资源简介

第八章　8.6　8.6.1 直线与直线垂直
A级——基础过关练
1．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条(　　)
A．相交　　 B．异面
C．相交或异面　 D．平行
2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，B1B，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)
A．45° B．60°
C．90° D．120°
3．(2024年开封期中)在正方体ABCD－A1B1C1D1的所有面对角线中，所在直线与直线A1B互为异面直线且所成角为60°的面对角线的条数为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
5．(多选)有三条直线a，b，c，下列命题正确的有(　　)
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若a⊥b，c⊥b，则a∥c
C．若a∥c，c⊥b，则b⊥a
D．若a与b，a与c都是异面直线，则b与c也是异面直线
6．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝(　　)
A．3　　　　　 B．4
C．5　　　　 D．6
7．如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成角的度数为________．
8．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AA1＝4，则A1C1与B1C所成角的余弦值为__________．
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线中与AD1成60°的有________条．
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
B级——综合运用练
11．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个结论中，正确结论的序号是(　　)
A．①②③ B．②④
C．③④ D．①③④
12．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为________．
13．如图，在四面体A－BCD中，E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，且BD＝AC＝2，EM＝1．
(1)求证：EF∥平面ACD；
(2)求异面直线AC与BD所成的角．
C级——创新拓展练
14．(2024年中山期中)刍甍，中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍意思为茅草屋顶”，如图为一“刍甍”形的五面体，其中四边形ABCD为矩形，△ADE和△BCF都是等腰三角形，AE＝ED＝BF＝CF＝AD，EF∥AB，若AB＝3EF，且AD＝2EF，则异面直线AE与CF所成角的大小为(　　)
A． B．
C． D．
参考答案
【A级——基础过关练】
1.【答案】C
【解析】如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与AD相交，与BC异面．
2.【答案】B
【解析】连接A1B，BC1．∵E，F，G，H分别是AA1，AB，BB1，B1C1的中点，∴A1B∥EF，BC1∥GH．∴A1B和BC1所成的角为异面直线EF与GH所成的角．连接A1C1知，△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°．
3.【答案】B
【解析】如图，易知△A1BC1为等边三角形，所以∠BA1C1＝60°，又AC∥A1C1，所以异面直线AC与A1B的夹角为60°，符合题设．同理，面对角线B1C，B1D1，AD1也满足题意，所以满足条件的面对角线共4条．故选B．
4.【答案】C
【解析】如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则DE∥A1C1．因为AC∥A1C1，所以AC∥DE，所以∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角．由已知可得BD＝DE＝BE＝，所以∠BDE＝60°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°．故选C．
5.【答案】AC
【解析】对于A，由基本事实4可知本命题正确；对于B，当a⊥b，c⊥b时，a，c可以垂直，故本命题错误；对于C，根据平行线的性质可以判断本命题正确；对于D，把a，b，c三条线放在长方体的棱上，则a与b，a与c都是异面直线，b与c可以平行，故本命题错误．
6.【答案】C
【解析】如图，取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN为异面直线AC与BD所成的角(或其补角)．∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3．∴MN＝5．
7.【答案】60°
【解析】依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角，又因为∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°．
8.【答案】
【解析】连接A1D，C1D，因为A1B1∥DC，A1B1＝DC，所以四边形A1DCB1为平行四边形，所以A1D∥B1C，则A1C1与B1C所成的角为∠C1A1D(或其补角), A1D＝＝5，A1C1＝＝3，C1D＝＝5，所以cos ∠C1A1D＝＝．
9.【答案】8
【解析】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，△AD1B1是等边三角形，故B1D1，AB1与AD1所成的角是60°，同理，△ACD1也是等边三角形，AC，CD1与AD1也成60°角，则在面对角线中，与AC，CD1，B1D1，AB1分别平行的对角线与AD1也成60°角．
10.解：如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，
则OG∥B1D，EF∥A1C1，
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1．
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°．
【B级——能力提升练】
11.【答案】C
【解析】根据展开图，画出立体图形(如图，)，BM与ED垂直，不平行，CN与BE是平行直线，CN与BM成60°，DM与BN是异面直线，故C正确．
12.【答案】
【解析】如图，连接BD1，交DB1于点O，取AB的中点M，连接DM，OM．易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成的角(或其补角)．因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，DM＝＝，DB1＝＝，所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝．于是在△DMO中，由余弦定理，得cos ∠MOD＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．
13.(1)证明：∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC．
∵EF 平面ACD，AC 平面ACD，
∴EF∥平面ACD．
(2)解：E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，
∴EF∥AC，FM∥BD．∴∠EFM是异面直线AC与BD所成的角(或其补角)．
在△EFM中，EF＝FM＝EM＝1，
∴△EFM是等边三角形．∴∠EFM＝60°．
∴异面直线AC与BD所成的角为60°．
【C级——创新拓展练】
14.【答案】C
【解析】如图，设EF＝1，在AB上取点G满足AG＝EF＝1，故AG∥EF且AG＝EF，故四边形AGFE是平行四边形，故AE∥GF，异面直线AE与CF所成的角为∠GFC(或其补角)，GF＝AE＝CF＝2，CG＝＝＝2，故△GFC为等边三角形，故∠GFC＝．故选C．

展开更多......

收起↑