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2　动量定理
1～3、5～6题每题7分，4题9分，7题10分，共54分
考点一　冲量的理解和计算
1．下列关于冲量的说法中正确的是(　　)
A．物体受到很大的冲力时，其冲量一定很大
B．当力与位移垂直时，该力的冲量为零
C．不管物体做什么运动，在相同时间内该物体重力的冲量相同
D．只要力的大小恒定，在相同时间内的冲量就恒定
2. 如图所示，质量为m的小滑块沿倾角为θ的斜面向上滑动，经过时间t1，速度减为零并开始下滑，又经过时间t2回到斜面底端，滑块在运动过程中受到的摩擦力大小始终为f，重力加速度为g。在整个运动过程中，下列说法正确的是(　　)
A．重力对滑块的总冲量大小为mg(t1＋t2)sin θ
B．斜面对滑块的支持力对滑块的总冲量大小为mg(t1＋t2)cos θ
C．合力的冲量为0
D．摩擦力的总冲量大小为ft2
3．(多选)质量为m的物体以大小为v0的初速度开始做平抛运动，经过时间t，下降的高度为h，速度大小变为v，重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内物体所受重力的冲量为(　　)
A．m(v－v0) B．mgt
C．m D．m
4. 某种儿童滑梯设施如图所示，中间的滑道长度为2.2 m，假设可以看成倾角α＝37°的斜面，有一质量为15 kg的儿童沿中间滑道从顶端由静止滑下，该儿童与滑道间的动摩擦因数μ＝0.2，求滑下中间滑道的过程中，该儿童所受各力的冲量和合力的冲量。(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
考点二　动量定理的理解和应用
5．下面列举的装置各有一定的道理，其中不能用动量定理进行解释的是(　　)
A．运输玻璃器皿等易碎物品时，在器皿的四周总是垫着碎纸或海绵等柔软、有弹性的垫衬物
B．建筑工人戴的安全帽内有帆布垫，把头和帽子的外壳隔开一定的空间
C．热水瓶胆做成两层，且把两层中间的空气抽去
D．跳高运动中的垫子总是十分松软
6．(2024·广州市第六中学高二开学考)在空中相同高度处以相同的速率分别抛出质量相同的三个小球。一个竖直上抛，一个竖直下抛，一个平抛。若不计空气阻力，三个小球从抛出到落地的过程中(　　)
A．三个小球落地时的动量相同
B．三个小球动量的变化量相同
C．上抛球动量的变化量最大
D．下抛球动量的变化量最大
7．(10分)(2024·广州市第六中学高二开学考)如图所示，人们有时用“打夯”的方式把松散的地面夯实。设某次打夯符合以下模型：两人通过绳子将重物从地面提升，当重物重心上升20 cm时，两人同时释放绳子，让重物由静止开始自由下落，最终重物落地将地面夯实。已知重物的质量为50 kg，重物与地面接触0.02 s后停止运动，不计空气阻力，g取10 m/s2。求：
(1)(4分)重物在空中自由下落过程中重力的冲量大小；
(2)(6分)地面对重物的平均作用力的大小。
8～9、11题每题8分，10题12分，共36分
8．(多选)一质量m＝60 kg的运动员从下蹲状态竖直向上跳起，经t＝0.2 s以大小v＝1 m/s的速度离开地面，重力加速度g＝10 m/s2。在这0.2 s内(　　)
A．地面对运动员的冲量大小为180 N·s
B．地面对运动员的冲量大小为60 N·s
C．地面对运动员做的功为零
D．地面对运动员做的功为30 J
9. 如图所示，一铁块压着一纸条放在水平桌面上，当以速度v抽出纸条后，铁块掉到地面上的P点，若以速度2v抽出纸条，则铁块落地点为(　　)
A．仍在P点
B．在P点左侧
C．在P点右侧不远处
D．在P点右侧原水平位移的两倍处
10．(12分)(2023·成都市高一期末)研究发现，如果人体受到的冲击力超过自身重力的7倍将可能发生严重后果。现用假人模拟人体从高处跌落，实验测得假人从接触地面开始大约Δt＝0.17 s速度减为0，不计空气阻力，重力加速度大小取g＝10 m/s2，则可能发生严重后果相对应的临界跌落高度大约为多少？(结果保留两位有效数字)
11. 一质量m＝4 kg的物体静置在粗糙的水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，从t＝0时刻开始对物体施加一水平力F，其大小如图所示。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10 m/s2，则在0～1.0 s时间内，摩擦力的冲量大小为(　　)
A．10 N·s B．16 N·s
C．20 N·s D．25 N·s
(10分)
12. (2023·佛山市顺德区郑裕彤中学高二阶段检测)如图所示，不可伸长的轻绳一端悬挂在天花板上的O点，另一端系着质量为m的小球，给小球一定的速度v，使之在水平面内做周期为T的匀速圆周运动。重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．小球运动半周的过程中，动量不变
B．小球运动半周的过程中，合力的冲量大小为2mv
C．小球运动一周的过程中，重力的冲量为零
D．小球运动一周的过程中，拉力的冲量为零
2　动量定理
1．C　2.B
3．BCD　[IG＝mgt，B正确；Δp＝p′－p＝mvy，vy＝＝，则Δp＝m＝m，故C、D正确，A错误。]
4．见解析
解析　对儿童受力分析可知，下滑过程其受重力、支持力及摩擦力的作用，由牛顿第二定律得mgsin α－μmgcos α＝ma，由运动学公式得L＝at2，解得t＝1 s，故重力的冲量大小I1＝mgt＝150 N·s，方向竖直向下
支持力的冲量大小I2＝mgcos α·t＝120 N·s，方向垂直于滑道向上
摩擦力的冲量大小I3＝μmgcos α·t＝24 N·s，方向沿滑道向上
儿童受到的合力大小F合＝mgsin α－μmgcos α＝66 N
故合力的冲量大小I＝F合t＝66 N·s，方向沿滑道向下。
5．C　[A、B、D均可以通过延长作用时间从而减小冲击力，都可以用动量定理解释；C选项中将热水瓶胆做成双层，中间的空气抽去是为了保温，不是为了减小冲击力，不能用动量定理解释，故选C。]
6．C　[由机械能守恒定律可得mgh＋mv02＝mv2，可知三个小球落地时的速度大小相等，由于做平抛运动的小球落地时的速度方向与竖直上抛和竖直下抛小球的落地速度方向不同，因此三个小球落地时的动量不相同，A错误；在相同高度处三个小球以相同的速率分别抛出，可知做竖直上抛运动小球的运动时间大于做平抛运动小球的运动时间，做平抛运动小球的运动时间大于做竖直下抛运动小球的运动时间，由动量定理可得mgt＝Δp，可知三个小球动量的变化量不相同，上抛球动量的变化量最大，下抛球动量的变化量最小，B、D错误，C正确。]
7．(1)100 N·s　(2)5 500 N
解析　(1)重物在空中下落过程为自由落体运动，则h＝gt12
重物在空中自由下落过程中重力的冲量大小I＝mgt1
解得I＝100 N·s
(2)以竖直向下为正方向，重物与地面相互作用过程中，
根据动量定理得
mgt2－t2＝0－mv，
又v＝gt1 ，解得＝5 500 N
8．AC　[运动员的速度原来为零，起跳后变为v，以竖直向上为正方向，由动量定理可得I－mgΔt＝mv－0，故地面对运动员的冲量大小为I＝mv＋mgΔt＝60×1 N·s＋60×10×0.2 N·s＝180 N·s，故A正确，B错误；运动员在跳起时，地面对运动员的支持力竖直向上，在跳起过程中，运动员在支持力方向上没有位移，则地面对运动员做的功为零，故C正确，D错误。]
9．B　[以速度2v抽出纸条时，纸条对铁块的作用时间变短，而纸条对铁块的作用力不变，故与以速度v抽出相比，纸条对铁块的作用力的冲量I减小，铁块的动量减小，平抛的初速度减小，水平射程减小，故落在P点左侧，选项B正确。]
10．5.2 m
解析　设人落地时的临界速度为v，取向上为正方向，由题意，根据动量定理有(7mg－mg)Δt＝0－(－mv)，人在下落过程中做自由落体运动，则有v2＝2gh，联立解得临界高度h≈5.2 m。
11．B　[最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则fmax＝μmg＝20 N,0～0.4 s，Ffmax，物体运动，摩擦力为滑动摩擦力，大小为20 N，则滑动摩擦力的冲量大小If动＝μmgt＝20×0.6 N·s＝12 N·s，所以0～1.0 s时间内摩擦力的冲量大小为If＝If静＋If动＝16 N·s，故选B。]
12．B　[小球运动半周的过程中，末速度方向与初速度方向相反，设初速度方向为正，则小球动量的改变量为Δp＝－mv－mv＝－2mv，根据动量定理有I合＝Δp＝－2mv，合力的冲量大小为2mv，故A错误，B正确；小球运动一周的过程中，小球受重力的方向始终竖直向下，则重力的冲量大小为IG＝mgT，故C错误；小球运动一周的过程中，小球所受拉力始终不为零，时间不为零，故拉力的冲量不为零，故D错误。]2　动量定理
[学习目标]　1.理解冲量的概念，会计算某力的冲量，领会求变力的冲量的极限思想(重点)。2.理解动量定理的确切含义及其表达式(重点)。3.会用动量定理解释碰撞、缓冲等生活现象，会运用动量定理解决实际问题(重难点)。
一、冲量　动量定理
设一个质量为m的物体，初速度为v，初动量为p＝mv，在合力F(恒力)的作用下，经过一段时间t后，速度变为v′，末动量为p′＝mv′。在这一过程中：
(1)根据加速度的定义，物体的加速度a＝____，
(2)根据牛顿第二定律，物体的加速度a＝____，
(3)由以上两问得：＝，或Ft＝______，即Ft＝p′－p。
1．冲量
(1)定义：力与________________的乘积。
(2)定义式：I＝________。
(3)物理意义：冲量是反映力的作用对时间的累积效应的物理量，力越大，作用时间越长，冲量就越大。
(4)单位：在国际单位制中，冲量的单位是________，符号为________。
(5)矢量性：冲量是________(填“矢”或“标”)量。如果力的方向恒定，则冲量的方向与________的方向相同。
2．动量定理
(1)内容：物体在一运动过程中所受________________________，等于物体________________。
(2)表达式：Ft＝________或I＝Δp。
(3)对动量定理的理解
①动量定理反映了合外力的冲量是动量变化的原因。
②动量定理的表达式Ft＝mv′－mv是矢量式，在一维情况下运用动量定理解题时，要注意规定正方向。
③不仅适用于宏观物体的低速运动，而且对微观粒子的高速运动同样适用。
用铁锤钉钉子或用球棒击打垒球时，钉子和垒球受的力是________(填“恒力”或“变力”)。动量定理适用于这类力的作用吗？
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(1)作用在物体上的力很大，物体所受的冲量一定也很大。(　　)
(2)用力推物体，但没有推动，则该力对物体的冲量为零。(　　)
(3)若物体在一段时间内动量发生了变化，则物体在这段时间内受到的合外力一定不为零。(　　)
(4)物体所受的合力越大，动量变化得越快。(　　)
二、动量定理的基本应用
1．在日常生活中，有不少这样的例子：跳高时在下落处要放厚厚的海绵垫子，跳远时要落在沙坑中，这样做的目的是什么？
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2. 做一做：将纸带从笔帽下抽出，如何做可保证笔帽不倒？试说说其中的道理。
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应用FΔt＝Δp分析实际问题时，一般从两个方面分析：
(1)Δp一定，Δt短则F________，Δt长则F________；
(2)F一定，Δt长则Δp________，速度变化大，Δt短则Δp________，速度变化小。
(1)击打钉子时，不用橡皮锤仅仅是因为橡皮锤太轻。(　　)
(2)有些轮船和码头上常挂上一些破旧轮胎，可以增加船与码头之间相互作用的时间，以减小船和码头间的作用力。(　　)
(3)在包装箱里垫上泡沫，是为了减小物体在碰撞过程中受到的冲量。(　　)
(4)汽车的安全气囊是通过增加作用时间来减小平均作用力从而减小对司乘人员的伤害。(　　)
(5)从同样的高度落下的两个相同的玻璃杯，掉在水泥地上的玻璃杯动量变化大，掉在草地上的玻璃杯动量变化小。(　　)
例1　一个质量为0.18 kg的垒球，以25 m/s的水平速度飞向球棒，被球棒击打后，反向水平飞回，速度的大小为45 m/s。若球棒与垒球的作用时间为0.002 s，则：
(1)球棒对垒球作用力的冲量是多大？
(2)球棒对垒球的平均作用力为多大？
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例2　如图，用0.5 kg的铁锤钉钉子。打击前铁锤的速度为4 m/s，打击后铁锤的速度变为0，设打击时间为0.01 s，g取10 m/s2。
(1)不计铁锤所受的重力，铁锤钉钉子的平均作用力是多大？
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(2)考虑铁锤所受的重力，铁锤钉钉子的平均作用力是多大？
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拓展　你分析一下，在计算铁锤钉钉子的平均作用力时，在什么情况下可以不计铁锤所受的重力。
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1．动量定理是矢量式，应用时必须选取正方向。
2．动量定理公式中I(F·Δt)应为合力的冲量，不要漏掉某个力的冲量。
3．应用动量定理定量计算的一般步骤：
三、冲量的计算
例3　(2024·河北承德双滦区实验中学期中)与水平方向夹角为θ的力F作用在质量为m的物体上，如图所示，由于地面对物体的摩擦力较大，物体没有被拉动，则经时间t，下列说法正确的是(　　)
A．拉力F对物体的冲量大小为Ftcos θ，方向水平向右
B．摩擦力对物体的冲量大小是Ft，方向水平向左
C．地面对物体支持力的冲量大小为零
D．合力对物体的冲量大小为零
1．冲量等于力和力的作用时间的乘积，即I＝FΔt，取决于力和作用时间两个因素，所以求冲量时一定要明确所求的是哪个力在哪段时间内的冲量，与物体是否运动、在该力的方向上是否有位移无关。
2．冲量是矢量，力的方向不变时，冲量的方向与力的方向相同，如果力的方向是变化的，则冲量的方向与相应时间内动量变化量的方向相同。
3．求合力的冲量：
(1)分别求出每一个力的冲量，再求各冲量的矢量和。
(2)如果各力的作用时间相同，可以先求出各力的合力，再由I＝F合t求合力的冲量。
例4　(多选)质量m＝1 kg的物体放在光滑水平面上，在力F作用下从静止开始运动，其中力F的大小随时间变化的规律如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．在0～3 s内，力F的冲量大小为9 N·s
B．在0～6 s内，力F的冲量大小为13.5 N·s
C．3 s末物体的动量为4.5 kg·m/s
D．6 s末物体的速度大小为18 m/s
求变力冲量的方法
(1)如图甲所示，若力F是变力，但力与时间成线性关系变化，则可用平均力求变力的冲量。
(2)如图乙所示，若给出了力随时间变化的F－t图像，则图像与横轴所围面积表示力F在这段时间内的冲量。
(3)利用动量定理求解：I＝Δp＝p′－p。
例5　(多选)如图所示，高度均为h，倾角不同的两个光滑斜面固定在同一水平地面上，质量均为m的两个物体分别从两斜面顶端由静止开始下滑，不计空气阻力，重力加速度为g，在它们到达斜面底端的过程中(　　)
A．重力的冲量相同，均为m
B．重力做的功相同，均为mgh
C．支持力的冲量均为零
D．支持力做的功均为零
冲量与功的比较
1．冲量I＝F·t
(1)冲量是矢量，其正负表示方向与所选正方向相同或相反。
(2)冲量是力对时间的积累，是引起物体动量变化的原因，F－t图像与t轴围成的面积表示冲量。
2. 功W＝F·x
(1)功是标量，其正负表示是动力做功还是阻力做功。
(2)功是力对空间的积累，是引起物体动能变化的原因，F－x图像与x轴围成的面积表示功，其中x为物体在F方向上的位移。
3．某个力在一段时间内做的功为零时，力的冲量不为零。一对作用力和反作用力的冲量大小一定相等，方向一定相反；但它们所做的功大小不一定相等，符号也不一定相反。
答案精析
一、
(1)　(2)　(3)mv′－mv
梳理与总结
1．(1)力的作用时间　(2)Ft
(4)牛秒　N·s　(5)矢　力
2．(1)合力与作用时间的乘积
动量的变化　(2)p′－p
讨论交流
变力　如果物体受的力是变力，物体做非匀变速运动，可以把整个运动过程分为很多足够短暂的过程，每个短暂过程中物体受的力就可以视为恒力，就可以应用动量定理了。把应用于每个短暂过程的动量定理关系式相加，就得到了应用于整个过程的动量定理。因此动量定理也适用于变力的作用过程。
二、
1．这样做不能改变人落地的速度，也改变不了人动量的变化量，由动量定理Ft＝mv′－mv知，人受到的冲量也是一定的，但是人落在海绵垫子上或落在沙坑中可以延长与地面的作用时间，以减小地面对人的冲击力。
2．将纸带迅速抽出，由动量定理可知，纸带对笔帽的滑动摩擦力一定，作用时间越短，笔帽动量变化量越小，越不容易倒。
梳理与总结
(1)大　小　(2)大　小
易错辨析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、
易错辨析
(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
例1　(1)12.6 N·s　(2)6 300 N
解析　(1)取垒球飞向球棒的方向为正方向，垒球的初动量为p1＝mv1＝4.5 kg·m/s，垒球的末动量为p2＝mv2＝－8.1 kg·m/s，由动量定理可得I＝p2－p1＝－12.6 N·s，则球棒对垒球作用力的冲量大小为12.6 N·s。
(2)垒球所受的平均作用力为＝＝－6 300 N，垒球所受的平均作用力的大小为6 300 N，负号表示力的方向与垒球飞向球棒的方向相反。
例2　(1)200 N　(2)205 N
解析　(1)若不计铁锤所受的重力，打击时，铁锤受到钉子对铁锤竖直向上的弹力，打击后铁锤的速度为0，以竖直向下为正方向。根据动量定理有－FΔt＝0－mv，解得F＝200 N。
由牛顿第三定律知铁锤钉钉子的平均作用力为200 N。
(2)若考虑铁锤所受的重力，则有(G－F)Δt＝0－mv，解得F＝205 N。
由牛顿第三定律知铁锤钉钉子的平均作用力为205 N。
拓展　当打击时间很短时，可以不计铁锤所受的重力
例3　D　[拉力F对物体的冲量大小为Ft，方向与F方向相同，故A错误；物体没有被拉动，可得摩擦力大小为f＝Fcos θ，故摩擦力对物体的冲量大小是Ftcos θ，方向水平向左，故B错误；地面对物体的支持力大小为N＝mg－Fsin θ，故地面对物体的支持力的冲量大小为I＝(mg－Fsin θ)t，方向竖直向上，故C错误；物体处于静止状态，所受合力为零，所以合力对物体的冲量为零，故D正确。]
例4　BC　[力F在0～3 s内的冲量大小I1＝×3×3 N·s＝4.5 N·s，由动量定理I＝Δp得3 s末的动量大小为4.5 kg·m/s，A错误，C正确；力F在0～6 s内的冲量大小I2＝×3×3 N·s＋3×3 N·s＝13.5 N·s，由动量定理I＝Δp＝mv－0，得6 s末的速度大小为13.5 m/s，B正确，D错误。]
例5　BD　[斜面高为h，倾角为θ，物体质量为m，则物体滑至底端，有＝gsin θt2，得出下滑的时间t＝，则重力的冲量IG＝mgt＝，与θ有关，故重力的冲量不同，故A错误；两物体滑至斜面底端的过程，重力做功均为mgh，故B正确；支持力方向与物体运动方向垂直，不做功，但支持力的冲量不为零，故C错误，D正确。](共57张PPT)
DIYIZHANG
第一章
2　动量定理
1.理解冲量的概念，会计算某力的冲量，领会求变力的冲量的极限思想(重点)。
2.理解动量定理的确切含义及其表达式(重点)。
3.会用动量定理解释碰撞、缓冲等生活现象，会运用动量定理解决实际问题(重难点)。
学习目标
一、冲量　动量定理
二、动量定理的基本应用
课时对点练
三、冲量的计算
内容索引
冲量　动量定理
一
设一个质量为m的物体，初速度为v，初动量为p＝mv，在合力F(恒力)的作用下，经过一段时间t后，速度变为v′，末动量为p′＝mv′。在这一过程中：
(1)根据加速度的定义，物体的加速度a＝________，
(2)根据牛顿第二定律，物体的加速度a＝____，
mv′－mv
1.冲量
(1)定义：力与_____________的乘积。
(2)定义式：I＝____。
(3)物理意义：冲量是反映力的作用对时间的累积效应的物理量，力越大，作用时间越长，冲量就越大。
(4)单位：在国际单位制中，冲量的单位是_____，符号为____。
(5)矢量性：冲量是____(填“矢”或“标”)量。如果力的方向恒定，则冲量的方向与____的方向相同。
梳理与总结
力的作用时间
Ft
牛秒
N·s
矢
力
2.动量定理
(1)内容：物体在一运动过程中所受______________________，等于物体____________。
(2)表达式：Ft＝________或I＝Δp。
(3)对动量定理的理解
①动量定理反映了合外力的冲量是动量变化的原因。
②动量定理的表达式Ft＝mv′－mv是矢量式，在一维情况下运用动量定理解题时，要注意规定正方向。
③不仅适用于宏观物体的低速运动，而且对微观粒子的高速运动同样适用。
合力与作用时间的乘积
动量的变化
p′－p
用铁锤钉钉子或用球棒击打垒球时，钉子和垒球受的力是_____(填“恒力”或“变力”)。动量定理适用于这类力的作用吗？
讨论交流
变力
答案　如果物体受的力是变力，物体做非匀变速运动，可以把整个运动过程分为很多足够短暂的过程，每个短暂过程中物体受的力就可以视为恒力，就可以应用动量定理了。把应用于每个短暂过程的动量定理关系式相加，就得到了应用于整个过程的动量定理。因此动量定理也适用于变力的作用过程。
(1)作用在物体上的力很大，物体所受的冲量一定也很大。(　 　)
(2)用力推物体，但没有推动，则该力对物体的冲量为零。(　 　)
(3)若物体在一段时间内动量发生了变化，则物体在这段时间内受到的合外力一定不为零。(　 　)
(4)物体所受的合力越大，动量变化得越快。(　 　)
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二
动量定理的基本应用
1.在日常生活中，有不少这样的例子：跳高时在下落处要放厚厚的海绵垫子，跳远时要落在沙坑中，这样做的目的是什么？
答案　这样做不能改变人落地的速度，也改变不了人动量的变化量，由动量定理Ft＝mv′－mv知，人受到的冲量也是一定的，但是人落在海绵垫子上或落在沙坑中可以延长与地面的作用时间，以减小地面对人的冲击力。
2.做一做：将纸带从笔帽下抽出，如何做可保证笔帽不倒？试说说其中的道理。
答案　将纸带迅速抽出，由动量定理可知，纸带对笔帽的滑动摩擦力一定，作用时间越短，笔帽动量变化量越小，越不容易倒。
应用FΔt＝Δp分析实际问题时，一般从两个方面分析：
(1)Δp一定，Δt短则F____，Δt长则F____；
(2)F一定，Δt长则Δp____，速度变化大，Δt短则Δp____，速度变化小。
梳理与总结
大
小
大
小
(1)击打钉子时，不用橡皮锤仅仅是因为橡皮锤太轻。(　 　)
(2)有些轮船和码头上常挂上一些破旧轮胎，可以增加船与码头之间相互作用的时间，以减小船和码头间的作用力。(　 　)
(3)在包装箱里垫上泡沫，是为了减小物体在碰撞过程中受到的冲量。
(　 　)
(4)汽车的安全气囊是通过增加作用时间来减小平均作用力从而减小对司乘人员的伤害。(　 　)
(5)从同样的高度落下的两个相同的玻璃杯，掉在水泥地上的玻璃杯动量变化大，掉在草地上的玻璃杯动量变化小。(　 　)
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　一个质量为0.18 kg的垒球，以25 m/s的水平速度飞向球棒，被球棒击打后，反向水平飞回，速度的大小为45 m/s。若球棒与垒球的作用时间为0.002 s，则：
(1)球棒对垒球作用力的冲量是多大？
例1
答案　12.6 N·s
取垒球飞向球棒的方向为正方向，垒球的初动量为p1＝mv1＝4.5 kg·
m/s，垒球的末动量为p2＝mv2＝－8.1 kg·m/s，由动量定理可得I＝p2－p1＝－12.6 N·s，则球棒对垒球作用力的冲量大小为12.6 N·s。
(2)球棒对垒球的平均作用力为多大？
答案　6 300 N
垒球所受的平均作用力为 ＝－6 300 N，垒球所受的平均作用力的大小为6 300 N，负号表示力的方向与垒球飞向球棒的方向相反。
　如图，用0.5 kg的铁锤钉钉子。打击前铁锤的速度为4 m/s，打击后铁锤的速度变为0，设打击时间为0.01 s，g取10 m/s2。
(1)不计铁锤所受的重力，铁锤钉钉子的平均作用
力是多大？
例2
答案　200 N
若不计铁锤所受的重力，打击时，铁锤受到钉子对铁锤竖直向上的弹力，打击后铁锤的速度为0，以竖直向下为正方向。根据动量定理有－FΔt＝0－mv，解得F＝200 N。
由牛顿第三定律知铁锤钉钉子的平均作用力为200 N。
(2)考虑铁锤所受的重力，铁锤钉钉子的平均作用力是多大？
答案　205 N
若考虑铁锤所受的重力，则有(G－F)Δt＝0－mv，解得F＝205 N。
由牛顿第三定律知铁锤钉钉子的平均作用力为205 N。
　你分析一下，在计算铁锤钉钉子的平均作用力时，在什么情况下可以不计铁锤所受的重力。
拓展
答案　当打击时间很短时，可以不计铁锤所受的重力
总结提升
返回
1.动量定理是矢量式，应用时必须选取正方向。
2.动量定理公式中I(F·Δt)应为合力的冲量，不要漏掉某个力的冲量。
3.应用动量定理定量计算的一般步骤：
冲量的计算
三
　(2024·河北承德双滦区实验中学期中)与水平方向夹角为θ的力F作用在质量为m的物体上，如图所示，由于地面对物体的摩擦力较大，物体没有被拉动，则经时间t，下列说法正确的是
A.拉力F对物体的冲量大小为Ftcos θ，方向水平向右
B.摩擦力对物体的冲量大小是Ft，方向水平向左
C.地面对物体支持力的冲量大小为零
D.合力对物体的冲量大小为零
例3
√
拉力F对物体的冲量大小为Ft，方向与F方向相同，故A错误；
物体没有被拉动，可得摩擦力大小为f＝Fcos θ，
故摩擦力对物体的冲量大小是Ftcos θ，方向水平向左，故B错误；
地面对物体的支持力大小为N＝mg－Fsin θ，故地面对物体的支持力的冲量大小为I＝(mg－Fsin θ)t，方向竖直向上，故C错误；
物体处于静止状态，所受合力为零，所以合力对物体的冲量为零，故D正确。
总结提升
1.冲量等于力和力的作用时间的乘积，即I＝FΔt，取决于力和作用时间两个因素，所以求冲量时一定要明确所求的是哪个力在哪段时间内的冲量，与物体是否运动、在该力的方向上是否有位移无关。
2.冲量是矢量，力的方向不变时，冲量的方向与力的方向相同，如果力的方向是变化的，则冲量的方向与相应时间内动量变化量的方向相同。
总结提升
3.求合力的冲量：
(1)分别求出每一个力的冲量，再求各冲量的矢量和。
(2)如果各力的作用时间相同，可以先求出各力的合力，再由I＝F合t求合力的冲量。
　(多选)质量m＝1 kg的物体放在光滑水平面上，在力F作用下从静止开始运动，其中力F的大小随时间变化的规律如图所示，下列说法正确的是
A.在0～3 s内，力F的冲量大小为9 N·s
B.在0～6 s内，力F的冲量大小为13.5 N·s
C.3 s末物体的动量为4.5 kg·m/s
D.6 s末物体的速度大小为18 m/s
例4
√
√
总结提升
求变力冲量的方法
(1)如图甲所示，若力F是变力，但力与时间成线性
关系变化，则可用平均力求变力的冲量。
(2)如图乙所示，若给出了力随时间变化的F－t图像，则图像与横轴所围面积表示力F在这段时间内的冲量。
(3)利用动量定理求解：I＝Δp＝p′－p。
　(多选)如图所示，高度均为h，倾角不同的两个光滑斜面固定在同一水平地面上，质量均为m的两个物体分别从两斜面顶端由静止开始下滑，不计空气阻力，重力加速度为g，在它们到达斜面底端的过程中
A.重力的冲量相同，均为
B.重力做的功相同，均为mgh
C.支持力的冲量均为零
D.支持力做的功均为零
例5
√
√
两物体滑至斜面底端的过程，重力
做功均为mgh，故B正确；
支持力方向与物体运动方向垂直，
不做功，但支持力的冲量不为零，故C错误，D正确。
总结提升
冲量与功的比较
1.冲量I＝F·t
(1)冲量是矢量，其正负表示方向与所选正方向
相同或相反。
(2)冲量是力对时间的积累，是引起物体动量变化的原因，F－t图像与t轴围成的面积表示冲量。
2.功W＝F·x
(1)功是标量，其正负表示是动力做功还是阻力做功。
总结提升
返回
(2)功是力对空间的积累，是引起物体动能变化的
原因，F－x图像与x轴围成的面积表示功，其中x
为物体在F方向上的位移。
3.某个力在一段时间内做的功为零时，力的冲量不为零。一对作用力和反作用力的冲量大小一定相等，方向一定相反；但它们所做的功大小不一定相等，符号也不一定相反。
课时对点练
四
考点一　冲量的理解和计算
1.下列关于冲量的说法中正确的是
A.物体受到很大的冲力时，其冲量一定很大
B.当力与位移垂直时，该力的冲量为零
C.不管物体做什么运动，在相同时间内该物体重力的冲量相同
D.只要力的大小恒定，在相同时间内的冲量就恒定
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基础对点练
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冲量是力与时间的乘积，是矢量，力大，冲量不一定大，A错误；
冲量是力对时间的积累，与力与位移是否垂直无关，B错误；
不管物体做什么运动，在相同时间内该物体重力的冲量相同，C正确；
力的大小恒定，但方向不一定恒定，故其相同时间内冲量方向不一定相同，D错误。
2.如图所示，质量为m的小滑块沿倾角为θ的斜面向上滑动，经过时间t1，速度减为零并开始下滑，又经过时间t2回到斜面底端，滑块在运动过程中受到的摩擦力大小始终为f，重力加速度为g。在整个运动过程中，下列说法正确的是
A.重力对滑块的总冲量大小为mg(t1＋t2)sin θ
B.斜面对滑块的支持力对滑块的总冲量大小
为mg(t1＋t2)cos θ
C.合力的冲量为0
D.摩擦力的总冲量大小为ft2
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重力对滑块的总冲量大小为IG＝mg(t1＋t2)，A错误；
斜面对滑块的支持力对滑块的总冲量大小为IN＝mg(t1＋t2)cos θ，B正确；
整个过程中滑块的动量发生了改变，故合力的冲量不为0，C错误；
上滑过程和下滑过程摩擦力的方向相反，故若以沿斜面向上为正方向，摩擦力的总冲量大小为If＝f(t2－t1)，D错误。
3.(多选)质量为m的物体以大小为v0的初速度开始做平抛运动，经过时间t，下降的高度为h，速度大小变为v，重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内物体所受重力的冲量为
A.m(v－v0) B.mgt
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IG＝mgt，B正确；
4.某种儿童滑梯设施如图所示，中间的滑道长度为2.2 m，假设可以看成倾角α＝37°的斜面，有一质量为15 kg的儿童沿中间滑道从顶端由静止滑下，该儿童与滑道间的动摩擦因数μ＝0.2，求滑下中间滑道的过程中，该儿童所受各力的冲量和合力的冲量。(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
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答案　见解析
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对儿童受力分析可知，下滑过程其受重力、支持力及摩擦力的作用，由牛顿第二定律得mgsin α－μmgcos α＝ma，由运动学公式得L＝ ，解得t＝1 s，故重力的冲量大小I1＝mgt＝150 N·s，
方向竖直向下
支持力的冲量大小I2＝mgcos α·t＝120 N·s，方向
垂直于滑道向上
摩擦力的冲量大小I3＝μmgcos α·t＝24 N·s，方向沿滑道向上
儿童受到的合力大小F合＝mgsin α－μmgcos α＝66 N
故合力的冲量大小I＝F合t＝66 N·s，方向沿滑道向下。
考点二　动量定理的理解和应用
5.下面列举的装置各有一定的道理，其中不能用动量定理进行解释的是
A.运输玻璃器皿等易碎物品时，在器皿的四周总是垫着碎纸或海绵等柔
软、有弹性的垫衬物
B.建筑工人戴的安全帽内有帆布垫，把头和帽子的外壳隔开一定的空间
C.热水瓶胆做成两层，且把两层中间的空气抽去
D.跳高运动中的垫子总是十分松软
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A、B、D均可以通过延长作用时间从而减小冲击力，都可以用动量定理解释；
C选项中将热水瓶胆做成双层，中间的空气抽去是为了保温，不是为了减小冲击力，不能用动量定理解释，故选C。
6.(2024·广州市第六中学高二开学考)在空中相同高度处以相同的速率分别抛出质量相同的三个小球。一个竖直上抛，一个竖直下抛，一个平抛。若不计空气阻力，三个小球从抛出到落地的过程中
A.三个小球落地时的动量相同
B.三个小球动量的变化量相同
C.上抛球动量的变化量最大
D.下抛球动量的变化量最大
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由机械能守恒定律可得mgh＋ ，可知三个小球落地时的速度大小相等，由于做平抛运动的小球落地时的速度方向与竖直上抛和竖直下抛小球的落地速度方向不同，因此三个小球落地时的动量不相同，A错误；
在相同高度处三个小球以相同的速率分别抛出，可知做竖直上抛运动小球的运动时间大于做平抛运动小球的运动时间，做平抛运动小球的运动时间大于做竖直下抛运动小球的运动时间，由动量定理可得mgt＝Δp，可知三个小球动量的变化量不相同，上抛球动量的变化量最大，下抛球动量的变化量最小，B、D错误，C正确。
7.(2024·广州市第六中学高二开学考)如图所示，人们有时用“打夯”的方式把松散的地面夯实。设某次打夯符合以下模型：两人通过绳子将重物从地面提升，当重物重心上升20 cm时，两人同时释放绳子，让重物由静止开始自由下落，最终重物落地将地面夯实。已知重物的质量为50 kg，重物与地面接触0.02 s后停止运动，不计空气阻力，g取10 m/s2。求：
(1)重物在空中自由下落过程中重力的冲量大小；
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答案　100 N·s
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重物在空中下落过程为自由落体运动，则h＝
重物在空中自由下落过程中重力的冲量大小I＝mgt1
解得I＝100 N·s
(2)地面对重物的平均作用力的大小。
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答案　5 500 N
以竖直向下为正方向，重物与地面相互作用过程中，
8.(多选)一质量m＝60 kg的运动员从下蹲状态竖直向上跳起，经t＝0.2 s以大小v＝1 m/s的速度离开地面，重力加速度g＝10 m/s2。在这0.2 s内
A.地面对运动员的冲量大小为180 N·s
B.地面对运动员的冲量大小为60 N·s
C.地面对运动员做的功为零
D.地面对运动员做的功为30 J
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能力综合练
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运动员的速度原来为零，起跳后变为v，以竖直向上为正方向，由动量定理可得I－mgΔt＝mv－0，故地面对运动员的冲量大小为I＝mv＋mgΔt＝60×1 N·s＋60×10×0.2 N·s＝180 N·s，故A正确，B错误；
运动员在跳起时，地面对运动员的支持力竖直向上，在跳起过程中，运动员在支持力方向上没有位移，则地面对运动员做的功为零，故C正确，D错误。
9.如图所示，一铁块压着一纸条放在水平桌面上，当以速度v抽出纸条后，铁块掉到地面上的P点，若以速度2v抽出纸条，则铁块落地点为
A.仍在P点
B.在P点左侧
C.在P点右侧不远处
D.在P点右侧原水平位移的两倍处
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以速度2v抽出纸条时，纸条对铁块的作用时间变
短，而纸条对铁块的作用力不变，故与以速度v
抽出相比，纸条对铁块的作用力的冲量I减小，铁块的动量减小，平抛的初速度减小，水平射程减小，故落在P点左侧，选项B正确。
10.(2023·成都市高一期末)研究发现，如果人体受到的冲击力超过自身重力的7倍将可能发生严重后果。现用假人模拟人体从高处跌落，实验测得假人从接触地面开始大约Δt＝0.17 s速度减为0，不计空气阻力，重力加速度大小取g＝10 m/s2，则可能发生严重后果相对应的临界跌落高度大约为多少？(结果保留两位有效数字)
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答案　5.2 m
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设人落地时的临界速度为v，取向上为正方向，由题意，根据动量定理有(7mg－mg)Δt＝0－(－mv)，人在下落过程中做自由落体运动，则有v2＝2gh，联立解得临界高度h≈5.2 m。
11.一质量m＝4 kg的物体静置在粗糙的水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，从t＝0时刻开始对物体施加一水平力F，其大小如图所示。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10 m/s2，则在0～1.0 s时间内，摩擦力的冲量大小为
A.10 N·s B.16 N·s
C.20 N·s D.25 N·s
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最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则fmax＝μmg＝20 N,
0～0.4 s，F小等于F，由题图可知静摩擦力的冲量大小If静＝ ×
0.4×20 N·s＝4 N·s,0.4～1.0 s，F>fmax，物体运动，摩擦力为滑动摩擦力，大小为20 N，则滑动摩擦力的冲量大小If动＝μmgt＝20×0.6 N·s＝12 N·s，所以0～1.0 s时间内摩擦力的冲量大小为If＝If静＋If动＝16 N·s，故选B。
12.(2023·佛山市顺德区郑裕彤中学高二阶段检测)如图所示，不可伸长的轻绳一端悬挂在天花板上的O点，另一端系着质量为m的小球，给小球一定的速度v，使之在水平面内做周期为T的匀速圆周运动。重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是
A.小球运动半周的过程中，动量不变
B.小球运动半周的过程中，合力的冲量大小为2mv
C.小球运动一周的过程中，重力的冲量为零
D.小球运动一周的过程中，拉力的冲量为零
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尖子生选练
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小球运动半周的过程中，末速度方向与初速度方向相反，设初速度方向为正，则小球动量的改变量为Δp＝－mv－mv＝－2mv，根据动量定理有I合＝Δp＝－2mv，合力的冲量大小为2mv，故A错误，B正确；
返回
小球运动一周的过程中，小球受重力的方向始终竖直向下，则重力的冲量大小为IG＝mgT，故C错误；
小球运动一周的过程中，小球所受拉力始终不为零，时间不为零，故拉力的冲量不为零，故D错误。

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