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第2章 实数
2.1 平方根
第2课时 无理数
学习目标：
1. 理解无理数的概念，能正确地判断一个数是不是无理数.（重点）
2. 能快速地利用计算器求一个无理数的近似值．（难点）
一、情境导入
播放视频“无理数的引用”
观察与思考 将一个长为 4 cm，宽为 2 cm的长方形纸片剪拼成一个正方形. 最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？
要点探究
探究点一：无理数的认识
活动：把两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
还有好多方法哦！课余时间再动手试一试，比比谁找的多！
问题1：设大正方形的边长为 a，则 a 满足什么条件？
追问1：a 是一个什么样的数？a 可能是整数吗？
从“数”的角度：
因为 a2 = 2，而 12 = 1，22 = 4，
所以 12 < a2 < 22.
所以 1< a < 2，故 a 不是整数.
追问2：a 可能是分数吗？
① a 是分母为 2 的分数吗？
② a 是分母为 3 的分数吗？
③ a 是分母为 4 的分数吗？
④ a 是分母为多少的分数？
归纳：a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数.
思考
(1)分别根据上述结果,估计2的算术平方根 的大致范围;
(2)若将 写成一个小数,则它是一个怎样的小数
知识要点：
事实上， = 1.414213562··· ，是一个无限不循环小数，不可写成分数的形式，
从而它不是一个有理数.像这样，若一个数是一个无限不循环小数或可以表示成一个无
限不循环小数，则把这个数叫作无理数.
类似于有理数分类，无理数也分为正无理数和负无理数.
议一议 下面的说法正确吗 如果不正确，请说明理由.
(1) 无限小数都是有理数； (2) 无理数都是无限小数；
(3) 带根号的数都是无理数； (4) 无理数都是带根号的数.
练一练
1. 把下列各数分别填入相应的集合内：
，0.3737737773…（每两个3之间依次增加一个7）
有理数集合：
无理数集合：
归纳总结
我们常见的无理数的有以下三种形式：
(1) 化简后含有 π 的数；
(2) 开不尽方的数开方所得结果；
(3) 有规律但不循环的数，如1.01001000100001…（相邻两个1之间依次增加一个0）
……
典例精析
例1 设 n 为正整数，且 n ＜ ＜n＋1，则 n 的值为( 　)
A．5 B．6 C．7 D．8
练一练：写出一个比－3大的无理数：_________.
探究点二：用计算器求算术平方根
问题：怎么用小数近似地表示一个无理数呢？
问题：怎么求一个正数的算术平方根或它的近似值呢？
例2 用计算器求下列各式的值.
（1） （2） （精确到小数点后面第三位）
练一练
2 . 用计算器比较下面两数的大小：
（1）； （2）
总结：
由于(±)2 = a，则对于任意一个非负数 a，先开平方，然后再平方，最后的结
果仍等于 a.
做一做 2 = a 成立吗？ 若不成立，请举例说明.
二、课堂小结
1.下列各数： ， ， 1， (相邻两个 3 之间 0 的个数逐次加 1)中，无理数的有( )
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
2. 下列各数中，是无理数的为（ ）
A. 3.14 B. C. 0.305305530555… D.
3. 判断题：
(1) 有限小数是有理数. ( )
(2) 无限小数都是无理数. ( )
(3) 无理数都是无限小数. ( )
(4) 有理数是有限小数. ( )
4. 以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A.面积为 25 的正方形
B.面积为 的正方形
C.面积为 8 的正方形
D.面积为 1.44 的正方形
5.用计算器求下列各式的值：
（1） （ 2 ）
6. 面积为6 cm2的正方形，它的边长是多少？用计算器求边长的近似值（精确到 0.001 cm） .
7. 用计算器分别求 的近似值(精确到0.001).
8. 借助计算器求下列各式的值，你能发现什么规律？
=
=
=
= （n个3，n个4）
利用你发现的规律直接写出结果：
=
参考答案
观察与思考 正方形的面积为 8 cm2，由于 22 = 4，32 = 9，又 4＜8＜9，且面积较大的正方形的边长也较大，因此面积为 8 cm2 的正方形的边长不是整数.
探究点一：无理数的认识
活动 （答案不唯一，图形合理即可）
问题1 因为 S大正方形 = 2，所以 a2 = 2.
追问1 因为a2 = 2，而 12 = 1，22 = 4，所以 12 < a2 < 22. 所以 1< a < 2，故a不是整数.
思考 （1）解：由于12<2，2<22，所以1<<2.由于1.42<2<1.52，所以1.4<<1.5.
同理可得，1.41<<1.42，1.414<<1.415，1.4142<<1.4143.
（2）解：若将 写成一个小数，则由(1)可以猜测它应该比 1.4142 大，比 1.4143 小，且是一个小数点后面的位数不断增加的小数.
议一议 答：(1) 不正确. 如√2 = 1.414213562··· ，是一个无限不循环小数，属于无理数
(2) 正确. (3) 不正确. 如 √4 = 2 属于有理数 (4) 不正确. 如 π
练一练
有理数集合： ，
无理数集合：0.3737737773…
例1 D 练一练
探究点二：用计算器求算术平方根
问题 例如 π = 3.141592653…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位，…，得到 π≈3.14，π≈3.142，…，我们称 3.14，3.142 分别是 π 的精确到小数点后面第二位，第三位的近似值.
问题 可以借助计算器或者用两个数的平方来求算术平方根的近似值.
例2 32 ≈2.828
练一练 3.236067978. (2) 3.339148045.
＞
做一做 当 a≥0 时， = a 成立.当 a＜0 时， = a 不成立.
课堂练习
1.D 2.D 3. √ × √ × 4.C
5. (1) = 56 (2) = 1.24
6. 正方形的面积是 6 cm2，因此它的边长为cm 用计算器计算：显示 2.4494897，
所以 ≈ 2.449 .
7. ≈1.414 1.732 ≈2.236 3.317 ≈0.762
8. =5555

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