资源简介

2.2　排列数公式
第1课时　排列数公式
[学习目标]　1.能用计数原理推导排列数公式.2.能用排列数公式解决简单的实际问题．
一、排列数公式
问题1　怎样推导从n个不同的元素中取出m(m，n∈N＋，m≤n)个元素的排列数A？
问题2　当m＝n时，排列数A的公式如何表示？
知识梳理
排列数公式(m≤n，且m，n∈N＋)
(1)A＝________________；
(2)A＝________(读作n的阶乘)；
规定：A＝________；0！＝________；
(3)A＝.
角度1　排列数的正用
例1　计算下列各题：
(1)A；(2).
角度2　排列数的逆用
例2　(1)用排列数表示(55－n)(56－n)·…·(69－n)(n∈N＋且n<55)；
(2)化简：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m)．
反思感悟　排列数的计算方法
排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行．应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．
跟踪训练1　(1)已知3A＝4A，则n等于(　　)
A．5 B．7 C．10 D．14
(2)不等式A<6A的解集为(　　)
A．[2,8] B．[2,6]
C．(7,12) D．{8}
二、利用排列数公式化简与证明
例3　(1)求证：A－A＝mA.
(2)＋＋＋…＋＝__________.
反思感悟　排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意应用阶乘的性质提取公因式，简化计算．
跟踪训练2　(多选)下列等式正确的是(　　)
A．(n＋1)A＝A B.＝(n－2)!
C．A＝ D.A＝A
三、排列数公式的简单应用
例4　某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
反思感悟　对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树形图法．情况较多的情形，可以先进行分类．
跟踪训练3　若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有(　　)
A．120个 B．80个 C．40个 D．20个
1．知识清单：
(1)排列数、排列数公式．
(2)全排列、阶乘、0！＝1.
(3)排列数的应用．
2．方法归纳：直接法、优先法、间接法．
3．常见误区：忽视A中“n，m∈N＋”这个条件．
1．A等于(　　)
A．9×3
B．93
C．9×8×7
D．9×8×7×6×5×4×3
2．4×5×6×…×(n－1)×n等于(　　)
A．A B．A
C．n！－4! D．A
3．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了______条毕业留言．(用数字作答)
4．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有______种．(用数字作答)
第1课时　排列数公式
问题1　我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球：
第1步，从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法；
第2步，从剩下的(n－1)个球中任选一个放入第2个盒子，有(n－1)种方法；
第3步，从剩下的(n－2)个球中任选一个放入第3个盒子，有(n－2)种方法；
……
第m步，从剩下的[n－(m－1)]个球中任选一个放入第m个盒子，有[n－(m－1)]种方法，如表所示．
盒子 1 2 3 … m
方法数 n n－1 n－2 … n－(m－1)
因此，根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]种方法．
问题2　A＝n(n－1)(n－2)…2·1.
知识梳理
(1)n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]
(2)n！　1　1
例1　解　(1)A＝10×9×8＝720.
(2)＝
＝＝＝.
例2　解　(1)∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数，
∴(55－n)(56－n)·…·(69－n)
＝A.
(2)由排列数公式可知n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m)＝A.
跟踪训练1　(1)B　(2)D
例3　(1)证明　∵A－A
＝－
＝·
＝·
＝m·＝mA，
∴A－A＝mA.
(2)1－
解析　因为＝－，
所以＋＋＋…＋
＝＋＋
＋…＋＝1－.
跟踪训练2　ABD
例4　解　分3类：第1类，用1面旗表示的信号有A种；
第2类，用2面旗表示的信号有A种；
第3类，用3面旗表示的信号有A种，
由分类加法计数原理，所求的信号种数是
A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15，
即一共可以表示15种不同的信号．
跟踪训练3　C
随堂演练
1．C　2.D　3.1 560　4.36(共60张PPT)
第五章
<<<
第1课时
排列数公式
1.能用计数原理推导排列数公式.
2.能用排列数公式解决简单的实际问题.
学习目标
随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容，交通管理部门出台了一种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现，字母在前、数字在后，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？这样的排列问题能否用一个公式来表示呢？
导 语
一、排列数公式
二、利用排列数公式化简与证明
课时对点练
三、排列数公式的简单应用
随堂演练
内容索引
排列数公式
一
提示　我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球：
第1步，从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法；
第2步，从剩下的(n－1)个球中任选一个放入第2个盒子，有(n－1)种方法；
怎样推导从n个不同的元素中取出m(m，n∈N＋，m≤n)个元素的排列数
问题1
第3步，从剩下的(n－2)个球中任选一个放入第3个盒子，有(n－2)种方法；
……
第m步，从剩下的[n－(m－1)]个球中任选一个放入第m个盒子，有[n－(m－1)]种方法，如表所示.
盒子 1 2 3 … m
方法数 n n－1 n－2 … n－(m－1)
因此，根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]种方法.
当m＝n时，排列数 的公式如何表示？
问题2
排列数公式(m≤n，且m，n∈N＋)
(1) ＝ ；
(2) ＝ (读作n的阶乘)；
规定： ＝ ；0！＝ ；
n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]
n！
1
1
(1)乘积是m个连续正整数的乘积；
(2)第一个数最大，是A的下标n；
(3)第m个数最小，是n－(m－1).
注 意 点
<<<
计算下列各题：
例 1
角度1　排列数的正用
(1)用排列数表示(55－n)(56－n)·…·(69－n)(n∈N＋且n<55)；
例 2
角度2　排列数的逆用
∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数，
(2)化简：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m).
排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行.应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用.
反
思
感
悟
排列数的计算方法
　(1)已知　　　　　　　则n等于
A.5 　　B.7 　　C.10 　　D.14
跟踪训练 1
√
所以n＝7.
A.[2,8] B.[2,6]
C.(7,12) D.{8}
√
化简得x2－19x＋84<0，
解得7①
②
由①②及x∈N＋，得x＝8.
二
利用排列数公式化简与证明
　(1)求证：
例 3
反
思
感
悟
排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意应用阶乘的性质提取公因式，简化计算.
(多选)下列等式正确的是
跟踪训练 2
√
√
√
排列数公式的简单应用
三
　某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
例 4
由分类加法计数原理，所求的信号种数是
即一共可以表示15种不同的信号.
反
思
感
悟
对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树形图法.情况较多的情形，可以先进行分类.
若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有
A.120个 　　B.80个 　　C.40个 　　D.20个
跟踪训练 3
√
由题意知可按十位数字的取值进行分类：
1.知识清单：
(1)排列数、排列数公式.
(2)全排列、阶乘、0！＝1.
(3)排列数的应用.
2.方法归纳：直接法、优先法、间接法.
3.常见误区：忽视　 中“n，m∈N＋”这个条件.
随堂演练
四
1
2
3
4
1. 等于
A.9×3 B.93
C.9×8×7 D.9×8×7×6×5×4×3
√
1
2
3
4
2.4×5×6×…×(n－1)×n等于
√
3.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言.(用数字作答)
1
2
3
4
1560
1
2
3
4
36
4.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有______种.(用数字作答)
课时对点练
五
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
A.480 　　B.520 　　 C.600 　　D.1 320
√
A.4 　　B.5 　　C.6 　　D.7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
3.若a∈N＋，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则不同的分配方法有
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是
A.20 　　B.16　　 C.10 　　D.6
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
{3,4}
得(n－1)(n－2)－n<7，
整理得n2－4n－5<0，解得－1又n－1≥2且n∈N＋，即3≤n<5且n∈N＋，
所以n＝3或n＝4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有____种不同的招聘方案.(用数字作答)
60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
＝140x(x－1)(x－2)，
化简得4x2－35x＋69＝0，
所以原方程的解为x＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
(特殊位置)用分步乘法计数原理，
所求的三位数的个数是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11.有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的安排方案共有
A.12种 B.24种
C.48种 D.120种
√
综合运用
12.某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100 m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有
A.24种　　B.36种　　C.48种　　D.72种
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.(多选)用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，则
A.可组成120个四位数
B.可组成24个是5的倍数的四位数
C.可组成72个是奇数的四位数
D.可组成50个是偶数的四位数
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.某中学进行数学竞赛选拔考试，A，B，C，D，E共5名同学参加比赛，决出第1名到第5名的名次.A和B去向教练询问比赛结果，教练对A说：“你和B都没有得到冠军.”对B说：“你不是最后一名.”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有
A.54种 　　 B.72种　　 C.96种 　　D.120种
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
根据题意可知A和B都没有得到冠军，且B不是最后一名，分两种情况：
①A是最后一名，则B可以为第二、三、四名，即B有3(种)情况，剩下的三人安排在其他三个名次，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
A.5 　　B.6 　　C.7 　　D.8
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
依题意得，(n＋1)！≥3 000，
因为(5＋1)！＝6×5×4×3×2×1＝720，
(6＋1)！＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040>3 000，
所以n的最小值是6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62，
所以m(2n＋m－1)＝62＝2×31，
因为1故原有15个车站，现有17个车站.第2课时　排列的综合问题
[学习目标]　1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题．
一、元素的“在”与“不在”问题
例1　六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
(1)甲不站右端，也不站左端；
(2)甲、乙站在两端；
(3)甲不站左端，乙不站右端．
反思感悟　解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法．
排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个“位子”上或某个“位子”不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊“位子”．
跟踪训练1　5名学生和1位老师站成一排照相，老师不排在两端的排法有多少种？
二、“相邻”与“不相邻”问题
例2　3名男生，4名女生，这7个人站成一排，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)男、女各站在一起；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生不能排在一起；
(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．
反思感悟　处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．
(1)元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．
(2)元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
跟踪训练2　(1)第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数为(　　)
A．48 B．24 C．12 D．6
(2)(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是(　　)
A．共计有720种不同的排法
B．男生甲排在两端的排法共有120种
C．男生甲、乙相邻的排法总数为120种
D．男女生相间的排法总数为72种
三、定序问题
例3　将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则有多少种不同的排列方法？
反思感悟　在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)．解决这类问题的基本方法有两个：
(1)整体法，即若有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m＋n)个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法．
(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中．
跟踪训练3　7人站成一排．
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？
1．知识清单：
(1)有限制条件的排列问题．
(2)“在”与“不在”、“邻”与“不邻”、定序问题．
2．方法归纳：捆绑法、插空法、定序问题除法处理、间接法．
3．常见误区：分类讨论时，出现重复或遗漏，各种方法使用不当．
1．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有(　　)
A．6种 B．9种 C．18种 D．24种
2．6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有(　　)
A．720种 B．360种 C．240种 D．120种
3．3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为(　　)
A．144 B．72 C．36 D．12
4．用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．
第2课时　排列的综合问题
例1　解　(1)方法一　(位置分析法)　因为甲不站左右两端，
故先从甲以外的5人中任选2人站在左右两端，有A种站法，再让剩下的4人站在中间的4个位置上，有A种站法，故共有A·A＝480(种)站法．
方法二　(间接法)　在排列时，我们对6人不考虑甲站位的要求做全排列，有A种站法，但其中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站在左端或右端的情况，有2A种站法，故共有A－2A＝480(种)站法．
(2)(元素分析法)　首先考虑特殊元素，让甲、乙先站在两端，有A种站法，再让其他4人在中间4个位置做全排列，有A种站法．故共有A·A＝48(种)站法．
(3)方法一　(间接法)　甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有A种，而甲在左端且乙在右端的站法有A种，
故甲不站左端，乙不站右端共有A－2A＋A＝504(种)站法．
方法二　(直接法)　以元素甲的位置进行考虑，可分两类，第1类，甲站右端，有A种站法；
第2类，甲站中间4个位置之一，且乙不站右端，可先排甲后排乙，再排其余4个，有A·A·A种站法．
故共有A＋A·A·A＝504(种)站法．
跟踪训练1　解　方法一　(先满足特殊位置)由于排头和排尾两个位置有限制要求，因此先从5名学生中选出2名站在排头和排尾，有A种方法，余下的四人可任意站，有A种方法，
所以符合要求的排法为A·A＝480(种)．
方法二　(先满足特殊元素)老师既然不能排在两端，于是可以从中间四个位置中任选一个，有A种方法.5名学生在余下的五个位置中任意排列，有A种排法．因此符合题意的排法有AA＝480(种)．
方法三　(间接法)由于六个人任意排有A种排法，但实际必须减去老师排在排头的A种方法和排在排尾的A种方法，因而有A－2A＝480(种)．
例2　解　(1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，
女生必须站一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，
全体男生、女生各看作一个元素全排列有A种排法，
由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288(种)排法．
(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，
故有A·A＝720(种)不同的排法．
(3)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种排法，故有A·A＝1 440(种)不同的排法．
(4)先排男生有A种排法，让女生插空，有AA＝144(种)不同的排法．
跟踪训练2　(1)A　(2)BC
例3　解　5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法．
方法一　(整体法)5个元素无约束条件的全排列有A种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2＝40(种)．
方法二　(插空法)若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入，这时形成的4个空中，分两类：
第一类，若字母D，E相邻，则有A·A种排法；
第二类，若字母D，E不相邻，则有A种排法．
所以有A·A＋A＝20(种)不同的排列方法．
同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法．
因此满足条件的排列有20＋20＝40(种)．
跟踪训练3　解　(1)甲在乙前面的排法种数占全排列种数的一半，故有＝2 520(种)不同的排法．
(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的.
故有＝840(种)不同的排法．
随堂演练
1．C　2.C　3.A　4.210(共63张PPT)
第五章
<<<
第2课时
排列的综合问题
1.进一步加深对排列概念的理解.
2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.
学习目标
一、元素的“在”与“不在”问题
二、“相邻”与“不相邻”问题
课时对点练
三、定序问题
随堂演练
内容索引
元素的“在”与“不在”问题
一
六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
(1)甲不站右端，也不站左端；
例 1
方法一　(位置分析法)　因为甲不站左右两端，
(2)甲、乙站在两端；
(3)甲不站左端，乙不站右端.
排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个“位子”上或某个“位子”不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊“位子”.
反
思
感
悟
解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法.
　5名学生和1位老师站成一排照相，老师不排在两端的排法有多少种？
跟踪训练 1
二
“相邻”与“不相邻”问题
　3名男生，4名女生，这7个人站成一排，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)男、女各站在一起；
例 2
(2)男生必须排在一起；
(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，
(3)男生不能排在一起；
(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻.
反
思
感
悟
(1)元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.
(2)元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.
处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.
(1)第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河.某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数为
A.48 　　　 B.24 　　　 C.12　　　 D.6
跟踪训练 2
√
(2)(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是
A.共计有720种不同的排法
B.男生甲排在两端的排法共有120种
C.男生甲、乙相邻的排法总数为120种
D.男女生相间的排法总数为72种
√
√
定序问题
三
　将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则有多少种不同的排列方法？
例 3
5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法.
方法二　(插空法)若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入，这时形成的4个空中，分两类：
同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法.
因此满足条件的排列有20＋20＝40(种).
反
思
感
悟
在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻).解决这类问题的基本方法有两个：
反
思
感
悟
(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中.
7人站成一排.
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？
跟踪训练 3
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？
1.知识清单：
(1)有限制条件的排列问题.
(2)“在”与“不在”、“邻”与“不邻”、定序问题.
2.方法归纳：捆绑法、插空法、定序问题除法处理、间接法.
3.常见误区：分类讨论时，出现重复或遗漏，各种方法使用不当.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有
A.6种 　　B.9种 　　C.18种 　　D.24种
√
1
2
3
4
2.6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有
A.720种 　　　 B.360种　　　 C.240种 　　　 D.120种
√
3.3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为
A.144 　　B.72 　　 C.36 　　D.12
1
2
3
4
√
4.用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有_____个七位数符合条件.
1
2
3
4
210
若1,3,5,7的顺序不定，
课时对点练
五
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
1.身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有
A.4种 B.6种
C.8种 D.12种
√
2.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有
A.192种 B.216种
C.240种 D.288种
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
3.4名运动员参加4×100 m接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有
A.12种 　　B.14种　　 C.16种 　　D.24种
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.2024年贵州榕江的“村超”联赛开启新赛季，A组六个参赛队伍代表站成一排照相，如果丰乐村足球队与归柳村足球队必须相邻，同时三盘村足球队与苗本村足球队不能相邻，那么不同的站法种数为
A.144 　　　B.72　　　 C.36 　　　 D.24
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为
A.3×3! B.3×(3！)3
C.(3！)4 D.9!
√
6.某校高二学生进行演讲比赛，原有5名同学参加，后又增加2名同学，如果保持原来5名同学顺序不变，那么不同的比赛顺序有
A.12种 B.30种
C.36种 D.42种
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法一　由于原来5名同学顺序不变，这5名同学共有6个空位，再增加2名同学时，可分为两步进行，第一步安排第一名同学，有6种不同的方法，此时变成7个空位，再把最后一名同学放进去，共有7种不同的方法，故共有6×7＝42(种)不同的顺序.
7.高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有_______种不同的排法.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3 600
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园.为了安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为___.
24
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
分3步进行分析，
则共有2×2×6＝24(种)排法.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单.
(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.甲、乙、丙等7人站成一排.
(1)甲、乙两人中间必须有3人，有多少种不同排法？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11.旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为
A.24 　　B.18 　　C.16 　　 D.10
√
综合运用
12.某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票不同的分配方法的种数为
A.48 　　B.72 　　C.120 　　D.240
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
综上，这8张门票共有48＋72＝120(种)不同的分配方法.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.某单位安排7位员工在国庆节假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有
A.504种 B.960种
C.1 008种 D.1 200种
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有_____种不同的答题顺序.
60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内
的谜题，每次取灯的顺序确定，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
15.在探索系数A，ω，φ，b对函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)图象的影响时，我们发现，系数A对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数φ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”.运用上述四种变换，若函数f(x)＝sin x的图象经过四步变换得到函数g(x)
＝　 　　　 ＋1的图象，且已知其中有一步是向右平移 个单位长度，则变换的方法共有
A.6种 　　B.12种 　　 C.16种 　　D.24种
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换，共四步，
所以要求左右平移变换在周期变换之前，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.现在要把一条路上7盏路灯全部改装成彩色路灯.如果彩色路灯有红、黄、蓝共三种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，那么有多少种不同的安装方法？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，这说明三种颜色的路灯的分配情况只能是2,2,3盏的形式.
先讨论颜色，在选择颜色时有3种方法，选好了一种颜色后，安装时采用插空的方式.
下面不妨就选择的是2盏红灯、2盏黄灯、3盏蓝灯来讨论.
先排2盏红灯、2盏黄灯，若2盏红灯、2盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排法，共有6种不同的安装方法；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
若2盏红灯、2盏黄灯分别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排下去有10种安装方法，所以有20种不同的安装方法；
若2盏红灯、2盏黄灯恰有一种颜色相邻，则有2×6＝12(种)不同的安装方法.
综上，共有3×(6＋20＋12)＝114(种)不同的安装方法.作业53　排列数公式
(分值：100分)
单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共12分
1．A－A的值是(　　)
A．480 B．520 C．600 D．1 320
2．已知A－A＝10，则n的值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
3．若a∈N＋，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于(　　)
A．A B．A
C．A D．A
4．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则不同的分配方法有(　　)
A．A种 B．A种
C．AA种 D．2A种
5．要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是(　　)
A．20 B．16 C．10 D．6
6．(多选)下列各式中与排列数A相等的是(　　)
A.
B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C.
D．A·A
7．不等式A－n<7的解集为________．
8．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)
9．(10分)(1)求证：A＝(n＋1)A.(5分)
(2)解方程：A＝140A.(5分)
10．(11分)用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
11．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的安排方案共有(　　)
A．12种 B．24种
C．48种 D．120种
12．某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100 m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有(　　)
A．24种 B．36种
C．48种 D．72种
13．(多选)用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，则(　　)
A．可组成120个四位数
B．可组成24个是5的倍数的四位数
C．可组成72个是奇数的四位数
D．可组成50个是偶数的四位数
14．某中学进行数学竞赛选拔考试，A，B，C，D，E共5名同学参加比赛，决出第1名到第5名的名次．A和B去向教练询问比赛结果，教练对A说：“你和B都没有得到冠军．”对B说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有(　　)
A．54种 B．72种 C．96种 D．120种
15．英国数学家泰勒(B.Taylor,1685－1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世，由泰勒公式，我们能得到e＝1＋＋＋＋…＋＋(其中e为自然对数的底数，0<θ<1，n！＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1)，其拉格朗日余项是Rn＝.可以看出，右边的项越多，计算得到的e的近似值也就越精确．若用近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项Rn，Rn不超过时，正整数n的最小值是(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
16．(12分)一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？
作业53　排列数公式
1．C　2.B　3.D　4.C　5.B　6.AD
7．{3,4}　8.60
9．(1)证明 　左边＝
＝
＝(n＋1)A＝右边．所以原式成立．
(2)解　易知
所以x≥3，x∈N＋，
由A＝140A
得(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)
＝140x(x－1)(x－2)，
化简得4x2－35x＋69＝0，
解得x＝3或x＝(舍去)．
所以原方程的解为x＝3.
10．解　(特殊位置)用分步乘法计数原理，所求的三位数的个数是
A·A＝9×9×8＝648.
11．B　12.B
13．ABC　[对于A，组成无重复数字的四位数个数是A＝120，A正确；对于B,5为个位数字的四位数个数是A＝24，B正确；对于C，个位数字是奇数的四位数个数是AA＝72，C正确；对于D，个位数字是偶数的四位数个数是AA＝48，D错误．]
14．A　[根据题意可知A和B都没有得到冠军，且B不是最后一名，分两种情况：
①A是最后一名，则B可以为第二、三、四名，即B有3(种)情况，剩下的三人安排在其他三个名次，
有A＝6(种)情况，此时有3×6＝18(种)名次排列情况；
②A不是最后一名，A，B需要排在第二、三、四名，有A＝6(种)情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有A＝6(种)情况，此时有6×6＝36(种)名次排列情况，则5人的名次排列方式共有18＋36＝54(种)．]
15．B　[依题意得，(n＋1)！≥3 000，
因为(5＋1)！＝6×5×4×3×2×1
＝720，
(6＋1)！＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040>3 000，
所以n的最小值是6.]
16．解　由题意可知，原有车票的种数是A，
现有车票的种数是A，
所以A－A＝62，
即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62，
所以m(2n＋m－1)＝62＝2×31，
因为1所以
解得m＝2，n＝15，
故原有15个车站，现有17个车站．作业54　排列的综合问题
(分值：100分)
单选题每小题5分，共50分
1．身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有(　　)
A．4种 B．6种
C．8种 D．12种
2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)
A．192种 B．216种
C．240种 D．288种
3．4名运动员参加4×100 m接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有(　　)
A．12种 B．14种 C．16种 D．24种
4．2024年贵州榕江的“村超”联赛开启新赛季，A组六个参赛队伍代表站成一排照相，如果丰乐村足球队与归柳村足球队必须相邻，同时三盘村足球队与苗本村足球队不能相邻，那么不同的站法种数为(　　)
A．144 B．72 C．36 D．24
5．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　)
A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4 D．9!
6．某校高二学生进行演讲比赛，原有5名同学参加，后又增加2名同学，如果保持原来5名同学顺序不变，那么不同的比赛顺序有(　　)
A．12种 B．30种
C．36种 D．42种
7．高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．
8．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为了安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为__________．
9．(10分)一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．
(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(5分)
(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？(5分)
10．(12分)甲、乙、丙等7人站成一排．
(1)甲、乙两人中间必须有3人，有多少种不同排法？ (6分)
(2)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(6分)
11．旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为(　　)
A．24 B．18 C．16 D．10
12．某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票不同的分配方法的种数为(　　)
A．48 B．72 C．120 D．240
13．某单位安排7位员工在国庆节假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有(　　)
A．504种 B．960种
C．1 008种 D．1 200种
14.某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题．并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有________种不同的答题顺序．
15．在探索系数A，ω，φ，b对函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)图象的影响时，我们发现，系数A对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数φ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数f(x)＝sin x的图象经过四步变换得到函数g(x)＝2sin＋1的图象，且已知其中有一步是向右平移个单位长度，则变换的方法共有(　　)
A．6种 B．12种 C．16种 D．24种
16．(13分)现在要把一条路上7盏路灯全部改装成彩色路灯．如果彩色路灯有红、黄、蓝共三种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，那么有多少种不同的安装方法？
作业54　排列的综合问题
1．C　2.B　3.B　4.A　5.C　6.D
7．3 600　8.24
9．解　(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A种排法，故共有不同排法AA＝14 400(种)．
(2)先不考虑排列要求，有A种排法，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有AA种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A－AA＝37 440(种)．
10．解　(1)从甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间，有A种排法，甲、乙互换位置，有A种排法，甲、乙及中间3人看作一个整体和其余2人共3个元素排成一排，有A种排法，所以共有AAA＝720(种)排法．
(2)先排甲、乙、丙3人以外的其他4人，有A种排法；
由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有A种排法；
最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空当中，则有A种排法．所以共有AAA＝960(种)不同的排法．
11．D　12.C
13．C　[依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方案共有AA＝1 440(种)，
其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方案共有AA＝240(种)；
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方案共有AA＝240(种)；
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班，丁在10月7日值班的方案共有AA＝48(种)．因此满足题意的方案共有1 440－2×240＋48＝1 008(种)．]
14．60
解析　将6只灯笼全排列，即A，
因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，
取谜题的方法有＝60(种)．
15．B　[根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换，共四步，
因为左右平移变换是向右平移个单位长度，
所以要求左右平移变换在周期变换之前，
所以变换的方法共有＝12(种)．]
16．解　安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，这说明三种颜色的路灯的分配情况只能是2,2,3盏的形式．
先讨论颜色，在选择颜色时有3种方法，选好了一种颜色后，安装时采用插空的方式．
下面不妨就选择的是2盏红灯、2盏黄灯、3盏蓝灯来讨论．
先排2盏红灯、2盏黄灯，若2盏红灯、2盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排法，共有6种不同的安装方法；
若2盏红灯、2盏黄灯分别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排下去有10种安装方法，所以有20种不同的安装方法；
若2盏红灯、2盏黄灯恰有一种颜色相邻，则有2×6＝12(种)不同的安装方法．
综上，共有3×(6＋20＋12)＝114(种)不同的安装方法．

展开更多......

收起↑