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第三章 一元一次不等式(组)
3.4 一元一次不等式的应用
学习目标：
1. 会通过列一元一次不等式去解决生活中的实际问 题，经历“实际问题抽象为不等式模型”的过程； (重点)
2. 体会解不等式过程中的化归思想与类比思想，体会 分类讨论思想在用不等式解决实际问题中的应用. (难点)
一、情境导入
应用一元一次方程解实际问题的步骤：
交流：那么如何用一元一次不等式解实际问题呢？
要点探究
探究点：一元一次不等式的应用
问题：小华打算在星期天与同学去登山，计划上午 7 点 出发，到达山顶后休息 2 h ，下午 4 点以前必须回到出发 点. 如果他们去时的平均速度是 3 km/h ，回来时的平均
速度是 4 km/h ，他们最远能登上哪座山顶(图中数字表示出发点到山顶的路程)？
前面问题中涉及的数量关系是：
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典例精析
例1 某童装店按每套 90元的价格购进 40套童装， 应缴纳的税费为销售额的 10%. 如果要获得不低于900元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？
例2 当一个人坐下时，不宜提举超过 4.5 kg的重物，以免受伤. 小明坐在书桌前，桌上有两本各重 1.2 kg的画册和一批每本重 0.4 kg的记事本. 如果小明想坐着搬动这两本画册和一些记事本，问他最多只应搬动多少本记事本？
例3 小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过 5 立方米，则每立方米收费 1.8 元；若每户每月用水超过 5 立方米，则超出部分每立方米收费 2 元，小明家每月用水量至少是多少？
例4 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且给出了不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过 100 元后， 超出 100 元的部分按 90% 收费；在乙超市累计购物超过 50 元后，超出50元的部分按 95% 收费．顾客到哪家超市购物花费少？
归纳总结：
应用一元一次不等式解决实际问题的步骤：
二、课堂小结
1.小明家的客厅长 5 m ，宽 4 m ．现在想购买边长为 60 cm 的正方形地板砖把地面铺满，至少需要购买多少块这样的地板砖？
2. 一次环保知识竞赛共有 25 道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分. 在这次竞赛中，小明被评为优秀(85分或 85分以上) ，小明至少答对了几道题？
3. 某市打市内电话的收费标准是：每次 3 min 以内（含3 min）0.22 元，以后每分钟 0. 11 元（不足 1 min 部分按1 min 计）．小琴一天在家里给同学打了一次市内电话， 所用电话费没超过 0.5 元．她最多打了几分钟的电话？
4. 某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共 10 辆，其 中轿车至少要购买 3 辆，轿车每辆 7 万元，面包车每 辆 4 万元，公司可投入的购车款不超过 55 万元.
(1) 符合公司要求的购买方案有哪几种？请说明理由；
(2) 如果每辆轿车的日租金为 200 元，每辆面包车的 日租金为 110 元，假设新购买的这 10 辆车每日都可租 出，要使这 10 辆车的日租金收入不低于 1500 元，那么应选择以上哪种购买方案？
能力提升
某学校计划购买若干台电脑，现从两家商店了解 到同一型号的电脑每台报价均为 6000 元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收款，其余每台优惠25％；乙商场的优惠条件是： 每台优惠20％．学校经核算选择甲商场比较合算，你知道学校至少买了多少台电脑吗？
参考答案
问题 解：设从出发点到山顶的距离为 x km ，则他们去时所花时间为 h 回来所花时间为 h . 他们在山顶休息了 2 h ，又上午 7 点到下午 4 点之间总共 相隔 9 h ，即所用时间应少于或等于 9 h . 所以有 + +2 ≤ 9解得 x ≤ 12.因此要满足下午 4 点以前返回出发点，则小华他们最远能登上D山顶.
例1 分析：本题涉及的数量关系是：销售额－成本－税费≥纯利润( 900元 ).
解：设每套童装的售价是 x 元 . 则 40x－90×40－40x·10%≥900. 解得 x≥125.
答：每套童装的售价至少是 125 元.
例2 分析: 本题涉及的数量关系是：画册的总重+记事本的总重≤ 4.5 kg.
解：设小明搬动 x 本记事本，则1.2×2＋0.4x≤4.5. 解得x≤5.25.因为记事本的数目必须是整数，所以 x 的最大值为 5. 答：小明最多只应搬动 5 本记事本.
例3 解：设小明家每月用水量为 x 立方米.因为5× 1.8 ＝9＜15 ，所以小明家每月用水超过 5 立方米. 则超出(x－5) 立方米，按每立方米2元收费，列出不等式为5×1.8＋(x－5)×2≥15，解得 x≥8 . 答：小明家每月用水量至少是 8 立方米.
例4 分析:甲乙两超市的优惠价格不一样，因此需要分类讨论：
(1)累计购物不超过 50 元；
(2)累计购物超过 50 元而不超过 100 元；
(3)累计购物超过 100 元.
解：(1)当累计购物不超过 50 元时，在甲、乙两超市都不享受优惠，购物花费一样；
(2)当累计购物超过 50 元而不超过 100 元时，在乙超市 享受优惠， 购物花费少；
(3)当累计购物超过 100 元后，设购物花费 x (x > 100) 元.
① 若 50 + 0.95(x - 50) > 100 + 0.9(x - 100) ，即 x > 150， 在甲超市购物花费少；
② 若 50 + 0.95(x - 50) < 100 + 0.9(x - 100) ，即 x < 150， 在乙超市购物花费少；
③ 若 50 + 0.95(x - 50) = 100 + 0.9(x - 100) ，即 x = 150， 在甲、乙两超市购物花费一样.
课堂练习
1.解:设需要购买 x 块地板砖，则有 5×4≤0.6×0.6x.解得x≥ 55 .因为地板砖的数目必须是整数，所以 x 的最小值为 56. 答：至少需要购买 56 块地板砖.
2.分析： 本题涉及的数量关系是总得分≥ 85.
解： 设小明答对了 x 道题，则他答错或不答的共有(25－x) 道题. 根据题意，得 4x－1×(25－x)≥85.解这个不等式，得 x≥22.答：小明至少答对了22 道题.
3.解：设小琴打了x分钟的电话，则有 0.22 + (x－3)×0. 11＜0.5.解得.因为电话计时按照分钟计时，x 应是整数，所以x的最大值为 5.答：小琴最多打了5 min的电话.
4.（1）解：设轿车要购买 x 辆，那么面包车要购买(10－x)辆， 则 7x＋4(10－x)≤55 ，解得 x≤5.又 x≥3 ，则 x ＝3 ，4 ，5，所以有三种方案：① 轿车 3 辆，面包车 7 辆；② 轿车 4 辆，面包车 6 辆；③ 轿车 5 辆，面包车 5 辆.
（2）解：方案一的日租金为：3×200＋7×110 ＝1370； 方案二的日租金为：4×200＋6×110 ＝1460； 方案三的日租金为：5×200＋5× 110 ＝1550. 为保证日租金不低于 1500 元，应选方案三.
能力提升
解：设购买 x 台电脑，到甲商场比较合算，则 6000＋6000(1－25％)(x－1)＜6000(1－20％)x. 去括号， 得 6000＋4500x－4500＜4800x.移项、合并同类项，得 －300x＜－1500. 系数化为 1 ，得 x＞5.∵ x 为整数， : x = 6. 答：学校至少买了 6 台电脑.

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