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2　简谐运动的回复力及能量
1～7题每题4分，共28分
考点一　回复力
1．下列关于简谐运动回复力的说法正确的是(　　)
A．回复力是使物体回到平衡位置的力，它只能由物体受到的合外力来提供
B．回复力可以是物体所受到的某一个力的分力
C．回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D．回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
2．关于简谐运动的回复力F＝－kx的含义，下列说法正确的是(　　)
A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
B．k是比例系数，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
C．根据k＝－，可以认为k与F成正比
D．表达式中的“－”号表示F始终阻碍物体的运动
3．一个质点在平衡位置附近做简谐运动，下图中的四个函数图像中，正确表达回复力F与质点相对平衡位置的位移x的关系的是(　　)
考点二　简谐运动的能量转化
4．(多选)(2023·绵阳市高二期中)一个做简谐运动的水平弹簧振子，每次有相同的速度时，下列说法正确的是(　　)
A．具有相同的加速度 B．具有相同的弹性势能
C．具有相同的回复力 D．具有相同的动能
5．(2023·成都市高一期末)如图，一圆柱形木头漂浮在水中，M、O、N为木头上的三个点。当木头静止时，水面恰好过O点，用手将木头向下压，使M点到达水面，松手后，木头上下做简谐运动，上升到最高处时，N点到达水面。木头做简谐运动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．M点到达水面时，木头的动能最大
B．N点到达水面时，木头所受回复力最小
C．O点到达水面时，木头的动能最大
D．木头自下而上上升到最高处时，其速度一直在增大
6．(多选)(2023·遂宁市高二期中)图为某质点做简谐运动的图像，则由图线可知(　　)
A．t＝0.5 s时振子的回复力方向指向正方向
B．t＝2.5 s时质点正处在势能向动能转化的过程之中
C．t＝3.5 s时质点正处在动能向势能转化的过程之中
D．从第1 s末到第2 s末振子的位移增加，振子在做加速度减小的减速运动
考点三　简谐运动的周期性与对称性
7．(2023·遂宁市高二期中)弹簧振子做简谐运动，若从平衡位置O开始计时，经过4 s振子第一次经过P点，又经过了1 s，振子第二次经过P点，则该简谐运动的周期可能为(　　)
A．5 s B．6 s C．7 s D．8 s
8～11题每题6分，共24分
8. 光滑的水平面上叠放有质量分别为m和的两木块，下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。已知两木块之间的最大静摩擦力为f，为使这两个木块组成的系统像一个整体一样地振动，系统的最大振幅为(　　)
A. B. C. D.
9．(2024·成都市高二月考)如图甲所示，金属小球用轻弹簧连接在固定的光滑斜面顶端。小球在斜面上做简谐运动，到达最高点时，弹簧处于原长。取沿斜面向上为正方向，小球的振动图像如图乙所示。则下列说法正确的是(　　)
A．弹簧的最大伸长量为2 cm
B．0.2～0.4 s过程中，小球的机械能在增大
C．t＝0.2 s到t＝0.6 s内，小球的重力势能逐渐减小
D．t＝0到t＝0.4 s内，小球经过的路程为零
10．(2023·眉山市高二期中)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐振动。从O点起振开始计时，振子第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是(　　)
A．0.5 s B．1 s C．1.4 s D．1.6 s
11．(2023·成都市高一期末)如图所示，弹簧下面挂一质量为m的物体，物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好处于原长，弹簧在弹性限度内，则物体在振动过程中(已知重力加速度大小为g)(　　)
A．弹簧的弹性势能和物体动能总和不变
B．物体在最低点时的加速度大小应为2g
C．物体在最低点时所受弹簧的弹力大小应为mg
D．弹簧的最大弹性势能等于2mgA
(8分)
12．(多选)(2023·安徽阜阳市高二期中)光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子的系统总能量表达式为E＝kA2，其中k为弹簧的劲度系数，A为简谐运动的振幅。若振子质量为0.25 kg，弹簧的劲度系数为25 N/m。起振时系统具有势能0.06 J和动能0.02 J，则下列说法正确的是(　　)
A．振子的最大加速度为8 m/s2
B．振子经过平衡位置时的速度为0.4 m/s
C．若振子在位移最大处时，质量突变为0.4 kg，则振子经过平衡位置的速度增大
D．若振子在位移最大处时，质量突变为0.4 kg，则振子经过平衡位置的速度减小
2　简谐运动的回复力及能量
1．B　2.B
3．C　[由简谐运动的定义可知，回复力与位移满足F＝－kx，C项的图线符合题意。]
4．BD　[做简谐运动的水平弹簧振子只有在同一位置或对称位置时才能具有相同的速度，若在同一位置，所有物理量都相同；若在对称位置，弹性势能和动能相同，但加速度、位移、回复力都是等大反向，可见只有弹性势能和动能一定相同，故选B、D。]
5．C　[木头上下做简谐运动，O点到达水面时木头速度最大，动能最大，加速度为零；M、N点到达水面时木头速度为零，动能为零，回复力最大，故C正确，A、B错误；木头自下而上上升到最高处时，速度先增大后减小，故D错误。]
6．BC　[由图像可知，t＝0.5 s时振子的位移方向指向正方向，则此时的回复力方向指向负方向，故A错误；由图像可知，t＝2.5 s时质点处于从负方向最大位移处向平衡位置振动的过程中，此时势能正在向动能转化，故B正确；由图像可知，t＝3.5 s时质点处于从平衡位置向正方向最大位移处振动的过程中，此时动能正在向势能转化，故C正确；由图像可知，从第1 s末到第2 s末振子的位移增加，根据牛顿第二定律，振子的加速度a＝－，可知振子在做加速度增大的减速运动，故D错误。]
7．B　[如图，假设弹簧振子在BC之间振动
若振子开始先向靠近P点振动，振子的振动周期为T＝4×(4＋) s＝18 s
若振子开始先向远离P点振动，设振子的振动周期为T′，
则＋(－)＝4 s，解得T′＝6 s，故选B。]
8．C　[对整体，当最大振幅时有kA＝(m＋)a，得a＝；隔离分析，当最大振幅时，两木块间的摩擦力达到最大静摩擦力f＝a＝，得A＝，故C正确，A、B、D错误。]
9．C　[小球的振幅等于振子离开平衡位置的最大距离，由题图乙可知，振幅为A＝2 cm，由于振子到达斜面最高点时，弹簧处于原长，所以弹簧的最大伸长量为2A＝4 cm，故A错误；根据题意可知，0.2～0.4 s过程中，弹簧的伸长量由零变大，弹簧弹力为拉力，弹簧对小球做负功，小球的机械能减小，故B错误；t＝0.2 s到t＝0.6 s内，小球沿斜面向下运动，小球的重力势能逐渐减小，故C正确；t＝0到t＝0.4 s内，小球经过的路程是2A＝4 cm，故D错误。]
10．C　[弹簧振子的运动过程如图所示
如图甲，设O为平衡位置，、代表振幅，振子从O到C所需要的时间为，因为简谐运动具有对称性，所以振子从M到C所用时间和从C到M所用时间相等，故＝0.3 s＋ s＝0.4 s，解得T＝1.6 s，则振子第三次到达M点还需要经过的时间为t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s；
如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向B运动，设M′与M关于O点对称，则振子从M′经B回到M′所用的时间与振子从M经C回到M所用的时间相等，即0.2 s，振子从O到M′和从M′到O及从O到M所需时间相等，为t0＝＝ s，则振子第三次到达M点还需要经历的时间为t′＝0.2 s＋×4 s＝ s，故选C。]
11．D　[由能量守恒知，弹簧的弹性势能以及物体的动能、重力势能三者的总和不变，故A错误；当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，物体只受重力，加速度为g，方向竖直向下；根据简谐运动对称性可知，物体在最低点时的加速度大小也为g，方向竖直向上，故B错误；物体在最低点时，由牛顿第二定律知F－mg＝ma，又a＝g，解得弹力大小F＝2mg，故C错误；从最高点到最低点，动能变化为0，重力势能减小2mgA，则弹性势能增加2mgA，最高点弹性势能为0，则在最低点弹性势能最大，大小为2mgA，故D正确。]
12．AD　[弹簧振子振动过程中系统机械能守恒，则有kA2＝0.06 J＋0.02 J＝0.08 J，所以该振动的振幅为A＝0.08 m，由牛顿第二定律可知振子的最大加速度为a＝＝8 m/s2，故A正确；振子经过平衡位置时，弹性势能为零，则mv2＝0.08 J，所以速度为v＝0.8 m/s，故B错误；振子在位移最大处时，速度为零，动能为零，所以质量突变为0.4 kg，不影响系统的总机械能，当振子运动到平衡位置时，由m′v′2＝0.08 J，可知质量增加，速度减小，故C错误，D正确。]2　简谐运动的回复力及能量
[学习目标]　1.理解回复力的概念，知道回复力在简谐运动中的特征(重点)。2.会用动力学的方法，分析简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律(重难点)。3.会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子在振动过程中动能、势能、总能量的变化规律(重点)。
一、回复力
如图所示为穿在光滑水平杆上的弹簧振子的模型，O点为振子的平衡位置，A、O间和B、O间距离都是x。
(1)振子在O点时受到几个力的作用？分别是什么力？
(2)振子在A、B点时受到哪些力的作用？是什么力使其回到平衡位置？
(3)使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？
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1．水平弹簧振子
如图所示，在光滑的水平杆上套着一个小球，弹簧一端固定，另一端连接在小球上，小球可以在杆上滑动。弹簧的质量比小球的质量小得多，可以________________，这样的系统称为水平弹簧振子。
2．回复力
(1)定义：振动的物体偏离平衡位置时，都会受到的一个指向________________的力，这个力叫作回复力。
(2)方向：总是指向________________。
(3)效果：将物体拉回到________位置。
3．简谐运动的回复力：做简谐运动的物体受到总是指向________________，且大小与位移成________的回复力作用。
公式：F＝________。
说明：(1)k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。其值由振动系统决定，与振幅无关。
(2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。
如图为一个竖直弹簧振子，取竖直向下为正方向，建立如图所示坐标系。
(1)对振子在O点时受力分析，根据二力平衡得________①
(2)对振子在A点时受力分析，振子所受的合力F＝________②
(3)由①②两式得F＝________
(4)竖直弹簧振子做________运动，回复力由________________________提供。
(1)简谐运动的回复力F＝－kx公式中的k为弹簧的劲度系数，是由弹簧的性质决定的。(　　)
(2)小球做简谐运动，它的位移方向和加速度的方向相反。(　　)
(3)回复力的大小与速度的大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小。(　　)
例1　如图，M、N间距离为20 cm，一弹簧振子在M、N间做简谐运动，O为平衡位置，而P、Q是关于平衡位置O对称的两点。下列说法正确的是(　　)
A．振子受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
B．振子振动的振幅为A＝20 cm
C．振子由O向N运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
D．振子从M向P运动的过程中，振子的位移增大，加速度减小
例2　如图所示，质量为m的立方体A放置在质量为M的正方体B上，B放在光滑水平面上，B的一侧与一轻弹簧相连，它们一起在光滑的水平面上做简谐运动，运动过程中A、B无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当B离开平衡位置的位移为x时，
(1)立方体A做简谐运动的回复力是________提供的；
(2)A、B间摩擦力的大小等于________。
A．0 B．kx
C.kx D.kx
1．回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，可能由弹簧弹力、弹簧弹力和重力的合力、静摩擦力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。
2．简谐运动的加速度
由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反。
3．物体做简谐运动的判断方法
(1)简谐运动的回复力满足F＝－kx；
(2)简谐运动的振动图像是正弦曲线。
二、简谐运动的能量转化
如图所示为水平弹簧振子，小球在A、B之间往复运动。
(1)从A到B的运动过程中，小球的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？
(2)如果使小球振动的振幅增大，小球回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？振动系统的机械能的大小与什么因素有关？
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1．简谐运动的能量转化：振动过程中________和________相互转化，在转化过程中总和保持________，即E＝________。
(1)在最大位移处，________最大，________为零。
(2)在平衡位置处，________最大，________最小。
2．决定能量大小的因素
(1)振动系统的机械能跟振幅有关，振幅________，机械能越大，振动越强。
(2)在简谐运动中，振动系统的机械能________，所以简谐运动是等幅振动，是一种理想化模型。
例3　(2023·南充市高二月考)如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子在CD间做简谐运动，从平衡位置O向下运动时开始计时，振动图像如图乙所示，以D点所在水平面为重力势能等于零时的参考平面，则下列说法正确的是(　　)
A．振子在C、D时速度为0，加速度相同
B．t＝0.15 s，弹簧的弹性势能最大，振子的加速度最大
C．t＝0.1 s，振子的加速度为正，速度也为正
D．t＝0.05 s，弹簧的弹性势能最大，振子的重力势能最小
例4　根据简谐运动的特征，分析图中的振子在一次全振动过程中，与弹簧振子有关的各物理量的变化，以平衡位置O点为原点，水平向右为正方向，填写下面的表格。
振子位置 物理量　　　　 A A→O O O→A′ A′
位移的大小
回复力的大小
加速度的大小
速度的大小
动能
弹性势能
分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧
1．分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，回复力、加速度、弹性势能均增大，速度、动能均减小；反之，则发生相反的变化。
2．两个方向变化转折点
(1)平衡位置是位移方向、回复力方向和加速度方向变化的转折点。
(2)最大位移处是速度方向变化的转折点。即各矢量均在其值为0时改变方向。
3．在振动的一个周期内，动能和弹性势能完成两次周期性变化。
例5　(2023·达州市高二期末)如图所示，小球在轻弹簧作用下在光滑水平杆上的A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，下列说法正确的是(　　)
A．小球在O点受到重力、支持力和回复力作用
B．小球由O向B运动过程中，小球做匀减速运动
C．小球由A向O运动过程中，弹簧弹性势能减小
D．小球在运动过程中机械能守恒
三、简谐运动的周期性与对称性
简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。
例6　(2024·南充市高二月考)物体做简谐运动，通过A点时的速度为v，经过4 s后物体第一次以相同的速度通过B点，再经过2 s后物体紧接着又通过B点，已知物体在6 s内经过的路程为6 cm。则物体运动的周期和振幅分别为(　　)
A．4 s　6 cm B．12 s　3 cm
C．8 s　12 cm D．8 s　3 cm
答案精析
一、
(1)两个力；重力、支持力。
(2)A点：重力、支持力、弹簧对其向右的弹力；B点：重力、支持力、弹簧对其向左的弹力。弹簧的弹力使振子回到平衡位置。
(3) 弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
梳理与总结
1．忽略不计
2．(1)平衡位置　(2)平衡位置
(3)平衡
3．平衡位置　正比　－kx
讨论交流
(1)mg＝kx0　(2)mg－k(x0＋x)
(3)－kx　(4)简谐　重力和弹簧弹力的合力
二、
(1)小球的动能先增大后减小，弹簧的弹性势能先减小后增大，振动系统的总机械能保持不变。
(2)小球回到平衡位置的动能增大，振动系统的机械能增大，振动系统的机械能与弹簧的劲度系数和振幅有关。
梳理与总结
1．动能　势能　不变　Ep＋Ek
(1)势能　动能　(2)动能　势能
2．(1)越大　(2)守恒
易错辨析
(1)×　(2)√　(3)×
例1　C　[振子受重力、支持力、弹簧弹力的作用，回复力不是振子实际受到的力，由弹簧弹力提供回复力，故A错误；振子振动的振幅为A＝10 cm，故B错误；振子由O向N运动过程中，回复力总是指向平衡位置，故C正确；振子从M向P运动的过程中，振子的位移减小，加速度减小，故D错误。]
例2　(1)B对A的静摩擦力　(2)D
解析　(2)以A、B整体为研究对象，设当B离开平衡位置的位移为x时，整体加速度为a，由牛顿第二定律kx＝(M＋m)a，再以A为研究对象，根据牛顿第二定律f＝ma，联立可得f＝kx，故D正确，A、B、C错误。
例3　D　[振子在C、D时速度为0，加速度大小相等，方向相反，故A错误；t＝0.15 s，振子运动到C点，由题图甲可知，弹簧的弹性势能不是最大，振子的加速度最大，故B错误；t＝0.1 s，振子运动到O点且向上运动，振子的加速度为零，速度为正，故C错误；t＝0.05 s，振子运动到D点，弹簧的弹性势能最大，振子的重力势能最小，故D正确。]
例4　
振子位置 物理量 A A→O O O→A′ A′
位移的大小 最大 减小 0 增大 最大
回复力的大小 最大 减小 0 增大 最大
加速度的大小 最大 减小 0 增大 最大
速度的大小 0 增大 最大 减小 0
动能 0 增大 最大 减小 0
弹性势能 最大 减小 0 增大 最大
例5　C　[小球在O点回复力为零，即弹簧的弹力为零，受到重力、支持力作用，故A错误；小球由O向B运动过程中，弹簧的弹力逐渐增大，方向指向O，小球做非匀减速运动，故B错误；小球由A向O运动过程中，弹簧的形变量逐渐减小，弹性势能减小，故C正确；小球在运动过程中小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧对小球做功，小球的机械能不守恒，故D错误。]
例6　B　[由简谐振动的规律可知，因为过A、B点速度相等，A、B两点一定关于平衡位置O对称，即从O到B的时间为2 s，从B到速度为零的位置为1 s，故＝3 s，则T＝12 s，因为从A点开始到再次回到B点为半个周期，其路程为6 cm，则2A＝6 cm，得A＝3 cm，故选B。](共57张PPT)
DIERZHANG
第二章
2　简谐运动的回复力及能量
1.理解回复力的概念，知道回复力在简谐运动中的特征(重点)。
2.会用动力学的方法，分析简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律(重难点)。
3.会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子在振动过程中动能、势能、总能量的变化规律(重点)。
学习目标
一、回复力
二、简谐运动的能量转化
课时对点练
三、简谐运动的周期性与对称性
内容索引
回复力
一
如图所示为穿在光滑水平杆上的弹簧振子的模型，O点为振子的平衡位置，A、O间和B、O间距离都是x。
(1)振子在O点时受到几个力的作用？分别是什么力？
答案　两个力；重力、支持力。
(2)振子在A、B点时受到哪些力的作用？是什么力使
其回到平衡位置？
答案　A点：重力、支持力、弹簧对其向右的弹力；B点：重力、支持力、弹簧对其向左的弹力。弹簧的弹力使振子回到平衡位置。
(3)使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？
答案　弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
1.水平弹簧振子
如图所示，在光滑的水平杆上套着一个小球，弹簧一端固定，另一端连接在小球上，小球可以在杆上滑动。弹簧的质量比小球的质量小得多，可以_________，这样的系统称为水平弹簧振子。
2.回复力
(1)定义：振动的物体偏离平衡位置时，都会受到的一个指向_________的力，这个力叫作回复力。
(2)方向：总是指向_________。
(3)效果：将物体拉回到______位置。
梳理与总结
忽略不计
平衡位置
平衡位置
平衡
3.简谐运动的回复力：做简谐运动的物体受到总是指向_________，且大小与位移成______的回复力作用。
公式：F＝_____。
说明：(1)k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。其值由振动系统决定，与振幅无关。
(2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。
平衡位置
正比
－kx
如图为一个竖直弹簧振子，取竖直向下为正方向，建立如图所示坐标系。
讨论交流
(1)对振子在O点时受力分析，根据二力平衡得________①
(2)对振子在A点时受力分析，振子所受的合力F＝____________②
(3)由①②两式得F＝______
(4)竖直弹簧振子做_____运动，回复力由_____________________提供。
mg＝kx0
mg－k(x0＋x)
－kx
简谐
重力和弹簧弹力的合力
(1)简谐运动的回复力F＝－kx公式中的k为弹簧的劲度系数，是由弹簧的性质决定的。(　 　)
(2)小球做简谐运动，它的位移方向和加速度的方向相反。(　 　)
(3)回复力的大小与速度的大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小。(　 　)
×
√
×
　如图，M、N间距离为20 cm，一弹簧振子在M、N间做简谐运动，O为平衡位置，而P、Q是关于平衡位置O对称的两点。下列说法正确的是
A.振子受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的
作用
B.振子振动的振幅为A＝20 cm
C.振子由O向N运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
D.振子从M向P运动的过程中，振子的位移增大，加速度减小
例1
√
振子受重力、支持力、弹簧弹力的作用，回复力不是振子实际受到的力，由弹簧弹力提供回复力，故A错误；
振子振动的振幅为A＝10 cm，故B错误；
振子由O向N运动过程中，回复力总是指向平衡位置，故C正确；
振子从M向P运动的过程中，振子的位移减小，加速度减小，故D错误。
　如图所示，质量为m的立方体A放置在质量为M的正方体B上，B放在光滑水平面上，B的一侧与一轻弹簧相连，它们一起在光滑的水平面上做简谐运动，运动过程中A、B无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当B离开平衡位置的位移为x时，
(1)立方体A做简谐运动的回复力是________________提供的；
(2)A、B间摩擦力的大小等于____。
A.0 B.kx
例2
B对A的静摩擦力
D
总结提升
1.回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，可能由弹簧弹力、弹簧弹力和重力的合力、静摩擦力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。
总结提升
返回
2.简谐运动的加速度
3.物体做简谐运动的判断方法
(1)简谐运动的回复力满足F＝－kx；
(2)简谐运动的振动图像是正弦曲线。
二
简谐运动的能量转化
如图所示为水平弹簧振子，小球在A、B之间往复运动。
(1)从A到B的运动过程中，小球的动能如何变化？弹簧
弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？
答案　小球的动能先增大后减小，弹簧的弹性势能先减小后增大，振动系统的总机械能保持不变。
(2)如果使小球振动的振幅增大，小球回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？振动系统的机械能的大小与什么因素有关？
答案　小球回到平衡位置的动能增大，振动系统的机械能增大，振动系统的机械能与弹簧的劲度系数和振幅有关。
1.简谐运动的能量转化：振动过程中_____和_____相互转化，在转化过程中总和保持______，即E＝________。
(1)在最大位移处，_____最大，_____为零。
(2)在平衡位置处，_____最大，_____最小。
2.决定能量大小的因素
(1)振动系统的机械能跟振幅有关，振幅_____，机械能越大，振动越强。
(2)在简谐运动中，振动系统的机械能_____，所以简谐运动是等幅振动，是一种理想化模型。
梳理与总结
动能
势能
不变
Ep＋Ek
势能
动能
动能
势能
越大
守恒
　(2023·南充市高二月考)如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子在CD间做简谐运动，从平衡位置O向下运动时开始计时，振动图像如图乙所示，以D点所在水平面为重力势能等于零时的参考平面，则下列说法正确的是
A.振子在C、D时速度为0，加速度相同
B.t＝0.15 s，弹簧的弹性势能最大，振
子的加速度最大
C.t＝0.1 s，振子的加速度为正，速度也为正
D.t＝0.05 s，弹簧的弹性势能最大，振子的重力势能最小
例3
√
振子在C、D时速度为0，加速度大小相等，方向相反，故A错误；
t＝0.15 s，振子运动到C点，由题图甲可知，弹簧的弹性势能不是最大，振子的加速度最大，故B错误；
t＝0.1 s，振子运动到O点且向上运动，振子的加速度为零，速度为正，故C错误；
t＝0.05 s，振子运动到D点，弹簧的弹性势能最大，振子的重力势能最小，故D正确。
　根据简谐运动的特征，分析图中的振子在一次全振动过程中，与弹簧振子有关的各物理量的变化，以平衡位置O点为原点，水平向右为正方向，填写下面的表格。
例4
振子位置 物理量 A A→O O O→A′ A′
位移的大小
回复力的大小
加速度的大小
速度的大小
动能
弹性势能
答案　
振子位置 物理量 A A→O O O→A′ A′
位移的大小 最大 减小 0 增大 最大
回复力的大小 最大 减小 0 增大 最大
加速度的大小 最大 减小 0 增大 最大
速度的大小 0 增大 最大 减小 0
动能 0 增大 最大 减小 0
弹性势能 最大 减小 0 增大 最大
总结提升
分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧
1.分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，回复力、加速度、弹性势能均增大，速度、动能均减小；反之，则发生相反的变化。
2.两个方向变化转折点
(1)平衡位置是位移方向、回复力方向和加速度方向变化的转折点。
(2)最大位移处是速度方向变化的转折点。即各矢量均在其值为0时改变方向。
3.在振动的一个周期内，动能和弹性势能完成两次周期性变化。
　(2023·达州市高二期末)如图所示，小球在轻弹簧作用下在光滑水平杆上的A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，下列说法正确的是
A.小球在O点受到重力、支持力和回复力作用
B.小球由O向B运动过程中，小球做匀减速运动
C.小球由A向O运动过程中，弹簧弹性势能减小
D.小球在运动过程中机械能守恒
例5
√
小球在O点回复力为零，即弹簧的弹力为零，受到重力、支持力作用，故A错误；
小球由O向B运动过程中，弹簧的弹力逐渐增大，方向指向O，小球做非匀减速运动，故B错误；
小球由A向O运动过程中，弹簧的形变量逐渐减小，弹性势能减小，故C正确；
小球在运动过程中小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧对小球做功，小球的机械能不守恒，故D错误。
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简谐运动的周期性与对称性
三
简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。
　(2024·南充市高二月考)物体做简谐运动，通过A点时的速度为v，经过4 s后物体第一次以相同的速度通过B点，再经过2 s后物体紧接着又通过B点，已知物体在6 s内经过的路程为6 cm。则物体运动的周期和振幅分别为
A.4 s　6 cm B.12 s　3 cm
C.8 s　12 cm D.8 s　3 cm
例6
√
由简谐振动的规律可知，因为过A、B点速度相等，A、B两点一定关于平衡位置O对称，即从O到B的时间为2 s，从B到速度为零的位置为1 s，故 ＝3 s，则T＝12 s，因为从A点开始到再次回到B点为半个周期，其路程为6 cm，则2A＝6 cm，得A＝3 cm，故选B。
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课时对点练
四
考点一　回复力
1.下列关于简谐运动回复力的说法正确的是
A.回复力是使物体回到平衡位置的力，它只能由物体受到的合外力来提供
B.回复力可以是物体所受到的某一个力的分力
C.回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D.回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
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基础对点练
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回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的力，不一定是合力，也可以是物体所受到的某一个力的分力，A错误，B正确；
回复力的方向总是指向平衡位置，跟物体偏离平衡位置的位移方向相反，C错误；
回复力的方向总是指向平衡位置，可能跟物体的速度方向相反，也可能跟物体的速度方向相同，D错误。
D.表达式中的“－”号表示F始终阻碍物体的运动
2.关于简谐运动的回复力F＝－kx的含义，下列说法正确的是
A.k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
B.k是比例系数，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
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对弹簧振子来说，k为劲度系数，x为质点离开平衡位置的位移，对于其他简谐运动k不是劲度系数，而是一个比例系数，故A错误，B正确；
k由振动系统本身决定，与力F和位移x无关，C错误；
“－”只表示回复力与位移反向，回复力有时是动力，有时是阻力，D错误。
3.一个质点在平衡位置附近做简谐运动，下图中的四个函数图像中，正确表达回复力F与质点相对平衡位置的位移x的关系的是
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√
由简谐运动的定义可知，回复力与位移满足F＝－kx，C项的图线符合题意。
考点二　简谐运动的能量转化
4.(多选)(2023·绵阳市高二期中)一个做简谐运动的水平弹簧振子，每次有相同的速度时，下列说法正确的是
A.具有相同的加速度 B.具有相同的弹性势能
C.具有相同的回复力 D.具有相同的动能
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做简谐运动的水平弹簧振子只有在同一位置或对称位置时才能具有相同的速度，若在同一位置，所有物理量都相同；若在对称位置，弹性势能和动能相同，但加速度、位移、回复力都是等大反向，可见只有弹性势能和动能一定相同，故选B、D。
5.(2023·成都市高一期末)如图，一圆柱形木头漂浮在水中，M、O、N为木头上的三个点。当木头静止时，水面恰好过O点，用手将木头向下压，使M点到达水面，松手后，木头上下做简谐运动，上升到最高处时，N点到达水面。木头做简谐运动的过程中，下列说法正确的是
A.M点到达水面时，木头的动能最大
B.N点到达水面时，木头所受回复力最小
C.O点到达水面时，木头的动能最大
D.木头自下而上上升到最高处时，其速度一直在增大
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木头上下做简谐运动，O点到达水面时木头速度最大，动能最大，加速度为零；M、N点到达水面时木头速度为零，动能为零，回复力最大，故C正确，A、B错误；
木头自下而上上升到最高处时，速度先增大后减小，故D错误。
6.(多选)(2023·遂宁市高二期中)图为某质点做简谐运动的图像，则由图线可知
A.t＝0.5 s时振子的回复力方向指向正方向
B.t＝2.5 s时质点正处在势能向动能转化的过程之中
C.t＝3.5 s时质点正处在动能向势能转化的过程之中
D.从第1 s末到第2 s末振子的位移增加，振子在做加速度减小的减速运动
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由图像可知，t＝0.5 s时振子的位移方向指向正方
向，则此时的回复力方向指向负方向，故A错误；
由图像可知，t＝2.5 s时质点处于从负方向最大位
移处向平衡位置振动的过程中，此时势能正在向动能转化，故B正确；
由图像可知，t＝3.5 s时质点处于从平衡位置向正方向最大位移处振动的过程中，此时动能正在向势能转化，故C正确；
考点三　简谐运动的周期性与对称性
7.(2023·遂宁市高二期中)弹簧振子做简谐运动，若从平衡位置O开始计时，经过4 s振子第一次经过P点，又经过了1 s，振子第二次经过P点，则该简谐运动的周期可能为
A.5 s B.6 s
C.7 s D.8 s
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如图，假设弹簧振子在BC之间振动
若振子开始先向远离P点振动，设振子的振动周期为T′，
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能力综合练
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9.(2024·成都市高二月考)如图甲所示，金属小球用轻弹簧连接在固定的光滑斜面顶端。小球在斜面上做简谐运动，到达最高点时，弹簧处于原长。取沿斜面向上为正方向，小球的振动图像如图乙所示。则下列说法正确的是
A.弹簧的最大伸长量为2 cm
B.0.2～0.4 s过程中，小球的机械能在
增大
C.t＝0.2 s到t＝0.6 s内，小球的重力势能逐渐减小
D.t＝0到t＝0.4 s内，小球经过的路程为零
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小球的振幅等于振子离开平衡位置的最大距离，由题图乙可知，振幅为A＝2 cm，由于振子到达斜面最高点时，
弹簧处于原长，所以弹簧的最大伸长量为2A＝4 cm，故A错误；
根据题意可知，0.2～0.4 s过程中，弹簧的伸长量由零变大，弹簧弹力为拉力，弹簧对小球做负功，小球的机械能减小，故B错误；
t＝0.2 s到t＝0.6 s内，小球沿斜面向下运动，小球的重力势能逐渐减小，故C正确；
t＝0到t＝0.4 s内，小球经过的路程是2A＝4 cm，故D错误。
10.(2023·眉山市高二期中)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐振动。从O点起振开始计时，振子第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是
A.0.5 s B.1 s
C.1.4 s D.1.6 s
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弹簧振子的运动过程如图所示
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11.(2023·成都市高一期末)如图所示，弹簧下面挂一质量为m的物体，物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好处于原长，弹簧在弹性限度内，则物体在振动过程中(已知重力加速度大小为g)
A.弹簧的弹性势能和物体动能总和不变
B.物体在最低点时的加速度大小应为2g
C.物体在最低点时所受弹簧的弹力大小应为mg
D.弹簧的最大弹性势能等于2mgA
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由能量守恒知，弹簧的弹性势能以及物体的动能、重力势能三者的总和不变，故A错误；
当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，物体只受重力，加速度为g，方向竖直向下；根据简谐运动对称性可知，
物体在最低点时的加速度大小也为g，方向竖直向上，故B错误；
物体在最低点时，由牛顿第二定律知F－mg＝ma，又a＝g，解得弹力大小F＝2mg，故C错误；从最高点到最低点，动能变化为0，重力势能减小2mgA，则弹性势能增加2mgA，最高点弹性势能为0，则在最低点弹性势能最大，大小为2mgA，故D正确。
12.(多选)(2023·安徽阜阳市高二期中)光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子的系统总能量表达式为E＝ ，其中k为弹簧的劲度系数，A为简谐运动的振幅。若振子质量为0.25 kg，弹簧的劲度系数为25 N/m。起振时系统具有势能0.06 J和动能0.02 J，则下列说法正确的是
A.振子的最大加速度为8 m/s2
B.振子经过平衡位置时的速度为0.4 m/s
C.若振子在位移最大处时，质量突变为0.4 kg，则振子经过平衡位置的速度增大
D.若振子在位移最大处时，质量突变为0.4 kg，则振子经过平衡位置的速度减小
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尖子生选练
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