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第十八章 平行四边形 (45分钟 100分)
一、选择题(每小题4分,共40分)
1.在 ABCD中,若∠A+∠C=80°,则∠B的度数是(A)
A.140° B.100° C.40° D.120°
2.如图,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,然后向左扭动框架,观察所得四边形的变化,下面判断错误的是(C)
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线BD的长度减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
3.(2024·通辽中考)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,以下条件不能证明 ABCD是菱形的是(D)
A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD
C.OA2+OD2=AD2 D.AD2+OA2=OD2
4.(2023·杭州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若∠AOB=60°,则=(D)
A. B. C. D.
5.综合实践课上,小明画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.(1)~(3)是其作图过程.
(1)分别以点B,D为圆心,大于BD长为半径作弧,相交于两点,作过这两点的直线交BD于O;
(2)连接AO并延长,再以O为圆心,OA长为半径作弧,交AO延长线于点C;
(3)连接DC,BC,则四边形ABCD即为所求.
在小明的作法中,可以直接用于判定四边形ABCD为平行四边形的依据是(D)
A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等
C.一组对边平行且相等 D.对角线互相平分
6.矩形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,若∠OAB=30°,B(3,0),对角线AC与BD相交于点E,AC∥x轴,则BD的长为(D)
A.4 B.6 C.8 D.12
7.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.E,F分别为AC,BD上一点,且OE=OF,连接AF,BE,EF.若∠AFE=25°,则∠CBE的度数为(C)
A.50° B.55° C.65° D.70°
8.(2024·绥化中考)如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是(A)
A. B.6 C. D.12
9.如图,菱形ABCD,点A,B,C,D均在坐标轴上.∠ABC=120°,点A(-3,0),点E是CD的中点,点P是OC上的一动点,则PD+PE的最小值是(A)
A.3 B.5 C.2 D.
10.如图,在矩形ABCD中,AB①四边形AECF是菱形;②∠AFB=2∠ACB;③AC·EF=CF·CD;④若AF平分∠BAC,则CF=2BF.
其中正确结论的个数是(B)
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.如图,两条公路AC,BC恰好互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为0.9 km,则M,C两点间的距离为　0.9 km　.
12.(2024·上海中考)在菱形ABCD中,∠ABC=66°,则∠BAC=　57°　.
13.如图,在平行四边形ABCD中,点E是AB的中点,连接DE,若AD=5,∠ADE=∠AED,则平行四边形ABCD的周长为　30　.
14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,延长CB至点E,使BE=BC,连接DE,F为DE中点,连接BF.若AC=16,BC=12,则BF的长为　5　.
15.(2024·河南中考)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为　(3,10)　.
16.如图,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在AB,AD上,若CE=2,且∠ECF=45°,则CF的长为 　.
三、解答题(共36分)
17.(8分)(2024·云南中考)如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是各边的中点,且AB∥CD,AD∥BC,四边形EFGH是矩形.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
【解析】(1)连接BD,AC,
∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,
∵在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是各边的中点,
∴GF∥BD,HG∥AC,
∵四边形EFGH是矩形,∴HG⊥GF,∴BD⊥AC,
∴四边形ABCD是菱形;
(2)若矩形EFGH的周长为22,四边形ABCD的面积为10,求AB的长.
【解析】(2)∵在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是各边的中点,
∴GF=EH=BD,HG=EF=AC,
∵矩形EFGH的周长为22,∴BD+AC=22,
∵四边形ABCD是菱形,∴BD+AC=OA+OB=11,
∵四边形ABCD的面积为10,
∴BD·AC=10,即2OA·OB=10,
∵(OA+OB)2=OA2+2OA·OB+OB2=121,
∴OA2+OB2=121-10=111,∴AB==.
18.(8分)如图,在菱形ABCD中,BD为对角线,点E,F是直线BD上的不同的两个点,且BE=DF.
(1)试判断四边形AECF的形状,并加以证明;
【解析】(1)四边形AECF是菱形,理由如下:
连接AC,交BD于点O,如图,
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OD=OB,OA=OC,
∵BE=DF,∴BE-OB=DF-OD,∴EO=FO,
又∵AC⊥EF,OA=OC,
∴四边形AECF是菱形;
(2)若ED=BD,菱形ABCD的边长为5,EF=12,试求菱形ABCD的面积.
【解析】(2)∵ED=BD,OD=OB=BD,∴OD=OB=DE,
∵四边形AECF是菱形,∴OF=OE=OD+DE,∴OF=OE=2OD,
∵EF=12,∴EF=OF+OE=4OD=12,∴OD=3,即BD=2OD=6,
∵AC⊥BD,菱形ABCD的边长为5,∴AO==4,∴AC=2AO=8,
∴菱形ABCD的面积为AC×DB×=24.
19.(8分)如图所示,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC.
(1)求证:OE=OF;
【解析】(1)∵在矩形ABCD中,AB∥CD,∴∠EAO=∠FCO,
在△AOE和△COF中,,
∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF;
(2)若AC=6,求AB的长.
【解析】(2)如图,连接OB,
∵BE=BF,OE=OF,
∴BO⊥EF,
∴在Rt△BEO中,∠BEF+∠ABO=90°,
由(1)知△AOE≌△COF,
∴OA=OC,
又∵在矩形ABCD中,∠ABC=90°,
∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知,OA=OB=OC,
∴∠BAO=∠ABO,
又∵∠BEF=2∠BAC,∴2∠BAC+∠BAC=90°,
∴∠BAC=30°,
∵AC=6,∠ABC=90°,
∴BC=AC=3,
∴AB===9.
20.(12分)(2024·长春中考)【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题:如图①,在等边△ABC中,AB=3,点M,N分别在边AC,BC上,且AM=CN,试探究线段MN长度的最小值.
【问题分析】小明通过构造平行四边形,将双动点问题转化为单动点问题,再通过定角发现这个动点的运动路径,进而解决上述几何问题.
【问题解决】如图②,过点C,M分别作MN,BC的平行线,并交于点P,作射线AP.
在【问题呈现】的条件下,完成下列问题:
(1)证明:AM=MP;
(2)∠CAP的大小为　　　　度,线段MN长度的最小值为　　　　　　.
【解析】【问题解决】(1)证明:∵CP∥MN,MP∥NC,
∴四边形CPMN是平行四边形,
∴MP=NC,
又∵AM=CN,∴AM=MP.
(2)∵AM=MP,
∴∠CAP=∠MPA,
∵∠PMC=∠ACB=60°,
∴∠CAP=∠MPA=30°.
∵四边形CPMN是平行四边形,
∴MN=PC,
当PC⊥AP时,PC最小,MN也有最小值,
此时PC=AC=.
∴MN的最小值是.
答案:30　
【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理,如图③.小明收集了该房屋的相关数据,并画出了示意图,如图④,△ABC是等腰三角形,四边形BCDE是矩形,AB=AC=CD=2米,∠ACB=30°.MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳,点M在AC上,点N在DE上.在调整钢丝绳端点位置时,其长度也随之改变,但需始终保持AM=DN.钢丝绳MN长度的最小值为　　　　　　米.
【解析】【方法应用】如图过M,D作ED,MN的平行线,则四边形MNDP是平行四边形,
∴MN=DP,∠PMC=∠ACB=30°,
∴∠PAM=∠APM=15°,
当DP⊥AP时,DP最小,
∵∠ACD=120°,
∴∠CAD=30°,
∴∠PAD=∠CAD+∠PAM=45°,
∴AP=PD,
过C点作CF⊥AD,交AD于点F,
∵AC=CD,∠ACD=120°,
∴∠CDA=30°,AF=FD.
在Rt△CDF中,∠CDA=30°,
∴CF=CD=1米,
∵CF2+FD2=CD2,FD2=CD2-CF2=3,
∴FD=米,
∴AD=2FD=2米,
在Rt△APD中,∵AP=PD,
∴AD2=AP2+PD2=2PD2,
∴(2)2=2PD2,∴MN=PD=米.
答案:第十八章 平行四边形 (45分钟 100分)
一、选择题(每小题4分,共40分)
1.在 ABCD中,若∠A+∠C=80°,则∠B的度数是( )
A.140° B.100° C.40° D.120°
2.如图,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,然后向左扭动框架,观察所得四边形的变化,下面判断错误的是( )
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线BD的长度减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
3.(2024·通辽中考)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,以下条件不能证明 ABCD是菱形的是( )
A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD
C.OA2+OD2=AD2 D.AD2+OA2=OD2
4.(2023·杭州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若∠AOB=60°,则=( )
A. B. C. D.
5.综合实践课上,小明画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.(1)~(3)是其作图过程.
(1)分别以点B,D为圆心,大于BD长为半径作弧,相交于两点,作过这两点的直线交BD于O;
(2)连接AO并延长,再以O为圆心,OA长为半径作弧,交AO延长线于点C;
(3)连接DC,BC,则四边形ABCD即为所求.
在小明的作法中,可以直接用于判定四边形ABCD为平行四边形的依据是( )
A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等
C.一组对边平行且相等 D.对角线互相平分
6.矩形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,若∠OAB=30°,B(3,0),对角线AC与BD相交于点E,AC∥x轴,则BD的长为( )
A.4 B.6 C.8 D.12
7.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.E,F分别为AC,BD上一点,且OE=OF,连接AF,BE,EF.若∠AFE=25°,则∠CBE的度数为( )
A.50° B.55° C.65° D.70°
8.(2024·绥化中考)如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是( )
A. B.6 C. D.12
9.如图,菱形ABCD,点A,B,C,D均在坐标轴上.∠ABC=120°,点A(-3,0),点E是CD的中点,点P是OC上的一动点,则PD+PE的最小值是( )
A.3 B.5 C.2 D.
10.如图,在矩形ABCD中,AB①四边形AECF是菱形;②∠AFB=2∠ACB;③AC·EF=CF·CD;④若AF平分∠BAC,则CF=2BF.
其中正确结论的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.如图,两条公路AC,BC恰好互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为0.9 km,则M,C两点间的距离为 .
12.(2024·上海中考)在菱形ABCD中,∠ABC=66°,则∠BAC= .
13.如图,在平行四边形ABCD中,点E是AB的中点,连接DE,若AD=5,∠ADE=∠AED,则平行四边形ABCD的周长为 .
14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,延长CB至点E,使BE=BC,连接DE,F为DE中点,连接BF.若AC=16,BC=12,则BF的长为 .
15.(2024·河南中考)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为 .
16.如图,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在AB,AD上,若CE=2,且∠ECF=45°,则CF的长为 .
三、解答题(共36分)
17.(8分)(2024·云南中考)如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是各边的中点,且AB∥CD,AD∥BC,四边形EFGH是矩形.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若矩形EFGH的周长为22,四边形ABCD的面积为10,求AB的长.
18.(8分)如图,在菱形ABCD中,BD为对角线,点E,F是直线BD上的不同的两个点,且BE=DF.
(1)试判断四边形AECF的形状,并加以证明;
(2)若ED=BD,菱形ABCD的边长为5,EF=12,试求菱形ABCD的面积.
19.(8分)如图所示,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC.
(1)求证:OE=OF;
(2)若AC=6,求AB的长.
20.(12分)(2024·长春中考)【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题:如图①,在等边△ABC中,AB=3,点M,N分别在边AC,BC上,且AM=CN,试探究线段MN长度的最小值.
【问题分析】小明通过构造平行四边形,将双动点问题转化为单动点问题,再通过定角发现这个动点的运动路径,进而解决上述几何问题.
【问题解决】如图②,过点C,M分别作MN,BC的平行线,并交于点P,作射线AP.
在【问题呈现】的条件下,完成下列问题:
(1)证明:AM=MP;
(2)∠CAP的大小为 度,线段MN长度的最小值为 .
【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理,如图③.小明收集了该房屋的相关数据,并画出了示意图,如图④,△ABC是等腰三角形,四边形BCDE是矩形,AB=AC=CD=2米,∠ACB=30°.MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳,点M在AC上,点N在DE上.在调整钢丝绳端点位置时,其长度也随之改变,但需始终保持AM=DN.钢丝绳MN长度的最小值为 米.

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