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2.矩形的判定
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并证明矩形的判定定理 抽象能力、几何直观
2.能应用矩形的判定解答简单的证明题和计算题 几何直观、运算能力
基础主干落实　　起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
矩形的判定 文字语言符号语言图形有一个角是 的平行四边形 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∠BAD=90°, ∴ ABCD是矩形对角线 的平行四边形 ∵四边形ABCD是平行四边形,AC=BD, ∴ ABCD是矩形有三个角是 的四边形 ∵∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°, ∴四边形ABCD是矩形
1.四边形ABCD的对角线AC,BD互相平分,要使它成为矩形,可添加条件( ) A.AB=CD B.AC=BD C.AB∥CD D.AC⊥BD 2.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,若再补充一个条件,如∠A= 度时,就能推出四边形ABCD是矩形. 3.木匠做一个矩形木框,长为80 cm,宽为60 cm,对角线的长为100 cm,则这个木框 (填“合格”或“不合格”).
重点典例研析　　学贵有方 进而有道
【重点1】矩形的判定
【典例1】(教材再开发·P105例6补充)
如图,AD为△ABC的一条中线,点E为BC的延长线上一点,以AD,DE为一组邻边作平行四边形ADEF,请你添加一个条件(不再添加其他线条和字母),使得四边形ADEF是矩形.
(1)你添加的条件是_____________ ;
(2)请根据你添加的条件,写出证明过程.
【举一反三】
1.(2024·绵阳模拟)如图,在 ABCD中,E为BC的中点,连结AE并延长交DC的延长线于点F,连结BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形.
2.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AC=FD,∠CEF=90°.
(1)求证:△ABF≌△DEC;
(2)求证:四边形BCEF是矩形.
【重点2】矩形的判定和性质的综合应用
【典例2】(教材再开发·P107习题19.1T3补充)如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连结DF,AF与DE交于点O.
(1)求证:四边形AEFD为矩形;
(2)若AB=3,OE=2,BF=5,求DF的长.
【举一反三】
(2024·乐山期末)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,
BE=DF,AC=EF.
(1)求证:四边形AECF是矩形;
(2)若CE=2BE且AE=BE,已知AB=,求AC的长.
【技法点拨】
矩形性质与判定的综合应用
(1)利用矩形的性质可证明线段相等或角相等、互相平分、直线平行等.
(2)证明四边形是矩形可以直接证明三个角等于90°或者先证明是平行四边形再证明一个角是90°或对角线相等.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力)如图,用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直,只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC,BD的长就可以判断,其数学依据是( )
A.三个角都是直角的四边形是矩形
B.对角线互相平分的四边形是矩形
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形
2.(3分·几何直观、推理能力)下列条件中,不能判定 ABCD为矩形的是( )
A.∠A=∠B B.AB=AD
C.AC=BD D.AB⊥BC
3.(3分·推理能力、运算能力)在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,
∠ABO+∠ADO=90°,且OB=OA,则四边形ABCD是 形.
4.(5分·推理能力)如图,在平行四边形ABCD中,CE∥AF,AF⊥CD,垂足为点F.求证:四边形AECF是矩形.
5.(6分·几何直观、推理能力)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC,CE∥DB,且∠BOC+2∠OBC=180°.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠AOB=60°,AB=2,求四边形OBEC的面积.2.矩形的判定
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并证明矩形的判定定理 抽象能力、几何直观
2.能应用矩形的判定解答简单的证明题和计算题 几何直观、运算能力
基础主干落实　　起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
矩形的判定 文字语言符号语言图形有一个角是　直角　的平行四边形 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∠BAD=90°, ∴ ABCD是矩形对角线 　相等　的平行四边形 ∵四边形ABCD是平行四边形,AC=BD, ∴ ABCD是矩形有三个角是　直角　的四边形 ∵∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°, ∴四边形ABCD是矩形
1.四边形ABCD的对角线AC,BD互相平分,要使它成为矩形,可添加条件(B) A.AB=CD B.AC=BD C.AB∥CD D.AC⊥BD 2.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,若再补充一个条件,如∠A=　90　度时,就能推出四边形ABCD是矩形. 3.木匠做一个矩形木框,长为80 cm,宽为60 cm,对角线的长为100 cm,则这个木框　合格　(填“合格”或“不合格”).
重点典例研析　　学贵有方 进而有道
【重点1】矩形的判定
【典例1】(教材再开发·P105例6补充)
如图,AD为△ABC的一条中线,点E为BC的延长线上一点,以AD,DE为一组邻边作平行四边形ADEF,请你添加一个条件(不再添加其他线条和字母),使得四边形ADEF是矩形.
(1)你添加的条件是_____________　;
(2)请根据你添加的条件,写出证明过程.
【自主解答】(1)添加的条件是AB=AC;
答案:AB=AC(答案不唯一)
(2)∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC,
∴∠ADE=90°,
∵四边形ADEF是平行四边形,
∴四边形ADEF是矩形.
【举一反三】
1.(2024·绵阳模拟)如图,在 ABCD中,E为BC的中点,连结AE并延长交DC的延长线于点F,连结BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC,∴∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE,
∵E为BC的中点,∴EB=EC,∴△ABE≌△FCE(A.A.S.),∴AB=CF.
∵AB∥CF,∴四边形ABFC是平行四边形,
∵AD=AF,∴BC=AF,
∴四边形ABFC是矩形.
2.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AC=FD,∠CEF=90°.
(1)求证:△ABF≌△DEC;
(2)求证:四边形BCEF是矩形.
【证明】(1)∵AB∥DE,∴∠A=∠D,
∵AC=FD,∴AC-CF=DF-CF,即AF=DC,在△ABF与△DEC中,,
∴△ABF≌△DEC(S.A.S.);
(2)∵△ABF≌△DEC,∴EC=BF,∠ECD=∠BFA,
∴∠ECF=∠BFC,∴EC∥BF,∴四边形BCEF是平行四边形,
∵∠CEF=90°,∴四边形BCEF是矩形.
【重点2】矩形的判定和性质的综合应用
【典例2】(教材再开发·P107习题19.1T3补充)如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连结DF,AF与DE交于点O.
(1)求证:四边形AEFD为矩形;
(2)若AB=3,OE=2,BF=5,求DF的长.
【解析】(1)∵BE=CF,∴BE+CE=CF+CE,
即BC=EF,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴AD=BC=EF,
又∵AD∥EF,∴四边形AEFD为平行四边形,∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°,
∴平行四边形AEFD为矩形;
(2)由(1)知,四边形AEFD为矩形,∴DF=AE,AF=DE=2OE=4,
∵AB=3,BF=5,∴AB2+AF2=BF2,∴△BAF为直角三角形,∠BAF=90°,
∴S△BAF=AB×AF=BF×AE,∴AB×AF=BF×AE,即3×4=5AE,
∴AE=,∴DF=AE=.
【举一反三】
(2024·乐山期末)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,
BE=DF,AC=EF.
(1)求证:四边形AECF是矩形;
(2)若CE=2BE且AE=BE,已知AB=,求AC的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∵BE=DF,∴AD-DF=BC-BE,即AF=EC,
∴四边形AECF是平行四边形,∵AC=EF,∴平行四边形AECF是矩形;
(2)∵四边形AECF是矩形,∴∠AEC=∠AEB=90°,∵AE=BE,AB=,
∴AE=BE=1,∴CE=2BE=2,∴AC===.
【技法点拨】
矩形性质与判定的综合应用
(1)利用矩形的性质可证明线段相等或角相等、互相平分、直线平行等.
(2)证明四边形是矩形可以直接证明三个角等于90°或者先证明是平行四边形再证明一个角是90°或对角线相等.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力)如图,用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直,只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC,BD的长就可以判断,其数学依据是(C)
A.三个角都是直角的四边形是矩形
B.对角线互相平分的四边形是矩形
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形
2.(3分·几何直观、推理能力)下列条件中,不能判定 ABCD为矩形的是(B)
A.∠A=∠B B.AB=AD
C.AC=BD D.AB⊥BC
3.(3分·推理能力、运算能力)在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,
∠ABO+∠ADO=90°,且OB=OA,则四边形ABCD是　矩　形.
4.(5分·推理能力)如图,在平行四边形ABCD中,CE∥AF,AF⊥CD,垂足为点F.求证:四边形AECF是矩形.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,
∵CE∥AF,∴四边形AECF是平行四边形,
∵AF⊥CD,∴∠AFC=90°,∴四边形AECF是矩形.
5.(6分·几何直观、推理能力)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC,CE∥DB,且∠BOC+2∠OBC=180°.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠AOB=60°,AB=2,求四边形OBEC的面积.
【解析】(1)∵∠BOC+2∠OBC=180°,∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,
∴∠OBC=∠OCB,∴OB=OC,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)由(1)可知,OA=OB=OC,四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,
∵∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形,∴OA=AB=2,
∴AC=2OA=4,∴BC===2,
∵BE∥AC,CE∥DB,∴四边形OBEC是平行四边形,
∴S平行四边形OBEC=2S△OBC=S△ABC=BC·AB=×2×2=2.
训练升级,请使用　“课时过程性评价 二十四”

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