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10.2事件的相互独立性
一、温故知新
事件的关系和运算 概率关系
A、B互斥
A、B对立
我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生.
因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关系.
那么这种关系会是怎样的呢
下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题。
事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？
因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率
探究新知
思考1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
探究新知
思考1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？
用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，
则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.
A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},
所以AB={(1,0)}.
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
由古典概型概率计算公式，
得P(A)=P(B)= , P(AB)= .
于是P(AB)=P(A)P(B).
思考2:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.
事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？
因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，
所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.
思考2:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.
分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？
样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16个等可能的样本点.
而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)},
B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}, AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},
于是也有P(AB)=P(A)P(B).积事件AB的概率P(AB)也等于P(A),P(B)的乘积.
一、概念解析
相互独立事件的定义:
设A,B两个事件,如果P(AB)=P(A)P(B)成立, 则称事件A与事件B相互独立.简称独立.（事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响）
注意：
①、互斥事件：两个事件不能同时发生.
②、相互独立事件：两个事件的发生彼此互不影响.
判断两个事件相互独立的方法：
①、定义法：P(AB)=P(A)P(B)
②、直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响。
根据相互独立事件的定义，必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响，当然，他们也不影响其他事件的发生.
思考3：必然事件与任意事件是否相互独立？
不可能事件与任意事件是否相互独立？
所以，必然事件与任意事件相互独立，不可能事件与任意事件相互独立
思考4：若事件A与B相互独立, 则 也相互独立吗？
∵事件A与B相互独立
∴P(AB)=P(A)P(B)
也相互独立吗？
提示：
(1)必然事件 及不可能事件 与任何事件A相互独立.
二、相互独立事件的性质
(2)若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:
注意：当三个事件A、B、C两两独立时，
等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立
三、 典例解析
此时P(AB)≠P(A)P(B),因此，事件A与事件B不独立.
∴
解：∵样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n},共有12个样本点，
即n(Ω)=12
A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},n(A)=6
B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},n(B)=6
AB={(1,2),(2,1)},n(AB)=2
例1.一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？
例2.判断下列事件是否为相互独立事件.
① 篮球比赛的“罚球两次”中，
事件A：第一次罚球，球进了.
事件B：第二次罚球，球进了.
②袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.
事件A：第一次从中任取一个球是白球.
事件B：第二次从中任取一个球是白球.
③袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.
事件A：第一次从中任取一个球是白球.
事件B：第二次从中任取一个球是白球.
例3.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,
乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：
(1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶.
由于两个人射击的结果互不影响，所以A与B相互独立，
解：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则 =“甲脱靶”， =“乙脱靶”，
A与 , 与B, 与 都相互独立,
由已知可得， P(A)=0.8,P(B)=0.9,P( )=0.2,P( )=0.1
(1)AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72
(2)“恰好有一人中靶”=A ∪ B,且A 与 B互斥,
根据概率的加法公式和事件独立性定义，得P(A ∪ B)=P(A )+P( B)
　　　　　　　　=P(A)P( )+P( )P(B)=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26
例3.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,
乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：
(1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶.
(4)①事件“至少有一人中靶 ,
②法2
∵事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”
∴事件“至少有一人中把”的概率为
“大化小”
“正难则反”
(3)事件“两人都脱靶”= ,所以P( )=P( )P( )=0.2×0.1=0.02
四、课堂练习
解：
即A、B、C两两相互独立
1、分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第1枚正面朝上”，事件B=“第2枚正面朝上”，事件C=“2枚硬币朝上的面相同”，A、B、C中哪两个相互独立？
2、天气预报元旦假期甲地降雨概率为0.2，乙地降雨概率为0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算这段时间内：
(1)甲乙两地都降雨的概率；
(2)甲乙两地都不降雨的概率；
(3)至少一个地方降雨的概率；
且事件A与B相互独立.
解：设事件A=“甲地降雨”，事件B=“乙地降雨”，由题意知P(A)=0.2,P(B)=0.3,
五、课堂小结
三、判断两个事件相互独立的方法：
①、定义法：P(AB)=P(A)P(B)
②、直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响。
二、相互独立事件的性质
一、相互独立事件的定义:
再会！

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