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4　实验：用单摆测量重力加速度
1题10分，2～4题每题12分，5题14分，共60分
1．(10分)(2023·绵阳市高二期中)某同学在做“用单摆测量重力加速度”实验中：
(1)(2分)先测得摆线长，摆球的直径由如图甲所示游标卡尺测得，则小球直径为________ cm。
(2)(2分)为了减小测量周期的误差，摆球应在经过最________(填“高”或“低”)点的位置时开始计时，并用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，如图乙所示求出周期，则停表所示读数为________ s。
(3)(4分)为了提高测量精度，需多次改变L的值并测得相应的T值。现测得的六组数据，标示在以L为横坐标，T2为纵坐标的坐标纸上，即图中用“×”表示的点。(取π2＝10，结果均保留三位有效数字)
①根据图中的数据点作出T2与L的关系图线；
②图线的斜率为________ s2/m；
③重力加速度g＝________ m/s2。
(4)(2分)如果测得的g值偏大，可能的原因是________。
A．单摆的悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了
B．把n次全振动的时间误记为n＋1次全振动的时间
C．以摆线长作为摆长来计算
D．以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算
2．(12分)在做“探究单摆周期与摆长的关系”的实验时，
(1)(2分)为了利用单摆较准确地测出重力加速度，可选用的器材为________；
A．20 cm长的结实的细线、小木球、停表、米尺、铁架台
B．100 cm长的结实的细线、小钢球、停表、米尺、铁架台
C．100 cm长的结实的细线、大木球、停表、50 cm量程的刻度尺、铁架台
D．100 cm长的结实的细线、大钢球、大挂钟、米尺、铁架台
(2)(2分)若摆球的直径为D，悬线长为L，则摆长为________；
(3)(4分)为了减小测量周期的误差，应在摆球经过最________(填“高”或“低”)点时开始计时，并计数为1，摆球每次通过该位置时计数加1，当计数为63时，所用的时间为t秒，则单摆周期为________秒；
(4)(4分)有两位同学利用假期分别去参观北京大学和厦门大学的物理实验室，各自在那里利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长l的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并用计算机绘制了T2－l图像，如图甲所示。去北大的同学所测实验结果对应的图线是________(填“A”或B)。另外，在厦大的同学还利用计算机绘制了a、b两单摆的振动图像如图乙所示，由图可知，a、b两单摆的摆长之比为________。(北京的纬度比厦门高)
3．(12分)在“用单摆测量重力加速度”的实验中，
(1)(2分)以下做法正确的是________。
A．测量摆长时，用刻度尺量出悬点到摆球间的细线长度作为摆长L
B．测量周期时，从摆球经过平衡位置开始计时，经历50次全振动总时间为t，则周期为
C．摆动中出现了轻微的圆锥摆情形，王同学认为对实验结果没有影响而放弃了再次实验的机会
D．释放摆球时，应注意细线与竖直方向的夹角为5°左右
(2)(4分)黄同学先测得摆线长为97.92 cm，后用游标卡尺测得摆球直径(如图)，读数为________ cm；再测得单摆的周期为2 s，最后算出当地的重力加速度g的值为________ m/s2。(π2取9.86，结果保留两位小数)
(3)(3分)考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大。”学生乙说：“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变”，这两个学生中________。
A．甲的说法正确
B．乙的说法正确
C．两学生的说法都是错误的
(4)(3分)下列振动图像真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程。图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C、D均为30次全振动的图像，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是________。
4．(12分)(2023·湖北省高二期末)在“用单摆测量重力加速度”的实验中。
(1)(4分)用最小刻度为1 mm的刻度尺测量摆线长，如图甲所示，单摆的摆线长为________ cm；用游标卡尺测量摆球的直径，如图乙所示，则球的直径为________ cm；
(2)(4分)实验时用拉力传感器测得摆线的拉力随时间变化的图像，如图丙所示。若用l表示摆长，则重力加速度的表达式为g＝__________。
(3)(4分)在进行实验数据处理时，甲、乙两位同学把摆线长和小球直径之和作为摆长。甲同学直接利用公式求出各组重力加速度，再求出平均值；乙同学作出T2－l图像后求出斜率，然后算出重力加速度，两同学处理数据的方法对结果的影响是：甲____，乙________。(均选填“偏大”“偏小”或“无影响”)
5．(14分)(2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)(6分)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为________ mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为________ mm，则摆球的直径为________ mm。
(2)(2分)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角________5°(填“大于”或“小于”)。
(3)(6分)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为________ cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为________ s，该小组测得的重力加速度大小为________ m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870)
4　实验：用单摆测量重力加速度
1．(1)2.125　(2)低　99.8　(3)①见解析图　②4.29　③9.32　(4)BD
解析　(1)根据游标卡尺的读数规则，该读数为21 mm＋0.05×5 mm＝21.25 mm＝2.125 cm
(2)摆球在最低点的速度最大，容易确定该位置，因此为了减小测量周期的误差，摆球应在经过最低点的位置时开始计时；根据停表的读数规则，该读数为1.5×60 s＋9.8 s＝99.8 s
(3)①用一条平滑的直线将六组数据点连接起来，尽量使点迹均匀分布在直线两侧，如图所示
②根据上述图像可知，图线的斜率
k＝ s2/m＝4.29 s2/m。
③根据T＝2π变形有T2＝L，结合上述有＝k，解得g＝9.32 m/s2
(4)根据T＝2π，解得g＝，若单摆的悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了，可知，摆长的测量值小于实际值，则测得的g值偏小，故A错误；若把n次全振动的时间记为n＋1次全振动的时间，则周期的测量值偏小，根据上述可知测得的g值偏大，故B正确；摆长等于摆线长与摆球半径之和，若以摆线长作为摆长来计算，则摆长的测量值小于实际值，则测得的g值偏小，故C错误；以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算，则摆长的测量值大于实际值，则测得的g值偏大，故D正确。
2．(1)B　(2)L＋　(3)低　
(4)B　4∶9
解析　(1)为了利用单摆较准确地测出重力加速度，可选用的器材为：100 cm长的结实的细线，为减小振动过程中空气阻力的影响，可用小钢球，除此之外还用停表、米尺、铁架台，故选B。
(2)若摆球的直径为D，悬线长为L，则摆长为L＋。
(3)为了减小测量周期的误差，摆球应在经过最低点的位置时开始计时，并计数为1；摆球每次通过该位置时计数加1，当计数为63时，所用的时间为t秒，则单摆周期为T＝。
(4)根据T2＝l，因北大所在位置的重力加速度较大，则T2－l图像的斜率较小，则去北大的同学所测实验结果对应的图线是B。另外，在厦大做探究的同学还利用计算机绘制了a、b两单摆的振动图像，由题图乙可知，a、b两单摆的周期之比为2∶3，根据T2＝l可知，摆长之比4∶9。
3．(1)BD　(2)2.16　9.76　(3)A　(4)A
解析　(1)测量摆长时，用刻度尺量出悬点到摆球间的细线长度加上摆球的半径作为摆长L，故A错误；测量周期时，从摆球经过平衡位置开始计时，经历50次全振动总时间为t，则周期为，故B正确；因圆锥摆的周期mgtan θ＝mLsin θ，解得T＝2π，则若摆动中出现了轻微的圆锥摆情形，会对实验结果有影响，故C错误；释放摆球时，应注意细线与竖直方向的夹角为5°左右，否则单摆的振动就不是简谐运动，故D正确。
(2)黄同学游标卡尺测得摆球直径读数为2.1 cm＋6×0.1 mm＝2.16 cm，则摆长为L＝(97.92＋) cm＝0.99 m，根据T＝2π，可得g＝＝ m/s2＝9.76 m/s2
(3)考虑到空气浮力，浮力的方向始终与重力方向相反，相当于等效的重力场的等效重力加速度变小，振动周期变大，甲的说法正确，故A正确，B、C错误。
(4)当摆角为5°左右时，我们认为摆球做简谐运动，所以振幅约为：A＝1×sin 5°＝1×0.087 m＝8.7 cm；当摆球摆到最低点开始计时，误差较小，测量周期时要让摆球做30～50次全振动，求平均值，B不是从最低点开始计时的；C摆角过大；D只记录了一次全振动作为周期，所以A合乎实验要求且误差最小。
4．(1)99.15　2.075　(2)
(3)偏大　　无影响
解析　(1)刻度尺的最小刻度为1 mm，则由题图甲读出，单摆的摆线长为99.15 cm；用游标卡尺测量摆球的直径，读数为d＝2 cm＋15×0.05 mm＝2.075 cm
(2)由单摆的周期公式T＝2π，另由题图丙可知T＝4t0，可得重力加速度的表达式为g＝
(3)甲同学直接利用公式求出各组重力加速度，再求出平均值，由g真＝，g测＝
可知，结果偏大。
乙同学作出T2－l图像后求出斜率，然后算出重力加速度，
由T2＝，
T2＝
斜率不变，结果无影响。
5．(1)0.006(0.007也可)
20．035(20.034、20.036均可)
20．029(20.028、20.030均可)
(2)大于　(3)82.5　1.82　9.83
解析　(1)题图(a)读数为0＋0.6×0.01 mm＝0.006 mm(0.007 mm也可)；
题图(b)读数为20 mm＋3.5×0.01 mm＝20.035 mm(20.034、20.036均可)；
则摆球的直径为20.035 mm－0.006 mm＝20.029 mm(20.028 mm、20.030 mm均可)
(2)若角度盘上移则形成如图所示图样，则实际摆角大于5°。
(3)摆长＝摆线长＋摆球半径，代入数据计算可得摆长为82.5 cm；
小球从第1次到61次经过最低点经过了30个周期，
则T＝ s＝1.82 s
根据单摆周期公式T＝2π，
可得g＝≈9.83 m/s2。4　实验：用单摆测量重力加速度
[学习目标]　1.进一步理解单摆做简谐运动的条件和单摆周期公式中各物理量的意义。2.会利用单摆的周期公式测量重力加速度(重点)。3.熟练掌握用图像处理实验数据的方法(重难点)。
一、实验原理
当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝________。因此，只要测出________和________________，就可以求出当地的重力加速度g的值。
二、实验器材
带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1米)、________、毫米刻度尺和________________。
三、实验步骤
1. 做单摆
取约1 m长的细线穿过带孔的小球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的上端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处作上标记。实验装置如图。
2．测摆长
用毫米刻度尺量出摆线长l′，用游标卡尺测出小钢球直径d，则单摆的摆长l＝________________。
3．测周期
将单摆从平衡位置拉开一个很小的角度(5°左右)，然后释放小球，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。反复测量三次，再算出周期数值的平均值，取平均值作为测量结果。
4．改变摆长，重做几次实验。
四、数据处理
1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g的值，最后求出g的平均值。
实验次数 l′ d l′＋ n t g
1 g1＝＝ ＝＝
2 g2＝＝
3 g3＝＝
2. 图像法：由T＝2π得T2＝________，以T2为纵轴，以l为横轴作出T2－l图像(如图所示)。其斜率k＝________，由图像的斜率即可求出重力加速度g。
五、误差分析
1．系统误差
主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内摆动等。
2．偶然误差
主要来自摆长的测量和时间(即单摆周期)的测量。多次测量后取平均值可以减小偶然误差。
六、注意事项
1．选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。
2．单摆悬线的上端应夹紧在铁夹中，不可随意卷在铁架台的杆上。
3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角应很小，5°左右，可通过估算振幅的办法掌握。
4．摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。
5．计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记。以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时按下停表，开始计时计数。
例1　(2023·徐州市高二期中)用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示：
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用________。
A．长度为1 m左右的细线
B．长度为10 cm左右的橡皮绳
C．直径为1.5 cm左右的塑料球
D．直径为1.5 cm左右的铁球
(2)选择好器材，将符合实验要求的单摆挂在铁架台上，应采用图________(选填“乙”或“丙”)所示的固定方式。
(3)下列测量单摆振动周期的方法正确的是________。
A．把摆球从平衡位置拉开到某一位置，然后由静止释放摆球，在释放摆球的同时启动停表开始计时，当摆球再次回到原来位置时，按停停表停止计时
B．以单摆在最大位移处为计时基准位置，用停表测出摆球第n次回到基准位置的时间t，则T＝
C．以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置，记数一次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则T＝
D．以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过摆球的最低位置记数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过摆球的最低位置时的时间t，则T＝
例2　(2023·遂宁市高二月考)在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，
(1)用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________。如图(b)所示，用十分度游标卡尺测得摆球直径为________ cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图(a)所示，那么单摆摆长是________ cm。如果测定了40次全振动的时间如图(c)中停表所示，单摆的摆动周期是________ s(保留三位有效数字)。
(2)如果测得的g值偏小，可能的原因是________。
A．测摆长时摆线拉得过紧
B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C．开始计时时，停表过迟按下
D．实验时误将49次全振动记为50次
(3)某同学通过改变几次摆长L，测出相应的周期T，从而得到几组对应的L与T的数据，再以L为横坐标，T2为纵坐标，建立坐标系，将所得到的数据进行连线，作出T2随L变化的图像如图所示。
①若图像的斜率为k，则计算当地重力加速度的表达式为________。根据图像可知，当地的重力加速度大小为________ m/s2(取π2＝9.86，保留3位有效数字)。
②从理论上分析图像不过坐标原点的原因可能是________(写出一点即可)，该同学测得的重力加速度________(填“偏大”“偏小”或“准确”)。
拓展　(1)已知三位同学作出的T2－L图线的示意图如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，下列分析正确的是______。
A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值
(2)实验中，如果摆球密度不均匀，无法确定重心位置，一位同学设计了一个巧妙的方法不计算摆球的半径，具体做法如下：第一次用的悬线长L1，测得振动周期为T1；第二次用的悬线长L2，测得振动周期为T2，由此可推得重力加速度为g＝________。
例3　在“用单摆测量重力加速度”实验中，使用下列实验器材。
A．1.2 m的细线 B．2 m的弹性绳
C．带孔的小铁球 D．带孔的软木球
E．光电门传感器
(1)绳应选________，球应选________，光电门的摆放位置为________(选填“最高点”或“最低点”)。
(2)如图为光电门传感器电流I与t的图像，则周期为________。
A．t1 B．t2－t1
C．t3－t1 D．t4－t1
(3)甲同学用停表做该实验，但所得周期比该实验得到的大，则可能的原因是_______
________________________________________________________________________。
答案精析
一、
　摆长l　振动周期T
二、
停表　游标卡尺
三、
2．l′＋
四、
2.l　
例1　(1)AD　(2)丙　(3)D
解析　(1)为减小实验误差，应选择1 m左右的细线；为减小空气阻力影响，摆球应选密度大的铁球，因此需要的实验器材是A、D。
(2)采用题图丙所示的固定方式，保证运动中摆长不变。
(3)在测量周期时，应在摆球经过最低点开始计时，测量多次全振动的时间计算周期，故A、B错误；以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置，记数一次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则T＝，故C错误；以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过摆球的最低位置记数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过摆球的最低位置时的时间t，则T＝，故D正确。
例2　(1)　2.17　87.315　2.50　(2)B　(3)①g＝　9.86　②将悬线的长度与摆球直径之和视为摆长或小球重心在其几何中心上方　准确
解析　(1)根据单摆的周期公式T＝2π，有g＝，根据游标卡尺的读数规则，得摆球直径为d＝2.1 cm＋7×0.1 mm＝2.17 cm，根据题图(a)可知摆线长加摆球直径的和为L″＝88.40 cm，则单摆摆长是l＝L″－＝87.315 cm；停表的读数90 s＋9.8 s＝99.8 s，所以单摆摆动周期为T＝ s＝ s≈2.50 s。
(2)测摆长时摆线拉得过紧，则测量的摆长偏大，测得的重力加速度偏大，A不符合题意；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，知测量的摆长偏小，则测得的重力加速度偏小，B符合题意；开始计时时，停表过迟按下，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，C不符合题意；实验时误将49次全振动记为50次，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，D不符合题意。
(3)①根据单摆周期公式T＝2π，整理可得T2＝，所以图像的斜率k＝，计算当地重力加速度的表达式为g＝，图像斜率约为4.00 s2/m，代入k＝，可得g＝9.86 m/s2。
②图像与横轴的交点坐标大于零，即纵轴表示的物理量T2与横轴表示的物理量L之间的关系为T2＝(L0为图像与横轴交点的坐标)，当摆长L′为悬点到小球重心的距离时，T2与L′才满足T2＝，所以该图像对应实验中的(L－L0)为摆长，即图像对应实验中的L测长了，原因可能是将悬线的长度与摆球直径之和视为摆长或小球重心在其几何中心上方等；由上述分析可知该同学测得的重力加速度准确。
拓展　(1)B　(2)
解析　(1)由T＝2π两边平方后可知T2－L是过原点的直线，b为正确的图线，a与b相比，周期相同时，摆长更短，说明a对应测量的摆长偏小；c与b相比，摆长相同时，周期偏小，可能是误将49次全振动记为50次；图线c对应的斜率k偏小，根据T2－L图像的斜率k＝可知g＝，故图线c对应g值大于图线b对应g值，故选B。
(2)由题可知T1＝2π，
T2＝2π
联立解得g＝。
例3　(1)A　C　最低点　(2)C
(3)开始计时时，停表过早按下(合理即可)
解析　(1)为减小实验误差，应选择轻质不可伸长的细线作为摆线，摆线选择A；为减小阻力对实验的影响，选择质量大而体积小的摆球，摆球选C；应从摆球经过最低点时开始计时，光电门应摆放在最低点。
(2)一个周期内单摆两次经过最低点，由图示图线可知，单摆周期T＝t3－t1＝t4－t2，故C正确。
(3)如果开始计时时，停表过早按下，测量时间偏长，周期就会偏大。(共62张PPT)
DIERZHANG
第二章
4　实验：用单摆测量重力加速度
1.进一步理解单摆做简谐运动的条件和单摆周期公式中各物理量的意义。
2.会利用单摆的周期公式测量重力加速度(重点)。
3.熟练掌握用图像处理实验数据的方法(重难点)。
学习目标
一、实验原理
当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝ ，与偏角的
大小及摆球的质量无关，由此得到g＝______。因此，只要测出______和__________，就可以求出当地的重力加速度g的值。
二、实验器材
带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1米)、_____、毫米刻度尺和_________。
摆长l
振动周期T
停表
游标卡尺
三、实验步骤
1.做单摆
取约1 m长的细线穿过带孔的小球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的上端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处作上标记。实验装置如图。
2.测摆长
用毫米刻度尺量出摆线长l′，用游标卡尺测出小钢
球直径d，则单摆的摆长l＝________。
3.测周期
将单摆从平衡位置拉开一个很小的角度(5°左右)，然后释放小球，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。反复测量三次，再算出周期数值的平均值，取平均值作为测量结果。
4.改变摆长，重做几次实验。
四、数据处理
五、误差分析
1.系统误差
主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内摆动等。
2.偶然误差
主要来自摆长的测量和时间(即单摆周期)的测量。多次测量后取平均值可以减小偶然误差。
六、注意事项
1.选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。
2.单摆悬线的上端应夹紧在铁夹中，不可随意卷在铁架台的杆上。
3.注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角应很小，5°左右，可通过估算振幅的办法掌握。
4.摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。
5.计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记。以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时按下停表，开始计时计数。
　(2023·徐州市高二期中)用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示：
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用_____。
A.长度为1 m左右的细线
B.长度为10 cm左右的橡皮绳
C.直径为1.5 cm左右的塑料球
D.直径为1.5 cm左右的铁球
例1
AD
为减小实验误差，应选择1 m左右的细线；为减小空气阻力影响，摆球应选密度大的铁球，因此需要的实验器材是A、D。
(2)选择好器材，将符合实验要求的单摆挂在铁架台上，应采用图____(选填“乙”或“丙”)所示的固定方式。
丙
采用题图丙所示的固定方式，保证运动中摆长不变。
(3)下列测量单摆振动周期的方法正确的是_____。
A.把摆球从平衡位置拉开到某一位置，然后由静止释放摆球，在释放摆球的同
时启动停表开始计时，当摆球再次回到原来位置时，按停停表停止计时
B.以单摆在最大位移处为计时基准位置，用停表测出摆球第n次回到基准位置
的时间t，则T＝
C.以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置，记数一次，用
停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则T＝
D.以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过摆球的最低位
置记数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过摆球的最低位置时的时间t，
则T＝
D
在测量周期时，应在摆球经过最低点开始计时，测量多次全振动的时间计算周期，故A、B错误；
　(2023·遂宁市高二月考)在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，
(1)用摆长l和周期T计算重力加速度的公
式是g＝______。如图(b)所示，用十分度游标卡尺测得摆球直径为_____ cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图(a)所示，那么单摆摆长是_______ cm。如果测定了40次全振动的时间如图(c)中停表所示，单摆的摆动周期是_____ s(保留三位有效数字)。
例2
2.17
87.315
2.50
(2)如果测得的g值偏小，可能的原因是____。
A.测摆长时摆线拉得过紧
B.摆线上端悬点未固定，振动中出现
松动，使摆线长度增加了
C.开始计时时，停表过迟按下
D.实验时误将49次全振动记为50次
B
测摆长时摆线拉得过紧，则测量的摆长偏大，测得的重力加速度偏大，A不符合题意；
摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，知测量的摆长偏小，则测得的重力加速度偏小，B符合题意；
开始计时时，停表过迟按下，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，C不符合题意；
实验时误将49次全振动记为50次，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，D不符合题意。
(3)某同学通过改变几次摆长L，测出相应的周期T，从而得到几组对应的L与T的数据，再以L为横坐标，T2为纵坐标，建立坐标系，将所得到的数据进行连线，作出T2随L变化的图像如图所示。
①若图像的斜率为k，则计算当地重力加速
度的表达式为________。根据图像可知，当地的重力加速度大小为_____ m/s2(取π2＝9.86，保留3位有效数字)。
9.86
②从理论上分析图像不过坐标原点的原因可能是_______________________________
________________________________(写出一点即可)，该同学测得的重力加速度____
(填“偏大”“偏小”或“准确”)。
将悬线的长度与摆球直径之和视为摆长或小球重心在其几何中心上方
准确
所以该图像对应实验中的(L－L0)为摆长，即图像对应实验中的L测长了，原因可能是将悬线的长度与摆球直径之和视为摆长或小球重心在其几何中心上方等；由上述分析可知该同学测得的重力加速度准确。
　(1)已知三位同学作出的T2－L图线的示意图如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，下列分析正确的是____。
A.出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距
离记为摆长L
B.出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C.图线c对应的g值小于图线b对应的g值
拓展
B
c与b相比，摆长相同时，周期偏小，可能是误将49次全振动记为50次；
(2)实验中，如果摆球密度不均匀，无法确定重心位置，一位同学设计了一个巧妙的方法不计算摆球的半径，具体做法如下：第一次用的悬线长L1，测得振动周期为T1；第二次用的悬线长L2，测得振动周期为T2，由
此可推得重力加速度为g＝___________。
联立解得
　在“用单摆测量重力加速度”实验中，使用下列实验器材。
A.1.2 m的细线 B.2 m的弹性绳
C.带孔的小铁球 D.带孔的软木球
E.光电门传感器
(1)绳应选____，球应选____，光电门的摆放位置为________(选填“最高点”或“最低点”)。
例3
A
C
最低点
为减小实验误差，应选择轻质不可伸长的细线作为摆线，摆线选择A；
为减小阻力对实验的影响，选择质量大而体积小的摆球，摆球选C；
应从摆球经过最低点时开始计时，光电门应摆放在最低点。
(2)如图为光电门传感器电流I与t的图像，则周期为____。
A.t1 B.t2－t1
C.t3－t1 D.t4－t1
一个周期内单摆两次经过最低点，由图示图线可知，单摆周期T＝t3－t1＝t4－t2，故C正确。
C
(3)甲同学用停表做该实验，但所得周期比该实验得到的大，则可能的原因是___________________________________。
如果开始计时时，停表过早按下，测量时间偏长，周期就会偏大。
开始计时时，停表过早按下(合理即可)
课时对点练
1.(2023·绵阳市高二期中)某同学在做“用单摆测量重力加速度”实验中：
(1)先测得摆线长，摆球的直径由如图甲所示游标卡尺测得，则小球直径为______ cm。
1
2
3
4
5
2.125
根据游标卡尺的读数规则，该读数为21 mm＋0.05×5 mm＝21.25 mm＝2.125 cm
(2)为了减小测量周期的误差，摆球应在经过最____(填“高”或“低”)点的位置时开始计时，并用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，如图乙所示求出周期，则停表所示读数为_____ s。
1
2
3
4
5
低
99.8
1
2
3
4
5
摆球在最低点的速度最大，容易确定该位置，因此为了减小测量周期的误差，摆球应在经过最低点的位置时开始计时；根据停表的读数规则，该读数为1.5×60 s＋9.8 s＝99.8 s
(3)为了提高测量精度，需多次改变L的值并测得相应的T值。现测得的六组数据，标示在以L为横坐标，T2为纵坐标的坐标纸上，即图中用“×”表示的点。(取π2＝10，结果均保留三位有效数字)
①根据图中的数据点作出T2与L的关系图线；
1
2
3
4
5
答案　见解析图
1
2
3
4
5
用一条平滑的直线将六组数据点连接起来，尽量使点迹均匀分布在直线两侧，如图所示
②图线的斜率为_____ s2/m；
1
2
3
4
5
4.29
③重力加速度g＝_____ m/s2。
1
2
3
4
5
9.32
(4)如果测得的g值偏大，可能的原因是_____。
A.单摆的悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了
B.把n次全振动的时间误记为n＋1次全振动的时间
C.以摆线长作为摆长来计算
D.以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算
1
2
3
4
5
BD
1
2
3
4
5
若把n次全振动的时间记为n＋1次全振动的时间，则周期的测量值偏小，根据上述可知测得的g值偏大，故B正确；
摆长等于摆线长与摆球半径之和，若以摆线长作为摆长来计算，则摆长的测量值小于实际值，则测得的g值偏小，故C错误；
1
2
3
4
5
以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算，则摆长的测量值大于实际值，则测得的g值偏大，故D正确。
2.在做“探究单摆周期与摆长的关系”的实验时，
(1)为了利用单摆较准确地测出重力加速度，可选用的器材为____；
A.20 cm长的结实的细线、小木球、停表、米尺、铁架台
B.100 cm长的结实的细线、小钢球、停表、米尺、铁架台
C.100 cm长的结实的细线、大木球、停表、50 cm量程的刻度尺、铁架台
D.100 cm长的结实的细线、大钢球、大挂钟、米尺、铁架台
1
2
3
4
5
B
1
2
3
4
5
为了利用单摆较准确地测出重力加速度，可选用的器材为：100 cm长的结实的细线，为减小振动过程中空气阻力的影响，可用小钢球，除此之外还用停表、米尺、铁架台，故选B。
(2)若摆球的直径为D，悬线长为L，则摆长为________；
1
2
3
4
5
(3)为了减小测量周期的误差，应在摆球经过最___(填“高”或“低”)点时开始计时，并计数为1，摆球每次通过该位置时计数加1，当计数为63
时，所用的时间为t秒，则单摆周期为____秒；
1
2
3
4
5
低
(4)有两位同学利用假期分别去参观北京大学和厦门大学的物理实验室，各自在那里利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长l的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并用计算机绘制了T2－l图像，如图甲所示。去北大的同学所测实验结果对应的图线是____(填“A”或B)。另外，在厦大的同学还利用计算机绘制了a、b两单摆的振动图像如图乙所示，由图可知，a、b两单摆的摆长之比为______。(北京的纬度比厦门高)
1
2
3
4
5
B
4∶9
1
2
3
4
5
3.在“用单摆测量重力加速度”的实验中，
(1)以下做法正确的是_____。
A.测量摆长时，用刻度尺量出悬点到摆球间的细线长度作为摆长L
B.测量周期时，从摆球经过平衡位置开始计时，经历50次全振动总时间
为t，则周期为
C.摆动中出现了轻微的圆锥摆情形，王同学认为对实验结果没有影响而
放弃了再次实验的机会
D.释放摆球时，应注意细线与竖直方向的夹角为5°左右
1
2
3
4
5
BD
1
2
3
4
5
测量摆长时，用刻度尺量出悬点到摆球间的细线长度加上摆球的半径作为摆长L，故A错误；
1
2
3
4
5
释放摆球时，应注意细线与竖直方向的夹角为5°左右，否则单摆的振动就不是简谐运动，故D正确。
(2)黄同学先测得摆线长为97.92 cm，后用游标卡尺测得摆球直径(如图)，读数为_____ cm；再测得单摆的周期为2 s，最后算出当地的重力加速度g的值为_____ m/s2。(π2取9.86，结果保留两位小数)
1
2
3
4
5
9.76
2.16
(3)考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大。”学生乙说：“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变”，这两个学生中_____。
A.甲的说法正确
B.乙的说法正确
C.两学生的说法都是错误的
1
2
3
4
5
A
1
2
3
4
5
考虑到空气浮力，浮力的方向始终与重力方向相反，相当于等效的重力场的等效重力加速度变小，振动周期变大，甲的说法正确，故A正确，B、C错误。
(4)下列振动图像真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程。图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C、D均为30次全振动的图像，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是____。
1
2
3
4
5
A
1
2
3
4
5
当摆角为5°左右时，我们认为摆球做简谐运动，所以振幅约为：A＝1×sin 5°＝1×0.087 m＝8.7 cm；
当摆球摆到最低点开始计时，误差较小，测量周期时要让摆球做30～50次全振动，求平均值，B不是从最低点开始计时的；
C摆角过大；
D只记录了一次全振动作为周期，所以A合乎实验要求且误差最小。
4.(2023·湖北省高二期末)在“用单摆测量重力加速度”的实验中。
1
2
3
4
5
(1)用最小刻度为1 mm的刻度尺测量摆线长，如图甲所示，单摆的摆线长为______ cm；用游标卡尺测量摆球的直径，如图乙所示，则球的直径为______ cm；
99.15
2.075
1
2
3
4
5
刻度尺的最小刻度为1 mm，则由题图甲读出，单摆的摆线长为99.15 cm；用游标卡尺测量摆球的直径，读数为d＝2 cm＋15×0.05 mm＝2.075 cm
1
2
3
4
5
(2)实验时用拉力传感器测得摆线的拉力随时间变化的图像，如图丙所示。若用l表示摆长，则
重力加速度的表达式为g＝_____。
(3)在进行实验数据处理时，甲、乙两位同学把摆线长和小球直径之和作为摆长。甲同学直接利用公式求出各组重力加速度，再求出平均值；乙同学作出T2－l图像后求出斜率，然后算出重力加速度，两同学处理数据的方法对结果的影响是：甲_____，乙________。(均选填“偏大”“偏小”或“无影响”)
1
2
3
4
5
偏大
无影响
1
2
3
4
5
可知，结果偏大。
斜率不变，结果无影响。
5.(2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
1
2
3
4
5
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为________________ mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为______________ ____________ mm，则摆球的直径为_________________________ mm。
0.006(0.007也可)
20.035(20.034、
20.036均可)
20.029(20.028、20.030均可)
题图(a)读数为0＋0.6×0.01 mm＝0.006 mm(0.007 mm也可)；
题图(b)读数为20 mm＋3.5×0.01 mm＝20.035 mm(20.034、20.036均可)；
则摆球的直径为20.035 mm－0.006 mm＝20.029 mm(20.028 mm、20.030 mm均可)
1
2
3
4
5
(2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角______5°(填“大于”或“小于”)。
1
2
3
4
5
大于
若角度盘上移则形成如图所示图样，则实际摆角大于5°。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为______ cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为______ s，该小组测得的重力加速度大小为______ m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870)
1
2
3
4
5
82.5
1.82
9.83
摆长＝摆线长＋摆球半径，代入数据计算可得摆长为82.5 cm；
小球从第1次到61次经过最低点经过了30个周期，
1
2
3
4
5

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