的面积为
A.2　　　　B.2　　　　C.2　　　　D.4
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综合运用
答案
由题意作截面如图所示，易知该截面唯一，
且E，F分别为AB，D1C1的中点.
又因为正方体的棱长为2，
所以A1E=CE=CF=FA1=，
所以四边形A1ECF为菱形.
又因为A1C=2，EF=2，故截面面积为2.
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答案
12.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且=，G在CC1上，且平面AEF∥平面BD1G，则等于
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
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答案
连接B1D1，FG(图略)，∵平面AEF∥平面BD1G，
且平面AEF∩平面BB1D1D=EF，
平面BD1G∩平面BB1D1D=BD1，
∴EF∥BD1，
∴==，∴=.
∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，又BG 平面BCC1B1，
∴BG∥平面ADD1A1，
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答案
又∵平面AEF∥平面BD1G，BG 平面BD1G，
∴BG∥平面AEF，
∵平面AEF∩平面ADD1A1=AF，
∴BG∥AF，∴BG，AF可确定平面ABGF，
又知平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面ABGF∩平面ABB1A1=AB，平面ABGF∩平面CDD1C1=FG，∴AB∥FG，
又AB∥CD，∴CD∥FG.
∴==.
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答案
13.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA=PB=AB=2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF=G，且PG=λGD，则
λ=　　，ED与AF相交于点H，则GH=　　　.
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答案
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB=CD.
又E，F分别是AB，CD的中点，∴AE=FD.
又∠EAH=∠DFH，∠AEH=∠FDH，
∴△AEH≌△FDH，∴EH=DH.
∵平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF=GH，平面PED∩平面PEC=PE，
∴GH∥PE，则G是PD的中点，即PG=GD，
∴λ=1.
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答案
∵PA=AB=PB=2，
∴PE=，GH=PE=.
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答案
14.已知直线l与平面α，β，γ分别交于点A，B，C，直线m与平面α，β，γ
分别交于点D，E，F，若α∥β∥γ，AB=EF=3，BC=4，则DE=　　　.
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答案
如图，连接CD交平面β于点G，连接EG，BG，AD，CF，
设l与CD确定的平面为α1，
因为α∩α1=AD，β∩α1=BG，
且α∥β，所以AD∥BG，
所以=，
同理可得，GE∥CF，=
=，则DE===.
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答案
拓广探究
15.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的形状是　　　　　　，截面的面积是
　　.
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等腰梯形
答案
如图，取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，AD1，
因为MN∥AD1，AD1∥BC1，
故MN∥BC1，
且MN=BC1=.
则截面MNBC1为梯形，且为等腰梯形，MC1=BN=×(+2)×=.
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答案
16.如图所示，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF=AD，AM=DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折.
(1)求证：当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面ADF；
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答案
在平面图形中，连接MN，设MN与AB交于点G(图略).
∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形且AD=AF，∴AD∥BE且AD=BE，
∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE∥DB.
又AM=DN，∴根据比例关系可得MN∥AD，
由翻折不变性可知，MG∥AF，NG∥AD，
又MG∩NG=G，AD∩AF=A，
∴平面ADF∥平面GNM.
又MN 平面GNM，∴MN∥平面ADF.
∴当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面ADF.
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答案
(2)不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总和线段FD平行，这个结论正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立，并给出理由.
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答案
这个结论不正确.
要使上述结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点.理由如下：
当点F，A，D共线时，易证得MN∥FD.
当点F，A，D不共线时，如图，
由(1)知平面MNG∥平面FDA，
则要使MN∥FD总成立，根据面面平行的性质
定理，只要FD与MN共面即可.
若要使FD与MN共面，连接FM，只要FM与DN相交即可.
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答案
∵FM 平面ABEF，DN 平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴若FM与DN相交，则交点只能为点B，此时只有M，N分别为AE，DB的中点才满足.
由FM∩DN=B，可知它们确定一个平面，
即F，D，N，M四点共面.
∵平面FDNM∩平面MNG=MN，平面FDNM∩
平面FDA=FD，平面MNG∥平面FDA，
∴MN∥FD.
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答案作业37　平面与平面平行的判定
[分值：100分]
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加条件(　　)
A.n是直线且n α，n∥β
B.n，m是异面直线，n∥β
C.n，m是相交直线且n α，n∥β
D.n，m是平行直线且n α，n∥β
2.已知平面α，β和直线m，n，下列说法正确的是(　　)
A.若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
B.若m∥α，m∥β，则α∥β
C.若α∥β，直线m与平面α相交，则直线m必与平面β相交
D.若平面α内有无数条直线都与平面β平行，则平面α与平面β平行
3.下列四个说法中正确的是(　　)
A.平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β
B.α∩γ=a，α∩β=b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β
C.平面α内的一个三角形的三条边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β
D.平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β
4.如图，在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是(　　)
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
5.下列四个正方体图形中，A，B，C为其所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是(　　)
6.(多选)经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可能有(　　)
A.0个　B.1个　C.2个　D.无数个
7.(5分)如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，写出一个满足条件的平面：
(1)与平面ADD1A1平行的平面为　　　　　；
(2)与平面ABB1A1平行的平面为　　　　　；
(3)与平面A1DC1平行的平面为　　　　　　.
8.(5分)已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a α，b，c β，则α与β的关系是　　　　　　　　.
9.(10分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.求证：平面EFA1∥平面BCHG.
10.(11分)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF.
11.(多选)如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，在此几何体中，下列结论正确的是(　　)
A.平面EFGH∥平面ABCD
B.平面PAD∥BC
C.平面PCD∥AB
D.平面PAD∥平面PAB
12.如图所示，在三棱台ABC-A1B1C1中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1ACC1，则动点M的轨迹是(　　)
A.平面 　　B.直线
C.线段，但只含1个端点 　　D.圆
13.如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与P，R，Q三点所在平面平行的是(　　)
14.(5分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足　　　　时，有MN∥平面B1BDD1.
15.(5分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，E，F分别为AD，AA1的中点，Q是BC上一个动点，且BQ=λQC(λ>0).
(1)当λ=　　　　时，平面BEF∥平面A1DQ；
(2)当λ=　　　　时，使得BD⊥FQ.
16.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB是等边三角形，BC⊥AB，BC=CD=2，AB=AD=2.若PB=3BE，则在线段BC上是否存在一点F，使平面AEF∥平面PCD？若存在，求出线段BF的长；若不存在，请说明理由.
答案精析
1.C　2.C　3.C　4.A　5.B
6.AB　[①当经过平面α外两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β，使得β∥α；②当经过平面α外两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.]
7.(1)平面BCC1B1　(2)平面DCC1D1
(3)平面AB1C
8.相交或平行
9.证明　∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
由题意知A1GEB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
10.证明　在△CEF中，
因为G，H分别是CE，CF的中点，
所以GH∥EF，
又因为GH 平面AEF，EF 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD=O，则点O为AC的中点，
连接OH，如图所示，在△ACF中，
因为点H为CF的中点，所以OH∥AF，
又因为OH 平面AEF，AF 平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH=H，OH，GH 平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
11.ABC　[如图所示，把平面展开图还原为四棱锥，
则EF∥AB，易证EF∥平面ABCD.同理可证EH∥平面ABCD，
又EF∩EH=E，EF，EH 平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故A正确；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，它们两两相交.因为AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以平面PCD∥AB.同理，平面PAD∥BC，故B，C正确；显然D错误.]
12.C　[如图，过D作DN∥A1C1，交B1C1于N，连接BN.
∵在三棱台A1B1C1-ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，AA1∩A1C1=A1，BD∩DN=D，
∴平面BDN∥平面A1ACC1.
∵点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1ACC1，
∴M的轨迹是线段DN，且M与D不重合，
∴动点M的轨迹是线段，但只含1个端点.]
13.D　[由题意可知，经过P，Q，R三点的平面如图.
截面为六边形PQEFRS(E，F，S为所在棱的中点)，可知N在经过P，Q，R三点的平面上，所以B，C错误；MC1与QE是相交直线，所以A错误；由图知D符合题意.]
14.M在线段FH上
解析　连接HN，FH，FN(图略).由题易知HN∥DB，FH∥D1D，
HN∩HF=H，BD∩DD1=D，
HN，HF 平面FHN，DB，DD1 平面B1BDD1，
∴平面FHN∥平面B1BDD1.
∵点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，∴M∈FH.
15.(1)1　(2)
解析　(1)当λ=1时，Q为BC中点，
因为E是AD的中点，
所以ED=BQ，ED∥BQ，
则四边形BEDQ是平行四边形，
所以BE∥DQ.
又BE 平面A1DQ，DQ 平面A1DQ，
所以BE∥平面A1DQ.
又F是A1A的中点，所以EF∥A1D，
因为EF 平面A1DQ，A1D 平面A1DQ，
所以EF∥平面A1DQ.
因为BE∩EF=E，EF 平面BEF，BE 平面BEF，
所以平面BEF∥平面A1DQ.
(2)连接AQ，
因为A1A⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以A1A⊥BD.
若BD⊥FQ，A1A，FQ 平面A1AQ，
且AA1∩FQ=F，
所以BD⊥平面A1AQ.
因为AQ 平面A1AQ，
所以AQ⊥BD.
在矩形ABCD中，由AQ⊥BD，
得△AQB∽△DBA，
所以AB2=AD·BQ.
又AB=1，AD=2，
所以BQ=，QC=，
则=，即λ=.
16.解　在线段BC上存在一点F，使平面AEF∥平面PCD.理由如下：
如图，作EF∥PC，交BC于F，连接AF，AC，
因为PB=3BE，所以E是PB上靠近点B的三等分点，F是BC上靠近点B的三等分点，可得BF=.
因为AB=AD=2，BC=CD=2，AC=AC，
所以△ABC≌△ADC，
因为BC⊥AB，所以∠ABC=90°，tan∠ACB===，
所以∠ACB=∠ACD=30°，
所以∠BCD=60°，
因为tan∠AFB===，
所以∠AFB=60°，所以AF∥CD.
因为AF 平面PCD，CD 平面PCD，
所以AF∥平面PCD，
又EF∥PC，EF 平面PCD，PC 平面PCD，
所以EF∥平面PCD，
因为AF∩EF=F，AF，EF 平面AEF，
所以平面AEF∥平面PCD，
所以在线段BC上存在一点F，使平面AEF∥平面PCD，此时BF=.作业38　平面与平面平行的性质
[分值：100分]
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分
1.(多选)若α∥β，a α，b β，则下列说法中正确的是(　　)
A.a∥b
B.a与β内无数条直线平行
C.a与β内的任何一条直线都不垂直
D.a∥β
2.(多选)设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，则下列四个命题中正确的是(　　)
A.若α∥β，γ∥β，则α∥γ
B.若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
C.若α∥β，l α，则l∥β
D.若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n
3.已知AB，CD是夹在两个平行平面间的线段，若两线段的长度相等，则直线AB，CD的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上均有可能
4.平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则“直线AC∥直线BD”的充要条件是(　　)
A.AB∥CD
B.AD∥BC
C.AB与CD相交
D.A，B，C，D四点共面
5.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，每个平面内以交点为顶点的两个三角形是(　　)
A.相似但不全等的三角形
B.全等三角形
C.面积相等的不全等三角形
D.以上结论都不对
6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E=1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面ABB1A1=A1F，则AF的长为(　　)
A.1　B.1.5　C.2　D.3
7.(5分)如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是　　　　.
8.(5分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则= 　　　　.
9.(10分)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
10.(11分)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线.已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC.
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则该截面的面积为(　　)
A.2　B.2　C.2　D.4
12.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且=，G在CC1上，且平面AEF∥平面BD1G，则等于(　　)
A.　B.　C.　D.
13.(5分)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA=PB=AB=2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF=G，且PG=λGD，则λ=　　　　，ED与AF相交于点H，则GH=　　　　.
14.(5分)已知直线l与平面α，β，γ分别交于点A，B，C，直线m与平面α，β，γ分别交于点D，E，F，若α∥β∥γ，AB=EF=3，BC=4，则DE=　　　　.
15.(5分)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的形状是　　　　　　，截面的面积是　　　　.
16.(12分)如图所示，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF=AD，AM=DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折.
(1)求证：当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面ADF；(5分)
(2)不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总和线段FD平行，这个结论正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立，并给出理由.(7分)
答案精析
1.BD　2.ACD　3.D　4.D　5.B　6.A
7.平行四边形　8.
9.证明　因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，
所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC=B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE=EC，
平面A1DCE∩平面AA1D=A1D，
所以EC∥A1D.
10.证明　设FC的中点为I，连接GI，HI.
在△CEF中，因为G是CE的中点，
所以GI∥EF.
又EF∥OB，所以GI∥OB，
在△CFB中，因为H是FB的中点，
所以HI∥BC，
又HI∩GI=I，OB∩BC=B，HI，GI 平面GHI，OB，BC 平面ABC，
所以平面GHI∥平面ABC，
因为GH 平面GHI，所以GH∥平面ABC.
11.C　[由题意作截面如图所示，
易知该截面唯一，且E，F分别为AB，D1C1的中点.又因为正方体的棱长为2，所以A1E=CE=CF=FA1=，所以四边形A1ECF为菱形.又因为A1C=2，EF=2，故截面面积为2.]
12.B　[连接B1D1，FG(图略)，
∵平面AEF∥平面BD1G，且平面AEF∩平面BB1D1D=EF，平面BD1G∩平面BB1D1D=BD1，
∴EF∥BD1，
∴==，∴=.
∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，
又BG 平面BCC1B1，
∴BG∥平面ADD1A1，
又∵平面AEF∥平面BD1G，BG 平面BD1G，
∴BG∥平面AEF，
∵平面AEF∩平面ADD1A1=AF，
∴BG∥AF，
∴BG，AF可确定平面ABGF，
又知平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面ABGF∩平面ABB1A1=AB，平面ABGF∩平面CDD1C1=FG，
∴AB∥FG，
又AB∥CD，∴CD∥FG.
∴==.]
13.1　
解析　∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB=CD.
又E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE=FD.
又∠EAH=∠DFH，∠AEH=∠FDH，
∴△AEH≌△FDH，∴EH=DH.
∵平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF=GH，平面PED∩平面PEC=PE，
∴GH∥PE，则G是PD的中点，
即PG=GD，∴λ=1.
∵PA=AB=PB=2，
∴PE=，GH=PE=.
14.
解析　如图，连接CD交平面β于点G，连接EG，BG，AD，CF，设l与CD确定的平面为α1，因为α∩α1=AD，β∩α1=BG，且α∥β，所以AD∥BG，所以=，同理可得，GE∥CF，=，所以=，则DE===.
15.等腰梯形　
解析　如图，取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，AD1，
因为MN∥AD1，AD1∥BC1，
故MN∥BC1，
且MN=BC1=.
则截面MNBC1为梯形，且为等腰梯形，MC1=BN=，可得梯形的高为，所以梯形的面积为
×(+2)×=.
16.(1)证明　在平面图形中，连接MN，设MN与AB交于点G(图略).
∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形且AD=AF，
∴AD∥BE且AD=BE，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∴AE∥DB.
又AM=DN，
∴根据比例关系可得MN∥AD，
由翻折不变性可知，
MG∥AF，NG∥AD，
又MG∩NG=G，AD∩AF=A，
∴平面ADF∥平面GNM.
又MN 平面GNM，
∴MN∥平面ADF.
∴当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面ADF.
(2)解　这个结论不正确.
要使上述结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点.理由如下：
当点F，A，D共线时，
易证得MN∥FD.
当点F，A，D不共线时，如图，由(1)知平面MNG∥平面FDA，则要使MN∥FD总成立，根据面面平行的性质定理，只要FD与MN共面即可.若要使FD与MN共面，连接FM，只要FM与DN相交即可.
∵FM 平面ABEF，DN 平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴若FM与DN相交，则交点只能为点B，此时只有M，N分别为AE，DB的中点才满足.
由FM∩DN=B，可知它们确定一个平面，即F，D，N，M四点共面.
∵平面FDNM∩平面MNG=MN，平面FDNM∩平面FDA=FD，平面MNG∥平面FDA，
∴MN∥FD.

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