资源简介

模型46 “A字”模型
基础模型
两个三角形的对应边不确定，则分两种情况:①∠ADE=∠ABC,此时为正“A 字” 型; ②∠ADE=∠ACB,此时为斜“A字”型.
结论分析
结论:△ADE∽△ABC
证明:证法1:∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,
∴ △ADE∽△ABC.
证法2：当 时,△ADE∽△ABC.
自主证明：
模型拓展
拓展方向：由正“A字”型向斜“A字”型拓展
类型 斜“A字”型(共角) 斜“A字”型(共角共边)
图示
条件 在△ABC中,点 D 是AB 上的点,点 E 是AC上的点,∠AED=∠ABC或∠ADE=∠ACB 在△ABC中,点 D 是AB 上的点,∠ACD=∠ABC或∠ADC=∠ACB
结论 △ADE∽△ACB △ADC∽△ACB
模型解题三步法
例1 如图,在 ABCD中,点E 在边AD上,连接BE并延长交CD的延长线于点F,若AE=2ED,DE∥BC则FD:FC的值为 .
例2 如图,在Rt△ABC中, 点D是AB边上的点， 交AC于点E, AB=10,则BC的长为 .
中小学教育资源及组卷应用平台
题以类解
1. 如图,在△ABC中,点 D,E分别在边AB,AC上,连接DE,且DE∥BC,若AD=3,AB=4,S四边形DECB=14,则S△ABC= ( )
A. 50 B. 40 C. 32 D. 26
2.如图,在四边形ABCD中,点 E 是BC的中点,连接AC,DE,交于点 F,且∠AFD=∠B.若CE=2,AC=5,则下列结论正确的是 ( )
A. AB:EF=5:3
D. △CEF∽△CAB
3. 如图,在⊙O 中,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的切线，若 则⊙O的半径为 ( )
A. B.
4. 如图,在△ABC中,过点A 作AD⊥BC 于点D,正方形EFGH内接于△ABC,点H,G在边BC上,点 E,F分别在边AB 和AC 上.若AD=5cm,BC=10 cm,则正方形 EFGH的边长为 cm.
5.如图，在矩形 ABCD 中,点E 是 AB 的中点,点F 是 BC 上的一点,
AB=8,∠FED=30°,∠FDE=45°,则 BC 的长度为 .
6.如图，E是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接BE,DE,CE=DE.
(1)求证:∠DEB=2∠DAB;
(2)求证:
7.如图，抛物线 与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B(0,6).
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上有一动点 P(m,0)(点 P不与点A，点O 重合)，过点 P作x轴的垂线交直线AB 于点 N,交抛物线于点 M.若 PN:MN=1:3,求m的值.
模型展现
自主证明：
∴△ADE∽△ABC.
模型解题三步法
例1 【解析】找模型：是否存在共角的两个三角形:△FED 和△FBC,共角:∠EFD=∠BFC，共角的两个三角形是否存在平行关系：DE∥BC.抽离模型：如解图，用模型：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,根据正“A字”型模型可得:△FED∽△FBC,
例2 6 【解析】找模型：是否存在共角的两个三角形:△ABC 和△AED,共角:∠BAC =∠EAD，共角的两个三角形是否存在其他相等的角:∠ADE=∠ACB.抽离模型:如解图,用模型：根据斜“A字”型共角模型得： 即 AC=8,∴在 Rt△ABC 中,
题以类解
1. C 【解析】找模型：是否存在共角的两个三角形: △ADE 和 △ABC, 共角: ∠DAE =∠BAC；共角的两个三角形是否存在平行关系：DE∥BC.抽离模型：如解图，用模型：根据正“A 字”型模型可得:△ADE∽△ABC, =32.
2. D 【解析】找模型：是否存在共角的两个三角形: △CEF 和 △CAB, 共角: ∠FCE =∠BCA，共角的两个三角形是否存在其他相等的角:∠CFE=∠B.抽离模型:如解图.∵∠AFD=∠B,∠AFD=∠CFE(对顶角相等),∴∠B=∠CFE,用模型:根据斜“A字”型共角模型可得:△CEF∽△CAB,∴ 选项 D正确； ,∴AB:EF=5:2,∴λ选项 A 错误;∵点 E是 BC的中点， ，∴选项C错误； ∴选项 B错误.
3. C 【解析】如解图,连接OC,设 CD=x,则 ∵CD 是⊙O 的切线(已知切线，连半径，半径与切线夹角为90°)， ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角为90°),∴∠ACO+∠OCB = 90°,∵ ∠OCB + ∠BCD = 90°,∴∠ACO=∠BCD,又∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAO,∴∠CAO=∠BCD,根据斜“A 字”型模型可得： 解得 ∴⊙O 的半径为
4. 【解析】如解图，设AD 与 EF 相交于点I,∵四边形 EFGH为正方形,∴EF∥HG,EH⊥BC.∵ AD⊥BC,EF⊥EH,∴四边形 EIDH为矩形,∴DI=EH=EF.∵ EF∥HG,∴∠AEF=∠B,又∵ ∠EAF = ∠BAC,∴ △AEF∽△ABC(正“A字”模型), 同理可得△AEI∽△ABD(正“A字”模型), 即 解得 ∴正方形 EFGH 的边长为
【解析】如解图，延长DE，CB交于点M,过点 F 作 FN⊥DE 于点 N,则∠FNE =∠FND=90°,∵ ∠FDE=45°,∴ △FND 为等腰直角三角形.∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB=CD=8,∠A=∠ABC=∠ABM=90°,BC=AD.设NF=x,则DN=x,FE=2x,∴EN= ( +1)x.∵E 是AB 的中点,AB=8,∴AE=BE=4.∵∠A=∠EBM=90°,∠AED=∠BEM,AE=BE,∴ △AED≌△BEM(ASA),∴AD=BM,ME=DE=( +1)x,∴MN=ME+EN=(2 +1)x.∵∠M=∠M,∠EBM=∠FNM=90°,∴ △MEB∽△MFN(斜“A字”模型),
6. (1)证明:如解图,连接BD.
∵四边形ABCD 是菱形,
∴AC 垂直平分BD,∠DAB=∠DCB.
∵E是AC上一点,∴ DE=BE.
∵DE=CE,∴CE=BE,∠EDC=∠ECD.
∴∠AED=∠EDC+∠ECD=2∠ECD.
同理:∠AEB=2∠ECB,
∴∠BED=2(∠ECD+∠ECB)=2∠DCB.
又∵∠DAB=∠DCB,
∴ ∠DEB=2∠DAB;
(2)解:∵ 四边形ABCD 是菱形,
∴AB=BC.
∴ ∠BAC=∠BCA.
由 (1) 得 ∠EBC
=∠ECB,
∴∠EBC=∠BAC.
在△BEC 和△ABC中,
∵∠EBC=∠BAC,∠ACB=∠BCE,
∴△BEC∽△ABC(斜“A字”模型);
即
7. 解:(1)把点A(4,0),B(0,6)代入抛物线中,得 解得
∴抛物线的解析式为
(2)∵P(m,0),∴OP=|m|,∴AP=|4-m|,∵ PM⊥x轴,∴OB∥PN,∴∠ANP=∠ABO,又∵∠APN=∠AOB=90°,
∴ △OAB∽△PAN(正“A字”模型),
即
∵点M 在抛物线上，
当04时,同理,解得 (舍去), 当 时，m不存在；当 时,∵ PN:MN=1:3,∴ 解得 (舍去), 综上所述，若PN:MN=1:3,m的值为 或

展开更多......

收起↑