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模型42 定角定高
模型展现
图示
条件 在△ABC中,AD⊥BC于点D,其中∠BAC=α(定角),AD是BC边上的高,且AD=h(定高)
结论 构成等腰三角形(AB=AC)时： 1. BC的长最小; 2. △ABC的周长最小; 3. △ABC的面积最小
结论1：构成等腰三角形(AB=AC)时，BC的长最小
证明:如图①,作△ABC的外接圆⊙O,连接OA,OB,OC,
过点O作OE⊥BC于点E,设⊙O的半径为r,∵ ∠BAC=α,AD=h,
∴∠BOE=∠BAC=α,
∴BC=2BE=2OB·sinα=2r·sinα,OE=r·cosα.
∵OA+OE≥AD(当且仅当点A,O,E三点共线时,等号成立),
∴r+rcosα≥h,
∴当取等号时r有最小值，此时BC的长最小.
结论2：构成等腰三角形(AB=AC)时， 的周长最小
证明：如图②，延长CB 至点 E，使得 ,延长 BC 至点 F,使得( 连接AE,AF,
∴△ABC的周长为
∴当EF最小时,△ABC 的周长最小.
∵ BA=BE,CA=CF,
∴当 时，EF的长最小，即. 时， 周长最小.
结论3：构成等腰三角形 时， 的面积最小
自主证明：
模型解题三步法
例 在 中， 交BC于点D.
(1)如图①,若 ，则BC 的最小值为 ；
(2)如图②,若 则△ABC 面积的最小值为 .
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题以类解
1. 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,BC 边上的高AD=6,则△ABC周长的最小值为 .
2.如图，在平面直角坐标系中，A(4,0),OB=AB,∠ABO=90°,点 M,N 在OA 上运动,且∠MBN=30°,则 MN的最小值为 .
3. 如图,在 ABCD中,AD 与BC之间的距离为2,点 E 是AD边上一点,且∠BEC=45°,则线段 BC 的最小值为 .
4. 如图,在△ABC 中,∠BAC = 60°,AD 平分∠BAC 交BC于点 D.若AD=6,则△ABC面积的最小值为 .
5.真实问题情境
【问题提出】
(1)如图①,直线m∥n,m,n之间的距离为12,点 P 在直线m上,点 E,F在直线n上,若∠EPF=45°,求EF 的最小值;
【问题解决】
(2)如图②，四边形ABCD 为某运动场馆外的广场草坪设计示意图.在四边形 ABCD中， AD 与 BC 之间的距离为12米,且∠A+∠D=240°.已知种植草坪的成本为每平方米20元.为了节省费用，四边形 ABCD 的面积是否存在最小值 若存在，求出此时四边形ABCD 面积的最小值，并预估此种情况下种植草坪的成本(成本的计算结果保留整数)；若不存在，请说明理由.(参考数据：
模型42 定角定高
模型展现
自主证明：
如图,作△ABC的外接圆⊙O,连接OA,OB,OC,过点O作OE⊥BC于点 E,
AD 为定值,
∴ BC 取得最小值时，△ABC 的面积最小.当 AB =AC 时,点 D与点E重合，此时BC的长最小，即△ABC的面积最小.
模型解题三步法
例 (1)20 【解析】根据定角定高模型作⊙O,如解图①,连接 OA,∵ ∠BAC = 90°,∴BC为 ⊙O 的直径,BC=2OA,∵ OA≥AD(直角三角形的斜边>直角边，重合时取得等号),∴当点 O 与点 D 重合时,OA 取得最小值,最小值为AD的长,此时BC=2AD=20,∴BC的最小值为20；
【解析】如解图②，根据定角定高模型，得 (垂径定理),OA=OB=OC,∵∠BAC=60°,∴∠BOC=120°,∠OBC=∠OCB=30°,设 OA=OB=OC=r,则 OE= 解得 ∴当A,O,E三点共线,即点 D 与点 E 重合时，BC取得最小值，此时
△ABC 面积的最小值为
题以类解
【解析】找模型：是否存在三角形:△ABC,三角形中是否存在定角:∠BAC,三角形中是否存在定高：AD.抽离模型：如解图，用模型：延长CB 至点 B'，使 延长BC至点 C',使CC'=AC,∴ △ABC 的周长为 135°,作△AB'C'的外接圆⊙O,连接 OA,OB',OC',过点 O 作 OE⊥B'C'于点 E,则 ∠OC'B'=45°,设( ,则B'E= 解得 12+12 ,∴ △ABC 周长的最小值为 12+
【解析】找模型：是否存在三角形：△BMN，三角形中是否存在定角：∠MBN，三角形中是否存在定高：点B 到 x轴的距离.抽离模型:如解图,用模型:∵ OB =AB,∠ABO=90°,∴△ABO 为等腰直角三角形,根据定角定高模型作△BMN的外接圆⊙P，连接PM,PN,BP,过点 P 作 PQ⊥MN 于点Q,过点 B作 BG⊥MN于点 G,∵A(4,0),∴OA=4,BG=AG=OG=2,∵∠MBN=30°,∴∠MPN=60°,∵ PM=PN,∴ △PMN 为等边三角形,∴∠MPQ=30°,设⊙P 的半径为 r,则 当且仅当点B，P，Q三点共线，即点Q 与点G重合时 此时r最小，解得 ，即MN的最小值为
【解析】如解图,过点 E 作 EF⊥BC于点 F,作△BEC 的外接圆⊙O,连接OB,OC,OE,过点 O 作OG⊥BC 于点 G,由题意得 ∠BOC=2∠BEC,∵∠BEC=45°,∴∠BOC=90°,∠OBC=∠OCB=45°.设OB=OC=OE=r,则 解得，r≥4-2 ,∴BC 当G，O，E三点共线，即点F 与点G重合时，BC有最小值，最小值为
【解析】∵ ∠BAC = 60°,AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD=∠CAD=30°,如解图,过点 D作 DH⊥AB 于点 H,作DG⊥AC 于点 G,则 60°,∴∠HDG=120°(四边形内角和等于360°),∴∠BDH+∠CDG=60°,在线段 AH 上截取 HE=CG,连接 DE,则△DHE≌△DGC,∴∠EDH=∠CDG,∴ ∠BDE=∠BDH+∠EDH=∠BDH+∠CDG=60°,易证 2S△ADC,而 要使△ABC面积最小，只需△BDE 面积最小，作△BDE 的外接圆⊙O,过点 O 作 ON⊥BE 于点N.连接 OD,OB,OE,∵ ∠BDE=60°,∴∠BOE=120°,设⊙O 的半径为r,则 BE= E面积的最小值为 ∴ △ABC 面积的最小值
5. 解:(1)如解图①,作△PEF的外接圆⊙O,连接OE,OF,OP.设OE=OF=OP=r,过点O作OG⊥EF于点 G,过点 P 作 PH⊥EF 于点 H,由题意得PH=12,
∵∠EPF=45°,∴∠EOF=2∠EPF=90°,
∵OE=OF,∴∠OEF=45°,
∵OG+OP≥PH,即
当G与H重合时取等号，
∴r的最小值为
∴EF的最小值为
(2)存在.
如解图②,过点 D 作 DE∥AB 交 BC 于点 E,作△DEC 的外接圆⊙O,过点 O 作 OH⊥EC于点H,过点D作DF⊥EC于点 F,连接OD,DH,OE,设⊙O半径为 R,∴∠A+∠ADE=180°.∵∠A+∠ADC=240°,∴ ∠EDC=240°-180°=60°.
∵OD+OH≥DH≥DF,OH⊥EC,
∴∠EOH=∠EDC=60°,
即R≥8.
∵EC=2EH=2OE·sin∠EOH=2OE· sin 60°= R;
∴当D,O,H三点共线,即点 F 与点 H重合时，EC的值最小，此时R=8,EC=8
∵AD∥BE,AB∥DE,
∴四边形ABED 为平行四边形，
∴ S四边形ABCD=S平行四边形ABED+S△DEC,
∴四边形 ABCD 面积的最小值为 (平方米)，
(元).
答：四边形ABCD 的面积存在最小值，四边形ABCD 面积的最小值为96 平方米，种植草坪的成本约为3322元.

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