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第2章 实数
2.3 实数
第2课时 实数的运算
学习目标：
1. 掌握实数的运算法则，熟练地利用计算器去解决有关实数的运算问题.（重点）
2. 熟练掌握实数的大小比较方法．（难点）
一、情境导入
有理数可以做加、减、乘、除、乘方运算，实数可以吗？
要点探究
探究点一：实数的运算
填空：设 a，b，c 是任意实数，则
（1）a + b = ___________（加法交换律）；
（2）(a + b) + c = ___________（加法结合律）；
（3）ab = ___________（乘法交换律）；
（4）(ab)c = ___________（乘法结合律）；
（5）a(b + c) = ___________（乘法对于加法的分配律），
(b + c)a = ___________（乘法对于加法的分配律）；
（6）实数的减法运算规定为 a - b = a +___________；
（7）实数的除法运算规定为 a÷b =a ·______（ b≠0）；
（8）如果 a≠0，b≠0，那么 ab＿＿0；
（9） 若a b =0 ，则 a =___________或 b =___________；
（10）a + (-a) = (-a) + a =___________；
（11）a + 0 = 0 + a = ___________；
（12）对于每一个非零实数 a，存在一个实数 b，满足 a · b = b · a = 1，我们把 b 叫作 a 的＿＿＿.
知识要点
对于实数 a，它有几个平方根，几个立方根呢
典例精析
例1 计算下列各式的值：
探究点二：实数的大小比较
思考：实数怎么比较大小呢？
总结：
1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
2.两个正数，绝对值大的数较大；
3.两个负数，绝对值大的数反而小.
4.数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
一般地，对于两个正实数 a，b，
若 a＞b，则 ＞ ，反过来也成立.
若a＞b，则 ＞ ，反过来也成立.
典例精析
例2 比较下列各组数的大小.
(1) 2.5 与 ； (2) 3 与 ； (3) －3与 －.
思考 不用计算器，分别估计 与 在哪两个相邻整数之间.
练一练 1. 在数轴上表示下列各点，比较它们的大小，并用“ < ”连接它们.
2. 估计 位于（ ）
A. 0~1 之间 B. 1~2 之间 C. 2~3 之间 D. 3~4 之间
3. 比较下列各组数的大小：
例3 用计算器计算：2 × (结果精确到 0.01 ) .
例4 利用 = 1.414213562··· 和 = 2.645751311··· 计算 + 的值(结果精确到0.001).
二、课堂小结
1.计算.
2. 用计算器计算（精确到0.01）：
3.估计与6的大小.
4.计算.
3 5
参考答案
复习导入
实数也可以进行加、减、乘、除(除数不为 0 )、乘方运算，而且有理数的运算法则、运算律等，对于实数仍然成立.
探究点一：实数的运算
1.（1）b + a （2）a + (b + c) （3）b a （4）a(b c) （5）ab + ac ba + ca （6）(-b)（7）1/b (8) ≠ （9） 0 0 （10） 0 （11）a (12) 倒数
知识要点
① 在实数范围内，每个正实数 a 有且只有两个平方根，分别为± ，且它们互为相反数，其中 是 a 的算术平方根；0 的平方根是 0；负实数没有平方根.
当 a 为非负实数时，根据平方根的定义得 ( ) = a，(－ )2 = a.
设 a 是非零实数，由于(－a) = a，因此 a 和－a 是 a 的两个平方根.
②每个实数 a 有且只有一个立方根，记作，且() 3= a.
例1 （1）
探究点二：实数的大小比较
思考 对于实数 a，b：若 a－b＞0，则称 a 大于 b (或者 b 小于 a)，记作 a＞b (或 b＜a )；
若 a－b＜0，则称 a 小于 b (或者 b 大于 a)，记作 a＜b (或 b＞a)；若 a－b＝0，则称 a 等于 b，记作 a＝b.要注意的是，对于任何实数 a，b，在a＞b，a＝b，a＜b这三种关系中，有且只有一种成立.
解：(1) 因为 2.52＝6.25，()2＝7，又6.25＜7，所以 2.5<.
(2) 因为3 ＝27，() ＝25，又27＞25，所以3＞() .
(3) 因为|－3|＝3，|－() |＝() ，由(2)知3＞() ，所以－3 <－() .
思考 由于102＝100＜115，( )2＝115，112＝121＞115， 所以 应介于 10 和 11 之间，即 10＜＜11. 由于43＝64＜121，() ＝121， 53＝125＞121，所以 应介于 4 和 5 之间，即 4＜＜5.
练一练 ＜1 ＜ 2. B
3. （1） ； （2）
例3
例4 解： 由于需精确到 0.001，于是只需取 ≈ 1.4142，≈ 2.6457，故 + ≈ 1.4142 + 2.6457 = 4.0599 ≈ 4.060.
课堂练习
1.（1） 原式= （2）原式 =
2.（1） (2) =0.71 (3)
3.
4. （1） （2） 1 （3） 4

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