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第2章 实数
2.1 平方根
第1课时 平方根和算术平方根
学习目标：
1.了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.（重点）
2.会求非负数的平方根与算术平方根.（难点）
一、情境导入
某家庭在装修儿童房时需铺地垫 10.8 m2，刚好用去正方形的地垫 30 块. 你能算出每块地垫的边长是多少吗？
要点探究
探究点一：平方根
学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
请你说一说解决问题的思路．
填一填:
（1）若正方形画布的面积如下，请填表：
正方形的面积/dm2 1 9 16 36 4/25
正方形的边长/dm
（2）你能指出它们的共同特点吗？
问题 如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？
想一想：3 和 -3 有什么特征？
根据上面的研究过程填表：
x2 1 16 36 49 4/25
x
根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数. 由此我们抽象出下述概念：
总结：
如果有一个数 r，使得 r2 = a，那么 r叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根.
思考：除了 2 和 －2 以外，4 的平方根还有其他的数吗.
归纳总结：如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r 与 -r.
我们把正数 a 的正平方根记作，读作“根号a”；正数 a 的负平方根记作，读作“负根号 a”.这样，正数 a 的平方根可以用 “”来表示.
说一说 零的平方根是多少？负数有平方根吗？
知识要点：求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.开平方与平方互为逆运算.
典例精析 例1分别求下列各数的平方根：36， ，1.21.
练一练 ① 的平方根是_______； ② (－16)2 的平方根是_______.
例2 已知一个正数的两个平方根分别是 2a－2和 a－4，则 a 的值是________．
探究点二：算术平方根的概念及性质
我们把正数 a 的正平方根 叫作 a 的算术平方根.
思考：正数、负数、0 的算术平方各有几个？
算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性
练一练：
判断下列说法是否正确.
①25 的算术平方根是 5 （ ）；
②25 的平方根是 5 （ ）；
③5 是 25 的平方根 （ ）.
注意区分“平方根”与“算术平方根”的意义.
典例精析
例3 分别求下列各数的算术平方根：
（1）100； （2） ； （2）0.49.
例4 若 |m - 1| += 0，求 m + n 的值.
练一练
1.若 |a + 3| = 0 ，则 a = ；
2.若(m-7)2=0，则m = ；
3.若= 0，则 a = ；
4.若|a - 3|+ = 0 ，则代数式(a + b)2025 =___.
平方根与算术平方根的联系与区别：
联系：1. 包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
2. 只有非负数才有平方根和算术平方根.
3. 0 的平方根是 0，算术平方根也是 0.
区别：1. 个数不同：一个正数有两个平方根， 但只有一个算术平方根.
2. 表示法不同：平方根表示为±，而算术平方根表示为 .
二、课堂小结
1.分别求 64，6.25 的平方根，并用式子表示.
2. 分别求 81，0.16 的算术平方根.
3. 判断下列说法是否正确.
4. 已知一个自然数的算术平方根是 a，则按从小到大排该自然数的后一个自然数的算术平方根是（ ）
A. a + 1 B. C. a2 + 1 D.
5.已知 3(x - 1)2 = 363 ，求 x 的值．
参考答案
情境导入
解： 每块正方形地垫的面积是 10.8÷30 = 0.36 (m2).即边长×边长 = 0.36.由于 0.62 = 0.36，因此面积为 0.36 m2 的正方形地垫的边长是 0.6 m.
探究点一：平方根
填一填 (1) 1 3 4 6 2/5 (2) 都是已知一个数的平方，求这个数的问题.
问题 由于（±3）2 = 9，所以这个数是 3 或 -3. 互为相反数
填表 ±1 ±4 ±6 ±7 ±2/5
思考 因为边长大于 2 的正方形，它的面积一定大于 4，所以，比 2 大的数都不是 4 的平方根.
说一说 由于 02 = 0，而非零数的平方不等于 0，因此零的平方根就是 0 本身.
由于同号两数相乘得正数，且 02 = 0，即在迄今为止我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，因此负数没有平方根.
例1 ±6 ±5/3 ±1.1 练一练 ±5/4 ±16
例2 2
探究点二：算术平方根的概念及性质
思考 正数的算术平方根是一个正数，0 的算术平方根还是 0，负数没有算术平方根.
练一练 √ × √ 例3 10 4/5 0.7
例4 解：因为 | m - 1| ≥0，≥0，又 | m - 1| += 0，
所以 | m - 1 | = 0， = 0. 所以 m = 1，n = -3. 所以 m + n = 1 + (-3) = -2.
做一做 -3 7 5 -1
课堂练习
1. 64 的平方根是 8 与 -8， =±8 ，6.25 的平方根是 2.5 与 -2.5 ，± =-2.5
2. 解：81的算术平方根是 9， =9 ， 0.16 的算术平方根是 0.4，=0.4 .
3 正确 正确 不正确，是4 不正确，是±4
4. D
5. 解：因为 3(x - 1)2 = 363，所以 (x - 1)2 = 121，x - 1=± ，x - 1=11或x - 1=--11，所以 x = 12 或 x =－10.

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