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模型36 切割线定理
模型展现
类型 切割线定理 割线定理
图示
条件 在⊙O 中,弦AB 的延长线交⊙O的切线 CD 于点 D 在⊙O 中,弦AB 与弦 CD的延长线交于点E，点E在⊙O外
结论 CD =BD·AD EB·EA=ED·EC
切割线定理结论：
证明:如图①,连接CO并延长交⊙O 于点E,连接BE,AC,BC.
∵CE是⊙O的直径,∴∠CBE=90°,∴∠CEB+∠ECB=90°.
∵CD是⊙O的切线,∴∠ECD=90°,∴∠ECB+∠BCD=90°,
∴∠CEB=∠BCD,∵∠CAB=∠CEB,∴∠CAB=∠BCD,
割线定理结论:EB·EA=ED·EC
证明:方法一:如图②,连接AD,BC.∵∠E=∠E,∠A=∠C,∴△AED∽△CEB,
D方法二:如图③,连接BD,AC,根据△EBD∽△ECA,证得EB·EA=ED·EC.
模型解题三步法
例1 如图,AB是⊙O 的直径,AC是⊙O的切线,A为切点,割线CF交AB于点E,与⊙O 交于点D,且CD:DE:EF=1:2:1,AC=4,则⊙O的直径为 .
例2 如图，AB为⊙O 的直径，C，D分别为AB 两侧⊙O 上的点，连接CB并延长交AD的延长线
直径所对的圆周角为直角
于点 E,连接AC,若 B为CE的中点,则AD 的长为 .
在 Rt△ACE 中,据此计算出AE,CE,CB 的长
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题以类解
1.如图,AB 为⊙O 的直径,点 P 为 AB 延长线上一点,过点 P 作⊙O 的切线 PC,C 为切点，若PC=2 ,PB=2,则图中阴影部分的面积为 .(用含π的式子表示)
2.如图,PA 与⊙O 相切于点 A,连接 PO 并延长与⊙O交于点 B,C,连接AB,AD,BD,CD,若∠P=∠BAD,PA=15,PB=5,则BD 的长为 .
3. 新考法 新图形 如图,在△ABC中,AB=6,D为AB边的中点,E为AC边上的点,且∠BDC=∠BEC,若AE=2,则AC的长为 .
4. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,点 E 在边AB 上,以AE 为直径的⊙O 与 BC 相切于点D,且AD平分∠BAC.已知AC=4,AD=2
(1)求⊙O 的半径;
(2)求 tan B的值.
模型36 切割线定理
模型解题三步法
例1 【解析】找模型：是否存在一条切线和一条弦的延长线在圆外交于一点：弦：DF,切线:AC,交点:点 C,抽离模型:如解图,用模型:连接AD,BF,设 CD=x,∵CD:DE:EF=1:2:1,∴DE=2x,EF=x,CF=4x,由切割线定理得 即 解得x=2(负值已舍去),∴CD=2,DE=4,EF=2,CE=CD+DE=6,∵AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,∴ AB ⊥AC,在 Rt△ACE中, ∵ ∠DAB=∠DFB,∠DEA=∠BEF,∴△DEA∽△BEF(两组对角分别相等的两个三角形相似)，. 即 解得 ∴⊙O 的直径为
例2 5 【解析】找模型：是否存在圆中的两条弦在圆外相交：弦：CB 和AD，交点：点E，抽离模型：如解图，用模型：∵AB 是⊙O 的直径，∴ B 为CE的中点, 根据“割线定理”得，BE·
题以类解
【解析】找模型：是否存在一条切线和一条弦的延长线在圆外交于一点：弦：AB，切线：CP，交点：点P.抽离模型：如解图，用模型：根据“切割线定理”得， PA,∵PC=2 ,PB=2,∴(2 ) =2PA, 解得PA=6,∴AB=PA-PB=6-2=4,∴OB=OC
2.32 【解析】找模型：是否存在一条切线与一条弦的延长线在圆外交于一点：弦：CB，切线：AP，交点：点P.抽离模型：如解图，连接OA，用模型：根据“切割线定理”得， PC,∴PC=PA P =45,∴BC=40,OB=OC=OA=20,∴OP=25,∵ BC 为⊙O 的直径,∴∠BDC=90°(直径所对的圆周角为90°),∴∠OAP = ∠BDC = 90°,∵ ∠P = ∠BAD(已知),∠C =∠BAD(同弧所对的圆周角相等),∴∠P=∠C,∴△OAP∽△BDC(两组对角分别相等的两个三角形相似)， 即20BD= ,∴BD=32.
3. 9 【解析】∵ ∠BDC=∠BEC,∴B,C,E,D四点共圆,如解图,以BC 为弦作⊙O.∵AB=6,D为AB的中点,∴AD=3,由“割线定理”可得AD·AB =AE ·AC,∵ AE =2,∴ AC =
4. 解:(1)∵在 Rt△ACD中,AC=4,AD=2
如解图,连接OD,过点D作DF⊥AB 于点 F,
∵AD平分∠BAC,
(角平分线上的点到角两边的距离相等).
∵CD=FD,AD=AD,
∴ Rt△ACD≌Rt△AFD(HL).
∴AC=AF=4.
设⊙O的半径为r,∴OF=4-r.
在Rt△ODF 中,(
即 解得r=3.
即⊙O 的半径为3；
(2)如解图,由(1)知AF=AC=4,OA=3,
∴OF=1,则 EF=2.
∵ BC是⊙O 的切线,点 D 是⊙O 的切点,
(切割线定理)，
即
又∵
即
解得BE=6,
∴BF=8,

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