资源简介

3.1　不等式的性质
［学习目标］　1.初步学会作差法比较两实数（代数式）的大小.2.掌握不等式的性质，并能运用这些性质解决有关问题.
一、比较大小
问题1　在初中，我们知道数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？
知识梳理
1.不等关系与不等式
（1）在生活中，存在着形形色色的数量关系，既有相等关系，又有不等关系.在数学中，用不等式来表示不等关系.
（2）我们经常应用不等式来研究含有不等关系的问题.常用的不等号有
大于 小于 大于等于 小于等于 至多 至少 不少于 不多于
> < ≥ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤
2.作差法比较两实数（代数式）的大小
基本事实 a>b 　　　　　　； a=b 　　　　　　； a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的　　与　　的大小
例1　（1）比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.
（2）已知x≤1，比较3x3与3x2-x+1的大小.
延伸探究　把本例（2）中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2-x+1的大小.
反思感悟　作差法比较两个实数（代数式）大小的基本步骤
跟踪训练1　（1）比较（x+3）（x+7）和（x+4）（x+6）的大小.
（2）已知a>0，b>0，比较a3+b3与ab2+a2b的大小.
二、不等式的性质
问题2　判断下列命题是否正确？
（1）如果a=b，那么b=a；
（2）如果a=b，b=c，那么a=c；
（3）如果a=b，那么a±c=b±c；
（4）如果a=b，那么ac=bc；
（5）如果a=b，c≠0，那么=.
知识梳理
不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 传递性 如果a>b，且b>c，那么a　　c 不可逆
2 可加性 如果a>b，那么a+c　　b+c 可逆
3 可乘性 （1）如果a>b，c>0，那么　　　　　　； （2）如果a>b，c<0，那么　　　　　 c的符号
4 同向可加性 如果a>b，c>d，那么　　　　　　　 同向
5 可乘性 （1）如果a>b>0，c>d>0，那么　　　　　　； （2）如果a>b>0，cb>0时，an　　bn，其中n∈N+，n≥2 是否变号
6 可开方性 当a>b>0时，　 ，其中n∈N+，n≥2 同正
例2　（1）对于实数a，b，c，下列命题中为真命题的是 （　　）
A.若a>b，则ac2>bc2
B.若a>b>0，则>
C.若a
D.若a>b，>，则a>0，b<0
（2）已知c>a>b>0，求证：>.
反思感悟　利用不等式的性质判断命题真假的方法
（1）综合法：运用不等式的性质判断或证明，特别要注意不等式成立的条件.
（2）特殊值法：解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.
（3）作差法：将结论移项作差后，判断符号.
跟踪训练2　（1）（多选）已知实数a，b，c，d满足a>b>c>d，则下列选项中不正确的是 （　　）
A.a+d>b+c B.a+c>b+d
C.ad>bc D.ac>bd
（2）已知a>b>0，c<0，证明：>.
三、利用不等式的性质求范围
例3　已知12反思感悟　同向不等式是有可加性与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性.
跟踪训练3　已知01.知识清单：
（1）比较大小.
（2）不等式的性质.
（3）利用不等式的性质求范围.
2.方法归纳：作差法、配方法、赋值法.
3.常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性.
1.设a=x2，b=-2x-2，则 （　　）
A.a>b B.a2.已知a+b>0，b<0，那么a，b，-a，-b的大小关系是 （　　）
A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b
3.已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是 （　　）
A.a a>b
C. > D. >
4.若α，β满足-<α<β<，则α-β的取值范围是　　　　　　　　.
答案精析
问题1　设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab，如图所示.
知识梳理
2.a-b>0　a-b=0　a-b<0　差　0
例1　（1）解　（2x2+5x+3）-（x2+4x+2）=x2+x+1
=+.
∵≥0，
∴+≥>0，
∴（2x2+5x+3）-（x2+4x+2）>0，
∴2x2+5x+3>x2+4x+2.
（2）解　3x3-（3x2-x+1）
=（3x3-3x2）+（x-1）
=3x2（x-1）+（x-1）
=（3x2+1）（x-1）.
由x≤1得x-1≤0，而3x2+1>0，
∴（3x2+1）（x-1）≤0，
∴3x3≤3x2-x+1.
延伸探究　解　3x3-（3x2-x+1）=（3x3-3x2）+（x-1）
=（3x2+1）（x-1）.
∵3x2+1>0，
当x>1时，x-1>0，
∴3x3>3x2-x+1；
当x=1时，x-1=0，
∴3x3=3x2-x+1；
当x<1时，x-1<0，
∴3x3<3x2-x+1.
跟踪训练1　（1）解　因为（x+3）·（x+7）-（x+4）（x+6）
=（x2+10x+21）-（x2+10x+24）=-3<0，
所以（x+3）（x+7）<（x+4）（x+6）.
（2）解　因为a3+b3-（ab2+a2b）
=a3+b3-ab2-a2b
=a3-ab2+b3-a2b
=a（a2-b2）+b（b2-a2）
=（a2-b2）（a-b）
=（a+b）（a-b）2，
因为a>0，b>0，
所以（a+b）（a-b）2≥0，
所以a3+b3-（ab2+a2b）≥0，
所以a3+b3≥ab2+a2b.
问题2　以上均正确，这些都是等式的基本性质.
知识梳理
>　>　ac>bc　aca+c>b+d　ac>bd　>　>
例2　（1）D　［方法一　∵c2≥0，
∴当c=0时，有ac2=bc2，故A为假命题；
由a>b>0，有ab>0 >
>，故B为假命题；
>，故C为假命题；
ab<0.
∵a>b，
∴a>0且b<0，故D为真命题.
方法二　（特殊值排除法）
取c=0，则ac2=bc2，故A是假命题；
取a=2，b=1，则=，=1.有<，故B是假命题；
取a=-2，b=-1，则=，=2，有<，故C是假命题.］
（2）证明　方法一　因为c>a>b>0，
所以0所以（c-a）（c-b）>0，
所以0<·（c-a）<·（c-b），
即0<<，
即>>0，
又因为a>b>0，所以>.
方法二　因为a>b>0，所以<，
因为c>0，所以<，
所以-1<-1，即<，
因为c>a>b>0，
所以c-a>0，c-b>0.
所以>.
方法三　-
=
==，
因为c>a>b>0，
所以a-b>0，c-a>0，c-b>0，
所以>.
跟踪训练2　（1）ACD
（2）证明　方法一　-=，
∵a>b>0，c<0，
∴ab>0，b-a<0，c（b-a）>0，
∴->0，∴>.
方法二　∵a>b>0，
∴>>0，
∵c<0，∴<，即>.
例3　解　∵15∴-36<-b<-15，
∴12-36即-24又<<，
∴<<，即<<4.
故-24跟踪训练3　
解析　设2a-b=x（a+b）+y（b-a），
则解得
所以2a-b=（a+b）-（b-a），
因为0所以0<（a+b）<1，
-<-（b-a）<，
结合不等式的性质可得，
-<（a+b）-（b-a）<，
即-<2a-b<.
随堂演练
1.A　2.C　3.C　4.（-1，0）(共67张PPT)
第一章
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3.1　不等式的性质
1.初步学会作差法比较两实数(代数式)的大小.
2.掌握不等式的性质,并能运用这些性质解决有关问题.
学习目标
一般成年人,下半身长x与全身长y的比值在0.57~0.6之间.芭蕾舞演员在表演时,脚尖立起给人以美的享受,原来,脚尖立起调整了身段的比例.如果设人的脚尖立起提高了m,则下半身长x与全身长y的比由变成了,这个比值非常接近黄金分割值0.618,其中的数学关系是0.58≈
<≈0.618,怎样判定“<”的关系成立
导 语
一、比较大小
二、不等式的性质
随堂演练
三、利用不等式的性质求范围
内容索引
课时对点练
一
比较大小
在初中,我们知道数轴上的点与实数一一对应,所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系,具体是如何规定的呢
问题1
提示　设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B.那么,当点A在点B的左边时,ab,如图所示.
1.不等关系与不等式
(1)在生活中,存在着形形色色的数量关系,既有相等关系,又有不等关系.在数学中,用不等式来表示不等关系.
(2)我们经常应用不等式来研究含有不等关系的问题.常用的不等号有
大于 小于 大于等于 小于等于 至多 至少 不少于 不多于
> < ≥ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤
2.作差法比较两实数(代数式)的大小
基本 事实 a>b ;
a=b ;
a结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的 与 的大小
a-b>0
a-b=0
a-b<0
差
0
(1)比较两实数(代数式)的大小常用作差法,作差后需对差式进行恒等变形,常采用配方、因式分解、有理化、通分等方法,直到能明显判断出其正负号(通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积或商的形式)为止.
(2)对于两个正值,也可采用作商的方法,比较商与1的大小.
注 意 点
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(1)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.
例 1
(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1=+.
∵≥0,∴+≥>0,
∴(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0,
∴2x2+5x+3>x2+4x+2.
(2)已知x≤1,比较3x3与3x2-x+1的大小.
3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)
=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).
由x≤1得x-1≤0,而3x2+1>0,
∴(3x2+1)(x-1)≤0,∴3x3≤3x2-x+1.
把本例(2)中“x≤1”改为“x∈R”,再比较3x3与3x2-x+1的
大小.
延伸探究
3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).
∵3x2+1>0,
当x>1时,x-1>0,∴3x3>3x2-x+1;
当x=1时,x-1=0,∴3x3=3x2-x+1;
当x<1时,x-1<0,∴3x3<3x2-x+1.
反
思
感
悟
作差法比较两个实数(代数式)大小的基本步骤
　(1)比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.
跟踪训练 1
因为(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)
=(x2+10x+21)-(x2+10x+24)=-3<0,
所以(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6).
(2)已知a>0,b>0,比较a3+b3与ab2+a2b的大小.
因为a3+b3-(ab2+a2b)=a3+b3-ab2-a2b=a3-ab2+b3-a2b=a(a2-b2)+b(b2-a2)
= (a2-b2)(a-b)=(a+b)(a-b)2,
因为a>0,b>0,所以(a+b)(a-b)2≥0,
所以a3+b3-(ab2+a2b)≥0,
所以a3+b3≥ab2+a2b.
二
不等式的性质
判断下列命题是否正确
(1)如果a=b,那么b=a;
(2)如果a=b,b=c,那么a=c;
(3)如果a=b,那么a±c=b±c;
(4)如果a=b,那么ac=bc;
(5)如果a=b,c≠0,那么=.
问题2
提示　以上均正确,这些都是等式的基本性质.
不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 传递性 如果a>b,且b>c,那么a___c 不可逆
2 可加性 如果a>b,那么a+c___b+c 可逆
3 可乘性 (1)如果a>b,c>0,那么 ; (2)如果a>b,c<0,那么______ c的符号
4 同向可加性 如果a>b,c>d,那么_________ 同向
ac>bc
aca+c>b+d
＞
＞
性质 别名 性质内容 注意
5 可乘性 (1)如果a>b>0,c>d>0,那么 ; (2)如果a>b>0,cb>0时,an≥bn,其中n∈N+, n≥2 是否变号
6 可开方性 当a>b>0时,,其中n∈N+,n≥2 同正
ac>bd
＞
(1)在应用性质3时,应特别注意c的符号,当c≠0时,a>b ac2>bc2,若没有c≠0这个条件,则a>b ac2>bc2是错误的.
(2)在使用不等式的性质时,一定要弄清不等式成立的条件,如性质4中只有同向不等式相加,而没有不等式相减.若判断不等式相减可转化为加上负的.
(3)不等式性质的常用结论:若a与b同号,即当ab>0时,a>b <.
注 意 点
<<<
　(1)对于实数a,b,c,下列命题中为真命题的是
A.若a>b,则ac2>bc2
B.若a>b>0,则>
C.若a
D.若a>b,>,则a>0,b<0
例 2
√
方法一　∵c2≥0,∴当c=0时,有ac2=bc2,故A为假命题;
由a>b>0,有ab>0 > >,故B为假命题;
>,故C为假命题;
ab<0.
∵a>b,∴a>0且b<0,故D为真命题.
方法二　(特殊值排除法)
取c=0,则ac2=bc2,故A是假命题;
取a=2,b=1,则=,=1.有<,故B是假命题;
取a=-2,b=-1,则=,=2,有<,故C是假命题.
(2)已知c>a>b>0,求证:>.
方法一　因为c>a>b>0,
所以0所以(c-a)(c-b)>0,
所以0<·(c-a)<·(c-b),
即0<<,
即>>0,
又因为a>b>0,所以>.
方法二　因为a>b>0,所以<,
因为c>0,所以<,
所以-1<-1,即<,
因为c>a>b>0,所以c-a>0,c-b>0.
所以>.
方法三　-===,
因为c>a>b>0,
所以a-b>0,c-a>0,c-b>0,
所以>.
反
思
感
悟
利用不等式的性质判断命题真假的方法
(1)综合法:运用不等式的性质判断或证明,特别要注意不等式成立的条件.
(2)特殊值法:解有关不等式的选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.
(3)作差法:将结论移项作差后,判断符号.
　(1)(多选)已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d,则下列选项中不正确
的是
A.a+d>b+c B.a+c>b+d
C.ad>bc D.ac>bd
跟踪训练 2
√
√
√
不妨设a=2,b=1,c=0,d=-1,
此时a+d=b+c=1,故A错误;
ad=-2设a=-3,b=-4,c=-5,d=-6,
则ac=15因为a>b,c>d,根据不等式的基本性质
同向可加性得a+c>b+d,故B正确.
(2)已知a>b>0,c<0,证明:>.
方法一　-=,
∵a>b>0,c<0,
∴ab>0,b-a<0,c(b-a)>0,
∴->0,∴>.
方法二　∵a>b>0,
∴>>0,
∵c<0,∴<,即>.
三
利用不等式的性质求范围
已知12例 3
∵15∴12-36又<<,
∴<<,即<<4.
故-24反
思
感
悟
同向不等式是有可加性与可乘性(需同正),但不能相减或相除,应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围,注意变形的等价性.
已知0跟踪训练 3
设2a-b=x(a+b)+y(b-a),
则
所以2a-b=(a+b)-(b-a),
因为0所以0<(a+b)<1,
-<-(b-a)<,
结合不等式的性质可得,
-<(a+b)-(b-a)<,
即-<2a-b<.
1.知识清单:
(1)比较大小.
(2)不等式的性质.
(3)利用不等式的性质求范围.
2.方法归纳:作差法、配方法、赋值法.
3.常见误区:注意不等式性质的单向性或双向性,即每条性质是否具有可逆性.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.设a=x2,b=-2x-2,则
A.a>b B.aC.a≥b D.a≤b
√
因为a-b=x2+2x+2=+1>0,所以a>b.
2.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是
A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b
1
2
3
4
√
∵b<0,∴-b>0,又a+b>0,∴-a∴a>-b>b>-a.
3.已知a,b,c∈R,则下列命题正确的是
A.a a>b
C. > D. >
1
2
3
4
√
当c=0时,A不成立;
当c<0时,B不成立;
当ab<0时,a>b <,即>,C成立;
同理可证D不成立.
4.若α,β满足-<α<β<,则α-β的取值范围是　　　　.
1
2
3
4
∵-<α<,-<-β<,
∴-1<α-β<1.
又α<β,∴α-β<0,∴-1<α-β<0.
(-1,0)
课时对点练
五
1.如果a<0,b>0,那么下列不等式中正确的是
A.< B.<
C.a2|b|
1
2
3
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5
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7
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11
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13
14
15
16
基础巩固
√
∵a<0,b>0,∴<0,>0,∴<.
2.设P=2a(a-2)+3,Q=(a-1)(a-3),a∈R,则有
A.P≥Q B.P>Q
C.P1
2
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5
6
7
8
9
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12
13
14
15
16
√
∵P-Q=2a(a-2)+3-(a-1)(a-3)=a2≥0,∴P≥Q.
3.若a>b>0,cA.> B.<
C.> D.<
√
因为c-d>0,
即>>0.
又a>b>0,所以>,
从而有<.
1
2
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15
16
4.已知a>b>c,则+的值是
A.正数 B.负数
C.非正数 D.非负数
√
+==,
∵a>b>c,∴b-c>0,c-a<0,b-a<0,
∴>0,
∴+>0,故选A.
5.(多选)设a>b>1,c<0,则下列四个结论中正确的是
A.a+c>b+c B.acC.a(b-c)>b(a-c) D.>
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√
√
√
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4
5
6
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13
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15
16
∵a>b,
∴a+c>b+c,故A正确;
∵-c>0,∴a·(-c)>b·(-c),∴-ac>-bc,
∴ac∵a>b>1,-c>0,
∴a(b-c)-b(a-c)=ab-ac-ab+bc=-c(a-b)>0,
∴a(b-c)>b(a-c),故C正确;
∵<0,a>b>0,∴<,故D错误.
6.若8A.16<<40 B.2<<5
C.4<<5 D.2<<2.5
1
2
3
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6
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√
∵2又∵81
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14
15
16
7.已知a,b为实数,且a≠b,a<0,则a　　2b-.(填“>”“<”或“=”)
∵a≠b,a<0,
∴a-=<0,
∴a<2b-.
<
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16
8.设实数a=-,b=-1,则a与b的大小关系是　　　.
a=-=,b=-1=,
∵+1<+,
∴>,
∴>,
即b>a.
9.判断下列各命题的真假,并说明理由.
(1)若a1
2
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6
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16
假命题.当a=-1,b=1,c=-2时,=2,=-2,>,∴是假命题.
(2)若<,则a>b;
假命题.当c>0时,>0,则a(3)若a>b,且k∈N+,则ak>bk;
1
2
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4
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假命题.当a=1,b=-2,k=2时,显然命题不成立,∴是假命题.
(4)若a>b,b>c,则a-b>b-c.
假命题.当a=2,b=0,c=-3时,满足a>b,b>c这两个条件,但是a-b=21
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16
10.(1)比较a2+b2与2(2a-b)-5的大小;
∵a2+b2-[2(2a-b)-5]=(a-2)2+(b+1)2≥0,
∴a2+b2≥2(2a-b)-5,
当且仅当a=2,b=-1时,等号成立.
1
2
3
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(2)已知a>0,b>0,求证:(a2+b2)2≥4a2b2,当且仅当a=b时等号成立.
(a2+b2)2-4a2b2=a4+b4+2a2b2-4a2b2=a4+b4-2a2b2=(a2-b2)2≥0,当且仅当a2= b2时取等号.
又∵a>0,b>0,
∴当且仅当a=b时取等号,
即(a2+b2)2≥4a2b2,当且仅当a=b时等号成立.
11.已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式中一定成立的是
A.xy>yz B.xz>yz
C.xy>xz D.x|y|>z|y|
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综合运用
√
因为x>y>z,x+y+z=0,
所以3x>x+y+z=0,3z所以x>0,z<0.所以由可得xy>xz.
12.已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是
A.c≥b>a B.a>c≥b
C.c>b>a D.a>c>b
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√
因为c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,所以c≥b;
因为b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,两式相减得2b=2a2+2,即b=a2+1,
所以b-a=a2-a+1=+>0,所以b>a.
综上,c≥b>a.
13.已知b克盐水中有a克盐(b>a>0),若再添加m克盐(m>0),则盐水就变咸了
(浓度增加了),试根据这一事实提炼一个不等式:　　　　　　　　　.
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>(b>a>0,m>0)
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由题意可得
>(b>a>0,m>0).
证明:当b>a>0,m>0时,
-==.
∵b>a>0,m>0,
∴b-a>0,
∴>0,
∴>.
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14.实数a,b,c,d满足下列三个条件:①d>c;②a+b=c+d;③a+d因为a+b=c+d,所以a=c+d-b,
因为a+d所以c因为a+b=c+d,b>d,所以a所以aa15.古希腊时期,人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形,把这个比值称为黄金分割比例.如图为希腊的一古建筑.其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示相关对应点,图中的矩形ABCD,EBCF,FGHC,FGJI, LGJK,MNJK均近似为黄金矩形.若A与D间的距离大于18.7 m,C与F间的距离小于12 m.则该古建筑中A
与B间的距离可能是(参考数据:≈0.618, 0.6182≈0.38,0.6183≈0.236)
A.29 m B.29.8 m
C.30.8 m D.32.8 m
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拓广探究
√
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如图所示,由黄金矩形的定义可知≈0.618,·=≈0.6182≈0.38,所以AB≈>≈30.26 m, AB≈<≈31.58 m,即AB∈ ,对照各选项,只有C符合.
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16.已知二次函数y=ax2+bx+c满足以下条件:
(1)该函数图象过原点;
(2)当x=-1时,y的取值范围为大于等于1且小于等于2;
(3)当x=1时,y的取值范围为大于等于3且小于等于4,
求当x=-2时,y的取值范围.
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∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过原点,
∴c=0,∴y=ax2+bx.
又∵当x=-1时,1≤a-b≤2. ①
当x=1时,3≤a+b≤4, ②
当x=-2时,y=4a-2b.
设存在实数m,n,
使得4a-2b=m(a+b)+n(a-b),
而4a-2b=(m+n)a+(m-n)b,
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∴
∴4a-2b=(a+b)+3(a-b).
由①②可知3≤a+b≤4,3≤3(a-b)≤6,
∴3+3≤4a-2b≤4+6.
即6≤4a-2b≤10,
故当x=-2时,y的取值范围是大于等于6且小于等于10.作业9 不等式的性质
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（分值：100分）
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分
1.如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是 （　　）
A.< B.<
C.a2|b|
2.设P=2a（a-2）+3，Q=（a-1）（a-3），a∈R，则有 （　　）
A.P≥Q B.P>Q
C.P3.若a>b>0，cA.> B.<
C.> D.<
4.已知a>b>c，则+的值是 （　　）
A.正数 B.负数
C.非正数 D.非负数
5.（多选）设a>b>1，c<0，则下列四个结论中正确的是 （　　　　）
A.a+c>b+c
B.acC.a（b-c）>b（a-c）
D.>
6.若8A.16<<40 B.2<<5
C.4<<5 D.2<<2.5
7.已知a，b为实数，且a≠b，a<0，则a　　2b-.（填“>”“<”或“=”）
8.设实数a=-，b=-1，则a与b的大小关系是　　　　.
9.（10分）判断下列各命题的真假，并说明理由.
（1）若a（2）若<，则a>b；（2分）
（3）若a>b，且k∈N+，则ak>bk；（3分）
（4）若a>b，b>c，则a-b>b-c.（3分）
10.（12分）（1）比较a2+b2与2（2a-b）-5的大小；（5分）
（2）已知a>0，b>0，求证：（a2+b2）2≥4a2b2，当且仅当a=b时等号成立.（7分）
11.已知x>y>z，x+y+z=0，则下列不等式中一定成立的是 （　　）
A.xy>yz B.xz>yz
C.xy>xz D.x|y|>z|y|
12.已知实数a，b，c满足b+c=6-4a+3a2，c-b=4-4a+a2，则a，b，c的大小关系是 （　　）
A.c≥b>a B.a>c≥b
C.c>b>a D.a>c>b
13.已知b克盐水中有a克盐（b>a>0），若再添加m克盐（m>0），则盐水就变咸了（浓度增加了），试根据这一事实提炼一个不等式：
14.实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c；②a+b=c+d；③a+d15.古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例.如图为希腊的一古建筑.其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示相关对应点，图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均近似为黄金矩形.若A与D间的距离大于18.7 m，C与F间的距离小于12 m.则该古建筑中A与B间的距离可能是（参考数据：≈0.618，0.6182≈0.38，0.6183≈0.236） （　　）
A.29 m B.29.8 m
C.30.8 m D.32.8 m
16.（12分）已知二次函数y=ax2+bx+c满足以下条件：
（1）该函数图象过原点；（2）当x=-1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；（3）当x=1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4，求当x=-2时，y的取值范围.
答案精析
1.A　2.A　3.B　4.A　5.ABC　6.B
7.<　8.a9.解　（1）假命题.当a=-1，b=1，c=-2时，=2，=-2，>，
∴是假命题.
（2）假命题.当c>0时，>0，
则a∴是假命题.
（3）假命题.当a=1，b=-2，k=2时，显然命题不成立，∴是假命题.
（4）假命题.当a=2，b=0，c=-3时，满足a>b，b>c这两个条件，但是a-b=210.（1）解　∵a2+b2-［2（2a-b）-5］=（a-2）2+（b+1）2≥0，
∴a2+b2≥2（2a-b）-5，
当且仅当a=2，b=-1时，等号成立.
（2）证明　（a2+b2）2-4a2b2
=a4+b4+2a2b2-4a2b2
=a4+b4-2a2b2=（a2-b2）2≥0，
当且仅当a2=b2时取等号.
又∵a>0，b>0，
∴当且仅当a=b时取等号，
即（a2+b2）2≥4a2b2，当且仅当a=b时等号成立.
11.C
12.A　［因为c-b=4-4a+a2
=（a-2）2≥0，所以c≥b；
因为b+c=6-4a+3a2，
c-b=4-4a+a2，
两式相减得2b=2a2+2，
即b=a2+1，
所以b-a=a2-a+1
=+>0，
所以b>a.
综上，c≥b>a.］
13.>（b>a>0，m>0）
解析　由题意可得
>（b>a>0，m>0）.
证明：当b>a>0，m>0时，
-=
=.
∵b>a>0，m>0，∴b-a>0，
∴>0，∴>.
14.a解析　因为a+b=c+d，
所以a=c+d-b，
因为a+d所以c+d-b+d于是有d因为a+b=c+d，b>d，所以a所以a15.C　［如图所示，由黄金矩形的定义可知≈0.618，·=≈0.6182≈0.38，所以AB≈>≈30.26 m，AB≈<≈31.58 m，即AB∈，对照各选项，只有C符合.］
16.解　∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过原点，
∴c=0，∴y=ax2+bx.
又∵当x=-1时，1≤a-b≤2. ①
当x=1时，3≤a+b≤4， ②
当x=-2时，y=4a-2b.
设存在实数m，n，
使得4a-2b=m（a+b）+n（a-b），
而4a-2b=（m+n）a+（m-n）b，
∴解得
∴4a-2b=（a+b）+3（a-b）.
由①②可知3≤a+b≤4，
3≤3（a-b）≤6，
∴3+3≤4a-2b≤4+6.
即6≤4a-2b≤10，
故当x=-2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10.

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