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专题强化练4　动态圆问题
(分值：60分）
1~4题每题4分，共16分
1.（2023·四川师范大学附属中学高二期末）如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图。不考虑重力和粒子间的相互作用，则下列说法正确的是（　　）
A.三个粒子都带负电荷
B.c粒子运动速率最小
C.c粒子在磁场中运动时间最短
D.它们做圆周运动的周期Ta2.（多选）（2023·巴中市恩阳区高二期末）如图所示，长方形abcd长ad=0.6 m，宽ab=0.3 m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界无磁场），磁感应强度B=0.25 T。一束不计重力、质量m=3×10-7 kg、电荷量q=+2×10-3 C的粒子以速度v=5×102 m/s沿垂直ad且垂直于磁场方向射入磁场区域（　　）
A.从Od段射入的粒子，出射点全部分布在be边
B.从aO段射入的粒子，出射点全部分布在ab边
C.从Od段射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边
D.从aO段射入的粒子，出射点分布在ab边和be边
3.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1 为（　　）
A.∶2 B.∶1
C.∶1 D.3∶
4.如图所示，在直角三角形abc区域（含边界）内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，∠a=60°，∠b=90°，边长ab=L，一个粒子源在b点将质量为m、电荷量为-q（q>0）的粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是（不计粒子重力及粒子间的相互作用）（　　）
A. B.
C. D.
5~7题每题6分，8题12分，共30分
5.（多选）（2023·潍坊市高二期中）如图所示，直角三角形abc区域（包括边界）存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，ab边长为2L，∠a=30°，一粒子源固定在ac边的中点d，粒子源垂直ac边向磁场中发射不同速率的带正电的粒子，粒子均从bc边界射出，已知粒子质量为m、电荷量为q，下列说法正确的是（　　）
A.粒子运动的速率可能为
B.粒子在磁场中运动的时间可能为
C.bc边界上有粒子射出的区域长度最大为L
D.有粒子经过的磁场区域的面积最大为πL2
6.（2023·四川省石室中学模拟）如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、cd的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量为q的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和粒子重力。则下列分析中正确的是（　　）
A.粒子带负电
B.从M点射出粒子的速率一定大于从N点射出粒子的速率
C.从M点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N点射出粒子所用时间
D.所有粒子所用最短时间为
7.（多选）（2023·济宁市高二期中）如图所示，在直角坐标系xOy第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为m、电荷量大小均为q的同种带负电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知OS=OP=4d，sin 53°=0.8，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则（　　）
A.粒子的速度大小为
B.从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为
C.沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为2d
D.从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为233∶106
8.（12分）如图所示，一足够长的矩形区域abcd内存在一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在ad边中点O，沿垂直磁场方向射入一速度方向与ad边夹角θ=30°、大小为v0（未知量）的带正电粒子，已知粒子质量为m、电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求：
（1）（4分）若粒子恰好不能从磁场下边界射出，求粒子的入射速度大小v01；
（2）（4分）若粒子恰好沿磁场上边界线射出，求粒子的入射速度大小v02；
（3）（4分）若带电粒子的速度v0大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时间。
9.（14分）（2023·成都市第七中学期末）如图所示，三角形ACD是等腰直角三角形，∠A是直角，AC=AD=2L，在三角形内部和边界上有方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B（图中未画出）。一束（范围足够长）质量为m、电量为q的带正电的粒子以某一初速度v垂直CD边同时射入磁场（不计粒子重力和粒子之间的作用力）。可能会用到的数学公式：sin （α+θ）=sin αcos θ+cos αsin θ，cos （α+θ）=cos αcos θ-sin αsin θ。
（1）（4分）若已知v=v1=，求CD边上有粒子离开的长度；
（2）（4分）若已知这些粒子在磁场中运动的最长时间为t=，求v应满足的条件；
（3）（6分）若已知v=v3=，求AD边上有粒子离开的长度。
答案精析
1.C　［粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，结合左手定则可知，三个粒子都带正电荷，A错误；根据qvB=m，可得r=，三个带电粒子的质量、电荷量相同，在同一个磁场中，当速度越大时、轨道半径越大，则由图知，a粒子的轨迹半径最小，c粒子的轨迹半径最大，则a粒子速率最小，c粒子速率最大，B错误；三个带电粒子的质量和电荷量都相同，由粒子运动的周期T=，可知三粒子运动的周期相同，即Ta=Tb=Tc，D错误；粒子在磁场中运动时间t=T，θ是粒子轨迹对应的圆心角，也等于速度的偏转角，由图可知，a在磁场中速度的偏转角最大，运动的时间最长，c在磁场中速度的偏转角最小，c粒子在磁场中运动时间最短，C正确。］
2.AD　［根据洛伦兹力提供向心力qvB=m，可得r=，得带电粒子在匀强磁场中运动的半径r=0.3 m，从O点射入的粒子运动轨迹如图中的1所示，
从aO段上某点射入的粒子运动轨迹如图中的2所示，出射点应分布在be边和ab边上；从Od段上某点射入的粒子运动轨迹如图中的3所示，出射点应分布在be边上。故选A、D。］
3.C　［根据作图分析可知，当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场边界的位置距P点最远，则若粒子射入的速率为v1，轨迹如图甲所示，设圆形磁场半径为R，由几何知识可知，粒子运动的轨迹半径为r1=Rcos 60°=R；若粒子射入的速率为v2，轨迹如图乙所示，由几何知识可知，粒子运动的轨迹半径为r2=Rcos 30°=R；根据轨迹半径公式r=可知，v2∶v1=r2∶r1=∶1，故选项C正确。］
甲　　　　　　　　　乙
4.D　［由左手定则和题意知，沿ba方向射入磁场的粒子在三角形磁场区域内转半周时，运动时间最长，速度最大时的轨迹恰与ac相切，轨迹如图所示，
由几何关系可得最大半径r=ab·tan 30°=L，由洛伦兹力提供向心力得qvmB=m，从而求得最大速度vm=，A、B、C错误，D正确。］
5.BC　［根据题意可知当粒子运动轨迹与ab边相切时，对应的速度最大，如图，根据几何知识可得半径r1=Lcd=L，根据洛伦兹力提供向心力qBv1=m
解得v1=
同理若粒子从c点射出，对应的速度最小，运动半径r2=Lcd=L，则速度v2=
则粒子的速度不可能为，故A错误；
粒子在磁场中运动的周期为T==
当粒子垂直bc边射出时，粒子在磁场中运动的时间为t==，故B正确；
根据题意可知当粒子运动轨迹与ab边相切时，打在bc上的点到c点的距离最大，即Lmax=r1=L，所以打在bc边界上有粒子射出的区域长度最大为L，有粒子经过的磁场区域的面积最大为S=-=，故C正确，D错误。］
6.D　［粒子做逆时针的匀速圆周运动，根据左手定则，可知粒子带正电，A错误；根据qvB=m，得v=，从M点射出粒子的轨迹半径更小，则速度更小，B错误；由t=T=，粒子周期不变，圆周运动的圆心角越大，运动时间越长，
由几何关系可知，弦切角等于圆心角的一半，则弦切角越小，运动时间越短，如图，当弦与bc圆弧边界相切时，弦切角最小。Ob等于R，由几何关系，此时圆周运动的圆心角为120°，则最短时间为tmin==，M、N两点具体位置未知，则无法判断从M点射出粒子在磁场中运动时间和从N点射出粒子在磁场中运动时间的大小关系，C错误，D正确。］
7.ACD　［粒子运动轨迹如图所示。
由OS=OP=4d，可得SP=5d
由题知SP是其中一个粒子轨迹的直径，
由qvB=m
可得r=m=d
则v=，故A正确；
由几何知识可得从O点射出的粒子，轨迹所对应的圆心角为106°，在磁场中的运动时间为t=·=，故B错误；
假设沿平行x轴正方向射入的粒子，离开磁场时的位置到O点的距离为l，由几何知识可得r2=l2+（4d-r）2
代入r=d，解得l=2d，故C正确；
从x轴上射出磁场的粒子，从原点射出时在磁场中运动时间最短，其运动时间为tmin=t=
运动轨迹与x轴相切时运动时间最长，由几何知识可得轨迹所对应的圆心角为233°，运动时间为
tmax=·=
则tmax∶tmin=233∶106，故D正确。］
8.（1）　（2）　（3）
解析　（1）和（2）两种临界情况的运动轨迹如图所示，
若粒子速度大小为v0，则qv0B=m，
解得：v0=。
（1）设圆心在O1处对应圆弧与cd边相切，对应速度大小为v01
由几何关系得R1=L
则有：v01==。
（2）设圆心在O2处对应圆弧与ab边相切，对应速度大小为v02
由几何关系得：R2+R2sin θ=，
解得R2=
则有：v02==。
（3）由t=T和T==可知，粒子在磁场中经过的圆弧所对的圆心角α越大，在磁场中运动的时间越长。当在磁场中运动的半径r则圆弧所对圆心角为α=2π-2θ=
所以最长时间为
t=T=×=。
9.（1）L　（2）v≤　（3）L
解析　（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
qvB=
解得r=
代入数据，计算得r1==
两个临界轨迹如图所示，CD=2L
CD边上有粒子离开的长度为x1=CD-r1（+1）-r1（-1）=L
（2）粒子运动的周期
T==
粒子运动的圆心角φ=·2π=π
故磁场中运动最长时间的粒子轨迹为半圆，故垂直CD边离开时，速度v最大，轨迹如图
对应半径由几何关系得
r2=CD=L
解得r2=L
代入半径公式，计算得到v应满足v≤
（3）由上述分析可知粒子运动的半径r3==
因为到r3>L，故所有从AD离开的粒子的运动圆心O均在CD边上靠D点一侧，再由“平移圆”分析知，当运动轨迹与AC相切时，离开点距A最近，
从该点离开的粒子轨迹如图
由几何关系有OC=r3=L
三角形ODN中，由几何关系有
ON=r3=L
OD=CD-OC=L
∠D=45°
令∠OND=θ，利用正弦定理有=
代入数据解得θ=30°
利用正弦定理
=
代入数据解得DN=L
又因为AD边上的D点有粒子离开，故所求长度为DN=L。专题强化4　动态圆问题
［学习目标］　1.进一步掌握解决带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题的方法。2.会用“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”，找出临界状态或极值的对应轨迹。3.理解“磁聚焦”和“磁发散”模型。
一、“平移圆”模型
例1　(多选)如图所示，在 Ⅰ、Ⅱ 两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC=30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ 区域宽度为d。质量为m、电荷量为+q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则 (　　)
A.粒子在磁场中运动的半径为
B.粒子在距A点0.5d处射入，不会进入 Ⅱ 区域
C.粒子在距A点1.5d处射入，在 Ⅰ 区域内运动的时间为
D.能够进入 Ⅱ 区域的粒子，在 Ⅱ 区域内运动的最短时间为
平移圆法：轨迹圆圆心共线
（1）适用条件：
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R=，如图所示。
（2）分析方法：将半径为R=的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件。
二、“放缩圆”模型
例2　（2020·全国卷Ⅲ）真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（　　）
A. B.
C. D.
放缩圆法：轨迹圆圆心共线
（1）适用条件：粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。如图所示（图中只画出粒子带正电的情景），速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上。
（2）分析方法：以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件。
针对训练　（2020·全国卷Ⅰ）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（　　）
A. B.
C. D.
三、“旋转圆”模型
例3　（2023·扬州市高二期中）如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.60 T，有一与磁场平行的足够大的感光板ab，其左侧处有一粒子源S向纸面内各个方向均匀发射速度大小都是v=6.0×106 m/s、带正电的粒子，比荷均为=5.0×107 C/kg，粒子重力及粒子间相互作用不计。已知SO垂直ab，其中沿与SO成30°角的粒子刚好与ab相切于P，求：
（1）粒子源距ab感光板O点的距离；
（2）从S垂直SO向下射出的粒子打在感光板上的位置离O点的距离；
（3）ab板上感光部分的长度。
　　 　
　　 　
　　 　
　　 　
旋转圆法：轨迹圆圆心共圆
（1）适用条件：粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R=，如图所示。
（2）分析方法：将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件。
四、“磁聚焦”与“磁发散”
例4　（多选）（2024·江苏省扬州中学高二月考）如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板，大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子。粒子质量为m、电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力。关于这些粒子的运动，以下说法正确的是（　　）
A.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C.若粒子速度大小均为v=，出射后均可垂直打在MN上
D.若粒子速度大小均为v=
（1）带电粒子的会聚
如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相等，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等（R=r），则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。（会聚）
（2）带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。（发散）
答案精析
例1　CD　［带电粒子在磁场中的运动半径r==d，选项A错误；设从某点E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点与A点的距离为AO-EO=2d-d=d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入 Ⅱ 区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入 Ⅱ 区域，在 Ⅰ 区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t==，选项C正确；进入 Ⅱ 区域的粒子运动轨迹的弦长最短时，运动时间最短，且最短弦长为d，与半径相同，故对应圆心角为60°，最短时间为tmin==，选项D正确。
］
例2　C　［磁感应强度取最小值时对应的电子的运动轨迹临界状态如图所示，设电子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系得a2+r2=（3a-r）2，根据洛伦兹力提供向心力有evB=m，联立解得B=，故选C。
］
针对训练　C　［
粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定。设轨迹交半圆于e点，ce中垂线交bc于O点，则O点为轨迹圆心，如图所示。圆心角θ=π+2β，当β最大时，θ有最大值，由几何知识分析可知，当ce与相切时，β最大，此时轨迹过a、b中点，β=30°，可得θ=π，则t=T=，故选C。］
例3　（1）10 cm　（2）10 cm
（3）10（+） cm
解析　（1）粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示
由洛伦兹力提供向心力可得qvB=m
解得R==20 cm
当初速度方向与SO夹角为30°发射，轨迹与ab切于P点，可知△SPO1为等边三角形，由几何关系可知粒子源距ab感光板O点的距离为
SO=R-Rsin 30°=R=10 cm
（2）粒子在磁场中的轨迹如图乙所示
设从S垂直SO向下射出的粒子打在感光板上的位置离O点的距离为x，根据几何关系可得cos α==
则有x=Rsin α=10 cm
（3）粒子在磁场中的轨迹如图丙所示
ab板上感光部分最上端与O点的距离为OP=Rsin 60°=10 cm
ab板上感光部分最下端与O点的距离为OQ=
=10 cm
故ab板上感光部分的长度为
PQ=10（+） cm。
例4　ACD　［对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，弧长越大，轨迹对应的圆心角越小，由t=T=可知，运动时间越短，故选项A正确，B错误；粒子速度大小均为v=时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为r==R，根据几何关系可知，入射点P、O、出射点与轨迹圆的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与PO平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直，出射后均可垂直打在MN上，根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间：tDIYIZHANG
第一章
专题强化4　动态圆问题
1.进一步掌握解决带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题的方法。
2.会用“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”，找出临界状态或极值的对应轨迹。
3.理解“磁聚焦”和“磁发散”模型。
学习目标
一、“平移圆”模型
二、“放缩圆”模型
三、“旋转圆”模型
专题强化练
四、“磁聚焦”与“磁发散”
内容索引
“平移圆”模型
一
　(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC=30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d。质量为m、电荷量为+q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为
，不计粒子重力，则
A.粒子在磁场中运动的半径为
B.粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C.粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为
D.能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为
例1
√
√
带电粒子在磁场中的运动半径r==d，选项A错误；
设从某点E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如
图所示)，则E点与A点的距离为AO-EO=2d-d=d，粒子
在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；
粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运
动的时间为t==，选项C正确；
进入Ⅱ区域的粒子运动轨迹的弦长最短时，运动时间最短，且最短弦长为
d，与半径相同，故对应圆心角为60°，最短时间为tmin==，选项D正确。
总结提升
平移圆法：轨迹圆圆心共线
(1)适用条件：
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同
但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场
时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射
速度大小为v0，则半径R=，如图所示。
(2)分析方法：将半径为R=的圆进行平移，从而探索粒子的临界
条件。
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二
“放缩圆”模型
　(2020·全国卷Ⅲ)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为
A. B.
C. D.
例2
√
磁感应强度取最小值时对应的电子的运动轨迹临界状态如图所示，设电子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系得a2+r2=(3a-r)2，根据洛伦
兹力提供向心力有evB=m，联立解得B=，
故选C。
总结提升
放缩圆法：轨迹圆圆心共线
(1)适用条件：粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种
带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速
圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。如图所示(图中
只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。
可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上。
(2)分析方法：以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件。
(2020·全国卷Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为
A. B.
C. D.
针对训练
√
粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在
磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定。设轨迹交
半圆于e点，ce中垂线交bc于O点，则O点为轨
迹圆心，如图所示。圆心角θ=π+2β，当β最大时，θ有最大值，由几何知识分析可知，当ce与相切时，β最大，此时轨迹过a、b中点，β=
30°，可得θ=π，则t=T=，故选C。
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三
“旋转圆”模型
　(2023·扬州市高二期中)如图所示，垂直于纸面向里的
匀强磁场，磁感应强度大小B=0.60 T，有一与磁场平行
的足够大的感光板ab，其左侧处有一粒子源S向纸面内
各个方向均匀发射速度大小都是v=6.0×106 m/s、带正电
的粒子，比荷均为=5.0×107 C/kg，粒子重力及粒子间
相互作用不计。已知SO垂直ab，其中沿与SO成30°角的粒子刚好与ab相切于P，求：
(1)粒子源距ab感光板O点的距离；
例3
答案　10 cm
粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示
由洛伦兹力提供向心力可得qvB=m
解得R==20 cm
当初速度方向与SO夹角为30°发射，
轨迹与ab切于P点，可知△SPO1为等边三角形，由几何
关系可知粒子源距ab感光板O点的距离为SO=R-Rsin 30°=R=10 cm
(2)从S垂直SO向下射出的粒子打在感光板上的位置离O点的距离；
答案　10 cm　
粒子在磁场中的轨迹如图乙所示
设从S垂直SO向下射出的粒子打在感光板上的位置离O点的距离为x，根据几何关系可得cos α==
则有x=Rsin α=10 cm
(3)ab板上感光部分的长度。
答案　10(+) cm
粒子在磁场中的轨迹如图丙所示
ab板上感光部分最上端与O点的距离为OP=Rsin 60°
=10 cm
ab板上感光部分最下端与O点的距离为
OQ==10 cm
故ab板上感光部分的长度为PQ=10(+) cm。
总结提升
旋转圆法：轨迹圆圆心共圆
(1)适用条件：粒子源发射速度大小一定、方向
不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在
磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初
速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R=，如图所示。
(2)分析方法：将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转，从
而探索出临界条件。
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四
“磁聚焦”与“磁发散”
　(多选)(2024·江苏省扬州中学高二月考)如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板，大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子。粒子质量为m、电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力。关于这些粒子的运动，以下说法正确的是
A.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C.若粒子速度大小均为v=，出射后均可垂直打在MN上
D.若粒子速度大小均为v=，则粒子在磁场中的运动时间
一定小于
例4
√
√
√
对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹
半径越大，弧长越大，轨迹对应的圆心角越小，由t=T=
可知，运动时间越短，故选项A正确，B错误；
粒子速度大小均为v=时，根据洛伦兹力提供向心力可得
粒子的轨迹半径为r==R，根据几何关系可知，入射点P、O、出射点与
轨迹圆的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与PO平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直，出射后均可垂直打在MN上，根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间：t<
T=，故选项C、D正确。
总结提升
(1)带电粒子的会聚
如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相等，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R=r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。(会聚)
总结提升
(2)带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散)
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专题强化练
五
1.(2023·四川师范大学附属中学高二期末)如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图。不考虑重力和粒子间的相互作用，则下列说法正确的是
A.三个粒子都带负电荷
B.c粒子运动速率最小
C.c粒子在磁场中运动时间最短
D.它们做圆周运动的周期Ta1
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基础强化练
√
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9
粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提
供向心力，结合左手定则可知，三个粒子都带正
电荷，A错误；
根据qvB=m，可得r=，三个带电粒子的质量、电荷量相同，在同
一个磁场中，当速度越大时、轨道半径越大，则由图知，a粒子的轨迹半径最小，c粒子的轨迹半径最大，则a粒子速率最小，c粒子速率最大，B错误；
1
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三个带电粒子的质量和电荷量都相同，由粒子运
动的周期T=，可知三粒子运动的周期相同，
即Ta=Tb=Tc，D错误；
粒子在磁场中运动时间t=T，θ是粒子轨迹对应的圆心角，也等于
速度的偏转角，由图可知，a在磁场中速度的偏转角最大，运动的时间最长，c在磁场中速度的偏转角最小，c粒子在磁场中运动时间最短，C正确。
2.(多选)(2023·巴中市恩阳区高二期末)如图所示，长方形abcd长ad=0.6 m，宽ab=0.3 m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界无磁场)，磁感应强度B=0.25 T。一束不计重力、质量m=3×10-7 kg、电荷量q=+2×10-3 C的粒子以速度v=5×102 m/s沿垂直ad且垂直于磁场方向射入磁场区域
A.从Od段射入的粒子，出射点全部分布在be边
B.从aO段射入的粒子，出射点全部分布在ab边
C.从Od段射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边
D.从aO段射入的粒子，出射点分布在ab边和be边
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√
√
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9
根据洛伦兹力提供向心力qvB=m，可得r=，得带
电粒子在匀强磁场中运动的半径r=0.3 m，从O点射入的粒子运动轨迹如图中的1所示，从aO段上某点射入的粒子运动轨迹如图中的2所示，出射点应分布在be边和ab边上；从Od段上某点射入的粒子运动轨迹如图中的3所示，出射点应分布在be边上。故选A、D。
3.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强
磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相
同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若
粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1 为
A.∶2 B.∶1
C.∶1 D.3∶
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√
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根据作图分析可知，当粒子在磁场中运动半
个圆周时，打到圆形磁场边界的位置距P点
最远，则若粒子射入的速率为v1，轨迹如图
甲所示，设圆形磁场半径为R，由几何知识
可知，粒子运动的轨迹半径为r1=Rcos 60°=
R；若粒子射入的速率为v2，轨迹如图乙所示，由几何知识可知，粒子运动的轨迹半径为r2=Rcos 30°=R；根据轨迹半径公式r=可知，v2∶v1=
r2∶r1=∶1，故选项C正确。
甲
乙
4.如图所示，在直角三角形abc区域(含边界)内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，∠a=60°，∠b=90°，边长ab=L，一个粒子源在b点将质量为m、电荷量为-q(q>0)的粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是(不计粒子重力及粒子间的相互作用)
A. B.
C. D.
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√
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由左手定则和题意知，沿ba方向射入磁场的粒子在
三角形磁场区域内转半周时，运动时间最长，速度
最大时的轨迹恰与ac相切，轨迹如图所示，由几何
关系可得最大半径r=ab·tan 30°=L，由洛伦兹力提供向心力得qvmB=m，从而求得最大速度vm=，A、B、C错误，D正确。
5.(多选)(2023·潍坊市高二期中)如图所示，直角三角形abc区域(包括边界)存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，ab边长为2L，∠a=30°，一粒子源固定在ac边的中点d，粒子源垂直ac边向磁场中发射不同速率的带正电的粒子，粒子均从bc边界射出，已知粒子质量为m、电荷量为q，下列说法正确的是
1
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9
能力综合练
A.粒子运动的速率可能为
B.粒子在磁场中运动的时间可能为
C.bc边界上有粒子射出的区域长度最大为L
D.有粒子经过的磁场区域的面积最大为πL2
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√
√
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9
根据题意可知当粒子运动轨迹与ab边相切时，对应的速度最大，如图，
根据几何知识可得半径r1=Lcd=L，
根据洛伦兹力提供向心力qBv1=m
解得v1=
同理若粒子从c点射出，对应的速度最小，运动半径r2=Lcd=L，则速度v2=
则粒子的速度不可能为，故A错误；
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9
粒子在磁场中运动的周期为T==
当粒子垂直bc边射出时，粒子在磁场中运动的时间
为t==，故B正确；
根据题意可知当粒子运动轨迹与ab边相切时，打在bc上的点到c点的距离最
大，即Lmax=r1=L，所以打在bc边界上有粒子射出的区域长度最大为L，有粒子经过的磁场区域的面积最大为S=-=，故C正确，D错误。
6.(2023·四川省石室中学模拟)如图所示，磁感应强度为
B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边
界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、cd的延
长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷
量为q的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和粒子重力。则下列分析中正确的是
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9
A.粒子带负电
B.从M点射出粒子的速率一定大于从N点射出粒子的速率
C.从M点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N点射出粒子所用时间
D.所有粒子所用最短时间为
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√
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粒子做逆时针的匀速圆周运动，根据左手定则，可
知粒子带正电，A错误；
根据qvB=m，得v=，从M点射出粒子的轨迹半
径更小，则速度更小，B错误；
由t=T=，粒子周期不变，圆周运动的圆心角越大，运动时间
越长，由几何关系可知，弦切角等于圆心角的一半，则弦切角越小，运动时间越短，如图，当弦与bc圆弧边界相切时，弦切角最小。
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9
Ob等于R，由几何关系，此时圆周运动的圆心角为
120°，则最短时间为tmin==，M、N两
点具体位置未知，则无法判断从M点射出粒子在磁
场中运动时间和从N点射出粒子在磁场中运动时间的大小关系，C错误，D正确。
7.(多选)(2023·济宁市高二期中)如图所示，在直角坐标
系xOy第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直
纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可
向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为
m、电荷量大小均为q的同种带负电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的
位置是x轴上的P点。已知OS=OP=4d，sin 53°=0.8，粒子重力及粒子间
的相互作用均不计，则
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9
A.粒子的速度大小为
B.从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为
C.沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为2d
D.从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为
233∶106
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√
√
√
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9
粒子运动轨迹如图所示。
由OS=OP=4d，可得SP=5d
由题知SP是其中一个粒子轨迹的直径，由qvB=m
可得r=m=d
则v=，故A正确；
由几何知识可得从O点射出的粒子，轨迹所对应的圆心角为106°，在
磁场中的运动时间为t=·=，故B错误；
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9
假设沿平行x轴正方向射入的粒子，离开磁场时的位置到O点的距离为l，由几何知识可得r2=l2+(4d-r)2
代入r=d，解得l=2d，故C正确；
从x轴上射出磁场的粒子，从原点射出时在磁场中运动
时间最短，其运动时间为tmin=t=
运动轨迹与x轴相切时运动时间最长，由几何知识可得
轨迹所对应的圆心角为233°，运动时间为tmax=·=
则tmax∶tmin=233∶106，故D正确。
8.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内存在一方
向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，
在ad边中点O，沿垂直磁场方向射入一速度方向与
ad边夹角θ=30°、大小为v0(未知量)的带正电粒子，已知粒子质量为m、电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求：
(1)若粒子恰好不能从磁场下边界射出，求粒子的入射速度大小v01；
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答案　　
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临界情况的运动轨迹如图所示，
若粒子速度大小为v0，则
qv0B=m，
解得：v0=。
设圆心在O1处对应圆弧与cd边相切，对应速度大小为v01
由几何关系得R1=L
则有：v01==。
(2)若粒子恰好沿磁场上边界线射出，求粒子的入射速度大小v02；
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9
答案　　
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2
3
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9
临界情况的运动轨迹如图所示，
若粒子速度大小为v0，则
qv0B=m，
解得：v0=。
设圆心在O2处对应圆弧与ab边相切，对应速度大小为v02
由几何关系得：R2+R2sin θ=，解得R2=
则有：v02==。
(3)若带电粒子的速度v0大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时间。
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答案　
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由t=T和T==可知，粒子在磁场中经过的圆弧所对的圆心角α越大，在磁场中运动的时间越长。当在磁场中运动的半径r则圆弧所对圆心角为α=2π-2θ=
所以最长时间为t=T=×=。

答案　L　
9.(2023·成都市第七中学期末)如图所示，三角形ACD是等腰直角三角形，∠A是直角，AC=AD=2L，在三角形内部和边界上有方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B(图中未画出)。一束(范围足够长)质量为m、电量为q的带正电的粒子以某一初速度v垂直CD边同时射入磁场(不计粒子重力和粒子之间的作用力)。可能会用到的数学公式：sin (α+θ)=sin αcos θ+
cos αsin θ，cos (α+θ)=cos αcos θ-sin αsin θ。
(1)若已知v=v1=，求CD边上有粒子离开的长度；
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尖子生选练
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粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB=
解得r=
代入数据，计算得r1==
两个临界轨迹如图所示，CD=2L
CD边上有粒子离开的长度为x1=CD-r1(+1)-r1(-1)=L
(2)若已知这些粒子在磁场中运动的最长时间为t=，求v应满足的条件；
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答案　v≤　
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粒子运动的周期T==
粒子运动的圆心角φ=·2π=π
故磁场中运动最长时间的粒子轨迹为半圆，故垂直CD边离开时，速度v最大，轨迹如图
对应半径由几何关系得r2=CD=L
解得r2=L
代入半径公式，计算得到v应满足v≤
(3)若已知v=v3=，求AD边上有粒子离开的长度。
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9
答案　L
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9
由上述分析可知粒子运动的半径r3==
因为到r3>L，故所有从AD离开的粒子的运动圆心O均在CD边上靠D点一侧，再由“平移圆”分析知，当运动轨迹与AC相切时，离开点距A最近，
从该点离开的粒子轨迹如图
由几何关系有OC=r3=L
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三角形ODN中，由几何关系有
ON=r3=L
OD=CD-OC=L
∠D=45°
令∠OND=θ，利用正弦定理有=
代入数据解得θ=30°
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利用正弦定理=
代入数据解得DN=L
又因为AD边上的D点有粒子离开，故所求长度为DN=L。
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