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第1章 整式的乘法
1.11.2 乘法公式
1.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
学习目标：
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点.（重点）
2.会运用公式进行简单的运算.(难点)
一、复习导入
1. 由下面的两个图形你能得到哪个公式？
2.公式的结构特点： .
情境导入
一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米. 形成四块实验田，以种植不同的新品种 (如图). 用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较. 你发现了什么？
要点探究
探究点一：完全平方公式
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) ( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = .
(2) ( m + 2 )2 = ( m + 2 )( m + 2 ) = .
(3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = .
(4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = .
根据上面的规律，你能直接写出下面式子的结果吗？
(x＋y)2 = .
(x－y)2 = .
知识要点
完全平方公式
(x＋y)2 = x2 + 2xy + y2；
(x－y)2 = x2－2xy + y2 .
简记为：
“首平方，尾平方，积的 2 倍放中央”
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的 2 倍. 这两个公式叫作完全平方公式.
公式特征：
1. 积为二次三项式；
2. 积中的两项为两数的平方；
3. 另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同；
4. 公式中的字母 x，y 可以表示数、单项式或多项式.
想一想：
设 a ，b 都是正数，将完全平方公式1中的 x 用a 代入， y 用 6 代入，可得
(a ± b) = a ± 2ab + b .
你能根据图 1 和图 2 的面积解释完全平方公式吗
典例精析
例1 运用完全平方公式计算：
(1) ( a + )2；
(2) (3m＋n)2.
(3) (2x－3)2 .
例2 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．注意积的 2 倍的符号可正可负，避免漏解．
二、课堂小结
1. 若 a2 + ab + b2 + A = (a－b)2 ，则 A =（ ）
A．－3ab B．－ab C．0 D．ab
2.下面各式的计算是否正确？如果不正确，结果应当怎样改正？
(1) (x + y)2 = x2 + y2
(2) (x－y)2 = x2－y2
(3) (－x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2
3. 运用完全平方公式计算：
(1) (6a + 5b)2；
(2) (4x－3y)2；
(3) (2m－1)2；
(4) (－2m－1)2.
参考答案
一、复习导入
1.
平方差公式：(x + y)(x－y) = x2－y2.
2.公式的结构特点：
左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差.
情境导入
直接求：总面积 = (a + b)(a + b)
间接求：总面积 = a2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
要点探究
探究点一：完全平方公式
(1) p2 + 2p + 1
(2) m2 + 4m + 4
(3) p2－2p + 1
(4) m2－4m + 4
(x＋y)2 = x2 + 2xy + y2 .
(x－y)2 = x2－2xy + y2 .
典例精析
例1
= a2 + a + .
(2) 将完全平方公式1 中的 x 用 3m 代入，y 用 n 代入，可得
(3m＋n )2 ＝ (3m)2＋2 3m n＋n2 =9m2＋6mn＋n2 .
(3) (2x－3)2 = (2x)2－2×(2x)×3 + 32 = 4x2－12x + 9.
例2 解：因为36x2＋(m＋1)xy＋25y2
=(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，
所以(m＋1)xy = ±2×6x·5y.
所以m＋1 =±60.
所以 m＝59 或 m＝－61.
二、课堂小结
当堂检测
1. A
2.答：(1) × x2 + 2xy + y2
(2) × x2－2xy + y2
(3) × x2－2xy + y2
(4) × 4x2 + 4xy + y2
3. (1) (6a + 5b)2= 36a2 + 60ab + 25b2.
(2) (4x－3y)2 = 16x2－24xy + 9y2.
(3) (2m－1)2 = 4m2－4m + 1.
(4) (－2m－1)2 = 4m2 + 4m + 1.

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