资源简介

1.4　两条直线的平行与垂直
第1课时　两条直线平行
[学习目标]　1.理解并掌握两条直线平行的条件.2.会运用条件判定两条直线是否平行.3.运用两直线平行时的斜率关系解决相应的几何问题．
一、两条直线平行的判定
问题1　平面中的两条平行直线被x轴所截，形成的同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？
问题2　对于两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，倾斜角相等(α1＝α2)是l1∥l2的充要条件吗？若l1∥l2，则一定能推出两直线的斜率相等吗？
知识梳理
1．对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，l1∥l2 _____________.
2．若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为的直线，从而它们___________．
例1　判断下列各对直线是否平行，并说明理由：
(1)l1：y＝2x＋3，l2：2x－y＋5＝0；
(2)l1：y＝2x＋1，l2：x－2y＝0；
(3)l1：x＝3，l2：x＝10；
(4)l1：y＝2x＋1，l2：2x－y＋1＝0.
反思感悟　判定两直线平行的常用方法
(1)用斜率判断两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若都不存在，则平行(不重合的情况下)；若存在，再看是否相等，若相等，则平行(不重合的情况下)．
(2)用一般方程的系数
设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)．l1∥l2 或
(3)还可用直线的倾斜角，方向向量等．
跟踪训练1　根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系．
(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点
C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3,2)，N(－2，－3)．
二、求与已知直线平行的直线
例2　已知直线l的方程为4x－3y－12＝0，求过点(－1,3)，且与l平行的直线l′的方程．
反思感悟　一般地，直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)中的系数A，B确定直线的斜率，所以与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线的方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)．
跟踪训练2　与直线3x＋4y＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程为________________．
三、两直线平行的综合问题
例3　(1)已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为(　　)
A．0 B．1 C．6 D．0或6
(2)已知A(－2，m)，B(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若AB∥MN，则m的值为________________．
反思感悟　已知两直线平行求方程中的参数值的方法
(1)根据条件A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1或B1＝B2＝0且A1C2≠A2C1进行求解．
(2)对两直线的斜率是否存在进行讨论，分斜率存在、斜率不存在两种情况求解．求出参数值后要将参数代入直线方程，检验两直线是否真正平行，排除两直线重合的情况．
跟踪训练3　(1)(多选)三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值可以是(　　)
A．－1 B．1 C．2 D．5
(2)若直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，则a＝________.
1．知识清单：两直线平行的条件．
2．方法归纳：分类讨论、数形结合．
3．常见误区：研究两直线平行时，忽略两直线重合的情况．
1．过点(1,2)和点(－3,2)的直线与x轴的位置关系是(　　)
A．相交但不垂直 B．平行
C．重合 D．垂直
2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为(　　)
A．2 B．0 C．－2 D．－8
3．过点(0,5)与直线y＝2x平行的直线方程为__________________．
4．若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是____________．
第1课时　两条直线平行
问题1　两直线平行，倾斜角相等．
问题2　是充要条件；不一定，两直线的斜率可能均不存在．
知识梳理
1．k1＝k2
2．互相平行或重合
例1　解　设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2.
(1)k1＝k2＝2，b1＝3，b2＝5，b1≠b2，
所以l1∥l2.
(2)k1＝2，k2＝，k1≠k2.
所以l1与l2不平行．
(3)由两直线的方程可知，l1∥y轴，
l2∥y轴，且两直线在x轴上的截距不相等，所以l1∥l2.
(4)因为k1＝k2＝2，b1＝b2＝1，
所以l1与l2重合．
跟踪训练1　解　(1)由题意知
k1＝＝－，
k2＝＝－，
∴l1与l2平行或重合．
需进一步研究A，B，C，D四点是否共线，
∵kBC＝＝－≠－，
∴A，B，C，D四点不共线，
∴l1∥l2.
(2)由题意知k1＝tan 60°＝，
k2＝＝，
∵k1＝k2，∴l1∥l2或l1与l2重合．
例2　解　方法一　l的方程可化为y＝x－4，
∴l的斜率为，
∵l′∥l，∴l′的斜率为，
又l′过点(－1,3)，
∴由点斜式得直线l′的方程为y－3＝(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
方法二　∵l′∥l，
可设l′的方程为4x－3y＋m＝0(m≠－12)，
将(－1,3)代入得m＝13，
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
跟踪训练2　3x＋4y－4＝0
例3　(1)C　(2)0或1
跟踪训练3　(1)CD　(2)－1
随堂演练
1．B　2.D　3.2x－y＋5＝0
4．平行或重合(共58张PPT)
第1课时
第一章
<<<
两条直线平行
1.理解并掌握两条直线平行的条件.
2.会运用条件判定两条直线是否平行.
3.运用两直线平行时的斜率关系解决相应的几何问题.
学习目标
你我有笔直的路，却没有终点；你我有相同的方向，却没有交点；你我可以长久相望，距离却不会缩短.追寻的路漫漫，你我却不知疲倦，愿我不再执着，你变得婉转，共同期待你我相逢的一天.纵使地老天荒，海枯石烂.这便是平行线凄美的故事，今天我们一起来到直线这个大家庭，更加深入地探讨平行线吧！
导 语
一、两条直线平行的判定
二、求与已知直线平行的直线
课时对点练
三、两直线平行的综合问题
随堂演练
内容索引
两条直线平行的判定
一
提示　两直线平行，倾斜角相等.
平面中的两条平行直线被x轴所截，形成的同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？
问题1
提示　是充要条件；不一定，两直线的斜率可能均不存在.
对于两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，倾斜角相等(α1＝α2)是l1∥l2的充要条件吗？若l1∥l2，则一定能推出两直线的斜率相等吗？
问题2
1.对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，l1∥l2 .
2.若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为 的直线，从而它们 .
k1＝k2
互相平行或重合
判断下列各对直线是否平行，并说明理由：
(1)l1：y＝2x＋3，l2：2x－y＋5＝0；
设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2.
k1＝k2＝2，b1＝3，b2＝5，b1≠b2，
所以l1∥l2.
例 1
(2)l1：y＝2x＋1，l2：x－2y＝0；
所以l1与l2不平行.
(3)l1：x＝3，l2：x＝10；
由两直线的方程可知，l1∥y轴，
l2∥y轴，且两直线在x轴上的截距不相等，
所以l1∥l2.
(4)l1：y＝2x＋1，l2：2x－y＋1＝0.
因为k1＝k2＝2，b1＝b2＝1，
所以l1与l2重合.
(1)用斜率判断两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若都不存在，则平行(不重合的情况下)；若存在，再看是否相等，若相等，则平行(不重合的情况下).
(2)用一般方程的系数
设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，
A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0).l1∥l2 或
(3)还可用直线的倾斜角，方向向量等.
判定两直线平行的常用方法
反
思
感
悟
根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系.
(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
∴l1与l2平行或重合.
需进一步研究A，B，C，D四点是否共线，
跟踪训练 1
∴A，B，C，D四点不共线，∴l1∥l2.
∵k1＝k2，∴l1∥l2或l1与l2重合.
二
求与已知直线平行的直线
已知直线l的方程为4x－3y－12＝0，求过点(－1,3)，且与l平行的直线l′的方程.
例 2
又l′过点(－1,3)，
即4x－3y＋13＝0.
方法二　∵l′∥l，
可设l′的方程为4x－3y＋m＝0(m≠－12)，
将(－1,3)代入得m＝13，
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
反
思
感
悟
一般地，直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)中的系数A，B确定直线的斜率，所以与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线的方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C).
方法一　由题意，设所求直线的方程为
所以所求直线的方程为3x＋4y－4＝0.
与直线3x＋4y＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为
的直线的方程为______________.
3x＋4y－4＝0
跟踪训练 2
方法二　由题意知，所求直线不过原点，即在两坐标轴上的截距都不为0.
故所求直线的方程为3x＋4y－4＝0.
两直线平行的综合问题
三
因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1.
又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，
(1)已知直线l的倾斜角为 ，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且
直线l与l1平行，则实数a的值为
A.0 B.1 C.6 D.0或6
例 3
√
(2)已知A(－2，m)，B(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若AB∥MN，则m的值为________.
0或1
当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；
当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；
当m≠－2，且m≠－1时，
因为AB∥MN，所以kAB＝kMN，
当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合.
综上，m的值为0或1.
(1)根据条件A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1或B1＝B2＝0且A1C2≠A2C1进行求解.
(2)对两直线的斜率是否存在进行讨论，分斜率存在、斜率不存在两种情况求解.求出参数值后要将参数代入直线方程，检验两直线是否真正平行，排除两直线重合的情况.
已知两直线平行求方程中的参数值的方法
反
思
感
悟
(1)(多选)三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值可以是
A.－1 B.1 C.2 D.5
直线x＋y＝0与x－y＝0都经过原点，而无论a为何值，直线x＋ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x＋ay＝3与另两条直线不平行，所以a≠±1.
跟踪训练 3
√
√
(2)若直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，则a＝______.
－1
1.知识清单：两直线平行的条件.
2.方法归纳：分类讨论、数形结合.
3.常见误区：研究两直线平行时，忽略两直线重合的情况.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.过点(1,2)和点(－3,2)的直线与x轴的位置关系是
A.相交但不垂直 B.平行
C.重合 D.垂直
√
1
2
3
4
2.已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为
A.2 B.0 C.－2 D.－8
√
3.过点(0,5)与直线y＝2x平行的直线方程为_____________.
1
2
3
4
2x－y＋5＝0
直线l1的倾斜角为135°，
故斜率 ＝tan 135°＝－1.
由l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，
1
2
3
4
4.若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是___________.
平行或重合
所以直线l1与l2平行或重合.
课时对点练
五
1.过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是
A.相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
√
斜率都为0且不重合，所以平行.
2.(多选)直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是
A.若l1∥l2，则斜率k1＝k2
B.若斜率k1＝k2，则l1∥l2
C.若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2
D.若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
√
直线l1与l2为两条不重合的直线，因为两条直线的倾斜角为90°时，没有斜率，所以A不正确；
因为两直线的斜率相等，即斜率k1＝k2，得到倾斜角的正切值相等，即tan α1＝tan α2，即可得到α1＝α2，所以l1∥l2，所以B正确；
若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2，所以C正确；
若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2，所以D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.直线3x＋y－a＝0与3x＋y－1＝0的位置关系是
A.相交 B.平行
C.重合 D.平行或重合
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当a＝1时，两直线重合，
当a≠1时，两直线平行.
两直线无公共点，即两直线平行，
∴1×3a－a2(a－2)＝0，
∴a＝0或a＝－1或a＝3，
经检验知，当a＝3时两直线重合，舍去，
∴a的值为0或－1.
4.直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是
A.1 B.0 C.－1 D.0或－1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.过点(5,0)且与x＋2y－2＝0平行的直线方程是
A.2x＋y＋5＝0 B.2x＋y－5＝0
C.x＋2y－5＝0 D.x＋2y＋5＝0
√
由题意可设所求直线方程为x＋2y＋c＝0(c≠－2)，因为(5,0)在该直线上，所以5＋2×0＋c＝0，解得c＝－5，故该直线方程为x＋2y－5＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为
A.－1或2 B.0或2 C.2 D.－1
√
由a·a－(a＋2)＝0，得a2－a－2＝0，
解得a＝2或a＝－1.
经过验证，可得当a＝2时，两条直线重合，舍去.
∴a＝－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.已知直线l1经过点A(0，－1)和点B ，直线l2经过点M(1,1)和点
N(0，－2).若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________.
－6
直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，
∵l1与l2没有公共点，则l1∥l2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
即x－2y＋5＝0.
8.已知点A(－1,2)，B(3,4)，线段AB的中点为M，则过点M且平行于直线
＝1的直线方程为_____________.
x－2y＋5＝0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.已知直线l：2x－y＋4＝0在x轴上的截距为a，求过点(a,3a)且与直线l平行的直线方程.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为2x－y＋4＝0，令y＝0，得x＝－2，
所以a＝－2，所以点(a,3a)为(－2，－6).
设所求直线方程为2x－y＋C＝0(C≠4)，
代入(－2，－6)得－4＋6＋C＝0，则C＝－2，
所以所求直线的方程为2x－y－2＝0.
设D点坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
10.已知在 ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4).求点D的坐标.
所以D(－1,6).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11.设a∈R，则“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0和直线3x＋(a－1)y＝a－7平行”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
综合运用
若直线ax＋2y＋3a＝0和直线3x＋(a－1)y＝a－7平行，可得a(a－1)＝2×3，解得a＝3或a＝－2.当a＝3时，两直线分别为3x＋2y＋9＝0和3x＋2y＋4＝0，满足平行；当a＝－2时，两直线分别为x－y＋3＝0和x－y＋3＝0，两直线重合，所以“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0和直线3x＋(a－1)y＝a－7平行”的充要条件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解得m＝1，∴m＝0或1.
当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD；
12.(多选)已知点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为
A.－1 B.0 C.1 D.2
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是
A.(－3,1) B.(4,1)
C.(－2,1) D.(2，－1)
√
如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即 AOBC1， ABOC2， AOC3B.根据平行四边形的性质，可知B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标，故选A.
解得b＝±6，所以直线l的方程为2x＋y±6＝0.
14.已知直线l平行于直线2x＋y＋3＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为9，则直线l的方程为____________.
因为直线l与直线2x＋y＋3＝0平行，所以设直线l的方程为2x＋y＋b＝0(b≠3)，
2x＋y±6＝0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.(多选)在平面直角坐标系中，设M(x1，y1)，N(x2，y2)为不同的两点，
直线l的方程为ax＋by＋c＝0，设δ＝ ，其中a，b，c均为实数.
则下列结论正确的是
A.存在实数δ，使点N在直线l上
B.若δ＝1，则过M，N两点的直线与直线l重合
C.若δ＝－1，则直线l经过线段MN的中点
D.若δ>1，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
若点N在直线l上，则ax2＋by2＋c＝0，
∴不存在实数δ，使点N在直线l上，故A错误；
若δ＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c，当b≠0时，
∴kMN＝kl；当b＝0，a≠0时，x1＝x2，
又由A知过M，N两点的直线与直线l不重合，
则过M，N两点的直线与直线l平行，
故B错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
若δ＝－1，则ax1＋by1＋c＋ax2＋by2＋c＝0，
∴直线l经过线段MN的中点，
故C正确；
若δ>1，则ax1＋by1＋c>ax2＋by2＋c>0，
或ax1＋by1＋c即点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段MN不平行，故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.已知集合A＝ ，集合B＝{(x，y)|ax－y－2＝0}，当
a取何值时，A∩B＝ ？
故A＝{(x，y)|2x－y－1＝0，x≠2}，
故集合A表示的是直线2x－y－1＝0上除点(2,3)外的点构成的集合.
①当直线ax－y－2＝0与直线2x－y－1＝0平行时，满足A∩B＝ ，此时a＝2；
②当直线ax－y－2＝0过点(2,3)时，满足A∩B＝ ，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16第2课时　两条直线垂直
[学习目标]　1.理解并掌握两条直线垂直的条件.2.会用条件判定两条直线是否垂直.3.运用两直线垂直时斜率的关系解决相应的几何问题．
一、两条直线垂直的判定
问题　平面中，两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？
知识梳理
1．对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2 ______________________.
2．当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
例1　判断下列两条直线是否垂直，并说明理由：
(1)l1：y＝－3x＋2，l2：y＝x＋5；
(2)l1：4x＋3y＝10，l2：3x－4y＝5；
(3)l1：y＝2 023，l2：x＝2 024.
反思感悟　判断两条直线是否垂直的方法
(1)在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
(2)若两直线的法向量互相垂直，则这两条直线也垂直．
跟踪训练1　(多选)下列各对直线互相垂直的是(　　)
A．l1过点M(1,1)，N(1,2)，l2过点P(1,5)，Q(3,5)
B．l1的斜率为－，l2过点P(1,1)，Q
C．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4,2)
D．l1过点M(1,0)，N(4，－5)，l2过点P(－6,0)，Q(－1,3)
二、求与已知直线垂直的直线
例2　已知三角形的三个顶点A(－2,0)，B(4，－4)，C(0,2)．
(1)求线段BC的垂直平分线的方程；
(2)求AB边上的高所在直线的方程．
反思感悟　与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
跟踪训练2　求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
三、两直线垂直的综合问题
例3　(1)已知m，n为正数，且直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，则m＋2n的最小值为________．
(2)已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m＋1)x＋y－2＝0和4m2x＋(m＋1)y－4＝0，则实数m的值为________．
反思感悟　解决此类与垂直有关的平面几何问题需注意的两个关键点
(1)通过条件结合图形寻找相关的垂直关系．
(2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
若l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
跟踪训练3　(1)过点A，B(7,0)的直线l1与过点(2,1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k等于(　　)
A．－3 B．3 C．－6 D．6
(2)直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是(　　)
A．－4 B．2 C．－2 D．4
1．知识清单：两直线垂直的条件．
2．方法归纳：分类讨论、数形结合．
3．常见误区：研究两直线垂直时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况．
1．直线l1，l2的斜率分别为－，－，若l1⊥l2，则实数a的值是(　　)
A．－ B．－ C. D.
2．过点(1,0)且与直线x－2y＝0垂直的直线方程是(　　)
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
3．已知直线l1：mx＋3y＝2－m，l2：x＋(m＋2)y＝1.若l1⊥l2，则实数m＝________.
4．已知三角形三个顶点的坐标分别为A(4,2)，B(1，－2)，C(－2,4)，则BC边上的高所在直线的斜率k为________．
第2课时　两条直线垂直
问题　k1·k2＝－1.
知识梳理
1．k1k2＝－1
例1　解　(1)∵k1＝－3，k2＝，
∴k1k2＝－1，则l1⊥l2.
(2)方法一　∵k1＝－，k2＝，
∴k1k2＝－1，则l1⊥l2.
方法二　由两直线方程可得它们的一个法向量分别为n1＝(4,3)，
n2＝(3，－4)．
因为n1·n2＝0，∴l1⊥l2.
(3)∵l1的斜率为0，l2的斜率不存在，∴l1⊥l2.
跟踪训练1　ABD
例2　解　(1)∵BC的中点为(2，－1)，边BC所在直线的斜率kBC＝＝－，∴线段BC的垂直平分线的斜率k＝，其方程为y＋1＝(x－2)，即2x－3y－7＝0.
(2)∵边AB所在直线的斜率
kAB＝＝－，
∴AB边上的高所在直线的斜率
k′＝，
∴AB边上的高所在直线的方程为y－2＝x，
即3x－2y＋4＝0.
跟踪训练2　解　方法一　设直线l的斜率为k，
∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，
∴k·(－2)＝－1，
∴k＝，
又∵直线l经过点A(2,1)，
∴所求直线l的方程为y－1＝(x－2)，
即x－2y＝0.
方法二　设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.
∵直线l经过点A(2,1)，
∴2－2×1＋m＝0，
∴m＝0.
∴所求直线l的方程为x－2y＝0.
例3　(1)9　(2)－或－1
跟踪训练3　(1)B　(2)C
随堂演练
1．A　2.C　3.－　4.(共58张PPT)
第2课时
第一章
<<<
两条直线垂直
1.理解并掌握两条直线垂直的条件.
2.会用条件判定两条直线是否垂直.
3.运用两直线垂直时斜率的关系解决相应的几何问题.
学习目标
在平面直角坐标系中，直线的斜率刻画了直线的倾斜程度，而两条直线垂直的位置关系与它们的倾斜程度密切相关，那么怎样通过直线的斜率来判断两条直线垂直的位置关系呢？
导 语
一、两条直线垂直的判定
二、求与已知直线垂直的直线
课时对点练
三、两直线垂直的综合问题
随堂演练
内容索引
两条直线垂直的判定
一
提示　k1·k2＝－1.
平面中，两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？
问题
1.对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2 .
2.当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
k1k2＝－1
判断下列两条直线是否垂直，并说明理由：
∴k1k2＝－1，则l1⊥l2.
例 1
(2)l1：4x＋3y＝10，l2：3x－4y＝5；
∴k1k2＝－1，则l1⊥l2.
方法二　由两直线方程可得它们的一个法向量分别为n1＝(4,3)，n2＝(3，－4).
因为n1·n2＝0，∴l1⊥l2.
(3)l1：y＝2 023，l2：x＝2 024.
∵l1的斜率为0，l2的斜率不存在，
∴l1⊥l2.
(1)在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
(2)若两直线的法向量互相垂直，则这两条直线也垂直.
判断两条直线是否垂直的方法
反
思
感
悟
(多选)下列各对直线互相垂直的是
A.l1过点M(1,1)，N(1,2)，l2过点P(1,5)，Q(3,5)
跟踪训练 1
√
√
√
A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行，故两直线垂直；
二
求与已知直线垂直的直线
已知三角形的三个顶点A(－2,0)，B(4，－4)，C(0,2).
(1)求线段BC的垂直平分线的方程；
例 2
(2)求AB边上的高所在直线的方程.
∵边AB所在直线的斜率
即3x－2y＋4＝0.
反
思
感
悟
与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
方法一　设直线l的斜率为k，
∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，
∴k·(－2)＝－1，
求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.
跟踪训练 2
又∵直线l经过点A(2,1)，
即x－2y＝0.
方法二　设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.
∵直线l经过点A(2,1)，
∴2－2×1＋m＝0，
∴m＝0.
∴所求直线l的方程为x－2y＝0.
两直线垂直的综合问题
三
∵直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，
∴n－(n－2)m＝0，
∴2m＋n＝mn，
(1)已知m，n为正数，且直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，则m＋2n的最小值为_______.
例 3
9
当且仅当m＝n＝3时取等号.
(2)已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m＋1)x＋y－2＝0和4m2x＋(m＋1)y－4＝0，则实数m的值为_________.
由题意，可知两直线平行或垂直，
或(m＋1)·4m2＋1·(m＋1)＝0，
(1)通过条件结合图形寻找相关的垂直关系.
(2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
若l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
解决此类与垂直有关的平面几何问题需注意的两个关键点
反
思
感
悟
(1)过点A ，B(7,0)的直线l1与过点(2,1)，(3，k＋1)的直
线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k等于
A.－3 B.3 C.－6 D.6
由题意知l1⊥l2，
跟踪训练 3
√
(2)直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是
A.－4 B.2 C.－2 D.4
∵直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，
∴(a＋3)＋a－1＝0，∴a＝－1，
∴直线l1：2x＋y＋4＝0，
∴直线l1在x轴上的截距是－2.
√
1.知识清单：两直线垂直的条件.
2.方法归纳：分类讨论、数形结合.
3.常见误区：研究两直线垂直时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况.
随堂演练
四
√
1
2
3
4
1
2
3
4
2.过点(1,0)且与直线x－2y＝0垂直的直线方程是
A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0
C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0
√
过点(1,0)且与直线x－2y＝0垂直的直线的斜率为－2，则根据点斜式可得直线的方程为y－0＝－2×(x－1)，整理得2x＋y－2＝0.
因为l1⊥l2，所以m×1＋3(m＋2)＝0，
3.已知直线l1：mx＋3y＝2－m，l2：x＋(m＋2)y＝1.若l1⊥l2，则实数m＝______.
1
2
3
4
1
2
3
4
4.已知三角形三个顶点的坐标分别为A(4,2)，B(1，－2)，C(－2,4)，则BC边上的高所在直线的斜率k为______.
课时对点练
五
1.已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点 则直线l1，l2的位置关系是
A.平行或重合 B.平行 C.垂直 D.重合
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
2.(多选)如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，那么直线l2的斜率可能为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
当a＝0时，由l1⊥l2，得l2的斜率不存在.
3.过点A(3,4)且与直线l：x－2y－1＝0垂直的直线的方程是
A.2x＋y－10＝0 B.x＋2y－11＝0
C.x－2y＋5＝0 D.x－2y－5＝0
√
设经过点A(3,4)且垂直于直线x－2y－1＝0的直线的一般式为2x＋y＋m＝0，把点A的坐标代入可得6＋4＋m＝0，解得m＝－10，所求直线方程为2x＋y－10＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴kAB·kBC＝－1，∴∠ABC＝90°，故选B.
4.已知平面内有A(7,0)，B(3,2)，C(4,4)三点，则
A.△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°
B.△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°
C.△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°
D.△ABC不是直角三角形
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为P(1，p)，则m－n＋p的值是
A.24 B.20 C.0 D.－4
√
∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1，
又∵垂足为(1，p)，
∴代入直线10x＋4y－2＝0，得p＝－2，
将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0，
得n＝－12，∴m－n＋p＝20.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.A，B两点的坐标分别为(3,1)和(1,3)，则线段AB的垂直平分线的方程为
A.x－y＝0 B.x＋y－4＝0
C.x＋y＝0 D.x－y＋4＝0
√
由题意得直线AB的两点式为 ，即x＋y－4＝0，设直线AB的垂线为x－y＋D＝0，线段AB的中点坐标为(2,2)，将中点坐标代入方程可得2－2＋D＝0，
则D＝0，∴x－y＝0，
∴线段AB的垂直平分线的方程为x－y＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，所以k1·k2＝ ，若l1⊥l2，则k1k2＝ ＝－1，得m＝－2；若l1∥l2，则k1＝k2，所以Δ＝16－8m＝0，解得m＝2.
7.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________，若l1∥l2，则m＝________.
－2
2
8.若直线l1：2x＋3y－1＝0的方向向量是直线l2：ax－y＋2a＝0的法向量，则实数a的值等于_____.
由题意得l1⊥l2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
由两直线平行的充要条件，
故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)当l1⊥l2时，求实数a的值.
由两直线垂直的充要条件，得a＋2(a－1)＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AB∥CD，
设直线CD的方程为2x－y＋m＝0(m≠－2)，
将点C(2,0)代入上式得m＝－4，
所以直线CD的方程为2x－y－4＝0.
10.如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y－2＝0，点C(2,0).
(1)求直线CD的方程；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法一　设直线CE的方程为x＋2y＋n＝0，
将点C(2,0)代入上式得n＝－2.
所以直线CE的方程为x＋2y－2＝0.
方法二　设直线CE的方程为y＝k(x－2)，
即kx－y－2k＝0，
其法向量为n1＝(k，－1).
又直线AB的方程为2x－y－2＝0，
其法向量为n2＝(2，－1).
(2)求AB边上的高CE所在的直线方程.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为CE⊥AB，所以n1·n2＝0，
即x＋2y－2＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11.已知直线l1：xsin α＋2y－1＝0，直线l2：x－ycos α＋3＝0，若l1⊥l2，则tan 2α等于
√
因为l1⊥l2，所以sin α－2cos α＝0，
所以tan α＝2，
综合运用
12.在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C所对的边长，且直线ax＋ycos A－cos B＝0与xcos B－by＋cos A＝0垂直，则△ABC一定是
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
当cos A＝0，cos B＝0时，两直线方程为x＝0，y＝0，相互垂直，因为角A，B，C是△ABC的内角，所以cos A与cos B不可能同时为0，故排除这种情况；
因为直线ax＋ycos A－cos B＝0与xcos B－by＋cos A＝0垂直，所以acos B－bcos A＝0，
即sin Acos B－cos Asin B＝0，sin(A－B)＝0，A＝B，
故△ABC一定是等腰三角形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.已知点A(－1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是____________.
(1,0)或(2,0)
以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.
所以交点C的坐标是(1,0)或(2,0).
14.与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB周长为10的直线方程为_____________________________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由题意，可设所求直线的方程为3x＋4y＋b＝0，与x轴交于点B，与y轴交于点A，
3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0
又∵△AOB的周长为10，
即|OA|＋|OB|＋|AB|＝10，
解得b＝±10.
故所求直线的方程为3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
由l1∥l2知，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.已知M(1，－1)，N(2,2)，P(3,0).
(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；
由已知得kPN＝－2，由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，
联立①②，解得x＝0，y＝1，即Q(0,1).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设Q(x，y)，由已知得kMN＝3，
由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1，
设Q(x,0)，∵∠NQP＝∠NPQ，
∴kNQ＝－kNP.
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.
又∵M(1，－1)，∴MQ⊥x轴，
故直线MQ的倾斜角为90°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16作业6　两条直线平行
(分值：100分)
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分
1．过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．重合 D．以上都不对
2．(多选)直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是(　　)
A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2
B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2
C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2
D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
3．直线3x＋y－a＝0与3x＋y－1＝0的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．重合 D．平行或重合
4．直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．0或－1
5．过点(5,0)且与x＋2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A．2x＋y＋5＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x＋2y＋5＝0
6．已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为(　　)
A．－1或2 B．0或2
C．2 D．－1
7．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)．若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．
8．已知点A(－1,2)，B(3,4)，线段AB的中点为M，则过点M且平行于直线－＝1的直线方程为___________．
9．(10分)已知直线l：2x－y＋4＝0在x轴上的截距为a，求过点(a,3a)且与直线l平行的直线方程．
10．(10分)已知在 ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．求点D的坐标．
11．设a∈R，则“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0和直线3x＋(a－1)y＝a－7平行”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．(多选)已知点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
13.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(　　)
A．(－3,1) B．(4,1)
C．(－2,1) D．(2，－1)
14．已知直线l平行于直线2x＋y＋3＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为9，则直线l的方程为________．
15．(多选)在平面直角坐标系中，设M(x1，y1)，N(x2，y2)为不同的两点，直线l的方程为ax＋by＋c＝0，设δ＝，其中a，b，c均为实数．则下列结论正确的是(　　)
A．存在实数δ，使点N在直线l上
B．若δ＝1，则过M，N两点的直线与直线l重合
C．若δ＝－1，则直线l经过线段MN的中点
D．若δ>1，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交
16．(12分)已知集合A＝，集合B＝{(x，y)|ax－y－2＝0}，当a取何值时，A∩B＝ ？
作业6　两条直线平行
1．B　2.BCD　3.D　4.D　5.C　6.D
7．－6　8.x－2y＋5＝0
9．解　所求直线的方程为2x－y－2＝0.
10．解　设D点坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
所以 解得
所以D(－1,6)．
11．C
12．BC　[当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD；
当m≠0时，kAB＝，
kCD＝，
则kAB＝kCD，即＝，
解得m＝1，∴m＝0或1.]
13．A　[如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，
即 AOBC1，
ABOC2， AOC3B.根据平行四边形的性质，可知B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标，故选A.]
14．2x＋y±6＝0
解析　因为直线l与直线2x＋y＋3＝0平行，所以设直线l的方程为2x＋y＋b＝0(b≠3)，
则其与x轴交于点，与y轴交于点.
依题意可得，××|b|＝9，
解得b＝±6，所以直线l的方程为2x＋y±6＝0.
15．CD　[若点N在直线l上，则ax2＋by2＋c＝0，
∴不存在实数δ，使点N在直线l上，故A错误；
若δ＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c，当b≠0时，
即＝－，
∴kMN＝kl；当b＝0，a≠0时，
x1＝x2，
又由A知过M，N两点的直线与直线l不重合，
则过M，N两点的直线与直线l平行，
故B错误；
若δ＝－1，则ax1＋by1＋c＋ax2＋by2＋c＝0，
即a＋b＋c＝0，
∴直线l经过线段MN的中点，
故C正确；
若δ>1，则ax1＋by1＋c>ax2＋by2＋c>0，
或ax1＋by1＋c即点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段MN不平行，故D正确．]
16．解　由＝2可得2x－y－1＝0(x≠2)，
故A＝{(x，y)|2x－y－1＝0，x≠2}，
故集合A表示的是直线2x－y－1＝0上除点(2,3)外的点构成的集合．
①当直线ax－y－2＝0与直线2x－y－1＝0平行时，满足A∩B＝ ，此时a＝2；
②当直线ax－y－2＝0过点(2,3)时，满足A∩B＝ ，则2a－5＝0，解得a＝.
综上所述，a＝2或a＝.作业7　两条直线垂直
(分值：100分)
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分
1．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，)，B(－2,2)，则直线l1，l2的位置关系是(　　)
A．平行或重合 B．平行
C．垂直 D．重合
2．(多选)如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，那么直线l2的斜率可能为(　　)
A. B．a C．－ D．不存在
3．过点A(3,4)且与直线l：x－2y－1＝0垂直的直线的方程是(　　)
A．2x＋y－10＝0 B．x＋2y－11＝0
C．x－2y＋5＝0 D．x－2y－5＝0
4．已知平面内有A(7,0)，B(3,2)，C(4,4)三点，则(　　)
A．△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°
B．△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°
C．△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°
D．△ABC不是直角三角形
5．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为P(1，p)，则m－n＋p的值是(　　)
A．24 B．20 C．0 D．－4
6．A，B两点的坐标分别为(3,1)和(1,3)，则线段AB的垂直平分线的方程为(　　)
A．x－y＝0 B．x＋y－4＝0
C．x＋y＝0 D．x－y＋4＝0
7．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________，若l1∥l2，则m＝________.
8．若直线l1：2x＋3y－1＝0的方向向量是直线l2：ax－y＋2a＝0的法向量，则实数a的值等于________．
9．(10分)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；(5分)
(2)当l1⊥l2时，求实数a的值．(5分)
10.(12分)如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y－2＝0，点C(2,0)．
(1)求直线CD的方程；(6分)
(2)求AB边上的高CE所在的直线方程．(6分)
11．已知直线l1：xsin α＋2y－1＝0，直线l2：x－ycos α＋3＝0，若l1⊥l2，则tan 2α等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
12．在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C所对的边长，且直线ax＋ycos A－cos B＝0与xcos B－by＋cos A＝0垂直，则△ABC一定是(　　)
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
13．已知点A(－1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．
14．与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB周长为10的直线方程为____________．
15．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝________.
16．(12分)已知M(1，－1)，N(2,2)，P(3,0)．
(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；(6分)
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．(6分)
作业7　两条直线垂直
1．C　2.CD　3.A　4.B　5.B　6.A
7．－2　2　8.
9．解　(1)由两直线平行的充要条件，
得
即解得a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2，
否则l1与l2不平行．
(2)由两直线垂直的充要条件，
得a＋2(a－1)＝0，
即a＝.故当l1⊥l2时，实数a的值为.
10．解　(1)因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AB∥CD，
设直线CD的方程为2x－y＋m＝0(m≠－2)，
将点C(2,0)代入上式得m＝－4，
所以直线CD的方程为2x－y－4＝0.
(2)方法一　设直线CE的方程为x＋2y＋n＝0，
将点C(2,0)代入上式得n＝－2.
所以直线CE的方程为x＋2y－2＝0.
方法二　设直线CE的方程为
y＝k(x－2)，
即kx－y－2k＝0，
其法向量为n1＝(k，－1)．
又直线AB的方程为2x－y－2＝0，
其法向量为n2＝(2，－1)．
因为CE⊥AB，所以n1·n2＝0，
即2k＋1＝0，故k＝－.
所以直线CE的方程为
－x－y＋1＝0，
即x＋2y－2＝0.
11．B
12．C　[当cos A＝0，cos B＝0时，两直线方程为x＝0，y＝0，相互垂直，因为角A，B，C是△ABC的内角，所以cos A与cos B不可能同时为0，故排除这种情况；
因为直线ax＋ycos A－cos B＝0与xcos B－by＋cos A＝0垂直，所以acos B－bcos A＝0，
即sin Acos B－cos Asin B＝0，
sin(A－B)＝0，A＝B，
故△ABC一定是等腰三角形．]
13．(1,0)或(2,0)
解析　以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C(x,0)，则kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，
解得x＝1或x＝2，
所以交点C的坐标是(1,0)或(2,0)．
14．3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0
解析　由题意，可设所求直线的方程为3x＋4y＋b＝0，与x轴交于点B，与y轴交于点A，
令x＝0，可得y＝－，
即A，
令y＝0，可得x＝－，
即B，
又∵△AOB的周长为10，
即|OA|＋|OB|＋|AB|＝10，
∴＋＋＝10，
解得b＝±10.
故所求直线的方程为3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0.
15．4＋
解析　如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.
由l1∥l2知，
直线l2的斜率k2＝k1＝.
∴直线AB的斜率存在，
且kAB＝－＝－.
∴＝＝－，
解得m＝4＋.
16．解　(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3，
由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1，
即×3＝－1.①
由已知得kPN＝－2，由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，
即＝－2.②
联立①②，解得x＝0，y＝1，即Q(0,1)．
(2)设Q(x,0)，∵∠NQP＝∠NPQ，
∴kNQ＝－kNP.
又∵kNQ＝，kNP＝－2，
∴＝2，即x＝1，∴Q(1,0)．
又∵M(1，－1)，∴MQ⊥x轴，
故直线MQ的倾斜角为90°.

展开更多......

收起↑