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8.2 立体图形的直观图
【学习目标】
1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.(逻辑推理)
2.会用斜二测画法画常见的柱体、锥体、台体、球体以及简单组合体的直观图.(直观想象)
【自主预习】
1.直观图与立体图形一定相同吗
2.空间几何体的直观图中实线和虚线分别表示什么意思
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段,原来互相垂直的线段仍互相垂直. ( )
(2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段,原来平行的线段仍平行. ( )
(3)菱形的直观图为菱形. ( )
(4)梯形的直观图不是梯形. ( )
3.水平放置的正方形ABCD的直观图如图所示,在直观图中,A'B'与C'D'有何关系 A'D'与B'C'呢 在原图与直观图中,AB与A'B'相等吗 AD与A'D'呢
4.正方体ABCD-A1B1C1D1的直观图如图所示,在此图形中各个面都画成正方形了吗
2.某一平面图形的直观图如图所示,则此平面图形可能是图中的( ).
A　　　　 　B　　 　　C　　 　　D
3.如图,在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(-1,2),C(-1,0),D(1,-2),则四边形ABCD的直观图的面积为( ).
A.4
B.3
C.2
D.
4.画出如图所示的水平放置的正方形的直观图(画在原图上).
【合作探究】
　用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图
问题1:矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状 根据这个例子,你能得出什么结论
问题2:你能画水平放置的正方形的直观图吗
问题3:你能总结一下画水平放置的正方形的直观图的规则吗
1.斜二测画法
我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图.斜二测画法是一种特殊的 画法.
2.平面图形直观图的画法及要求
画水平放置的正五边形的直观图.
【方法总结】画平面图形的直观图的技巧:(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取恰当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点;(2)画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.
画出下图所示的水平放置的直角梯形的直观图.
　空间几何体的直观图的画法
已知正六棱锥P-ABCDEF.
问题1:如何画正六棱锥的直观图呢
问题2:空间几何体的直观图唯一吗
空间几何体的直观图的画法
(1)与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都垂直的 轴,直观图中与之对应的是 轴;
(2)平面 表示水平平面,平面 和 表示竖直平面;
(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中 和 都不变;
(4)去掉辅助线,将被遮挡的部分改为 ,成图.
画正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图.(底面边长尺寸不作要求,侧棱长为1.5 cm)
【方法总结】画空间几何体的直观图的基本原则:(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时,图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x'轴、y'轴、z'轴的线段;(2)平行于x轴、z轴(或在x轴、z轴上)的线段在直观图中长度保持不变,平行于y轴的线段长度变为原来的.
某简单组合体由上、下两部分组成,下部分是一个圆台(上底面面积大于下底面面积),上部分是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆台的上底面重合,用斜二测画法画出这个组合体的直观图.
　直观图的还原与计算
如图,△A'B'C'是用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图.
问题1:能否判断△ABC的形状
问题2:若C'A'=4,C'B'=2,则△A'B'C'与△ABC的面积分别是多少
问题3:探究平面多边形的面积S1与其用斜二测画法画出的直观图的面积S2之间的关系.
1.直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段,且平行于x'轴的线段还原时长度不变,平行于y'轴的线段还原时变为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.
2.直观图与原图形面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S',则有S'=S.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.
如图,△A'B'C'是用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图,D'是B'C'的中点,且A'D'∥y'轴,B'C'∥x'轴,A'D'=2,B'C'=2,那么下列结论正确的是( ).
A.AD>AC
B.S△ABC=4
C.S△A'B'C'=2
D.∠ABC=
【方法总结】平面多边形与其直观图的面积之间的用关系
若一个平面多边形的面积为S原,用斜二测画法得到的直观图的面积为S直,则S直=S原.
用斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O'A'B'C',梯形O'A'B'C'的上底长是下底长的,若原平面图形OABC的面积为3,则O'A'的长为( ).
A.2 B. C. D.
【随堂检测】
1.关于斜二测画法所得的直观图,以下说法正确的是( ).
A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B.正方形的直观图为平行四边形
C.梯形的直观图不是梯形
D.正三角形的直观图一定为等腰三角形
2.如图,△O'A'B'是利用斜二测画法所得的水平放置的△OAB的直观图,A'O'=6,B'O'=2,则线段AB的长度为( ).
A.2 B.4 C.2 D.4
3.利用斜二测画法所得的水平放置的△ABC的直观图如图所示,已知A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线的实际长度为 .
4.用斜二测画法画长、宽、高分别为4,3,2的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.
参考答案
8.2　立体图形的直观图
自主预习·悟新知
预学忆思
1.不一定相同.空间几何体的直观图是在平行投影下画出的平面图形.
2.在用斜二测画法画立体图形时,实线表示看得见的部分,虚线表示看不见(被遮挡)的部分.
3.A'B' C'D',A'D' B'C',A'B'=AB,A'D'=AD.
4.没有都画成正方形.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.C　【解析】由斜二测画法的概念知,C正确.
3.D　【解析】依
题意,四边形ABCD是平行四边形,AC=BC=2,BC∥Oy.
如图,△A'B'C'是△ABC的直观图,A'C'=AC=2,B'C'=BC=1,B'C'∥O'y',
所以四边形ABCD的直观图的面积S=2S△A'B'C'=2×·A'C'·B'C'×sin 45°=.
4.【解析】该正方形的直观图如图中虚线部分所示.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:平行四边形.若一个矩形垂直于投影面,投影线不垂直于投影面,则矩形的平行投影是一个平行四边形.
问题2:能.如图所示.
已知图形　　　　　直观图　　
问题3:能.规则:画轴,横不变,纵减半,平行关系不改变.
新知生成
1.平行投影
新知运用
例1　【解析】(1)建立如图1所示的平面直角坐标系xOy,再建立如图2所示的坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.
(2)在图1中作BG⊥x轴于点G,EH⊥x轴于点H,在坐标系x'O'y'中作O'H'=OH,O'G'=OG,O'A'=OA,O'F'=OF.过F'作C'D'∥x'轴,且C'F'=CF,F'D'=FD.在坐标系x'O'y'中,过点G'作G'B'∥y'轴,且G'B'=GB,过点H'作H'E'∥y'轴,且H'E'=HE.连接A'B',B'C',C'D',D'E',E'A',如图2所示.
(3)擦去辅助线,得五边形A'B'C'D'E'为正五边形ABCDE的直观图,如图3所示.
巩固训练　【解析】(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图1所示.
　　　　图1　　　　　　　　图2　　　　　　　图3
(2)画相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,在x'轴上截取O'B'=OB,在y'轴上截取O'D'=OD,过点D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C'使得D'C'=DC,连接B'C',如图2所示.
(3)擦去辅助线,所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形OBCD的直观图,如图3所示.
探究2　情境设置
问题1:先画正六棱锥P-ABCDEF的底面的直观图,再画正六棱锥的高的直观图,然后连接得图形.
问题2:不唯一.作直观图时,由于选轴的不同,画出的直观图也不同.
新知生成
(1)z　z'　(2)x'O'y'　y'O'z'　x'O'z'　(3)平行性　长度　(4)虚线
新知运用
例2　【解析】(1)画轴.如图1,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.根据x轴、y轴,画正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱.过A,B,C,D,E,F各点分别作z轴的平行线,在这些平行线上分别截取线段AA',BB',CC',DD',EE',FF',使其都等于1.5 cm.
(4)成图.顺次连接A',B',C',D',E',F',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到了正六棱柱的直观图,如图2.
巩固训练　【解析】画直观图时,我们可以先画出下部分的圆台,再画出上部分的圆锥.
(1)画轴.如图1,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°.
(2)画圆台的两底面.利用斜二测画法,画出底面圆O,在z轴上截取OO',使OO'等于圆台的高度,过O'作Ox的平行线O'x',Oy的平行线O'y',利用x'轴与y'轴画出上底面圆O'(与画圆O一样).
(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO'等于圆锥的高度.
(4)成图.连接PA',PB',A'A,B'B,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,整理得到几何体的直观图,如图2.
探究3　情境设置
问题1:能.根据斜二测画法规则知,∠ACB=90°,故△ABC为直角三角形.
问题2:△A'B'C'的面积S△A'B'C'=×4×2sin =2.原图形△ABC是等腰直角三角形,其面积S△ABC=×4×4=8.
问题3:先研究三角形,它的直观图仍为三角形,且底边长度不变,高变为原来的sin 45°=,所以S2=S1.　(*)对于四边形、五边形等多边形,可以分解成(n-2)个三角形,每个小三角形的面积与其直观图的面积都满足(*),所以它们的面积总和仍旧满足S2=S1.
新知运用
例3　B　【解析】根据题意,可知原平面图形为等腰三角形,其中AD⊥BC,AD=2A'D'=4,BC=B'C'=2.
因为△ADC是直角三角形,∠ADC=90°,所以AD原平面图形的面积S△ABC=BC·AD=×2×4=4,选项B正确;
S△A'B'C'=S△ABC=×4=,选项C错误;
在Rt△ABD中,AD=4BD,且AD⊥BD,tan∠ABC=4>1,所以∠ABC>,选项D错误.
巩固训练　D　【解析】设O'A'=x,可得O'B'=x,则OB=2O'B'=2x,BC=B'C'=,OA=O'A'=x,且OB为原图形中梯形的高,所以平面图形OABC的面积S=x+×2x=3,解得x=.
随堂检测·精评价
1.B　【解析】由斜二测画法的规则可知,只有B正确.
2.C　【解析】由题意得,△OAB是直角三角形,两条直角边分别为OA,OB,且OA=6,OB=4,
所以AB====2.
3.2.5　【解析】由直观图知,原平面图形为Rt△ACB,且AC=A'C'=3,BC=2B'C'=4,计算得AB=5,故所求中线的长为2.5.
4.【解析】(1)画轴.如图1,画x轴、y轴、z轴,三条轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.以O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=4;在y轴上取线段PQ,使PQ=.分别过点M和点N作y轴的平行线,过点P和点Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱.过点A,B,C,D分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取长为2的线段AA',BB',CC',DD'(其中点A',B',C',D'在平面ABCD的上方).
(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),可得到长方体的直观图,如图2.

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