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模型31 “十字架”模型
基础模型
正方形与矩形中“十字架”模型解题的相同点：寻找(构造)两条“十字架线”所在的特殊三角形，再利用等角代换证明另一组角相等；
不同点：正方形暗含边相等，得到全等三角形，矩形得到相似三角形.
结论：
证明:如图①,AE,BF交于点 G,∵四边形ABCD为正方形,.
在△ABF和. 中，
∴△ABF≌△DAE(ASA),∴BF=AE.
结论:EF=GH
自主证明:如图②,分别过点H,F作HI⊥BC于点I,FJ⊥AB于点J,JF与HG交于点M,EF与HG交于点 O.
结论：
证明:如图③,BD,CE交于点F,∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BCD=∠CDE=90°,
∵CE⊥BD,∴∠BFC=90°,
∴∠DBC+∠BCF=90°,
∵∠DCE+∠BCF=90°,
∴∠DBC=∠DCE,
∴△BCD∽△CDE,
结论：
自主证明：如图④，EF 与 GH交于点I，过点E作 于点J，过点G作( 于点K,GK与EF交于点 L.
模型解题三步法
例1 如图,在矩形ABCD中有两条相交线段EG,FH,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,若 则 FH的长为 .
例2 如图，在 中， ,BD是AC边上的中线,过点A 作AE 交BD 于点F,交BC于点E,则 的值为 .
题以类解
1. 如图,在矩形ABCD 中,点 E 是边 AB 上一点，将 沿CE 折叠，使点B 落在AD边上的点F处，连接BF.则折痕CE的长为 .
2. 如图，已知. 在正方形ABCD 的边AD 上任取一点. DE),连接BE,作( 交AB 于点 F,连接EF 并延长交CB 的延长线于点 P.若点 E，F恰好分别是AD，AB 的黄金分割点，则 PB (用含a的代数式表示)
3.如图，在正方形ABCD中,E是边AB 上的点,连接CE,过点D作 DF⊥CE,分别交 BC,CE于点 F,G.若AB=3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为4:9,则△DCG的面积为 ,CG+DG的长为 .
4. 如图,在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D为AC 的中点,连接BD,过点 C作CE⊥BD交AB 于点 E,交 BD 于点 F,则CE的长为 .
5. 如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别为 AD,CD 的中点,AF,BE 交于点 O,连接DO并延长交AB 于点 G,若 ,则OB= .
6. 如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点 D，E分别是线段AC，BC上的点，且满足AD=CE,连接 DE,过点 C 作 DE 的垂线,垂足为点 F,交线段AB 于点 G.
求证：((1)CG=DE;
7.如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上的动点,连接AE,过点 B 作BH⊥AE,交AE 于点 G,交 CD 于点 F,过点 D 作 DH⊥BH 于点 H.
(1)如图①,当点E是BC中点时,若AB=6, 求FH的长；
(2)如图②,连接HC,当点 E 在 BC 边上运动时，试判断FH，EG，BG之间的数量关系，并说明理由.
自主证明:(结论:EF=GH)
如图②,分别过点 H,F 作 HI⊥BC 于点I,FJ⊥AB 于点 J,JF 与 HG交于点 M,EF 与HG交于点O,
∴∠EJF=∠GIH=90°,JF=HI.
∵EF⊥GH,∴∠GOF=90°,
∴∠OMF+∠OFM=90°,
又∵∠MHI+∠OMF=90°,
∴∠OFM=∠MHI.
在△EJF 和△GIH中,
∴△EJF≌△GIH(ASA),
∴EF=GH.
自主证明：(结论：
如图④,EF与GH交于点I,过点 E作EJ⊥BC于点 J,过点 G作 GK⊥CD 于点 K,GK与EF 交于点 L.
∴∠EJF=∠GKH=90°,
∵EF⊥GH,
∴∠GIL=90°,
∴∠HGK+∠GLI=90°,
∵∠FEJ+∠GLI=90°,
∴∠HGK=∠FEJ,
∴△HGK∽△FEJ,
模型解题三步法
例 1 8 【解析】找模型：矩形中是否存在两条线段相交且垂直：矩形ABCD中,线段EG,FH 相交,EG⊥HF,抽离模型:如解图，用模型：根据矩形不过顶点型“十字架”模型可得： 解得FH=8.
例2 2 【解析】根据正方形过顶点型“十字架”模型可得:△ACG≌△BAD(ASA),∴CG=AD= AC= AB,∵BA∥CG,∴△CEG∽△BEA(8字型相似)， 即
题以类解
【解析】找模型：矩形中是否存在两条线段相交且垂直：在矩形 ABCD 中，线段BF,CE 相交,BF⊥CE.抽离模型:如解图,用模型:∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ BC=AD=5,CD=AB=3,由折叠的性质可得,CF=BC=5,∴ 在 Rt△CDF 中, -3 =4,∴AF=AD-DF=5-4=1,∴BF= 由折叠的性质可得，BF⊥CE，根据矩形过顶点型“十字架”模型可得： 即 解得
2. a 【解析】找模型正方形中是否存在两条线段相交且垂直：正方形ABCD中，线段BE，CF相交，BE⊥CF.抽离模型.如解图，用模型：根据正方形过顶点型“十字架”模型可得:△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF,∵ AD∥CP,∴△AEF∽△BPF,∴AEBP=AFBF,∵点E,F恰好分别是AD，AB 的黄金分割点，且AE>
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【解析】∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为4:9,AB=3,∴阴影部分的面积为 ∴空白部分的面积为9-4=5,∵在正方形 ABCD 中,CD=BC,∠DCF=∠CBE=90°,DF⊥CE,∴ ∠CFD+∠BCE = 90°,∵ ∠BCE + ∠BEC = 90°,∴∠CFD=∠BEC,∴△DCF≌△CBE(AAS)
(正方形过顶点型“十字架”模型),∴ S△DCC= 设DG=a(a>0),CG=b(b>0),则 又∵ 即 (负值已舍去)，即
【解析】如解图，过点 A 作AC 的垂线，过点 B 作 BC 的垂线，两垂线交于点 G，延长CE交AG于点 H,∵ ∠ACB=90°,∴四边形 AGBC 为矩形,∴ ∠CAH=90°,∵ 点 D是AC的中点,∴CD=AD=2,∵BC=3,∴BD 90°,∴ ∠BCF +∠CBD = 90°,∵ ∠BCF +∠ACH=90°,∴∠ACH=∠CBD,∴△CAH∽ 即 易证△AEH∽△BEC(由平行可得“8字型”相似)， 即 解得
5. 【解 析】在 △ABE 和△DAF 中,
(正方形过顶点型“十字架”模型)，∴∠ABE=∠DAF,BE=AF.∵∠ABE+∠AEB=90°,∴∠DAF+∠AEB=90°,∴∠AOB=90°,∴△ABE∽△OBA,设AE=a,则DF=a,AB=2a,在 Rt△ABE中, 同理得 在△AOE 中, 得 (负值已舍去)， F 如解图，将△ODE 绕点 D 逆时针旋转90°得到△O'DF,则△O'DF≌△ODE,∴ ∠DFO'=∠DEO,∵∠AEO=∠DFA,∠AEO+∠DEO=180°,∴∠DFO'+∠DFA=180°,即点O,F,O'在同一直线上. 在 Rt△ODO'中, 即 解得a=
6. 证明:(1)如解图,将△ACG 沿 AC 平移到△DMN的位置,点N在BC上,连接ME,GN,∴DN∥AG且DN=AG,MN=CG,
∵∠CAB=45°,
∴∠CDN=45°,
∴CD=CN,
∵CG⊥DE,
∴ ∠DCF+∠CDF=90°,
∵∠CMN+∠MNC=90°,
∴∠MNC=∠EDC,
7. 解:(1)∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=BC=CD=AD=6.
∵AE⊥BH,
∴∠BGE=90°,
∴ ∠GBE+∠GEB=90°.
∵∠BAE+∠GEB=90°,
∴∠BAE=∠GBE,
在△ABE和△BCF中,
∴△ABE≌△BCF(ASA)(正方形过顶点型“十字架”模型)，
∴DF=CF=3.
在Rt△DHF 中,
(2)FH,EG,BG之间的数量关系为 FH+EG=BG，理由如下：
如解图,连接BD,过点C作CK⊥BH于点K,
∵∠DHF=∠BCF=90°,∠DFH=∠BFC,
∴△DFH∽△BFC,
∵∠HFC=∠DFB,
∴△HFC∽△DFB,
∴∠FHC=∠FDB.
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠FHC=∠BDF=45°.
由(1)可得△ABE≌△BCF,∴BE=CF.
∵CK⊥BF,
∴ ∠KBC+∠KCB=90°.
∵∠FCK+∠KCB=90°,
∴∠KBC=∠FCK,
在△BEG和△CFK中,
∴△BEG≌△CFK(AAS),
∴EG=KF,BG=CK.
∵∠FHC=45°,∠CKH=90°,
∴FH+KF=CK,
∴FH+EG=BG.

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