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模型48 “一线三等角”模型
基础模型
结论分析
结论:异侧一线三等角:△CAP∽△PBD
结论:同侧一线三等角:△CAP∽△PBD
自主证明：
证明:∵ ∠CPB 是△ACP 的外角,∴∠CPB =∠1+∠C,
即∠2+∠BPD=∠1+∠C,
又∵∠1=∠2,
∴∠BPD=∠C.
模型拓展
拓展方向：由一线三垂直的一般情况到特殊情况
图示
条件 ∠1=∠2=∠3=90°
结论 △ACP∽△BED
模型解题三步法
例1 如图，在等边△ABC中，点D 是BC边上一点，连接AD，将直线AD绕点D
∠B=∠C=60° ∠ADE=60°
逆时针旋转60°，与AB 边交于点 E，若 则△ABC的周长为( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
例2如图,在 ABCD中,AB=3,BC=4,∠B=60°,点E是AB边上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交 BC边于点 F,且∠EFD=60°,则AE的长为 .
题以类解
1.如图,将矩形 ABCD 沿 CE 折叠,点 B 落在AD边上的点 F 处.若AE=4,CD=9,则 DF的长度为 ( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
2.如图,△ABC 和△AED 均为等腰直角三角形,点D 在BC边上,AB 与DE 交于点 F,若 则BF 的长为 ( )
B. 1 D. 4
3. 如图,在四边形ABCD中,AD=4,AB=10,点E是AB的中点,连接DE,CE,若∠A=∠B=∠DEC,则 的值为 ( )
A. B. C. D.
4. 如图，点C 在以AB 为直径的⊙O上,连接AC,分别过点A,C作⊙O 的切线交于点 D,若AB=3,BC=1,则△ACD 的面积为 .
5如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于点A.点B在x轴上，且OA=BA，反比例函数图象上有一点 C,且∠ABC=90°,则点 C 的坐标为 .
6.如图，抛物线 与x轴交于点A(-3,0)、B,与y轴交于点 C(0,-3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线y=x+3交抛物线于第一象限的点M，若N是抛物线 上一点，且∠MAN=∠OCB,求点N的坐标.
模型展现
自主证明：
∵∠1=∠C+∠APC,∠3=∠APC+∠BPD,∠1=∠3,
∴∠C=∠BPD,
∵∠1=∠2,∴∠CAP=∠PBD,
∴△CAP∽△PBD.
模型解题三步法
例1 B 【解析】∵△ABC 是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,∵ 直线 AD 绕点 D 逆时针旋转60°,与AB 边交于点 E,∴∠ADE=60°.根据同侧锐角一线三等角模型可得：△BED∽ 即 ∴BC=3,∴△ABC的周长为9.
例2 一题多解
解法一：如解图①，根据同侧一线三等角模型得： 四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD=3,∴∠DCG=∠B=∠G=60°,∴ △DCG 是等边三角形,∴CG= G
解法二：如解图②，根据同侧一线三垂直模型得:△EMF∽△DNE,∵四边形ABCD 为平行四边形,∠B=60°,∴AD∥BC,AD=BC=4,∴ 设AE=x,则BM=AB-AE-EM=1-x,NE=AN+AE=2+x,在Rt△BMF 中, 解得
题以类解
1. C 【解析】找模型：一线：哪条线上有三个角：线段AD,三等角:哪三个角相等:∠A=∠EFC=∠D.抽离模型：如解图，用模型：根据同侧一线三垂直模型可得： 在Rt△AEF中,EF=BE=9-4=5,∴AF=
2. A 【解析】找模型：一线：哪条线上有三个角：线段BC，三等角：哪三个角相等： 抽离模型：如解图，用模型：在 中， 根据同侧锐角一线三等角模型可得： 即
3. D 【解析】∵∠A=∠B=∠DEC,∴△DAE∽△EBC(钝角一线三等角模型)， AD=4,AB=10,点E是AB的中点,∴AE=BE=
【解析】如解图，过点 D 作AC 的垂线，交 AC 于 点 E. 在 Rt △ABC 中, AC = ∵AD,CD 是圆O的切线,∴AD=CD(切线长定理),在 Rt△ADE 和Rt△CDE 中, ∴ Rt△ADE≌Rt△CDE(HL),∴AE ∠CAB=90°,∠DAE+∠ADE=90°,∴∠CAB=∠ADE,又∵∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△BAC(异侧一线三垂直相似模型)
【解析】如解图,作AD⊥x轴于点 D,CE⊥x轴于点 E,设点 C 的坐标为 ∴正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于点A， 解得x=3(负值已舍去)，∴A(3, ).∵AO=AB,AD⊥x轴,∴OD=BD 轴,CE⊥x轴,∠ABC=90°,∴ △ADB∽△BEC(同侧一线三垂直模型)， 解得 (舍去), 则点 C 的坐标为(2
6. 解:(1)将C(0,-3)代入抛物线解析式中得,c=-3,
将A(-3,0)代入抛物线解析式中得9-3b-3=0,∴b=2,
∴抛物线的解析式为：
(2)∵直线y=x+3交抛物线于第一象限的点M,
∴联立 解得 或
∴M(2,5),直线y=x+3过点A,易得B(1,0),
在Rt△OBC中,
①如解图，当点N在AM下方时，过点A 作y轴的平行线，过点 M作x轴的平行线，两线交于点 G,过M作 MQ⊥AM 交 AN 延长线于点Q，过点 Q 作y轴的平行线交 GM 的延长线于点H，
∴∠AGM=∠MHQ=90°,
∴∠AMG+∠GAM=90°,
又∵AM⊥MQ,∴∠AMQ=90°,
∴∠AMG+∠HMQ=90°,
∴∠GAM=∠HMQ,∴△AGM∽△MHQ,
∵A(-3,0),M(2,5),∴AG=5,GM=5,
设直线AQ为：
代入点A，点Q，得
∴ 直线AQ为
联立 化简得， 或x=-3(舍解得去),
当 时，
②当N在AM 上方时,同理可得,N(3,12),
∴点N的坐标为( 或(3,12).

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