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专题强化练3　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
(分值：100分）
1~6题每题8分，共48分
1.如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对质量与电荷量都相等的正、负粒子在纸面内分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，不计粒子重力，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为（　　）
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶ D.1∶1
2.如图所示，平行线PQ、MN之间有方向垂直纸面向里的无限长匀强磁场，电子从P点沿平行于PQ且垂直于磁场方向射入磁场，当电子速率为v1时与MN成60°角斜向右下方射出磁场；当电子速率为v2时与MN成30°角斜向右下方射出磁场（出射点都没画出），v1∶v2等于（　　）
A.1∶（2-） B.（2-）∶1
C.2∶1 D.∶1
3.（多选）（2023·乐山市高二开学考）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一点电荷从图中A点以速度v0垂直磁场射入，经磁场偏转后恰能从点A'射出且速度方向刚好改变了90°。已知AA'为区域磁场的一条直径，不计点电荷的重力，下列说法正确的是（　　）
A.该点电荷带负电
B.该点电荷在磁场中做圆周运动的半径为R
C.该点电荷的比荷为=
D.该点电荷在磁场中的运动时间为t=
4.（多选）如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则（　　）
A.从P点射出的粒子速度大
B.从Q点射出的粒子速度大
C.从P点射出的粒子在磁场中运动的时间长
D.两粒子在磁场中运动的时间一样长
5.（多选）（2024·长沙市高二月考）如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（　　）
A.使粒子的速度v<
B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v>
D.使粒子的速度6.（多选）如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM'和NN'是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，粒子重力不计，要使粒子不能从边界NN'射出，粒子入射速率v的最大值可能是（　　）
A. B.
C. D.
7、8题每题10分，9题14分，共34分
7.如图所示的扇形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AO与OB垂直，圆弧的半径为R。一个质量为m、电荷量为q的带负电的粒子从圆心O点以大小为的速度射入磁场，结果粒子刚好从AB弧的中点C射出，不计粒子的重力，则下列说法正确的是（　　）
A.粒子在磁场中运动的时间为
B.粒子从O点射入时速度与BO边的夹角为30°
C.只改变粒子射入磁场时速度的方向，使粒子从AC段圆弧射出，则粒子在磁场中运动时间变长
D.只改变粒子射入磁场时速度的方向，使粒子从CB段圆弧射出，则粒子在磁场中运动时间变短
8.（多选）（2022·湖北卷）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（　　）
A.kBL，0° B.kBL，0°
C.kBL，60° D.2kBL，60°
9.（14分）（2023·内江市高二期末）如图，在平面直角坐标系xOy的第四象限内，有垂直纸面向里的匀强磁场，现有一质量为m=5.0×10-8 kg、电荷量为q=1.0×10-6 C的带正电粒子，从静止开始经U0=10 V的电压加速后，从图中P点沿图示方向进入磁场时速度方向与y轴负方向夹角为37°，已知OP=30 cm，粒子重力不计，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。则：
（1）（3分）带电粒子到达P点时速度v的大小是多少？
（2）（7分）若磁感应强度大小为B=2 T，粒子从x轴上的Q点（未画出）离开磁场，则OQ间的距离是多少？
（3）（4分）若粒子不能从x轴上方射出，那么，磁感应强度B的最小值是多少？
10.（18分）（2023·浙江省高二期末）如图所示，有带电粒子从y轴的M点以初速度v平行于x轴正方向射入磁感应强度为B、磁场方向垂直坐标平面向外的匀强磁场区域，最后粒子从x轴上N点射出磁场区域。已知M点坐标为（0，2a），N点的坐标为（a，0），sin 53°=0.8，cos 53°=0.6，粒子的重力不计。求：
（1）（4分）带电粒子的比荷；
（2）（4分）带电粒子在磁场中运动的时间；
（3）（5分）若要使带电粒子从坐标原点离开磁场，可以控制磁场的强弱，则应该使磁场的磁感应强度为多少？
（4）（5分）若磁场只分布在一个矩形区域内，磁感应强度大小和带电粒子从N点出去的方向不发生变化，求矩形区域的最小面积。
答案精析
1.B　［由洛伦兹力提供向心力有qvB=，又T=，解得T=，则正、负粒子在磁场中的运动周期相等，正、负粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，
正粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为120°，负粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为60°，故时间之比为2∶1，B正确。］
2.B　［设电子射出磁场时速度方向与MN之间的夹角为θ，做匀速圆周运动的半径为r，两平行线之间的距离为d，由几何关系可知cos θ=
解得r=，电子做匀速圆周运动，有qvB=，则v=∝r，
联立可得v1∶v2=（2-）∶1，故B正确。］
3.AC　［根据点电荷偏转方向由左手定则判定该点电荷带负电，故A正确；
如图所示，点电荷在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系作出轨迹图，设轨迹圆的半径为r，可得r=2Rsin 45°=R，故B错误；
根据qv0B=m，联立解得=，故C正确；该点电荷在磁场中的运动时间为t==，故D错误。］
4.BD　［作出两带电粒子各自的运动轨迹，如图所示，
根据圆周运动特点知，两粒子分别从P、Q点射出时，速度方向与AC边的夹角相等，故可判定两粒子从P、Q点射出时，半径RP5.AB　［
如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有=（r1-）2+l2，得r1=l，又r1=，所以v1=；粒子刚好打在极板左边缘时，有r2==，则v2=，综合上述分析可知，选项A、B正确。］
6.BD　［设带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，粒子在磁场中做圆周运动时由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得qvB=m，解得R=。带电粒子速率越大，轨迹半径越大，当轨迹恰好与边界NN'相切时，粒子恰好不能从边界NN'射出，对应的速率最大。若粒子带负电，临界轨迹如图甲所示，由几何知识得R+Rcos 45°=d，
解得R=（2-）d，
对应的速率v=。
若粒子带正电，临界轨迹如图乙所示，
由几何知识得：R-Rcos 45°=d，
解得R=（2+）d
对应的速率v=，故选B、D。］
7.A　［粒子在磁场中运动的半径r==R，则由几何关系可知，粒子在磁场中转过的角度为60°，运动的时间为t=T=T=，选项A正确；
由几何关系可知粒子从O点射入时速度与BO边的夹角为75°，选项B错误；只改变粒子射入磁场时速度的方向，使粒子从AC段圆弧射出，粒子轨迹对应弦长仍为扇形半径，大小不变，则粒子在磁场中转过的角度仍为60°，粒子在磁场中运动时间不变，选项C错误；同理，只改变粒子射入磁场时速度的方向，使粒子从CB段圆弧射出，则粒子在磁场中转过的角度仍为60°，粒子在磁场中运动时间不变，选项D错误。］
8.BC　［若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图，
根据几何关系则有R=L，由qvB=m，可得v==kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°。
当离子在两个磁场均运动一次时，如图，因为两个磁场的磁感应强度大小均为B，则根据对称性有R=L，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，可得v==kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足v==kBL（n=1，2，3…），此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；当离子从上部分磁场射出时，需满足v==kBL（n=1，2，3…），此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。故B、C正确，A、D错误。］
9.（1）20 m/s　（2）0.90 m　（3） T
解析　（1）对带电粒子的加速过程，由动能定理qU0=mv2，代入数据得v=20 m/s。
（2）带电粒子在匀强磁场中仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有qvB=m，得R=，代入数据得R=0.50 m
过P点作速度v的垂线交x轴于O1点，而=0.50 m=R，故O1P为轨迹圆弧半径，O1为轨迹圆弧圆心，O1O为轨迹圆弧的半径，故粒子到达Q点时速度方向垂直于x轴，轨迹如图甲所示。由几何关系可知OQ=R+Rsin 53°，故OQ=0.90 m。
（3）带电粒子不从x轴射出（如图乙），由几何关系得OP≥R'+R'sin 37°，R'=，
由以上两式并代入数据得B'≥ T，磁感应强度B的最小值是 T。
10.（1）　（2）　（3）
（4）a2
解析　（1）设粒子做圆周运动的半径为r，运动轨迹如图所示
由几何关系可知r2=a2+（2a-r）2
解得r=
根据qvB=m可得=
（2）由几何关系可知，OO'=2a-=a，
则cos θ=，解得θ=53°，
故粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为127°
粒子在磁场中运动的时间
t=·=
（3）若要使带电粒子从坐标原点离开磁场，则粒子运动的半径为r'=a
根据qvB'=m可得B'=
（4）面积最小时为图中虚线围成的矩形，设∠OMN=α，因tan α=
则矩形区域的最小面积
S=2rcos α（r-rsin α）=a2。专题强化3　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
［学习目标］　1.会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动（重点）。2.会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题（难点）。3.了解多解的成因，会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题（难点）。
一、带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.直线边界（带电粒子进入磁场具有对称性）
从某一磁场的直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图所示。
2.平行边界（运动轨迹常存在临界条件）
3.圆形边界
（1）在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示。
（2）在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度方向与半径的夹角为θ，出射速度方向与半径的夹角也为θ，如图乙所示。
4.多边形边界
（1）矩形边界
（2）三角形边界
如图所示是等边三角形ABC区域内某带正电的粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图，粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。
例1　（2023·宿迁市高二期末）如图所示，在边界PQ上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一对比荷（电荷量与质量之比）相同的正、负离子同时从边界上的O点沿与PQ成θ角的方向以相同的速度v射入磁场中，不计离子重力，则正、负离子（　　）
A.在磁场中的运动时间相同
B.在磁场中运动的位移相同
C.出边界时两者的速度相同
D.正离子出边界点到O点的距离更大
例2　（2021·全国乙卷）如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°，不计重力，则为（　　）
A. B.
C. D.
例3　（多选）（2023·乐山市高二期末）如图所示，正方形abcd区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，a处有比荷相等的甲、乙粒子，甲粒子沿ad方向射入磁场后从c点射出，乙粒子沿与ab成45°的方向射入磁场后垂直于bc射出，不计粒子重力和粒子间的相互作用力，则（　　）
A.甲、乙两个粒子的速率之比为1∶
B.甲、乙两个粒子的速率之比为∶1
C.甲、乙两个粒子在磁场中的运动时间之比为1∶2
D.甲、乙两个粒子在磁场中的运动时间之比为2∶1
二、带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据匀强磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。
（1）刚好穿出或刚好不能穿出匀强磁场的条件是带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹与边界相切。
（2）当以一定的速率垂直射入匀强磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界匀强磁场中的运动时间越长。
（3）比荷（电荷量与质量之比）相同的带电粒子以不同的速率v进入磁场时，圆心角越大的，运动时间越长。
例4　（多选）（2023·焦作市高二期中）如图所示，在真空区域内，有宽度为l的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直纸面向里，MN、PQ是磁场的边界。一质量为m、带电荷量为+q（q>0）的粒子，先后两次沿着与MN夹角为θ=60°的方向垂直于磁感线射入匀强磁场中。第一次粒子以速度v1射入磁场，粒子刚好没能从PQ边界射出磁场；第二次粒子以速度v2射入磁场，粒子刚好垂直PQ射出磁场，不计粒子的重力，v1、v2均为未知量。下列说法正确的是（　　）
A.两次粒子射入磁场的速度大小之比为3∶1
B.两次粒子射入磁场的速度大小之比为1∶3
C.两次粒子在磁场中运动的时间之比为4∶1
D.两次粒子在磁场中运动的时间之比为8∶1
三、带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
多解的原因：
（1）磁场方向不确定形成多解；
（2）带电粒子电性不确定形成多解；
（3）临界状态不唯一形成多解；
（4）运动的往复性形成多解。
解决此类问题，首先应画出粒子的可能轨迹，然后找出圆心、半径的可能情况。
例5　（多选）（2024·河北省正定中学高二期末）如图所示，位于A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B应满足（　　）
A.垂直纸面向里，B>
B.垂直纸面向里，B>
C.垂直纸面向外，B>
D.垂直纸面向外，B>
例6　如图所示，边长为l的等边三角形ACD内、外分布着方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，能沿∠CAD的角平分线方向发射不同速度的粒子，粒子质量均为m，电荷量均为+q，不计粒子重力。则粒子以下列哪一速度发射时不能通过D点（　　）
A. B.
C. D.
答案精析
例1　C　［两离子在磁场中的运动周期为T=，则知两个离子圆周运动的周期相等。根据左手定则分析可
知，正离子逆时针偏转，负离子顺时针偏转，作出两离子的运动轨迹，如图所示
两离子重新回到边界时，正离子的速度偏向角为2π-2θ，轨迹的圆心角也为2π-2θ，运动时间t1=T
同理，负离子运动时间t2=T
正、负离子在磁场中运动时间不相等，故A错误；
根据洛伦兹力提供向心力，
则有qvB=，得r=
由题意可知r相同，根据几何知识可得，重新回到边界的位置与O点距离s=2rsin θ，r、θ相同，则s相同，故两离子在磁场中运动的位移大小相同，方向不同，故B、D错误；
两离子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据圆的对称性可知，重新回到边界时速度大小与方向相同，故C正确。］
例2　B　［如图所示，设圆形磁场区域的半径为R，粒子以v1射入磁场时的轨迹半径为r1
根据几何关系r1=R，
以v2射入磁场时的轨迹半径r2=R。
根据洛伦兹力提供向心力有qvB=，
可得v=，所以==，故选B。］
例3　AD　［依题意，设正方形磁场边界宽度为L，画出粒子运动轨迹如图所示，利用几何知识可得R甲=L
R乙=L
结合qvB=m
可得v=
则==
故A正确，B错误；
根据几何知识可得，甲、乙两个粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角分别为θ1=90°
θ2=45°
结合qvB=m=mR
即T=
可知两粒子在磁场中运动的周期相同，结合t=T
可得甲、乙两个粒子在磁场中的运动时间之比为==
故C错误，D正确。］
例4　BD　［第一次粒子刚好没能从PQ边界射出磁场的运动轨迹如图，根据几何关系
l=R1+R1cos θ
得R1=
又qv1B=m
得v1==
第二次刚好垂直PQ射出磁场，运动轨迹如图，根据几何关系R2=
又qv2B=m
得v2==
所以==，故A错误，B正确；
粒子在磁场中运动周期T==
两次粒子在磁场中运动周期相等，根据几何关系，第一次在磁场中偏转角为240°，第二次在磁场中偏转角为30°，两粒子运动时间之比等于在磁场中偏转角之比，所以两次粒子在磁场中运动的时间之比为8∶1，故C错误，D正确。］
例5　BC　［当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知负离子向右偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图（大圆弧），
由几何知识知R2=OBsin 30°=OB，而OB=s+R2，故R2=s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件；由牛顿第二定律可得qvB=，所以应满足B>，选项A错误，B正确。当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知负离子向左偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图（小圆弧），由几何知识知R1=，所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件，由牛顿第二定律得qvB=，所以应满足B>，选项C正确，D错误。］
例6　C　［
粒子带正电，且经过D点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对的圆心角均为60°，当粒子运动的半径为r=（n=1，2，3…）时；粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动且过D点，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB=m，解得v==（n=1，2，3…），故选C。］(共61张PPT)
DIYIZHANG
第一章
专题强化3　带电粒子在有界匀强
磁场中的运动
1.会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动(重点)。
2.会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题(难点)。
3.了解多解的成因，会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题(难点)。
学习目标
一、带电粒子在有界匀强磁场中的运动
二、带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
专题强化练
内容索引
三、带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在有界匀强磁场中的运动
一
1.直线边界(带电粒子进入磁场具有对称性)
从某一磁场的直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图所示。
2.平行边界(运动轨迹常存在临界条件)
3.圆形边界
(1)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示。
(2)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度方向与半径的夹角为θ，出射速度方向与半径的夹角也为θ，如图乙所示。
4.多边形边界
(1)矩形边界
(2)三角形边界
如图所示是等边三角形ABC区域内某带正电的粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图，粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。
(2023·宿迁市高二期末)如图所示，在边界PQ上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一对比荷(电荷量与质量之比)相同的正、负离子同时从边界上的O点沿与PQ成θ角的方向以相同的速度v射入磁场中，不计离子重力，则正、负离子
A.在磁场中的运动时间相同
B.在磁场中运动的位移相同
C.出边界时两者的速度相同
D.正离子出边界点到O点的距离更大
例1
√
两离子在磁场中的运动周期为T=，
则知两个离子圆周运动的周期相等。根据左手定则分析可知，正离子逆时针偏转，负离子顺时针偏转，作出两离子的运动轨迹，如图所示
两离子重新回到边界时，正离子的速度偏向角为2π-2θ，轨迹的圆心角也为2π-2θ，运动时间t1=T
同理，负离子运动时间t2=T
正、负离子在磁场中运动时间不相等，故A错误；
根据洛伦兹力提供向心力，则有qvB=
得r=
由题意可知r相同，根据几何知识可得，重新回到
边界的位置与O点距离s=2rsin θ，
r、θ相同，则s相同，故两离子在磁场中运动的位
移大小相同，方向不同，故B、D错误；
两离子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据圆的对称性可知，重新回到边界时速度大小与方向相同，故C正确。
(2021·全国乙卷)如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°，不计
重力，则为
A. B. C. D.
例2
√
如图所示，
设圆形磁场区域的半径为R，粒子以v1射入磁场时的轨迹半径为r1
根据几何关系r1=R，
以v2射入磁场时的轨迹半径r2=R。
根据洛伦兹力提供向心力有qvB=，
可得v===，故选B。
(多选)(2023·乐山市高二期末)如图所示，正方形abcd区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，a处有比荷相等的甲、乙粒子，甲粒子沿ad方向射入磁场后从c点射出，乙粒子沿与ab成45°的方向射入磁场后垂直于bc射出，不计粒子重力和粒子间的相互作用力，则
A.甲、乙两个粒子的速率之比为1∶
B.甲、乙两个粒子的速率之比为∶1
C.甲、乙两个粒子在磁场中的运动时间之比为1∶2
D.甲、乙两个粒子在磁场中的运动时间之比为2∶1
例3
√
√
依题意，设正方形磁场边界宽度为L，画出粒子运动轨迹如图所示，利用几何知识可得R甲=L
R乙=L
结合qvB=m
可得v=
则==
故A正确，B错误；
根据几何知识可得，甲、乙两个粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角分别为θ1=90°
θ2=45°
结合qvB=m=mR
即T=
可知两粒子在磁场中运动的周期相同，结合t=T
可得甲、乙两个粒子在磁场中的运动时间之比为==
故C错误，D正确。
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带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
二
解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据匀强磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。
(1)刚好穿出或刚好不能穿出匀强磁场的条件是带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当以一定的速率垂直射入匀强磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界匀强磁场中的运动时间越长。
(3)比荷(电荷量与质量之比)相同的带电粒子以不同的速率v进入磁场时，圆心角越大的，运动时间越长。
　(多选)(2023·焦作市高二期中)如图所示，在真空区域内，有宽度为l的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直纸面向里，MN、PQ是磁场的边界。一质量为m、带电荷量为+q(q>0)的粒子，先后两次沿着与MN夹角为θ=60°的方向垂直于磁感线射入匀强磁场中。第一次粒子以速度v1射入磁场，粒子刚好没能从PQ边界射出磁场；第二次粒子以速度v2射入磁场，粒子刚好垂直PQ射出磁场，不计粒子的重力，v1、v2均为未知量。下列说法正确的是
A.两次粒子射入磁场的速度大小之比为3∶1
B.两次粒子射入磁场的速度大小之比为1∶3
C.两次粒子在磁场中运动的时间之比为4∶1
D.两次粒子在磁场中运动的时间之比为8∶1
例4
√
√
第一次粒子刚好没能从PQ边界射出磁场的运动轨迹如图，
根据几何关系l=R1+R1cos θ
得R1=
又qv1B=m
得v1==
第二次刚好垂直PQ射出磁场，运动轨迹如图，根据几何关系R2=
又qv2B=m
得v2==
所以==，故A错误，B正确；
粒子在磁场中运动周期T==
两次粒子在磁场中运动周期相等，根据几何关系，第一次在磁场中偏转角为240°，第二次在磁场中偏转角为30°，两粒子运动时间之比等于在磁场中偏转角之比，所以两次粒子在磁场中运动的时间之比为8∶1，故C错误，D正确。
返回
三
带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
多解的原因：
(1)磁场方向不确定形成多解；
(2)带电粒子电性不确定形成多解；
(3)临界状态不唯一形成多解；
(4)运动的往复性形成多解。
解决此类问题，首先应画出粒子的可能轨迹，然后找出圆心、半径的可能情况。
　(多选)(2024·河北省正定中学高二期末)如图所示，位于A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两
点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，
则所加匀强磁场的磁感应强度B应满足
A.垂直纸面向里，B>
B.垂直纸面向里，B>
C.垂直纸面向外，B>
D.垂直纸面向外，B>
例5
√
√
当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定
则可知负离子向右偏转，负离子被约束在OP之下
的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，
如图(大圆弧)，由几何知识知R2=OBsin 30°=OB，而OB=s+R2，故
R2=s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件；由牛顿第
二定律可得qvB=，所以应满足B>，选项A错误，B正确。
当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手
定则可知负离子向左偏转，负离子被约束在OP
之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP
相切，如图(小圆弧)，由几何知识知R1=
时满足约束条件，由牛顿第二定律得qvB=，所以应满足B>，选项C正确，D错误。
　如图所示，边长为l的等边三角形ACD内、外分布着方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，能沿∠CAD的角平分线方向发射不同速度的粒子，粒子质量均为m，电荷量均为+q，不计粒子重力。则粒子以下列哪一速度发射时不能通过D点
A. B.
C. D.
例6
√
返回
粒子带正电，且经过D点，其可能的轨迹如图
所示，所有圆弧所对的圆心角均为60°，当粒
子运动的半径为r=(n=1，2，3…)时；粒子在
匀强磁场中做匀速圆周运动且过D点，洛伦兹力提供向心力，由牛顿
第二定律得qvB=m，解得v==(n=1，2，3…)，故选C。
四
专题强化练
1.如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对质量与电荷量都相等的正、负粒子在纸面内分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，不计粒子重力，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶ D.1∶1
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基础强化练
√
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10
由洛伦兹力提供向心力有qvB=，又T=，解得
T=，则正、负粒子在磁场中的运动周期相等，正、
负粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，正粒子在磁场
中的运动轨迹对应的圆心角为120°，负粒子在磁场中
的运动轨迹对应的圆心角为60°，故时间之比为2∶1，B正确。
2.如图所示，平行线PQ、MN之间有方向垂直纸面向里的无限长匀强磁场，电子从P点沿平行于PQ且垂直于磁场方向射入磁场，当电子速率为v1时与MN成60°角斜向右下方射出磁场；当电子速率为v2时与MN成30°角斜向右下方射出磁场(出射点都没画出)，v1∶v2等于
A.1∶(2-) B.(2-)∶1
C.2∶1 D.∶1
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设电子射出磁场时速度方向与MN之间的夹角为θ，做匀速圆周运动的半径为r，两平行线之间的距离为d，由几何关系可知cos θ=
解得r=，电子做匀速圆周运动，有
qvB=，则v=∝r，
联立可得v1∶v2=(2-)∶1，故B正确。
3.(多选)(2023·乐山市高二开学考)如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一点电荷从图中A点以速度v0垂直磁场射入，经磁场偏转后恰能从点A'射出且速度方向刚好改变了90°。已知AA'为区域磁场的一条直径，不计点电荷的重力，下列说法正确的是
A.该点电荷带负电
B.该点电荷在磁场中做圆周运动的半径为R
C.该点电荷的比荷为=
D.该点电荷在磁场中的运动时间为t=
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√
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根据点电荷偏转方向由左手定则判定该点电荷带负电，故A正确；
如图所示，点电荷在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系作出轨迹图，
设轨迹圆的半径为r，可得r=2Rsin 45°=R，故B错误；
根据qv0B=m=，故C正确；
该点电荷在磁场中的运动时间为t==，故D错误。
4.(多选)如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则
A.从P点射出的粒子速度大
B.从Q点射出的粒子速度大
C.从P点射出的粒子在磁场中运动的时间长
D.两粒子在磁场中运动的时间一样长
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√
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作出两带电粒子各自的运动轨迹，如图所示，根据圆周
运动特点知，两粒子分别从P、Q点射出时，速度方向与
AC边的夹角相等，故可判定两粒子从P、Q点射出时，半
径RP误，B正确；
由T==得，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，根据图示，可知两轨迹对应的圆心角相等，由t=T可知两粒子在磁场中的运动时间相
等，C错误，D正确。
5.(多选)(2024·长沙市高二月考)如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是
A.使粒子的速度v< B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v> D.使粒子的速度1
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√
√
如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有=(r1-
)2+l2，得r1=l，又r1=，所以v1=；粒子刚好打在极板左边缘时，有r2==，则v2=，综合上述分析可
知，选项A、B正确。
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6.(多选)如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM'和NN'是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，粒子重力不计，要使粒子不能从边界NN'射出，粒子入射速率v的最大值可能是
A. B.
C. D.
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√
√
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设带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，粒子在磁场
中做圆周运动时由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二
定律可得qvB=m，解得R=。带电粒子速率越大，
轨迹半径越大，当轨迹恰好与边界NN'相切时，粒子恰
好不能从边界NN'射出，对应的速率最大。若粒子带负电，临界轨迹如图甲所示，由几何知识得R+Rcos 45°=d，
解得R=(2-)d，对应的速率v=。
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若粒子带正电，临界轨迹如图乙所示，
由几何知识得：R-Rcos 45°=d，
解得R=(2+)d
对应的速率v=，故选B、D。
7.如图所示的扇形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AO与OB垂直，圆弧的半径为R。一个质量为m、电荷量为q的带负电的粒子从圆心O点以大小为的速度射入磁场，结果粒子刚好从AB弧的中点C射出，不计粒子的重力，则下列说法正确的是
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能力综合练
A.粒子在磁场中运动的时间为
B.粒子从O点射入时速度与BO边的夹角为30°
C.只改变粒子射入磁场时速度的方向，使粒子从AC段圆弧射出，则粒子
在磁场中运动时间变长
D.只改变粒子射入磁场时速度的方向，使粒子从CB段圆弧射出，则粒子
在磁场中运动时间变短
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粒子在磁场中运动的半径r==R，则由几何关系可知，
粒子在磁场中转过的角度为60°，运动的时间为t=T
=T=，选项A正确；
由几何关系可知粒子从O点射入时速度与BO边的夹角为75°，选项B错误；
只改变粒子射入磁场时速度的方向，使粒子从AC段圆弧射出，粒子轨迹对应弦长仍为扇形半径，大小不变，则粒子在磁场中转过的角度仍为60°，粒子在磁场中运动时间不变，选项C错误；
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同理，只改变粒子射入磁场时速度的方向，使粒子从CB段圆弧射出，则粒子在磁场中转过的角度仍为60°，粒子在磁场中运动时间不变，选项D错误。
8.(多选)(2022·湖北卷)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度
为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直纸面向外的
匀强磁场，另一部分充满方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感
应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射
入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与
SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为
A.kBL，0° B.kBL，0°
C.kBL，60° D.2kBL，60°
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√
√
若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图，
根据几何关系则有R=L，由qvB=m，可得v==kBL，
根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，
故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°。
当离子在两个磁场均运动一次时，如图，
因为两个磁场的磁感应强度大小均为B，
则根据对称性有R=L，根据洛伦兹力提供向心力，
有qvB=m，可得v==kBL，此时出射方向与入射方向
相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。
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通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足v==kBL(n=1，2，3…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；当离子从上部分磁场射出时，需满足v==kBL(n= 1，2，3…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。故B、C正确，A、D错误。
9.(2023·内江市高二期末)如图，在平面直角坐标系xOy的第四象限内，有垂直纸面向里的匀强磁场，现有一质量为m=
5.0×10-8 kg、电荷量为q=1.0×10-6 C的带正电粒子，从静止开始经U0=10 V的电压加速后，从图中P点沿图示方向进入磁场时速度方向与y轴负方向夹角为37°，已知OP=30 cm，粒子重力不计，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。则：
(1)带电粒子到达P点时速度v的大小是多少？
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答案　20 m/s　
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对带电粒子的加速过程，由动能定理qU0=mv2，
代入数据得v=20 m/s。
(2)若磁感应强度大小为B=2 T，粒子从x轴上的Q点(未画出)离开磁场，则OQ间的距离是多少？
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答案　0.90 m　
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带电粒子在匀强磁场中仅在洛伦兹力作用下做匀速
圆周运动，有qvB=m，得R=，
代入数据得R=0.50 m
过P点作速度v的垂线交x轴于O1点，而=0.50 m=R，
故O1P为轨迹圆弧半径，O1为轨迹圆弧圆心，
O1O为轨迹圆弧的半径，故粒子到达Q点时速度方向垂直于x轴，轨迹如图甲所示。由几何关系可知OQ=R+Rsin 53°，故OQ=0.90 m。
(3)若粒子不能从x轴上方射出，那么，磁感应强度B的最小值是多少？
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答案　 T
带电粒子不从x轴射出(如图乙)，由几何关系得
OP≥R'+R'sin 37°，R'=，
由以上两式并代入数据得B'≥ T，
磁感应强度B的最小值是 T。
10.(2023·浙江省高二期末)如图所示，有带电粒子从y轴
的M点以初速度v平行于x轴正方向射入磁感应强度为B、
磁场方向垂直坐标平面向外的匀强磁场区域，最后粒子
从x轴上N点射出磁场区域。已知M点坐标为(0，2a)，N
点的坐标为(a，0)，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6，粒子的重力不计。求：
(1)带电粒子的比荷；
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尖子生选练
答案　　
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设粒子做圆周运动的半径为r，运动轨迹如图所示
由几何关系可知r2=a2+(2a-r)2
解得r=
根据qvB=m=
(2)带电粒子在磁场中运动的时间；
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答案　　
由几何关系可知，OO'=2a-=a，
则cos θ=，解得θ=53°，
故粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为127°
粒子在磁场中运动的时间t=·=
(3)若要使带电粒子从坐标原点离开磁场，可以控制磁场的强弱，则应该使磁场的磁感应强度为多少？
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答案　　
若要使带电粒子从坐标原点离开磁场，
则粒子运动的半径为r'=a
根据qvB'=m可得B'=
(4)若磁场只分布在一个矩形区域内，磁感应强度大小和带电粒子从N点出去的方向不发生变化，求矩形区域的最小面积。
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答案　a2
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面积最小时为图中虚线围成的矩形，
设∠OMN=α，因tan α=
则矩形区域的最小面积
S=2rcos α(r-rsin α)=a2。
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