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模型28 矩形的翻折
基础模型1 矩形翻折形成的全等
图示
已知 在矩形ABCD 中，折痕为对角线 AC，点B的对应点为B' 在矩形 ABCD 中,折痕为EF,点 A的对应点为 A'，点B 的对应点为B',点 B'恰好落在边AD 上
结论 △AB'E≌△CDE 连接BE,△ABE≌△A'B'E
基础模型2 矩形翻折形成的相似
在证明矩形翻折形成的相似时，用两组对应角分别相等的两个三角形相似，一组角为 角，再找一组共角或等角代换找相等的角.
结论分析
图①结论:△AB'E≌△CDE
证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,由折叠性质知,AB=AB',∠ABC=∠AB'C,∴AB'=CD,∠AB'E=∠CDE,又∵∠B'EA=∠DEC,∴△AB'E≌△CDE(AAS).
图②结论:连接BE,△ABE≌△A'B'E
自主证明：
图③结论：1
证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠PAE=∠EDC=∠PBC=90°,∴∠APE+∠AEP=90°,由折叠性质可知,∠PEC=∠PBC=90°,∴∠AEP+∠DEC=90°,∴∠APE=∠DEC,
(结论1).
由折叠的性质知，
∴在 中，
即 (结论2).
图④结论:1.△PAE∽△ACD;2.△PAE∽△CAB
自主证明：
图⑤结论:1.过点 E 作EG⊥BC 于点G,连接. 则
证明:由折叠的性质知,BB'⊥EF,∴∠B'BC+∠EFB=90°,∵EG⊥BC,∴∠EGF=90°,
∴∠FEG+∠EFB=90°,∴∠B'BC=∠FEG,∵∠BCB'=90°,∴△EFG∽△BB'C;
图⑤结论:2.△A'EP∽△DB'P∽△CFB';
证明:由折叠的性质知,∠A'=∠A=90°,∵四边形ABCD为矩形,∴∠PDB'=∠B'CF=90°,
∵∠A'PE=∠DPB',∴△A'EP∽△DB'P.由折叠的性质知,∠A'B'F=∠ABC=90°,
∴∠FB'C+∠PB'D=90°,∵∠DPB'+∠PB'D=90°,∴∠FB'C=∠DPB',
∴△DB'P∽△CFB',∴△A'EP∽△DB'P∽△CFB';
图⑤结论：3.若点 B'和点D 重合，则四边形BEB'F是菱形
证明:如图,由折叠的性质知AB=A'B',AE=A'E,∠BAE=∠B'A'E=90°,
∴△ABE≌△A'B'E,A'E∥B'F,
∵AB'∥BC,∴四边形BEB'F是平行四边形,
∴ 四边形 BEB'F 是菱形.
模型解题三步法
例1 如图,在矩形ABCD中,点E 是边AD上一点,将△ABE沿BE折叠得到△A'BE,点 恰好落在对角线BD上.若AB=6,AE=3,则△A'ED的面积为 .
例2 如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=9,点E,F分别在边AD,BC上,将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点 D 落在AB边上的点 P处，点C 落在点( 处,且BF=6,则线段AE的长为 .
BF=AB=CD
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题以类解
1.如图，将矩形纸片ABCD 放入平面直角坐标系中，边BC在x轴上且过原点，连接OD，将纸片沿 OD 折叠，使点 C恰好落在边AB上的C'处,若AB=10,BC=6,则点 C'的坐标为 .
2.小颖将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，折完后，发现形成的四边形 AECF 是菱形.若AB=6,则AD 的长为 .
3.如图，在矩形ABCD 中，将矩形沿对角线BD折叠，点A 的对应点为点A'，A'D交BC于点E,若AB=12,AD=18,则 sin∠A'BE 的值为 .
4. 如图，在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,P为DC边上的动点(点 P不与点 D，C重合)，将纸片沿AP 折叠.
(1)当四边形ADPD'是正方形时,CD'的长为 ;
(2)当 CD'的长最小时,PC 的长为 .
5. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=10,BC=12,点E 是 AB 的中点,点 F 是 AD 边上的一个动点，将△AEF 沿 EF 所在直线翻折，得到△A'EF,连接A'C,A'D,则当△A'DF 是直角三角形时，FD 的长为 .
6. 如图,在矩形ABCD 中,点 E 在 CD 边上,将△BCE沿 BE 折叠,使点 C 落在对角线BD上的点F处，连接AF.若点A，E，F在同一条直线上，给出以下结论：
①∠ABE=∠AEB;②S△BEF=S△ADF;
③△ADE≌△BFA;④BE=DE.
其中正确结论的序号是 .(把所有正确结论的序号都选上)
7.如图①，折叠矩形纸片ABCD，具体操作：①点E 为AD边上一点(不与点A，D重合)，把△ABE沿 BE 所在的直线折叠，A 点的对称点为 F 点;②过点 E 对折∠DEF,折痕 EG所在的直线交 DC 于点 G，D点的对称点为H点.若AB=3,BC=5.
(1)点E 在移动的过程中，求DG的最大值；
(2)如图②,若点 C 恰在直线 EF 上,连接DH,求线段 DH的长.
模型展现
图②结论：自主证明：
由折叠的性质得,∠EA'B'=∠EAB=90°,AB=A'B',AE=A'E,
∴△ABE≌△A'B'E(SAS).
图④结论：自主证明：
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AB∥CD,∴∠PAE=∠ACD,由折叠可知∠PEC=∠ABC=90°,
∴∠PEA=∠ADC=90°
∴ △PAE∽△ACD(结论1).
∵∠PAE=∠CAB,∠PEA=∠CBA,
∴△PAE∽△CAB(结论2).
模型解题三步法
例 1 6 【解析】找模型：是否存在矩形折叠：△ABE 沿 BE 折叠，抽离模型：如解图，用模型：根据“矩形的翻折”模型得，△A'DE∽△ADB,∴ADD=A'E,即 解得A'D=4或A'D=0(舍去),∵∠BA'E=∠BAE=
例2 4 【解析】找模型：是否存在矩形折叠：矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，抽离模型：如解图，用模型：连接PF，由“矩形的翻折”模型及BF=6得,Rt△PBF≌Rt△FC'P(HL),∴PB=C'F=CF=BC-BF=3,∴PA=AB-PB=6-3=3.设AE=x,则 ED=9-x=PE,在Rt△APE中, 即 x) ,解得x=4,∴AE的长为4.
题以类解
【解析】找模型：是否存在矩形折叠:△OCD 沿 OD 折叠,抽离模型:如解图,用模型:根据折叠的性质得,C'D=CD=10,在 Rt△ADC'中, =10-8=2,设BO=a,则CO=C'O=6-a,在Rt△BOC'中, ，解得 又∵点 C'在第二象限，∴点 C'的坐标为
2. 2 【解析】找模型：是否存在矩形折叠：△ADF 沿AF 折叠,△BCE 沿 CE 折叠,抽离模型：如解图，用模型：∵四边形 AECF 是菱形,AB=6,设BE=x,∴AE=6-x,∴CE=6-x,∴∠FCO=∠ECO,∵∠ECO=∠ECB(折叠的性质),∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°,2BE=CE,∴CE=2x,∴2x=6-x,解得x=2,∴CE=4,∴AD=BC=CE·cos30°=2
3. 【解析】∵ 四边形ABCD 是矩形,∴∠A=∠C=90°,AB=CD,根据折叠的性质可知,∠A'=∠A=90°,A'B=AB=CD,∵ ∠A'EB=∠CED,∴△A'EB≌△CED,∴BE=DE,A'E=CE.在Rt△CDE中, (勾股定理)，即 解得CE=5,
4. (1) ;(2) 【解析】(1)∵四边形ADPD'是正方形，四边形 ABCD 是矩形，∴点 D'位于AB上,BC=AD=3,∴AD'=AD=3(折叠的性质),
(2)如解图,∵四边形ABCD 是矩形,∴AC= -AD',∴当 D'在AC 上时,CD'取得最小值, ,设PC=x,则 PD=4-x,在Rt△PCD'中,由勾股定理可得: 解得
5. 或7 【解析】当△A'DF 为直角三角形时，可分两种情况进行讨论，如解图①，当∠DA'F=90°时,∵∠EA'F=∠A=90°,∴E,A',D在同一直线上，由题可得， 5=A'E,在 Rt△ADE 中, ∴A'D=13-5=8,∵∠DA'F=∠A,∠A'DF=∠ADE,∴ △A'DF∽△ADE(两组对应角分别相等的两三角形相似)， 即 解得 如解图②,当∠A'FD=90°时， 由题可得， ∠AFA'= 45°, ∴ ∠AEF = ∠AFE = 45°,∴AF=AE=5,∴DF=AD-AF=12-5=7;综上所述，DF的长为 或7.
6. ①②③ 【解析】∵ AB∥CD,∴ ∠ABE =∠BEC,∵将△BCE沿 BE 折叠,使点 C 落在对角线 BD 上的点 F 处,∴∠BEC=∠AEB,∴ ∠ABE =∠AEB,故①正确;∵AD=BC, 即 故②正确;∵BC⊥CD,把△BCE 沿 BE对折,使点 C 落在对角线 BD 上的点 F 处,∴∠BFE=∠C=90°,∵A,E,F在同一条直线上,∴∠AFB=90°,∴ ∠ABF+∠FAB =90°,∵四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠DAE+∠FAB=90°,∴∠DAE=∠ABF,∵ ∠ABE=∠AEB,∴AB = AE,△ADE≌△BFA(AAS)
(一线三垂直模型),故③正确;若 BE=DE,则 ∠EDB = ∠EBD, 而 ∠EDB = ∠ABD,∠EBD=∠EBC,∴∠ABD=∠EBD=∠EBC,∵ ∠ABD+∠EBD+∠EBC=90°,∴ ∠ABD= 但根据已知条件不能得到 故④不正确.综上所述，正确的结论有①②③.
7. 解:(1)由折叠可知∠AEB=∠FEB,∠DEG=∠HEG,
∵∠AEB+∠FEB+∠DEG+∠HEG=180°,
∴ ∠AEB+∠DEG=90°,
∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠A=∠D=∠AEB+∠ABE=90°,
∴∠ABE=∠DEG,
∴△ABE∽△DEG,
设AE=x,
∴当 时，DG有最大值，最大值为
(2)由折叠可知∠AEB =∠FEB,AE=EF,AB=BF=3,∠BFE=∠A=90°,
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBC,
∴∠FEB=∠EBC,
∴CE=CB=5,
∵点 C 在直线EF上,
∴∠BFC=90°,CF=5-EF=5-AE,
∴AE=EF=5-4=1,
由折叠可知EG垂直平分线段 DH，

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