资源简介

5.1.2　事件的运算
[学习目标]　了解随机事件的并、交、互斥与对立的含义，会进行简单的随机事件的运算.
一、事件的包含关系、相等关系
问题1　在掷骰子试验中，事件A=“点数为1”，事件B=“点数为奇数”，表示A与B两事件的集合有什么关系？事件A与事件B有什么关系？
问题2　集合A与B相等，如何描述A，B间的集合关系？
知识梳理
事件的包含关系与相等关系
定义 表示法 图示
包含关系 如果事件A发生必然导致　　　　　　　，即事件A中的每个样本点都在B中，则称A包含于B，或B包含A 　　　 或　　
相等事件 对于事件A，B，如果　　　　，且　　　，则称A与B等价，或称A与B相等 A=B
例1　在掷骰子试验中，可以得到以下事件：
A={出现1点}；B={出现2点}；C={出现3点}；D={出现4点}；E={出现5点}；F={出现6点}；G={出现的点数不大于1}；H={出现的点数小于5}；I={出现奇数点}；J={出现偶数点}.
请判断下列两个事件的关系：
(1)B　　　H；(2)D　　　J；(3)E　　I；(4)A　　　G.
反思感悟　判断事件之间的关系，主要是判断表示事件的两集合间的包含关系.
跟踪训练1　同时抛掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有(　　)
A.A B B.A B C.A=B D.A与B之间没有关系
二、事件的运算
问题3　在掷骰子试验中，记事件C=“点数不大于3”，事件D=“点数为2或3”，事件E=“点数为1或2”，则集合C与集合D，E有什么关系？事件C与事件D，E有什么关系？
问题4　记事件F=“点数为2”，则集合F与集合D，E有什么关系？事件F与事件D，E有什么关系？
问题5　怎样从集合的角度理解并事件和交事件？
知识梳理
事件的积、和、差
定义 表示法 图示
事件的交 (或积) Ω∩A=A 如果某事件发生　　　　　　　　　，则称该事件为事件A与B的交(或积) 　 　 (或　　)
事件的并 (或和) ∪A=A 如果某事件发生　　　　　　　　　，则称该事件为事件A与B的并(或和) 　　 　 (或A+B)
事件的差 如果某事件发生　　　　　　　　　　，则称该事件为事件A与B的差 A\B
例2　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A={3个球中有1个红球2个白球}，事件B={3个球中有2个红球1个白球}，事件C={3个球中至少有1个红球}，事件D={3个球中既有红球又有白球}.求：
(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
延伸探究　在本例中，设事件E={3个红球}，事件F={3个球中至少有一个白球}，那么事件C与B，E分别是什么运算关系？C与F的交事件是什么事件？
反思感悟　事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
跟踪训练2　(多选)对空中移动的目标连续射击两次，设A={两次都击中目标}，B={两次都没击中目标}，C={恰有一次击中目标}，D={至少有一次击中目标}，下列关系正确的是(　　)
A.A D B.B∩D=
C.A∪C=Ω D.D\C=A
三、互斥事件与对立事件
问题6　在掷骰子试验中，记事件B=“点数为奇数”，事件F=“点数为偶数”，事件H=“点数为1”，则事件H与事件F有何关系？事件B和事件F有什么关系？
知识梳理
1.事件的互斥与对立
定义 表示法 图示
互斥 如果事件A∩B为　　　　　　，即A∩B=　　，则称事件A，B互斥(或互不相容) AB=
对立 如果某事件发生当且仅当事件A不发生，则称该事件为A的对立事件 Ω\A或
2.概率论中事件的运算性质与集合论中的运算性质是一致的，主要包括：
(1)A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；
(2)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；
(3)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，
(A∩B)∪C=(A∪C)∪(B∩C)；
(4)=∩，=∪.
例3　(1)某中学心理咨询室有3位男老师和2位女老师，从中任选2位老师去为高三学生进行考前心理辅导，则事件“至少有1位女老师”与事件“全是男老师”(　　)
A.是互斥事件，不是对立事件
B.是对立事件，不是互斥事件
C.既是互斥事件，也是对立事件
D.既不是互斥事件，也不是对立事件
(2)从1，2，3，4，5中有放回地依次取出两个数，则下列各组事件是互斥事件而不是对立事件的是(　　)
A.“恰有一个奇数”和“全是奇数”
B.“恰有一个是偶数”和“至少有一个是偶数”
C.“至少有一个是奇数”和“全是奇数”
D.“至少有一个是偶数”和“全是偶数”
反思感悟　辨析互斥事件与对立事件的思路
(1)从发生的角度看
①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生.
②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.
(2)从事件个数的角度看
互斥事件的概念适用于两个或多个事件，但对立事件的概念只适用于两个事件.
跟踪训练3　如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”.
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件∩，并说明它们的含义及关系.
1.知识清单：
(1)事件的包含关系与相等关系.
(2)事件的运算.
(3)互斥事件和对立事件.
2.方法归纳：列举法、Venn图法.
3.常见误区：互斥事件和对立事件之间的关系易混淆.
1.掷一枚骰子，设事件A={出现的点数不小于5}，B={出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　　)
A.A B
B.A∩B={出现的点数为6}
C.事件A与B互斥
D.事件A与B是对立事件
2.某人在打靶过程中，连续射击2次，下列事件与事件“至少有一次中靶”互为对立事件的是(　　)
A.至多一次中靶 B.两次都中靶
C.两次都不中靶 D.只有一次中靶
3.甲、乙两人破译同一个密码，记甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则B∪A表示的含义是　　　　　　　　　　　　　　　，事件“密码被破译”可表示为　　　　　　　　.
4.从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件A∩B用样本点表示为　　　
　　　　　　　　.
答案精析
问题1　集合B包含集合A；事件A发生，则事件B一定发生.
问题2　A B且B A.
知识梳理
事件B发生　A B　B A　A B
B A
例1　(1) 　(2) 　(3) 　(4)=
解析　因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B H；
同理D J，E I；又易知事件A与事件G相等，即A=G.
跟踪训练1　A
问题3　集合C是集合D与集合E的并集；当事件D和事件E至少有一个发生时，相当于事件C发生.
问题4　集合F是集合D与集合E的交集，当事件D与事件E同时发生时，相当于事件F发生.
问题5　事件的并、交可以借助集合的并集、交集进行理解.
知识梳理
当且仅当事件A与事件B同时发生
A∩B　AB　当且仅当事件A发生或事件B发生　A∪B　当且仅当事件A发生而事件B不发生
例2　解　(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D=A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A=A.
延伸探究　解　由事件C包括的可能结果有1个红球、2个白球，2个红球、1个白球，3个红球三种情况，故B C，E C，而事件F包括的可能结果有1个白球、2个红球，2个白球、1个红球，3个白球，所以C∩F={1个红球、2个白球，2个红球、1个白球}=D.
跟踪训练2　ABD
问题6　事件H与事件F不会同时发生.事件B与事件F不会同时发生，且在一次试验中，B与F一定有一个发生.
知识梳理
1.不可能事件　
例3　(1)C　[事件“至少有1位女老师”包含“1位女老师和1位男老师”与“2位都是女老师”两个事件，其对立事件是“全是男老师”.]
(2)A　[从1，2，3，4，5中有放回地依次取出两个数，在该试验中，设A=“两个都是奇数”，B=“一个奇数一个偶数”，C=“两个都是偶数”，则事件A，B，C两两互斥，且A∪B∪C=Ω(Ω为样本空间).对于A，“恰有一个奇数”和“全是奇数”分别是事件B和A，因为事件A和事件B不可能同时发生，所以是互斥事件，因为事件C发生时，事件A与B都不发生，所以A和B不是对立事件；对于B，“恰有一个是偶数”和“至少有一个是偶数”分别是事件B和事件B∪C，显然不互斥；对于C，“至少有一个是奇数”和“全是奇数”分别是事件B∪A和事件A，显然不互斥；对于D，“至少有一个是偶数”和“全是偶数”分别是事件B∪C和事件C，显然不互斥.]
跟踪训练3　解　(1)用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1，x2)表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω={(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}.
(2)根据题意，可得
A={(1，0)，(1，1)}，
B={(0，1)，(1，1)}，
={(0，0)，(0，1)}，
={(0，0)，(1，0)}.
(3)A∪B={(0，1)，(1，0)，(1，1)}，∩={(0，0)}；A∪B表示电路工作正常，∩表示电路工作不正常；A∪B和∩互为对立事件.
随堂演练
1.B　2.C
3.只有一人破译出密码　
B∪A∪AB
4.{10，20，30，40，50，32，42，52，54}(共82张PPT)
5.1.2
第5章
<<<
事件的运算
了解随机事件的并、交、互斥与对立的含义，会进行简单的随机事件的运算.
学习目标
从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单，有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算.
导 语
一、事件的包含关系、相等关系
二、事件的运算
课时对点练
三、互斥事件与对立事件
随堂演练
内容索引
事件的包含关系、相等关系
一
提示　集合B包含集合A；事件A发生，则事件B一定发生.
在掷骰子试验中，事件A=“点数为1”，事件B=“点数为奇数”，表示A与B两事件的集合有什么关系？事件A与事件B有什么关系？
问题1
提示　A B且B A.
集合A与B相等，如何描述A，B间的集合关系？
问题2
事件的包含关系与相等关系
定义 表示法 图示
包含 关系 如果事件A发生必然导致__________，即事件A中的每个样本点都在B中，则称A包含于B，或B包含A ______ 或_____
事件B发生
A B
B A
定义 表示法 图示
相等 事件 对于事件A，B，如果_______，且_____，则称A与B等价，或称A与B相等 A=B
A B
B A
　　　在掷骰子试验中，可以得到以下事件：
A={出现1点}；B={出现2点}；C={出现3点}；D={出现4点}；E={出现5点}；F={出现6点}；G={出现的点数不大于1}；H={出现的点数小于5}；I={出现奇数点}；J={出现偶数点}.
请判断下列两个事件的关系：
(1)B　　　H；(2)D　　　J；(3)E　　　I；(4)A　　　G.
例 1



=
因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，
所以事件B发生时，事件H必然发生，故B H；
同理D J，E I；
又易知事件A与事件G相等，即A=G.
判断事件之间的关系，主要是判断表示事件的两集合间的包含关系.
反
思
感
悟
　　　　　同时抛掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有
A.A B B.A B
C.A=B D.A与B之间没有关系
跟踪训练 1
√
二
事件的运算
提示　集合C是集合D与集合E的并集；当事件D和事件E至少有一个发生时，相当于事件C发生.
在掷骰子试验中，记事件C=“点数不大于3”，事件D=“点数为2或3”，事件E=“点数为1或2”，则集合C与集合D，E有什么关系？事件C与事件D，E有什么关系？
问题3
提示　集合F是集合D与集合E的交集，当事件D与事件E同时发生时，相当于事件F发生.
记事件F=“点数为2”，则集合F与集合D，E有什么关系？事件F与事件D，E有什么关系？
问题4
提示　事件的并、交可以借助集合的并集、交集进行理解.
怎样从集合的角度理解并事件和交事件？
问题5
事件的积、和、差
定义 表示法 图示
事件的交 (或积) Ω∩A=A 如果某事件发生____________ ____________________，则称该事件为事件A与B的交(或积) _____(或___)
当且仅当事
件A与事件B同时发生
A∩B
AB
定义 表示法 图示
事件的并 (或和) ∪A=A 如果某事件发生____________ ___________________，则称该事件为事件A与B的并(或和) ______ (或A+B)
当且仅当事
件A发生或事件B发生
A∪B
定义 表示法 图示
事件的差 如果某事件发生____________ _____________________，则称该事件为事件A与B的差 A\B
当且仅当事
件A发生而事件B不发生
事件A+B表示的含义是“事件A或事件B至少有一个发生”，并不是仅包含“事件A发生，事件B不发生，或者事件B发生，事件A不发生”.
注 意 点
<<<
　　　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A={3个球中有1个红球2个白球}，事件B={3个球中有2个红球1个白球}，事件C={3个球中至少有1个红球}，事件D={3个球中既有红球又有白球}.求：
(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
例 2
对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，
故D=A∪B.
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，
故C∩A=A.
　　　　　在本例中，设事件E={3个红球}，事件F={3个球中至少有一个白球}，那么事件C与B，E分别是什么运算关系？C与F的交事件是什么事件？
延伸探究
由事件C包括的可能结果有1个红球、2个白球，2个红球、1个白球，3个红球三种情况，
故B C，E C，
而事件F包括的可能结果有1个白球、2个红球，2个白球、1个红球，3个白球，
所以C∩F={1个红球、2个白球，2个红球、1个白球}=D.
反
思
感
悟
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
事件间的运算方法
　　　　　(多选)对空中移动的目标连续射击两次，设A={两次都击中目标}，B={两次都没击中目标}，C={恰有一次击中目标}，D={至少有一次击中目标}，下列关系正确的是
A.A D B.B∩D=
C.A∪C=Ω D.D\C=A
跟踪训练 2
√
√
√
对于选项A，事件A包含于事件D，故A正确；
对于选项B，由于事件B，D不能同时发生，故B∩D= ，故B正确；
对于选项C，由题意知A∪C=D≠Ω，故C错误；
对于选项D，由于D={至少有一次击中目标}，C={恰有一次击中目标}，所以D\C={两次都击中目标}，故D正确.
互斥事件与对立事件
三
在掷骰子试验中，记事件B=“点数为奇数”，事件F=“点数为偶数”，事件H=“点数为1”，则事件H与事件F有何关系？事件B和事件F有什么关系？
提示　事件H与事件F不会同时发生.事件B与事件F不会同时发生，且在一次试验中，B与F一定有一个发生.
问题6
1.事件的互斥与对立
定义 表示法 图示
互斥 如果事件A∩B为____________，即A∩B=____，则称事件A，B互斥(或互不相容) AB=
对立 如果某事件发生当且仅当事件A不发生，则称该事件为A的对立事件 Ω\A或
不可能事件

2.概率论中事件的运算性质与集合论中的运算性质是一致的，主要包括：
(1)A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；
(2)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；
(3)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，(A∩B)∪C=(A∪C)∪(B∩C)；
(4)=∩，=∪.
　　　(1)某中学心理咨询室有3位男老师和2位女老师，从中任选2位老师去为高三学生进行考前心理辅导，则事件“至少有1位女老师”与事件“全是男老师”
A.是互斥事件，不是对立事件
B.是对立事件，不是互斥事件
C.既是互斥事件，也是对立事件
D.既不是互斥事件，也不是对立事件
例 3
√
事件“至少有1位女老师”包含“1位女老师和1位男老师”与“2位都是女老师”两个事件，其对立事件是“全是男老师”.
(2)从1，2，3，4，5中有放回地依次取出两个数，则下列各组事件是互斥事件而不是对立事件的是
A.“恰有一个奇数”和“全是奇数”
B.“恰有一个是偶数”和“至少有一个是偶数”
C.“至少有一个是奇数”和“全是奇数”
D.“至少有一个是偶数”和“全是偶数”
√
从1，2，3，4，5中有放回地依次取出两个数，在该试验中，设A=“两个都是奇数”，B=“一个奇数一个偶数”，C=“两个都是偶数”，则事件A，B，C两两互斥，且A∪B∪C=Ω(Ω为样本空间).
对于A，“恰有一个奇数”和“全是奇数”分别是事件B和A，因为事件A和事件B不可能同时发生，所以是互斥事件，因为事件C发生时，事件A与B都不发生，所以A和B不是对立事件；
对于B，“恰有一个是偶数”和“至少有一个是偶数”分别是事件B和事件B∪C，显然不互斥；
对于C，“至少有一个是奇数”和“全是奇数”分别是事件B∪A和事件A，显然不互斥；
对于D，“至少有一个是偶数”和“全是偶数”分别是事件B∪C和事件C，显然不互斥.
反
思
感
悟
(1)从发生的角度看
①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生.
②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.
(2)从事件个数的角度看
互斥事件的概念适用于两个或多个事件，但对立事件的概念只适用于两个事件.
辨析互斥事件与对立事件的思路
　　　　　如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”.
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；
跟踪训练 3
用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1，x2)表示这个并联电路的状态.
以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω={(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}.
(2)用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
根据题意，可得
A={(1，0)，(1，1)}，B={(0，1)，(1，1)}，
={(0，0)，(0，1)}，={(0，0)，(1，0)}.
(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件∩，并说明它们的含义及关系.
A∪B={(0，1)，(1，0)，(1，1)}，∩={(0，0)}；
A∪B表示电路工作正常，∩表示电路工作不正常；
A∪B和∩互为对立事件.
1.知识清单：
(1)事件的包含关系与相等关系.
(2)事件的运算.
(3)互斥事件和对立事件.
2.方法归纳：列举法、Venn图法.
3.常见误区：互斥事件和对立事件之间的关系易混淆.
随堂演练
四
1.掷一枚骰子，设事件A={出现的点数不小于5}，B={出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是
A.A B B.A∩B={出现的点数为6}
C.事件A与B互斥 D.事件A与B是对立事件
由题意事件A表示出现的点数是5或6；
事件B表示出现的点数是2或4或6.
故A∩B={出现的点数为6}.
√
1
2
3
4
2.某人在打靶过程中，连续射击2次，下列事件与事件“至少有一次中靶”互为对立事件的是
A.至多一次中靶 B.两次都中靶
C.两次都不中靶 D.只有一次中靶
由于事件“至少有一次中靶”和“两次都不中靶”的交事件是不可能事件，且其并事件为必然事件，所以它们互为对立事件.
√
1
2
3
4
3.甲、乙两人破译同一个密码，记甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则B∪A表示的含义是　　　　　　　　　　，事件“密码被破译”可表示为　　　　　　　.
1
2
3
4
只有一人破译出密码
B∪A∪AB
4.从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件A∩B用样本点表示为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
1
2
3
4
{10，20，30，40，50，32，42，52，54}
课时对点练
五
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B D D AD B BD A与C
题号 8 11 12 13 14 15
答案 开关K1，K2同时合上 A BCD D BC∪BD(或B∩(C∪D)) C
对一对
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)A∩B∩={2021年或2021年前出版的中文版的数学书}.
(2)在“图书室中所有数学书都是2021年后出版的且为中文版”的条件下，才有A∩B∩C=A.
(3) B表示2021年或2021年前出版的书全是中文版的.
(4)是.=B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书，同时=B又可化成=A，因而也可解释为图书室中所有数学书都不是中文版的，而且所有不是中文版的书都是数学书.
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
试验的样本空间为Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
(1)因为事件A=“第一次掷出1点”，
所以满足条件的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
即A={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)}，
因为事件B=“2次掷出的点数之和为6”，
所以满足条件的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，
即B={(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.
所以A∩B={(1，5)}，A∪B={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
(2)因为事件C=“第二次掷出的点数比第一次的大3”，
所以C={(1，4)，(2，5)，(3，6)}.
因为A∩B={(1，5)}≠ ，
A∩C={(1，4)}≠ ，B∩C= ，
所以事件A与事件B、事件A与事件C都不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件.
(3)因为事件Aj=“第一次掷出1点，第二次掷出j点”，j=1，2，3，4，5，6，
所以A1={(1，1)}，A2={(1，2)}，A3={(1，3)}，A4={(1，4)}，A5={(1，5)}，A6={(1，6)}，
所以A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
(1)区域1表示事件“这名学生同时订阅了数学、语文、英语三种学习资料”；区域4表示事件“这名学生订阅了数学、语文两种学习资料，但没有订阅英语学习资料”；区域5表示事件“这名学生仅订阅了语文学习资料”；区域8表示事件“这名学生没有订阅数学、语文、英语学习资料”.
(2) ①A∪B∪C.
②A+B+C.
③.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.某人打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i=0，1，2，3.那么事件A=A1∪A2∪A3表示
A.全部击中 B.至少击中1发
C.都未击中 D.击中3发
A1表示击中1发，A2表示击中2发，A3表示击中3发，
则A1∪A2∪A3表示至少击中1发.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
答案
2.抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则A的对立事件是
A.至多抽到2件次品
B.至多抽到2件正品
C.至少抽到2件正品
D.至多抽到1件次品
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
3.向上抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件B用样本点表示为
A.{(5，5)} B.{(4，6)，(5，5)}
C.{(6，5)，(5，5)} D.{(4，6)，(6，4)，(5，5)}
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
事件用样本点表示的集合为{(5，5)，(6，6)，(4，6)，(6，4)，(5，6)，(6，5)}；
事件B用样本点表示的集合为{(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，(5，5)，(4，6)，(6，4)}，
所以B={(4，6)，(6，4)，(5，5)}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
4.(多选)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥事件的是
A.“恰有一名男生”和“全是男生”
B.“至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C.“至少有一名男生”和“全是男生”
D.“至少有一名男生”和“全是女生”
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
答案
A是互斥事件，“恰有一名男生”的情况是选出的两人中有一名男生和一名女生，它与“全是男生”不可能同时发生；
B不是互斥事件，当选出的两人是一男一女时，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”同时发生；
C不是互斥事件；
D是互斥事件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
5.设H，E，F三个事件，，，分别表示它们的对立事件，表示“H，E，F三个事件恰有一个发生”的表达式为
A.H+E+F B.H+E+F
C.HE+HF+EF D.++
选项A表示H，E，F三个事件，至少有一个发生；
选项B表示，三个事件恰有一个发生；
选项C表示三个事件，恰有一个不发生；
选项D为选项A的对立事件.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
6.(多选)设A，B是两个任意事件，下面关系正确的是
A.A+B=A B.A+AB=A
C. A D.A(A+B)=A
若A+B=A，则B A，而A，B是两个任意事件，故A错误；
由题意知，AB A，∴A+AB=A，故B正确；
∵当事件A，B都不发生时，发生，但A不发生，∴不是A的子集，故C错误；
∵A (A+B)，∴A(A+B)=A，故D正确.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
答案
7.抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是4的倍数”，则上述事件是互斥事件但不是对立事件的两个事件是　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A与C
答案
8.已知电路图 　　　　 　 ，其中记A1=“开关K1合上”，A2=“开关
K2合上”.则A1A2表示的含义是　　　　　　　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
开关K1，K2同时合上
答案
9.从某大学数学系图书室中任选一本书，设A={数学书}，B={中文版的书}，C={2021年后出版的书}，问：
(1)A∩B∩表示什么事件？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A∩B∩={2021年或2021年前出版的中文版的数学书}.
答案
(2)在什么条件下，有A∩B∩C=A？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
在“图书室中所有数学书都是2021年后出版的且为中文版”的条件下，才有A∩B∩C=A.
(3) B表示什么意思？
B表示2021年或2021年前出版的书全是中文版的.
答案
(4)如果=B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
是.
=B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书，同时=B又可化成=A，
因而也可解释为图书室中所有数学书都不是中文版的，而且所有不是中文版的书都是数学书.
答案
10.连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次出现的点数，事件A=“第一次掷出1点”，事件Aj=“第一次掷出1点，第二次掷出j点”，j=1，2，3，4，5，6，事件B=“2次掷出的点数之和为6”，事件C=“第二次掷出的点数比第一次的大3”.
(1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
试验的样本空间为Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
因为事件A=“第一次掷出1点”，
所以满足条件的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，即A={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)}，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
因为事件B=“2次掷出的点数之和为6”，
所以满足条件的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，
即B=｛(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)｝.
所以A∩B=｛(1，5)｝，A∪B=｛(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)｝.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
(2)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为事件C=“第二次掷出的点数比第一次的大3”，
所以C={(1，4)，(2，5)，(3，6)}.
因为A∩B={(1，5)}≠ ，A∩C={(1，4)}≠ ，B∩C= ，
所以事件A与事件B、事件A与事件C都不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件.
答案
(3)试用事件Aj表示随机事件A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为事件Aj=“第一次掷出1点，第二次掷出j点”，j=1，2，3，4，5，6，
所以A1={(1，1)}，A2={(1，2)}，A3={(1，3)}，A4={(1，4)}，A5={(1，5)}，A6={(1，6)}，
所以A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
答案
11.从装有3个红球和3个白球的口袋里任取3个球，那么互斥而不对立的两个事件是
A.至少2个白球和都是红球
B.至少1个白球和至少1个红球
C.至少2个白球和至多1个白球
D.恰好1个白球和恰好2个红球
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
答案
选项A中，“至少2个白球”包括“3个白球”和“2个白球和1个红球”两种情况，“都是红球”即为“3个红球”，故这两个事件不可能同时发生，而这两个事件的和事件不是必然事件，故A符合题意；
选项B中，“至少1个白球”包括“1个白球和2个红球”“2个白球和1个红球”“3个白球”三种情况，“至少1个红球”包括“1个红球和2个白球”“2个红球和1个白球”“3个红球”三种情况，所以这两个事件不互斥，所以B不符合题意；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
选项C中，“至少2个白球”包括“2个白球和1个红球”“3个白球”两种情况，“至多1个白球”包括“1个白球和2个红球”“3个红球”两种情况，所以这两个事件为对立事件，故C不符合题意；
选项D中，“恰好1个白球”和“恰好2个红球”为同一事件，所以D不符合题意.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
12.(多选)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球.设事件R1=“第一次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两球颜色相同”，N=“两球颜色不同”，则
A.R1 R B.R∩G=
C.R∪G=M D.M=
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
答案
从袋中不放回地依次随机摸出2个球的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)，(4，3).
由题意得，R1={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}，
R={(1，2)，(2，1)}，G={(3，4)，(4，3)}，M={(3，4)，(4，3)，(1，2)，(2，1)}，N={(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)}.
由集合间的关系可知B，C，D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
13.如果事件M与N是互斥事件，那么
A.M+N是必然事件
B.与一定是互斥事件
C.与一定不是互斥事件
D.+是必然事件
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
因为M，N为互斥事件，则有如图所示的两种情况：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
无论哪种情况，+都是必然事件.
答案
14.电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A=　　　 　 　　.(用B，C，D间的运算关系式表示)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
BC∪BD(或B∩(C∪D))
答案
拓广探究
15.设A，B为两事件，则(A∪B)(∪)表示
A.必然事件 B.不可能事件
C.A与B恰有一个发生 D.A与B不同时发生
因为A∪B表示事件A，B至少有一个发生，∪表示事件A，B至少有一个不发生，
所以(A∪B)(∪)表示A与B恰有一个发生.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
16.如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生.
(1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述
1，4，5，8各区域所代表的事件；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
区域1表示事件“这名学生同时订阅了数学、
语文、英语三种学习资料”；
区域4表示事件“这名学生订阅了数学、语文
两种学习资料，但没有订阅英语学习资料”；
区域5表示事件“这名学生仅订阅了语文学习资料”；
区域8表示事件“这名学生没有订阅数学、语文、英语学习资料”.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
(2)用A，B，C表示下列事件：
①至少订阅一种学习资料；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A∪B∪C.
②恰好订阅一种学习资料；
A+B+C.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
③没有订阅任何学习资料.
.
答案作业45　事件的运算
[分值：100分]
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分
1.某人打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i=0，1，2，3.那么事件A=A1∪A2∪A3表示(　　)
A.全部击中 B.至少击中1发
C.都未击中 D.击中3发
2.抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则A的对立事件是(　　)
A.至多抽到2件次品 B.至多抽到2件正品
C.至少抽到2件正品 D.至多抽到1件次品
3.向上抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件B用样本点表示为(　　)
A.｛(5，5)｝ B.｛(4，6)，(5，5)｝
C.｛(6，5)，(5，5)｝ D.｛(4，6)，(6，4)，(5，5)｝
4.(多选)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥事件的是(　　)
A.“恰有一名男生”和“全是男生”
B.“至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C.“至少有一名男生”和“全是男生”
D.“至少有一名男生”和“全是女生”
5.设H，E，F三个事件，，，分别表示它们的对立事件，表示“H，E，F三个事件恰有一个发生”的表达式为(　　)
A.H+E+F
B.H+E+F
C.HE+HF+EF
D.++
6.(多选)设A，B是两个任意事件，下面关系正确的是(　　)
A.A+B=A B.A+AB=A
C. A D.A(A+B)=A
7.(5分)抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是4的倍数”，则上述事件是互斥事件但不是对立事件的两个事件是 　　　　.
8.(5分)已知电路图，其中记A1=“开关K1合上”，A2=“开关K2合上”.则A1A2表示的含义是　　　　　　　　　　.
9.(10分)从某大学数学系图书室中任选一本书，设A=｛数学书｝，B=｛中文版的书｝，C=｛2021年后出版的书｝，问：
(1)A∩B∩表示什么事件？(2分)
(2)在什么条件下，有A∩B∩C=A？(2分)
(3) B表示什么意思？(3分)
(4)如果=B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？(3分)
10.(10分)连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次出现的点数，事件A=“第一次掷出1点”，事件Aj=“第一次掷出1点，第二次掷出j点”，j=1，2，3，4，5，6，事件B=“2次掷出的点数之和为6”，事件C=“第二次掷出的点数比第一次的大3”.
(1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B；(3分)
(2)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件；(3分)
(3)试用事件Aj表示随机事件A.(4分)
11.从装有3个红球和3个白球的口袋里任取3个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)
A.至少2个白球和都是红球
B.至少1个白球和至少1个红球
C.至少2个白球和至多1个白球
D.恰好1个白球和恰好2个红球
12.(多选)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球.设事件R1=“第一次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两球颜色相同”，N=“两球颜色不同”，则(　　)
A.R1 R B.R∩G=
C.R∪G=M D.M=
13.如果事件M与N是互斥事件，那么(　　)
A.M+N是必然事件
B.与一定是互斥事件
C.与一定不是互斥事件
D.+是必然事件
14.(5分)电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A=　　　　　　.(用B，C，D间的运算关系式表示)
15.设A，B为两事件，则(A∪B)(∪)表示(　　)
A.必然事件
B.不可能事件
C.A与B恰有一个发生
D.A与B不同时发生
16.(12分)如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生.
(1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；(3分)
(2)用A，B，C表示下列事件：
①至少订阅一种学习资料；(3分)
②恰好订阅一种学习资料；(3分)
③没有订阅任何学习资料.(3分)
答案精析
1.B　2.D　3.D　4.AD　5.B
6.BD　[若A+B=A，则B A，而A，B是两个任意事件，故A错误；
由题意知，AB A，∴A+AB=A，故B正确；
∵当事件A，B都不发生时，发生，但A不发生，∴不是A的子集，故C错误；
∵A (A+B)，
∴A(A+B)=A，故D正确.]
7.A与C　8.开关K1，K2同时合上
9.解　(1)A∩B∩={2021年或2021年前出版的中文版的数学书}.
(2)在“图书室中所有数学书都是2021年后出版的且为中文版”的条件下，才有A∩B∩C=A.
(3) B表示2021年或2021年前出版的书全是中文版的.
(4)是.=B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书，同时=B又可化成=A，因而也可解释为图书室中所有数学书都不是中文版的，而且所有不是中文版的书都是数学书.
10.解　试验的样本空间为Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
(1)因为事件A=“第一次掷出1点”，
所以满足条件的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
即A={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)}，
因为事件B=“2次掷出的点数之和为6”，
所以满足条件的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，
即B={(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.
所以A∩B={(1，5)}，A∪B={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.
(2)因为事件C=“第二次掷出的点数比第一次的大3”，
所以C={(1，4)，(2，5)，(3，6)}.
因为A∩B={(1，5)}≠ ，
A∩C={(1，4)}≠ ，B∩C= ，
所以事件A与事件B、事件A与事件C都不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件.
(3)因为事件Aj=“第一次掷出1点，第二次掷出j点”，j=1，2，3，4，5，6，
所以A1={(1，1)}，A2={(1，2)}，A3={(1，3)}，A4={(1，4)}，A5={(1，5)}，A6={(1，6)}，
所以A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
11.A　[选项A中，“至少2个白球”包括“3个白球”和“2个白球和1个红球”两种情况，“都是红球”即为“3个红球”，故这两个事件不可能同时发生，而这两个事件的和事件不是必然事件，故A符合题意；
选项B中，“至少1个白球”包括“1个白球和2个红球”“2个白球和1个红球”“3个白球”三种情况，“至少1个红球”包括“1个红球和2个白球”“2个红球和1个白球”“3个红球”三种情况，所以这两个事件不互斥，所以B不符合题意；
选项C中，“至少2个白球”包括“2个白球和1个红球”“3个白球”两种情况，“至多1个白球”包括“1个白球和2个红球”“3个红球”两种情况，所以这两个事件为对立事件，故C不符合题意；
选项D中，“恰好1个白球”和“恰好2个红球”为同一事件，所以D不符合题意.]
12.BCD　[从袋中不放回地依次随机摸出2个球的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)，(4，3).
由题意得，R1={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}，
R={(1，2)，(2，1)}，G={(3，4)，(4，3)}，M={(3，4)，(4，3)，(1，2)，(2，1)}，N={(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)}.
由集合间的关系可知B，C，D正确.]
13.D　[因为M，N为互斥事件，则有如图所示的两种情况：
无论哪种情况，+都是必然事件.]
14.BC∪BD(或B∩(C∪D))
15.C　[因为A∪B表示事件A，B至少有一个发生，∪表示事件A，B至少有一个不发生，
所以(A∪B)(∪)表示A与B恰有一个发生.]
16.解　(1)区域1表示事件“这名学生同时订阅了数学、语文、英语三种学习资料”；区域4表示事件“这名学生订阅了数学、语文两种学习资料，但没有订阅英语学习资料”；区域5表示事件“这名学生仅订阅了语文学习资料”；区域8表示事件“这名学生没有订阅数学、语文、英语学习资料”.
(2) ①A∪B∪C.
②A+B+C.
③.

展开更多......

收起↑