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浙江省金丽衢十二校2025届高三第二次联考数学试卷
本卷分选择题和非选择题两部分，考试时间为120分钟，试卷总分为150分，请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，则的值为（ ▲ ）
A． B． C．1 D．2
3．已知复数满足，则为（ ▲ ）
A． B．1 C． D．2
4．若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则它的体积为（ ▲ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则（ ▲ ）
A． B． C．1 D．e
6．已知两条相交直线，在平面内，在平面外．设的夹角为，直线与平面所成角为，．则由确定的平面与平面夹角的大小为（ ▲ ）
A． B． C． D．
7．设抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则的值为（ ▲ ）
A．0 B． C． D．
8．在中，“”是“为直角”的（ ▲ ）
A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件
C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．设，则下列说法正确的有（ ▲ ）
A． B．
C．该二项式的所有二项式系数之和为64 D．
10．已知函数，下列说法正确的有（ ▲ ）
A．的最小正周期为 B．是偶函数
C．在区间上单调递减 D．在上的值域为
11．已知正项等差数列与正项等比数列首项相等，且满足，则下列说法中正确的有（ ▲ ）
A．的公比为2 B．，使得
C．对，数列为递增数列 D．
非选择题部分
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知椭圆的上顶点与右顶点分别为，若直线的倾斜角为，则的离心率为 ▲ ．
13．已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，若在上的最大值为，则的最大值为 ▲ ．
14．有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字7．先把这些卡片正面朝上排成一排，且第个位置上的卡片恰好写有数字．然后掷一颗均匀的骰子，若点数为，则将第个位置上的卡片翻面并置于原处．进行上述实验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，计算骰子恰有一次点数为2的概率为
▲ ．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分13分）
为了了解高中学生语文与数学成绩之间的联系，从某学校获取了400名学生的成绩样本，并将他们的数学和语文成绩整理如表：
单位：人
数学成绩 语文成绩
不优秀 优秀
不优秀 180 90
优秀 50 80
（1）依据的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与语文成绩有关联？
（2）以顾率估计概率、从全市高中所有数学不优秀的学生中随机抽取5人，设其中恰有位学生的语文成绩优秀，求随机变量的分布列以及数学期望．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
附：
16．（本题满分15分）
已知等轴双曲线的左右焦点分别为，经过点的直线与的渐近线相交于点，点的横坐标为，是线段的中点，经过点的直线与相交于两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）当的面积为时，求的方程．
17．（本题满分15分）
如图，在等腰直角三角形中，，，为的中点，分别为边上一点，满足．将分别沿着翻折成，满足在平面的同一侧，面面．
（1）证明：共面；
（2）在线段上是否存在一点（异于端点），满足平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的情况下，求直线与平面所成角的正弦值．
18．（本题满分17分）
已知，函数．
（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；
（2）若函数在上单调递增，求的取值范围；
（3）若对，函数至多有两个零点，求的取值范围．
19．（本题满分17分）
对任意给定的，若有穷数列满足：其中．则称该数列为“数列”．
（1）当时，是否存在符合条件的“数列”？若存在，请求出所有的符合条件的“数列”：若不存在，请说明理由：
（2）证明：（i）；
（ii）当时，任意符合条件的“数列”都满足；
（3）当时，求出所有的“数列”．

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