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模型35 相交弦定理
图示
条件 圆中有两条相交弦
结论 EA·EB=EC·ED
结论分析
结论:EA·EB=EC·ED
证明:如图,连接AC,BD.
∵∠AEC=∠DEB,∠A=∠D,∴△AEC∽△DEB,
模型解题三步法
例 如图,在⊙O中,弦AB⊥弦CD于点E,连接AD,BC,若 则弦AB的长为 ( )
C. 8 D. 11
题以类解
1. 如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AB 为⊙O的直径,点 D 为⊙O 上一点,连接 BD,AD,AD 交 BC 于点 E,若 CE =4,BE=10,AE=5,则线段 BD 的长为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2.如图，四边形AB-CD的两条对角线相交于点 E,CB=CA=CD=10,AE:CE=2:3,则 BE·DE 的值为 .
3.阅读下面的材料，并完成相应的任务：
圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了圆的切割线定理、割线定理、相交弦定理.欧几里得《原本》中对它们的证明是基于毕达哥拉斯定理(勾股定理)的，简单而自然.
其中相交弦定理的证明过程如下：
已知:如图①,若弦AB,CD 交于点 P,
求证:PA·PB=PC·PD.
证明：如图②，设⊙O 的半径为 R，连接OB,OP,过点O作OE⊥AB 于点 E,
∴AE=BE,
∴PA·PB=(AE-- )(BE+ )=(BE- )(BE+ )= = 同理,PC·PD= ,
∴PA·PB=PC·PD.
任务：
(1)补全题中给出的相交弦证明过程；
(2)如图③,已知AB 为⊙O 的直径,AB=4,弦 CD 交 AB 于点 P,且点 P 为 OB 的中点,若CP=2,求线段DP的长;
(3)如图④，从⊙O 外一点 P 向圆引割线PBC 和切线 PA，根据题目所给证明方法，求证：
模型解题三步法
例 D 【解析】找模型：圆内是否存在两条相交弦：弦AB 和CD，是否已知两条相交弦中的部分线段长： 抽离模型：如解图，用模型： ∴DE=6,CE=4,∵AB⊥CD,∴∠AED=90°,在Rt△AED中, (勾股定理)，根据“相交弦定理”得AE·BE=CE·DE,∴
题以类解
1. D 【解析】找模型：圆内是否存在两条相交弦：AD 和 BC，是否存在相交弦中部分线段长:CE=4,BE=10,AE=5. 抽离模型:如解图，用模型：由“相交弦定理”可得，AE·DE=CE·BE,∴5DE=4×10,解得 DE=8,∵AB为⊙O 的直径,∴∠ADB=90°(直径所对的圆周角是 90°),∴ 在 Rt △BDE 中, BD =
2. 64 【解析】如解图,∵CB=CA=CD,∴点A,B，D在同一个圆上，以点 C 为圆心，CB长为半径作⊙C,延长AC 交⊙C 于点 F.找模型:圆内是否存在两条相交弦：AF 和BD，是否存在相交弦中部分线段长:∵ CB=CA=CD=10,AE:CE=2:3,∴AE=4,CE=6,CF=10,∴EF=16.构造模型：如解图，用模型：由“相交弦定理”可得,BE·DE=AE·EF=4×16=64.
3. (1)解:PE,PE,PE,
(2)解:∵AB 是⊙O 的直径,AB=4,且点 P为OB的中点，
∴AP=3,BP=1,
由“相交弦定理”得CP·DP=AP·BP,
∴2DP=3×1,
(3)证明:如解图,连接OA,OB,OP,过点O作OD⊥BC于点 D,则BD=CD(垂径定理).
∵PA与⊙O 相切于点A,
(切线定理)，
=PB·(PD+CD)
=PB·PC,
即

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