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工作秘密 严禁外传
擅自泄露 严肃追责
成都市２０２２级高中毕业班第二次诊断性检测
数　学
本试卷满分１５０分,考试时间１２０分钟.
注意事项:
１．答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
２．答选择题时,必须使用２B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡
皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.
３．答非选择题时,必须使用０ ５毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.
４．所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
５．考试结束后,只将答题卡交回.
一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共４０分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项
符合题目要求.
１．若(１－i)z＝i,则z＝
１ １ １ １ １ １ １ １
A．－２＋２i B．－２－２i C．２＋２i D．２－２i
２．已知集合A＝{x|x３＜１},B＝{ １x|２x＞ },则２
A．A∩B＝{x|x＜－１} B．A∩B＝{x|－１＜x＜１}
C．A∪B＝{x|x＜－１} D．A∪B＝{x|x＜１}
３．居民消费价格指数(ConsumerPriceIndex,简称CPI),是度量一定时期内居民消费商品和服务价
格水平总体变动情况的相对数,综合反映居民消费商品和服务价格水平的变动趋势和变动程
度．下图是２０２４年１１月９日国家统计局公布的２０２４年１０月各类商品及服务价格同比和环比
本期数－去年同期数 本期数－上期数
涨跌幅情况(同比＝ 去年同期数 ×１００％,环比＝ 上期数 ×１００％),下列结论
正确的是
　　
A．２０２４年１０月份食品烟酒类价格低于２０２３年１０月份食品烟酒类价格
B．２０２４年１０月份教育文化娱乐类价格低于２０２４年９月份教育文化娱乐类价格
C．２０２４年９月份医疗保健类价格高于２０２３年１０月份医疗保健类价格
D．２０２４年９月份居住类价格高于２０２３年１０月份居住类价格
数学试题　第　１页(共４页)
４ 已知两个非零向量a,b满足|a＋b|＝|a－b|,则向量２a－b在向量a 上的投影向量为
A．b B．－b C．２a D．－２a
５ 袋中有５个除颜色外完全相同的小球,其中３个红球,２个白球．从袋中不放回地依次随机
取出２个球,则这２个球颜色相同的概率为
１３ １２ ３ ２
A．２５ B．２５ C．５ D．５
６．在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．以织女星的亮度I０ 为标准,天体
５ I
的星等m 与亮度I满足m＝－ lg ,已知北极星的星等为２,牛郎星的星等为２ I ０ ８
,则北
０
极星与牛郎星的亮度之比为
５ ５ １２ １２
A．１０２ B．１０－２ C．１０２５ D．１０－２５
:x
２ y２
７．已知双曲线C ２－ ( , )的右焦点为 ,若 关于直线 的对称点a b２＝１a＞０b＞０ F F y＝３x P
在C 上,则双曲线C 的离心率为
１０ 　B．１０ ５
　
A． D．５２ 　 C．２ 　
８．若函数f(x)＝eaxln(x＋１)有极值,则a 的取值范围为
A．(－∞,０) (, )
　
∪ e ＋∞ B．(－∞,
　
０)∪(e２,＋∞)
　 　
　 １ 　
C．(－∞,－１)∪(１,＋∞) D．(－∞,－１)∪( ,＋∞)
　 e 　
二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共１８分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要
求.全部选对的得６分,部分选对的得部分分,有选错的得０分.
π
９．已知函数f(x)＝sin(２x－ ),则６
　 π
A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的图象关于直线x＝ 对称　 １２
C． (x)在 π,５π f ÷ 上单调递减 D．f( ) (,)
　
x 在 ０π 上有２个零点è３ ６ 　
n－２
１０．已知数列{an}的通项公式an＝ ,前n 项和为Sn,则２n－１５
A 数列{ １ }为等差数列 , 　a B n∈N 使得２ －１ an＋１＞ann 　
　 １１
C 当n＝８时,Sn 取得最小值 D 数列{an－an＋１}的最大项的值为　 ３
１１．如图,在直棱柱ABCD－A１B１C１D１ 中,AB∥CD,AB⊥BC,AB＝２CD＝２,BC＝CC１＝ ２,
M 是CC１ 中点 过AA１ 作与平面BDD１B１ 平行的平面α,
若α∩平面A１BD＝l１,α∩平面A１BC１＝l２,则
A A１,B,M,D１ 四点共面
B 棱柱ABCD－A１B１C１D１ 没有外接球
C 直线l１,l２ 所成的角为６０°
１
D 四面体A１BC１D 与四面体AB１CD１ 的公共部分的体积为２
数学试题　第　２页(共４页)
三、填空题:本题共３小题,每小题５分,共１５分.
sinθ＋２cosθ
１２．已知角θ的终边过点P(３,４),则sinθ－cosθ＝ ．
１３．设函数f(x)＝２x３＋ax２＋bx,若f(x)的图象过点P(１,３),且曲线y＝f(x)在(０,０)处
的切线也过点P,则a＝ ．
１４．对于一个平面图形,如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形,则称这个图形被这
个圆能够完全覆盖,其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆 则曲线
x４＋y４－x２y２－x２－y２＝０的最小覆盖圆的半径为 ．
四、解答题:本题共５小题,共７７分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
１５．(１３分)
在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,已知 ３c＝２asinC．
(１)求A;
(２)若a＝ ３,且△ABC 的周长为３＋ ３,求b．
１６．(１５分)
如图,在四棱锥P－ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD＝DC,
E 是PC 的中点,作EF⊥PB 交PB 于点F．
(１)求证:PA∥平面EDB;
(２)求证:PB⊥平面EFD;
(３)求平面CPB 与平面PBD 的夹角的大小．
１７．(１５分)
已知椭圆C 上的动点M(x,y)总满足关系式 (x＋１)２＋y２ ＋ (x－１)２＋y２ ＝２a(a＞１),
且椭圆C 与抛物线Γ:y２＝２px(p＞０)有共同的焦点F,P 是椭圆C 与抛物线Γ 的一个公共
点, ５|PF|＝３
(１)求抛物线Γ 的方程和椭圆C 的标准方程;
(２)过点F 的直线l交抛物线Γ 于M,N 两点,交椭圆C 于A,B 两点,若|MF| |NF|＝
２|AF| |BF|,求直线l的方程
数学试题　第　３页(共４页)
１８．(１７分)
某答题挑战赛规则如下:比赛按轮依次进行,只有答完一轮才能进入下一轮,若连续两轮
１
均答错,则挑战终止;每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题,派出通识题的概率为 ,派
３
２ ３ １
出专识题的概率为 已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为 , ,且各轮答题正确３ ５ ５
与否相互独立．
(１)求该选手在一轮答题中答对题目的概率;
(２)记该选手在第n 轮答题结束时挑战依然未终止的概率为pn,
(i)求p３,p４;
(i)证明:存在实数λ,使得数列{pn＋１－λpn}为等比数列．
１９．(１７分)
对于给定集合A {(a,b)|a≥０,b≥０},若存在非负实数K１,K２,对任意的(a,b)∈A 满
足:K ２ ２１(１＋a )(１＋b )≤(a＋b)(１＋ab)≤K２(１＋a２)(１＋b２)成立,则称集合A 具有性质
(K１,K２)．
(１)证明:集合{(a,b)|a≥０,b＝１}
１
具有性质( ,
２ １
);
(２)若集合{(a,b)|a≥０,b≥０,a＋b＝１}具有性质(K１,K２),求K２－K１ 的最小值;
(３)若集合{(
K１
a,b)|a≥０,b≥０,a３＋b３＝２}具有性质(K１,K２),求 的最大值K ２
数学试题　第　４页(共４页)成都市2022级高中毕业班第二次诊断性检测
数学参考答案及评分意见
一、选择题：（每小题5分，共40分）
1.A;
2.B;
3.C;
4.C;
5.D:
6.D:
7.A:
8.A.
二、选择题：（每小题6分，共18分）
9.ACD;
10.ABD;
11.ABD
三、填空题：（每小题5分，共15分）
12.10:
13.-2:
14.2.
四、解答题：（共77分）
15.解：(1)因为√3c=2 asinC,
在△ABC中，由正弦定理可得，C
a
sinc sinA'
所以w/3sinC=2 sinA sinC
……2分
因为sinC>0,所以sinA=
2
……4分
又A∈0，，所以A=号号
…6分
(2)由题意a十b十t=3十√3，因为a=√3，所以b十c=3.
…7分
在△ABC中，由余弦定理可得a2=b2十c2-2 bccosA,
当A-经时，3=+e2+c=(6十c)-6c=9-c,整理得6c=6.
…8分
联立b十c=3得b2一3b十6=0.此方程无实数解，
…10分
当A=时，3=62+c2-6c=(6十c)2-36c=9-36c,整理得6c=2.
…11分
联立b+c=3得b3一3b+2=0.解得b=1或b=2.
所以，当A-时，6无解，当A=时6=1或6=2.
…13分
16.解：(1)连接AC交BD于点O,连接EO.则EO是△PAC的中位线，从而EO∥PA,
…2分
又因为EOC平面EDB,PA￠平面EDB,
……3分
所以PA∥平面EDB.
…4分
数学参考答案第1页（共6页）
(2)因为PD⊥底面ABCD,因为BCC平面ABCD,所以PD⊥BC.
因为ABCD是正方形，所以CD⊥BC.
又PD∩CD=D,且PDC平面PDC,CDC平面PDC,
所以BC⊥平面PDC.
……6分
因为DEC平面PDC,所以BC⊥DE.
因为△PDC是等腰直角三角形，E是底边PC的中点，所以P℃⊥DE,
又PC∩BC=C,且PCC平面PBC,BCC平面PBC,
所以DE⊥平面PBC.
…8分
因为PBC平面PBC,所以DE⊥PB.
又EF⊥PB,EF∩DE=E,且DEC平面EFD,EFC平面EFD,
所以PB⊥平面EFD.
…9分
(3)在四棱锥P-一ABCD中，PD⊥底面ABCD,AD,
DCC底面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥DC,由底面
ABCD是正方形，得AD⊥DC,
以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为A轴
建立如图所示空间直角坐标系，
设DC=2,则A(2,0,0),B(2,2,0),C920P(0,0,2),
设平面CPB的法向量n记小汽
PC=(0,2,-2),CB=(2,0,0
CB·=0,
2x1=0,
所以
1PC·n=0.2y1-2z1=0.
取y1=1,可得01)是平面CPB的一个法向量.
……11分
DB=(2,2,0),D项(0,0,2)，而CA=(2,-2,0),
则DB·CA=2X22X2=0,DP.CA=0,
即DB⊥CA,DP⊥CA.所以平面PBD的一个法向量为CA=(2,一2,0).…13分
因此cos(m,C4)=n·C
-2
1
In11CA|√2X22
2
…14分
所以平面CPB与平面PBD的夹角为
…15分
17.解：(1)由椭圆的定义，结合√(x+1)2+y+√(x-1)2+y2=2a(a>1)知：
椭圆C与抛物线T:y2=2x(p>0)的共同焦点F的坐标为(1,0)，
……1分
则号=1，抛物线r的方程为)=4红4
…3分
由PP1-,不防设点P在第-象限，则点P的坐标为号，2)。
…4分
数学参考容案第2页（共6页）

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