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第3章 一元一次不等式(组)
3.1 不等式的意义
学习目标：
1.了解不等式的概念，认识不等号的含义；
2. 学会并准确运用不等式表示数量关系，形成在表 达中渗透数形结合的思想．（重点、难点）
一、情境导入
某某单车近期推出了红包车的活动：用户扫码解锁 后有效骑行红包车超过 10 分钟，锁车后即可获得 1 个 现金红包；骑行红包车次数及领取红包次数不限. 红包 金额随机，高于 1 元，且低于100 元. 你能用关系式表 示可获红包金额（x 元）的大小吗？
要点探究
探究点一：不等式的概念
问题1 如图所示，处于平衡状态的托盘天平的右盘放 上一质量为 50 g 的砝码，左盘放上一个圆球后向左倾斜，问圆球的质量m g与质量为50 g的砝码之间具有怎样的关系？
问题2 一辆轿车在一条规定车速不低于 60 km/h，且不高于 100 km/h 的高速公路上行驶，如何用式子 来表示轿车在该高速公路上行驶的路程 s (km)与行驶时间 t (h) 之间的关系呢？
问题3 铁路部门对随身携带的行李有如下规定：每 件行李的长、宽、高之和不得超过 160 cm. 设行李的 长、宽、高分别为 a cm ，b cm ，c cm ，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式.
观察由上述问题得到的关系式：m＞50 ，s ≥ 60t， s ≤ 100t ，a＋b＋c ≤ 160 ，它们有什么共同的特点？
知识要点：我们把用不等号 (＞，< , ≥ , ≤) 连接而成式子叫作不等式.
练一练
1.判断下列式子是不是不等式：
(1) -3 ＞ 0； (2) 4x ＋ 3 y ＜ 0；
(3) x = 3； (4) x2 ＋ x y ＋y2；
(5) x ＋ 2 ＞ y ＋ 5.
探究点二：用不等式表示数量关系
典例精析
例1 用不等式表示下列数量关系：
（1）a 的 5 倍大于 -7；
（2）a 与 b 的和的一半小于 -1；
（3）长、宽分别为b cm ，c cm 的长方形的面积小于边长为 a cm 的正方形的面积.
做一做：用不等式表示下列关系，并分别写出 两个满足不等式的数：
(1) x 的一半不小于 -1
(2) y 与 4 的和大于 0.5
(3) a 是负数；
(4) b 是非负数.
例2 已知一支圆珠笔的售价为 1.5 元，签字笔与圆 珠笔相比每支贵 2 元. 小华带了 50 元，买了 x 支圆珠笔和 10 支签字笔，请用含有 x 的不等式表示小华 支付的金额与50 元之间的关系.
解：由于小华只带了 50 元，因此他买 x 支圆珠 笔和 10 支签字笔支付的金额不超过 50 元，则 有以下不等关系：1.5 x＋(1.5＋2)×10≤50，即1.5x＋35≤50. ①
例2 中的①式是含有未知数 x 的不等式，表示x用哪些数代入，能够使得①式成立，即左边的多项式 1.5x＋35 的值小于或等于右边的值50.
例2 中，如果小华带了 60 元，他至多能买多少支圆珠笔
练一练
2. 如图，用两根长度均为 l cm 的绳子分别围成一个正 方形和一个圆.
(1) 如果要使正方形的面积不大于 25 cm2 ，那么绳长l应满足怎样的关系式？
(2) 如果要使圆的面积不小于 100 cm2 ，那么绳长l应满足怎样的关系式？
(3) 当 l ＝ 8 时，正方形和圆的面积哪个大？l ＝12呢？
(4) 当 l ＝ 40 时，正方形和圆的面积哪个大？通过以上 问题，由此你发现了什么？
二、课堂小结
1. 用不等式表示下列数量关系：
(1) a 是负数；
(2) x 比 -3 小；
(3) 两数 m 与 n 的差大于5.
2. 雷电的温度大约是 28000 ℃ , 比太阳表面温度的4.5 倍还要高. 设太阳表面温度为 t ℃ , 那么t 应该满足怎样的关系式？
3.通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以估算出它的树龄.通常规定以树干离地面 1.5 m 的地方为测量部 位.某树栽种时的树围为 6 cm ，在一定生长期内每年增加约3 cm，设经过 x 年后这棵树的树围超过 30 cm，请你列出 x 满足的关系式.
参考答案
情境导入 x＞1 且 x＜100
探究点1 不等式的概念
问题1 m＞50. 问题2 根据路程与速度、时间之间的关系可得： s≥60t ，且 s≤100t.
问题3 a + b + c≤160. 左右不相等
练一练 解 ： (1) 、 (2) 、 (5) 是不等式；(3) 、 (4) 不是不等式.
例1 （1）5a > -7 （2）（a+b）/2 ＜ -1 ，（3） b c＜a2
做一做 (1) 0.5x≥-1. 如 x ＝ -1，1.(2) y + 4＞0.5. 如y ＝ 0 ，1.
(3) a＜0 . 如 a ＝ -3 ，-4.(4) b 是非负数，就是 b 不是 负数，它可以是正数或零，
即 b ＞ 0或 b ＝ 0.如 b ＝ 0 ，2.
例2 根据生活常识可知，①式中 x 只能取正整数，于是 若 x 取 1 ，将其代入①式，得 1.5 × 1＋35 ＝36.5<50.......若 x 取 9 ，将其代入①式，得 1.5×9＋35 ＝48.5<50. 若 x 取 10 ，将其代入①式，得1.5 × 10＋35 ＝50.若 x 取 11 ，将其代入①式，得1.5 × 11＋35 ＝51.5>50. 因此，小华至多能买 10支圆珠笔.
1.5x＋35≤60.若 x 取 16 ，将其代入上式，得1.5 × 16＋35 ＝59＜60. 若 x 取 17 ，将其代入上式，得1.5 × 17＋35 ＝60.5＞60. 因此，小华至多能买 16 支圆珠笔.
练一练 （1）l 2/16≤25 （2）l 2/4π ≥100
（3）当 l ＝ 8 时，正方形的面积为4，圆的面积为l 2/4π ≈ 5. 1，所以圆的面积大；
当 l ＝ 12 时，正方形的面积为l 2/16 = 9 ，圆的面积为l 2/4π≈11.5，所以圆的面积大.
（4）当 l ＝ 40 时，正方形的面积为 = 100， 圆的面积为l 2/4π ≈127.4，所以圆的面积大.我们发现无论 l 取何值，圆的面积始终大于正方形的面积.
课堂练习
1.（1）a ＜ 0. （2）x ＜ -3. （3）m－n ＞5.
2. 解：4.5t ＜ 28000.
3. 解：6＋3x ＞ 30.

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