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第1章 整式的乘法
1. 1 整式的乘法
1. 1.3 积的乘方
学习目标：
1.理解并掌握积的乘方法则及其应用.（重点）
2.会运用积的乘方的运算法则进行计算.（难点）
一、情境导入
你知道地球的体积大约是多少吗？球的体积计算公式：V球= πr3，
复习导入
1. 计算：
（1）10×102 × 103 = ；
（2）( x5 )2 = .
2.（1）同底数幂的乘法：am · an = (m ，n 都是 正整数).
（2）幂的乘方：(am)n = amn (m ，n 都是正整数).
想一想：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么 相同点和不同点？
要点探究
探究点一：积的乘方
问题1 下面两式有什么特点？
(1) (ab)2； (2) (ab)3 .
提问：我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗？
问题2 根据乘方的定义及乘法交换律、结合律进行计算：
(ab)2 =
同理：(ab)3 =
推理验证：
思考：积的乘方(ab)n =
猜想结论：(ab)n = (n 为正整数).
证明：
知识要点：
积的乘方法则：
(ab)n = (n为正整数).
积的乘方，等于把积的每一个因式分别 ， 再把所得的幂 .
想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？
典例精析
例1 计算：
(1) (－2x)3； (2) (xy2)5；· (3) (－xy)2； (4) ( xy2z3)4.
方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘．
针对训练
计算：(1) (－5ab)3； (2) －(3x2y)2；
(3) (－3ab2c3)3； (4) (－xmy3m)2.
练一练
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
(ab3)2 = ab6；
(2) (2xy)3 = 6x3y3；
(3) (－3a2b)2 = 9a4b；
(4) (－x3y)5 = x15y5.
例2 计算：
(3x5)4－(2x4)5； (2) (－x2y2)3－( 4x3y3 )2 .
方法总结：涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，合并同类项.
议一议 如何简便计算 ( 0.04 )2025 ×[(－5 )2025]2
方法总结：逆用积的乘方公式 an · bn＝(ab)n 时， 要灵活运用，对于不符合公式形式的式子，应通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用此公式进行简便运算.
练一练
计算：
二、课堂小结
1. 计算 (－x2y)2 的结果是（ ）
A. x4y2 B. －x4y2
C. x2y2 D. －x2y2
2. 下列运算正确的是（ ）
A. x·x2 = x2 B. ( xy )2 = xy2
C. ( x2 )3 = x6 D. x2 + x2 = x4
3. 计算：(1) 82025 ×0. 1252024 = ；
4. 判断：
(1) (ab2)3 =ab6 ( )
(2) (3xy)3 = 9x3y3 ( )
(3) (－2a2)2 = －4a4 ( )
(4) －(－ab2)2 = a2b4 ( )
5. 计算：
(1) (ab)8； (2) (2m)3； (3) (－xy)5；
(4) (5ab2)3； (5) (2×102)2； (6) (－3×103)3.
6.计算：
(1) 2(x3)2 ·x3－(3x3)3 + (5x)2·x7 ；
(2) (3xy2)2 + (－4xy3)·(－xy) ；
(3) (－2x3)3·(x2)2 .
拓展提升：如果 (an·bm·b )3 = a9b15 (a ，b 均不为 0 和±1) ，求 m ，n 的值.
参考答案
复习导入
1. 计算：
（1）106 （2） x10
2.（1）am+n（2） amn
想一想：相同点：底数不变其中 m ，n都是正整数
不同点：同底数幂相乘 am · an = am+n：指数相加
幂的乘方：(am)n = amn ：指数相乘
要点探究
探究点一：积的乘方
问题1
底数为两个因式相乘，积的幂的形式.
这种形式为积的乘方.
问题2
(ab)2 = (ab)·(ab) （乘方的定义）
= ( a·a ) ·(b ·b ) （乘法交换律、结合律）
= a2b2. （同底数幂相乘的法则）
同理：(ab)3 = (ab)·(ab)·(ab)
= ( a·a ·a) ·(b ·b·b )
= a3b3.
推理验证：
证明：
因此可得：(ab)n = anbn (n 为正整数).
想一想：(abc)n = an bncn (n为正整数).
典例精析
例1
解：(1) (－2x)3 = (－2)3·x3 = －8x3 .
(2) (xy2)5 = x5·(y2)5 = x5y10 .
(3) (－xy)2 = (－1)2·x2·y2 = x2y2.
(4) ( xy2z3)4 = ( )4·x4·(y2)4·(z3)4= x4y8z12.
针对训练
计算：
解：(1) (－5ab)3 ＝(－5)3a3b3 ＝－125a3b3 .
(2) －(3x2y)2 ＝－32x4y2 ＝－9x4y2 .
(3) (－3ab2c3)3 ＝(－3)3a3b6c9 ＝－27a3b6c9 .
(4) (－xmy3m)2 ＝(－1)2x2my6m＝x2my6m .
练一练
× (ab3)2 = a2b6
(2) × (2xy)3 = 8x3y3
(3) × (－3a2b)2 = 9a4b2
(4) × (－x3y)5 = －x15y5
例2
解：(1) (3x5)4－(2x4)5 = 81x20－32x20 = 49x20 .
(2) (－x2y2)3－( 4x3y3 )2 = －x6y6－16x6y6
= －17x6y6 .
议一议
解法一：
(0.04)2025 ×[(－5)2025]2 = (0.22)2025 × 54050
= (0.2)4050 × 54050
= (0.2 ×5)4050 = 14050 = 1.
解法二：
(0.04)2025 ×[(－5)2025]2
= (0.04)2025 × [(－5)2]2025 = (0.04)2025×(25)2025
= (0.04×25)2025
= 12025 = 1.
练一练
二、课堂小结
当堂检测
1. A
2. C
(1) 8
－3
4. (1) × (2) × (3) × (4) ×
5.
解：(1) 原式 = a8b8 .
(2) 原式 = 23·m3 = 8m3 .
(3) 原式 = (－x)5· y5 = －x5y5 .
(4) 原式 = 53 ·a3·(b2)3 = 125a3b6 .
(5) 原式 = 22 ×(102)2 = 4×104 .
(6) 原式 = (－3)3 ×(103)3 = －27×109 = －2.7×1010 .
6.解：(1) 原式 = 2x6·x3－27x9 + 25x2·x7 = 2x9－27x9 + 25x9 = 0.
(2)原式 = 9x2y4 + 4x2y4 = 13x2y4 .
(3) 原式 = －8x9 ·x4 = －8x13 .
拓展提升：
解：因为 (an· bm·b)3 = a9b15，
所以(an)3· (bm)3·b3 = a9b15 .
因为 a3n· b3m· b3 = a9b15， 所以a3n·b3m+3 = a9b15 .
所以 3n = 9，3m + 3 = 15. 所以 n = 3，m = 4.

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