资源简介

3.3　对数函数y=logax的图象和性质
第1课时　对数函数y=logax的图象和性质
［学习目标］　1.初步掌握对数函数的图象及性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌握对数函数的图象及性质的简单应用.
一、对数函数的图象与性质
问题　为了更好地研究对数函数的性质，我们特别选取了底数a=2，3，4，，，，你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗？
知识梳理
对数函数y=logax（a>0，且a≠1）的图象和性质如表：
定义 y=logax（a>0，且a≠1）
底数 a>1 0图象
定义域
值域
共点性 图象过定点　　　　　　，即x=1时，y=0
单调性 在定义域（0，+∞）上是　　　函数 在定义域（0，+∞）上是　　　函数
函数值特点 当x>1时，y　　0； 当01时，y<0； 当0对称性 函数y=logax与y=x的图象关于　　　　对称
例1　求下列函数的定义域：
（1）f（x）=lg（x-2）+；
（2）f（x）=log（x+1）（16-4x）；
（3）y=（a>0且a≠1）.
反思感悟　求函数定义域的三个步骤
（1）列不等式（组）：根据函数f（x）有意义列出x满足的不等式（组）.
（2）解不等式（组）：根据不等式（组）的解法步骤求出x满足的范围.
（3）结论：写出函数的定义域.
跟踪训练1　求下列函数的定义域：
（1）y=；
（2）f（x）=.
二、对数函数的图象
例2　（1）函数y=loga（x+2）+1的图象过定点 （　　）
A.（1，2） B.（2，1）
C.（-2，1） D.（-1，1）
（2）如图所示，曲线是对数函数y=logax的图象，已知a取，，，，则对应于c1，c2，c3，c4的a值依次为 （　　）
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
反思感悟　函数y=logax（a>0且a≠1）的底数变化对图象位置的影响（如图）
（1）上下比较：在直线x=1的右侧，a>1时，a越大，图象越靠近x轴，0（2）左右比较：比较图象与y=1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.
跟踪训练2　已知函数y=loga（x+c）（a，c为常数，其中a>0，且a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是 （　　）
A.a>1，c>1
B.a>1，0C.01
D.0三、对数函数图象与性质的应用
例3　比较下列各组数的大小：
（1）log5与log5；
（2）log1.10.7与log1.20.7；
（3）log23与log54.
例4　已知log0.3（3x）A. B.
C. D.
反思感悟　（1）比较对数式大小的方法
①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；
②当底数不同、真数相同时，可转化为同底（利用换底公式）或利用对数函数图象，数形结合解得；
③当不同底、不同真数时，可利用中间值进行比较.
（2）两类对数不等式的解法
①形如logaf（x）（ⅰ）当0g（x）>0；
（ⅱ）当a>1时，可转化为0②形如logaf（x）（ⅰ）当0ab；
（ⅱ）当a>1时，可转化为0③形如logf（x）a>logg（x）a（f（x），g（x）>0且不等于1，a>0）的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.
特别注意：以上情况均需考虑定义域.
跟踪训练3　（1）比较下列各组中两个值的大小：
①loga3，logaπ（a>0且a≠1）；
②log30.2，log40.2；　③log3π，logπ3.
（2）若loga<1（a>0且a≠1），则a的取值范围为　　　　　　　　　　　　　.
1.知识清单：
（1）对数函数的图象及性质.
（2）底数对对数函数图象的影响.
（3）对数式大小比较的三种常用方法.
2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法.
3.常见误区：求与对数函数有关的定义域时，易漏掉真数大于零.
1.函数f（x）=log2（1-x）的定义域是 （　　）
A.［1，+∞） B.（1，+∞）
C.（-∞，1） D.（-∞，1］
2.对数函数y=logax与y=logbx的图象如图，则 （　　）
A.a<0，b<0
B.a<0，b>0
C.01
D.03.不等式log3（2x-1）≤2的解集为 （　　）
A. B.
C.（-∞，5］ D.
4.函数y=1+loga（x-1）的图象恒过定点　　　　.
答案精析
问题　
知识梳理
（0，+∞）　R　（1，0）　增　减　>
>　x轴
例1　解　（1）由题意得
解得x>2且x≠3.
所以函数的定义域为（2，3）∪（3，+∞）.
（2）由题意得
解得-1所以函数的定义域为（-1，0）∪（0，4）.
（3）当0所以函数的定义域为；
当a>1时，由4x-3≥1解得x≥1，
所以函数的定义域为［1，+∞）.
跟踪训练1　解　（1）由题意得即
解得-3故所求函数的定义域为（-3，-2）∪［2，+∞）.
（2）由题意得
解得1故所求函数的定义域为（1，2）.
例2　（1）D　［令x+2=1，即x=-1，
得y=loga1+1=1，
故函数y=loga（x+2）+1的图象过定点（-1，1）.］
（2）A　［方法一　观察在（1，+∞）上的图象，先排c1，c2底数的顺序，底数都大于1，当x>1时，图象靠近x轴的底数大，则c1，c2对应的a值分别为，.然后考虑c3，c4底数的顺序，底数都小于1，当x>1时，图象靠近x轴的底数小，则c3，c4对应的a值分别为，.综合以上分析，可得c1，c2，c3，c4对应的a值依次为，，，.
方法二　如图，作直线y=1与四条曲线交于四点，由y=logax=1，得x=a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以c1，c2，c3，c4对应的a值分别为，，，.］
跟踪训练2　D
例3　解　（1）方法一　对数函数y=log5x在定义域（0，+∞）上是增函数，且<，所以log5方法二　因为log5<0，log5>0，
所以log5（2）方法一　因为0<0.7<1，
1.1<1.2，
所以0>log0.71.1>log0.71.2.
所以<，
由换底公式可得log1.10.7方法二　作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象，如图所示，
由两图象与直线
x=0.7相交可知
log1.10.7（3）因为log23>log22=1
=log55>log54，
所以log23>log54.
例4　A　［因为函数y=log0.3x是（0，+∞）上的减函数，所以原不等式等价于解得x>.
故x的取值范围为.］
跟踪训练3　（1）解　①当a>1时，函数y=logax在定义域（0，+∞）上是增函数，
又3<π，
所以loga3当0又3<π，
所以loga3>logaπ.
综上，当a>1时loga3当0logaπ.
②方法一　因为0>log0.23>log0.24，
所以<，
所以log30.2方法二　如图可知，当两图象与直线x=0.2相交时，
log40.2>log30.2.
③因为log3π>log33=1=logππ>logπ3，
所以log3π>logπ3.
（2）∪（1，+∞）
解析　由loga <1，得
loga 1时，
解得a>，
则a>1；
当0则0综上，a>1或0即a的取值范围为∪（1，+∞）.
随堂演练
1.C　2.C　3.B　4.（2，1）(共67张PPT)
第四章
<<<
第1课时　对数函数y=logax的图象和性质
1.初步掌握对数函数的图象及性质.
2.会类比指数函数研究对数函数的性质.
3.掌握对数函数的图象及性质的简单应用.
学习目标
我们已经了解并掌握了y=log2x与y=lox的图象与性质,类比这两个函数的图象与性质,能否得到y=logax(a>0,且a≠1)的图象与性质呢 今天我们共同探讨y=logax(a>0,且a≠1)的图象与性质.
导 语
一、对数函数的图象与性质
二、对数函数的图象
随堂演练
三、对数函数图象与性质的应用
内容索引
课时对点练
一
对数函数的图象与性质
为了更好地研究对数函数的性质,我们特别选取了底数a=2, 3,4,,,,你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗
问题
提示　
对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质如表:
定义 y=logax (a>0,且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 _______
值域 _____
(0,+∞)
R
共点性 图象过定点_____,即x=1时,y=0
单调性 在定义域(0,+∞)上是____函数 在定义域(0,+∞)上是____函数
函数值特点 当x>1时,y___0; 当01时,y<0;
当0对称性 函数y=logax与y=x的图象关于_____对称
(1,0)
增
减
>
>
x轴
(1)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象都经过点,(1,0), (a,1),且图象都在第一、四象限内,据此可以快速地画出其大致图象.注意对数函数的图象永远不和y轴相交.
(2)在直线x=1的右侧,当01时,底数越大,图象越靠近x轴.
(3)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
(4)讨论对数函数的性质时,若底数a的大小不确定,必须分a>1和0注 意 点
<<<
　求下列函数的定义域:
(1)f(x)=lg(x-2)+;
例 1
由题意得
解得x>2且x≠3.
所以函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞).
(2)f(x)=log(x+1)(16-4x);
由题意得
解得-1所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,4).
(3)y=(a>0且a≠1).
当0所以函数的定义域为;
当a>1时,由4x-3≥1解得x≥1,
所以函数的定义域为[1,+∞).
(1)列不等式(组):根据函数f(x)有意义列出x满足的不等式(组).
(2)解不等式(组):根据不等式(组)的解法步骤求出x满足的范围.
(3)结论:写出函数的定义域.
反
思
感
悟
求函数定义域的三个步骤
　求下列函数的定义域:
(1)y=;
跟踪训练 1
由题意得
即解得-3故所求函数的定义域为(-3,-2)∪[2,+∞).
(2)f(x)=.
由题意得
解得1故所求函数的定义域为(1,2).
二
对数函数的图象
(1)函数y=loga(x+2)+1的图象过定点
A.(1,2) B.(2,1)
C.(-2,1) D.(-1,1)
例 2
√
令x+2=1,即x=-1,
得y=loga1+1=1,
故函数y=loga(x+2)+1的图象过定点(-1,1).
(2)如图所示,曲线是对数函数y=logax的图象,已知a取,,,,则对应于c1,c2,c3,c4的a值依次为
A.,,,
B.,,,
C.,,,
D.,,,
√
方法一　观察在(1,+∞)上的图象,先排c1,c2底数的顺序,底数都大于1,当x>1时,图象靠近x轴的底数大,则c1,c2对应的a值分别为,.然后考虑c3,c4底数的顺序,底数都小于1,当x>1时,图象靠近x轴的底数小,则
c3,c4对应的a值分别为,.综合以上分析,可得c1,c2,c3,c4对应的a值依次为,,,.
方法二　如图,作直线y=1与四条曲线交于四点,由y=logax=1,得x=a(即交点的横坐标等于底数),所以横坐标小的底数小,所以c1,c2,c3,c4对应的a值分别为,,,.
反
思
感
悟
函数y=logax(a>0且a≠1)的底数变化
对图象位置的影响(如图)
(1)上下比较:在直线x=1的右侧,a>1
时,a越大,图象越靠近x轴,0a越小,图象越靠近x轴.
(2)左右比较:比较图象与y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.
　已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是
A.a>1,c>1
B.a>1,0C.01
D.0跟踪训练 2
由题图可知,y=loga(x+c)的图象是由y=logax的图象向左平移c个单位长度而得到的,其中0√
三
对数函数图象与性质的应用
　比较下列各组数的大小:
(1)log5与log5;
例 3
方法一　对数函数y=log5x在定义域(0,+∞)上是增函数,且<,所以log5方法二　因为log5<0,log5>0,
所以log5方法一　因为0<0.7<1,1.1<1.2,
所以0>log0.71.1>log0.71.2.
所以<,
由换底公式可得log1.10.7方法二　作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象,
如图所示,由两图象与直线x=0.7相交可知
log1.10.7(2)log1.10.7与log1.20.7;
因为log23>log22=1=log55>log54,
所以log23>log54.
(3)log23与log54.
　已知log0.3(3x)A. B.
C. D.
例 4
√
因为函数y=log0.3x是(0,+∞)上的减函数,
所以原不等式等价于解得x>.
故x的取值范围为.
反
思
感
悟
(1)比较对数式大小的方法
①当底数相同时,可直接利用对数函数的单调性比较;
②当底数不同、真数相同时,可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象,数形结合解得;
③当不同底、不同真数时,可利用中间值进行比较.
(2)两类对数不等式的解法
①形如logaf(x)(ⅰ)当0g(x)>0;
(ⅱ)当a>1时,可转化为0反
思
感
悟
②形如logaf(x)(ⅰ)当0ab;
(ⅱ)当a>1时,可转化为0③形如logf(x)a>logg(x)a(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式,可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用函数图象求解.
特别注意:以上情况均需考虑定义域.
(1)比较下列各组中两个值的大小:
①loga3,logaπ(a>0且a≠1);
跟踪训练 3
当a>1时,函数y=logax在定义域(0,+∞)上是增函数,
又3<π,
所以loga3当0又3<π,
所以loga3>logaπ.
综上,当a>1时loga3当0logaπ.
②log30.2,log40.2;
方法一　因为0>log0.23>log0.24,
所以<,
所以log30.2方法二　如图可知,
当两图象与直线x=0.2相交时,log40.2>log30.2.
③log3π,logπ3.
因为log3π>log33=1=logππ>logπ3,
所以log3π>logπ3.
(2)若loga<1(a>0且a≠1),则a的取值范围为　　 　　.
由loga <1,得loga 1时,解得a>,则a>1;当01或0∪(1,+∞)
1.知识清单:
(1)对数函数的图象及性质.
(2)底数对对数函数图象的影响.
(3)对数式大小比较的三种常用方法.
2.方法归纳:分类讨论法、数形结合法.
3.常见误区:求与对数函数有关的定义域时,易漏掉真数大于零.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.函数f(x)=log2(1-x)的定义域是
A.[1,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,1]
√
由1-x>0,得x<1.
2.对数函数y=logax与y=logbx的图象如图,则
A.a<0,b<0
B.a<0,b>0
C.01
D.01
2
3
4
√
3.不等式log3(2x-1)≤2的解集为
A. B.
C.(-∞,5] D.
1
2
3
4
∵log3(2x-1)≤2=log39,
∴0<2x-1≤9,解得∴不等式log3(2x-1)≤2的解集为.
√
4.函数y=1+loga(x-1)的图象恒过定点　　　.
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4
令x-1=1,得x=2,此时y=1,故函数y=1+loga (x-1)的图象恒过定点(2,1).
(2,1)
课时对点练
五
1.函数y=loga(x-1)(01
2
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基础巩固
√
∵0又函数y=loga(x-1)的图象是由y=logax的图象向右平移一个单位长度得到的,故A正确.
2.函数y=的定义域为
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(2,3)∪(3,+∞) D.(2,4)∪(4,+∞)
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√
要使函数有意义,则解得23,
所以函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞).
3.(多选)若0A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
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∵y=loga(x+5)过定点(-4,0)且单调递减,∴函数图象不过第一象限,一定经过第二象限,第三象限和第四象限.
√
√
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4.已知lomA.nC.1√
因为0<<1,lom所以m>n>1.
5.设a=log36,b=log510,c=log714,则
A.c>b>a B.b>c>a
C.a>c>b D.a>b>c
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16
∵a=log36=log33+log32=1+log32,
b=log510=log55+log52=1+log52,
c=log714=log77+log72=1+log72,
且log32>log52>log72,
∴a>b>c.
6.(多选)若0A.3y<3x B.logx3C.log4x
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√
因为0所以3x<3y,logx3>logy3,log4x>.
√
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16
7.如果函数f(x)=(3-a)x与g(x)=logax的单调性相同,则实数a的取值范围是　　　.
(1,2)
若f(x),g(x)均为增函数,
则解得1若f(x),g(x)均为减函数,则无解.
综上可得11
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8.若函数f(x)=logax(≤x≤2)的最大值比最小值大1,则实数a=　　 　　.
当0当a>1时,f(x)=logax在[,2]上单调递增,则loga2-loga=1,即loga=1,解得a=.
综上可得,a=或a=.
9.比较下列各数的大小:
(1)lo3,lo3;
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∵log3即lo3(2)3log45与4log43;
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∵3log45=log453=log4125,4log43=log481,
且对数函数y=log4x在定义域(0,+∞)上是增函数,125>81,
∴log4125>log481,即3log45>4log43.
(3)lo0.3,log20.8.
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∵lo0.3>0,log20.8<0,
∴lo0.3>log20.8.
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10.已知f(x)=|lg x|,且>a>b>1,试比较f(a),f(b),f(c)的大小.
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先作出函数y=lg x的图象,再将图象位于x轴下方的部分折到x轴上方,于是得到f(x)=|lg x|的图象,如图,
由图象可知,f(x)在(0,1)上单调递减,
在(1,+∞)上单调递增.
由>a>b>1得,f>f(a)>f(b),
又f==|-lg c|=|lg c|=f(c).
所以f(c)>f(a)>f(b).
11.(多选)已知实数a,b满足等式log2a=log3b,给出下列四个关系式,其中可能成立的是
A.a>b>1 B.b>a>1
C.a1
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综合运用
√
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实数a,b满足等式log2a=log3b,
即y=log2x在x=a处的函数值和y=log3x在x=b处的函数值相等,
当a=b=1时,log2a=log3b=0,
令log2a=log3b=1,可得a=2,b=3,由此知B成立,A不成立;
令log2a=log3b=-1,可得a=,b=,由此知D成立,C不成立.
综上可知,可能成立的关系式为BD.
12.若函数f(x)=loga(x+b)的图象如图所示,其中a,b为常数,则函数g(x)=ax+b的图象大致是
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√
由f(x)的图象可知013.已知y=loga(3a-1)恒为正值,则a的取值范围为　　　　　　 　.
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当y=loga(3a-1)恒为正值;
当即a>1时,
y=loga(3a-1)恒为正值.
综上所述,1.
即a的取值范围为∪(1,+∞).
1
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14.若函数f(x)=lg的定义域为R,则实数k的取值范围是　 _.
[0,3)
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依题意,得2kx2-kx+>0的解集为R,
即不等式2kx2-kx+>0恒成立,
当k=0时,>0恒成立,所以k=0满足条件.
当k≠0时,则
解得0综上,实数k的取值范围是[0,3).
15.(多选)已知f(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点(4,2),则下列命题正确的有
A.函数为增函数
B.函数为偶函数
C.若x>1,则f(x)>0
D.若01
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拓广探究
√
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由题意知2=loga4,解得a=2,故f(x)=log2x,函数为增函数,故A正确;
f(x)=log2x为非奇非偶函数,故B错误;
当x>1时,f(x)=log2x>log21=0成立,故C正确;
因为f(x)=log2x的图象往上凸,故若0则1
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16.若不等式x2-logmx<0在内恒成立,求实数m的取值范围.
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16
由x2-logmx<0,得x2要使x2在内的图象在y=x2图象的上方,于是0∵当x=时,y=x2=,
∴只要当x=时,y=logm=logm即可,
1
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∴,
即≤m.又0即实数m的取值范围是.第2课时　对数函数y=logax的图象和性质的综合问题
［学习目标］　1.掌握对数型复合函数的单调性、最值、值域.2.了解对数函数的综合应用.
一、对数型复合函数的单调性
例1　（1）讨论函数f（x）=loga（3x2-2x-1）的单调性.
（2）已知函数f（x）=log2.
①判断函数的奇偶性；
②求函数的单调区间.
反思感悟　（1）求形如y=logaf（x）的函数的单调区间的步骤
①求出函数的定义域.
②研究函数t=f（x）和函数y=logat在定义域上的单调性.
③依据“同增异减”原则，求函数y=logaf（x）的单调区间.
（ⅰ）当a>1时，y=logaf（x）的单调性与y=f（x）的单调性一致.
（ⅱ）当0（2）对数函数本身不具有奇偶性，但由对数函数复合而成的某些函数具有奇偶性.
跟踪训练1　已知y=loga（2-ax）在［0，1］上单调递减，求a的取值范围.
二、对数型复合函数的值域
例2　设函数f（x）=loga（1+x）+loga（3-x）（a>0，且a≠1）.
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若f（1）=2，求函数f（x）在区间上的最大值.
反思感悟　对数型复合函数的值域的求解技巧
（1）形如y=logaf（x）的值域，常用换元法，令t=f（x），根据对数函数y=logat的单调性及真数的取值范围求解.
（2）形如y=f（logax）的值域，常用换元法，结合其他函数的性质求解.常见的有二次函数形式如y=m·［f（logax）］2+bf（logax）+c.
（3）单调性法：根据函数在定义域（或定义域的某个子集）上的单调性，求出函数的值域.
跟踪训练2　（1）求函数y=（lox）2-lox+5在区间［2，4］上的最大值和最小值.
（2）求函数y=log2（3+2x-x2）的定义域和值域.
三、对数函数在实际问题中的应用
例3　已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了1个单位的该药物，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位.
（1）求y与x的关系式；
（2）当该药物在病人血液中的量低于0.3个单位时，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过多少个小时？（精确到整数）（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）
反思感悟　对数函数的单调性及反比例函数的单调性解释了实际生活中的现象.
跟踪训练3　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=log3，单位是m/s，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数.
（1）当一条鲑鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是多少？
（2）计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
1.知识清单：
（1）简单对数型复合函数的单调性、值域及最值问题.
（2）对数函数在实际问题中的应用
2.方法归纳：换元法、分类讨论法.
3.常见误区：求对数型复合函数的单调性易忽视定义域.
1.函数f（x）=log2（3x+1），x∈（0，+∞）的值域为 （　　）
A.（0，+∞） B.［0，+∞）
C.（1，+∞） D.［1，+∞）
2.函数f（x）=lg|x|为 （　　）
A.奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减
B.奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增
C.偶函数，在区间（-∞，0）上单调递增
D.偶函数，在区间（-∞，0）上单调递减
3.（多选）已知函数f（x）=（log2x）2-log2x2-3，则下列说法正确的是 （　　）
A.f（4）=-3
B.函数y=f（x）的图象与x轴有两个交点
C.函数y=f（x）的最小值为-4
D.函数y=f（x）的最大值为4
4.溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的计算公式为pH=-lg［H+］，其中［H+］表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.已知纯净水中氢离子的浓度［H+］=10-7摩尔/升，则纯净水的pH为　　　　.
答案精析
例1　（1）解　由3x2-2x-1>0得函数的定义域为.
令u=3x2-2x-1，
①当a>1时，若x>1，
则u=3x2-2x-1单调递增，
∴f（x）=loga（3x2-2x-1）在（1，+∞）上单调递增；
若x<-，则u=3x2-2x-1单调递减，
∴f（x）=loga（3x2-2x-1）在上单调递减，
②当0则f（x）=loga（3x2-2x-1）在（1，+∞）上单调递减；
f（x）=loga（3x2-2x-1）在上单调递增.
（2）解　①要使函数有意义，
则有或
解得x>1或x<-1.
所以此函数的定义域是（-∞，-1）∪（1，+∞）.
所以函数的定义域关于原点对称.
又f（-x）=log2=log2
=-log2=-f（x）.
所以f（x）为奇函数.
②设u===1+，
x<-1或x>1.
则u（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递减，
又y=log2u在定义域上单调递增，
所以f（x）在（1，+∞）上单调递减，
在（-∞，-1）上也单调递减.
故f（x）=log2的单调递减区间是（-∞，-1）和（1，+∞）.
跟踪训练1　解　令u=2-ax，
则y=logau.
因为a>0，所以u=2-ax单调递减，
由题意知y=logau在［2-a，2］内单调递增，
所以a>1.
又u=2-ax在x∈［0，1］上恒大于0，
所以2-a>0，解得a<2.
综上，1所以a的取值范围为（1，2）.
例2　解　（1）由题意得
解得-1所以函数f（x）的定义域为（-1，3）.
（2）因为f（1）=2，
所以loga4=2（a>0，且a≠1），
所以a=2，
则f（x）=log2（1+x）+log2（3-x）=log2［（1+x）（3-x）］
=log2［-（x-1）2+4］，
函数y=-（x-1）2+4在（-1，1］上单调递增，在（1，3）上单调递减，
所以当x∈（-1，1］时，f（x）单调递增；
当x∈（1，3）时，f（x）单调递减，
故函数f（x）在上的最大值是f（1）=log24=2.
跟踪训练2　（1）解　由y=lox在区间［2，4］上单调递减知，
lo4≤lox≤lo2，
即-2≤lox≤-1.
设t=lox，
则-2≤t≤-1，且y=t2-t+5.
而y=t2-t+5的图象的对称轴为直线t=，
且在区间上单调递减，
而［-2，-1］ .
所以当t=-2，即x=4时，
此函数取得最大值，最大值为10；
当t=-1，即x=2时，
此函数取得最小值，最小值为.
（2）解　由3+2x-x2>0，
得x2-2x-3<0，
解得-1所以其定义域为（-1，3），
令u=3+2x-x2=4-（x-1）2≤4，
又y=log2u是增函数.
所以y≤log24=2，
所以其值域为（-∞，2］.
例3　解　（1）由题意知，x=1×（1-20%）y=0.8y，即y与x的关系式为y=log0.8x（0（2）由题意知，当x≥0.3时，病人才不会有危险，因为y=log0.8x≤log0.80.3==≈
≈5，
所以再次注射该药物的时间不能超过5个小时.
跟踪训练3　解　（1）令Q=2 700，
则v=log3=log327
=1.5.
所以所求鲑鱼的游速是1.5 m/s.
（2）令v=0，则log3=0，
可得=1，
解得Q=100.
所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位.
随堂演练
1.A　2.D　3.ABC　4.7(共68张PPT)
第四章
<<<
第2课时　对数函数y=logax的图象和性质的综合问题
1.掌握对数型复合函数的单调性、最值、值域.
2.了解对数函数的综合应用.
学习目标
这节课我们所探讨的是与对数函数有关的复合函数,主要是对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数,以及求这些新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题,并通过换元的方法,把复杂的复合函数转化成简单的初等函数.
导 语
一、对数型复合函数的单调性
二、对数型复合函数的值域
随堂演练
三、对数函数在实际问题中的应用
内容索引
课时对点练
一
对数型复合函数的单调性
　(1)讨论函数f(x)=loga(3x2-2x-1)的单调性.
例 1
由3x2-2x-1>0得函数的定义域为.令u=3x2-2x-1,
①当a>1时,若x>1,则u=3x2-2x-1单调递增,
∴f(x)=loga(3x2-2x-1)在(1,+∞)上单调递增;
若x<-,则u=3x2-2x-1单调递减,
∴f(x)=loga(3x2-2x-1)在上单调递减,
②当0(2)已知函数f(x)=log2.
①判断函数的奇偶性;
要使函数有意义,
则有解得x>1或x<-1.
所以此函数的定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞).
所以函数的定义域关于原点对称.
又f(-x)=log2=log2
=-log2=-f(x).
所以f(x)为奇函数.
②求函数的单调区间.
设u===1+,
x<-1或x>1.
则u(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,
又y=log2u在定义域上单调递增,
所以f(x)在(1,+∞)上单调递减,
在(-∞,-1)上也单调递减.
故f(x)=log2的单调递减区间是(-∞,-1)和(1,+∞).
(1)求形如y=logaf(x)的函数的单调区间的步骤
①求出函数的定义域.
②研究函数t=f(x)和函数y=logat在定义域上的单调性.
③依据“同增异减”原则,求函数y=logaf(x)的单调区间.
(ⅰ)当a>1时,y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性一致.
(ⅱ)当0(2)对数函数本身不具有奇偶性,但由对数函数复合而成的某些函数具有奇偶性.
反
思
感
悟
　已知y=loga(2-ax)在[0,1]上单调递减,求a的取值范围.
跟踪训练 1
令u=2-ax,则y=logau.
因为a>0,所以u=2-ax单调递减,
由题意知y=logau在[2-a,2]内单调递增,
所以a>1.
又u=2-ax在x∈[0,1]上恒大于0,
所以2-a>0,解得a<2.综上,1所以a的取值范围为(1,2).
二
对数型复合函数的值域
设函数f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
例 2
由题意得解得-1所以函数f(x)的定义域为(-1,3).
(2)若f(1)=2,求函数f(x)在区间上的最大值.
因为f(1)=2,所以loga4=2(a>0,且a≠1),
所以a=2,
则f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2[(1+x)(3-x)]=log2[-(x-1)2+4],
函数y=-(x-1)2+4在(-1,1]上单调递增,在(1,3)上单调递减,
所以当x∈(-1,1]时,f(x)单调递增;
当x∈(1,3)时,f(x)单调递减,
故函数f(x)在上的最大值是f(1)=log24=2.
(1)形如y=logaf(x)的值域,常用换元法,令t=f(x),根据对数函数y=logat的单调性及真数的取值范围求解.
(2)形如y=f(logax)的值域,常用换元法,结合其他函数的性质求解.常见的有二次函数形式如y=m·[f(logax)]2+bf(logax)+c.
(3)单调性法:根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性,求出函数的值域.
对数型复合函数的值域的求解技巧
反
思
感
悟
　(1)求函数y=(lox)2-x+5在区间[2,4]上的最大值和最小值.
跟踪训练 2
由y=lox在区间[2,4]上单调递减知,
lo4≤lox≤lo2,
即-2≤lox≤-1.
设t=lox,则-2≤t≤-1,且y=t2-t+5.
而y=t2-t+5的图象的对称轴为直线t=,
且在区间上单调递减,
而[-2,-1] .
所以当t=-2,即x=4时,
此函数取得最大值,最大值为10;
当t=-1,即x=2时,
此函数取得最小值,最小值为.
(2)求函数y=log2(3+2x-x2)的定义域和值域.
由3+2x-x2>0,得x2-2x-3<0,
解得-1令u=3+2x-x2=4-(x-1)2≤4,
又y=log2u是增函数.
所以y≤log24=2,所以其值域为(-∞,2].
三
对数函数在实际问题中的应用
　已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减,现给某病人静脉注射了1个单位的该药物,设经过y个小时后,药物在病人血液中的量为x个单位.
(1)求y与x的关系式;
例 3
由题意知,x=1×(1-20%)y=0.8y,即y与x的关系式为y=log0.8x(0由题意知,当x≥0.3时,病人才不会有危险,因为y=log0.8x≤log0.80.3 ==≈≈5,
所以再次注射该药物的时间不能超过5个小时.
(2)当该药物在病人血液中的量低于0.3个单位时,病人就有危险,要使病人没有危险,再次注射该药物的时间不能超过多少个小时 (精确到整数)(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
反
思
感
悟
对数函数的单调性及反比例函数的单调性解释了实际生活中的现象.
大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=log3,单位是m/s,其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是2 700个单位时,它的游速是多少
跟踪训练 3
令Q=2 700,
则v=log3=log327=1.5.
所以所求鲑鱼的游速是1.5 m/s.
(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
令v=0,则log3=0,可得=1,
解得Q=100.
所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位.
1.知识清单:
(1)简单对数型复合函数的单调性、值域及最值问题.
(2)对数函数在实际问题中的应用
2.方法归纳:换元法、分类讨论法.
3.常见误区:求对数型复合函数的单调性易忽视定义域.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.函数f(x)=log2(3x+1),x∈(0,+∞)的值域为
A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
√
根据题意,对数的底数大于1,对数函数单调递增,当x∈(0,+∞)时,3x>0,可得3x+1>1,函数f(x)=log2(3x+1)>log21=0,
故函数的值域为(0,+∞).
2.函数f(x)=lg|x|为
A.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减
B.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增
C.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增
D.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减
1
2
3
4
√
1
2
3
4
已知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)=lg|-x|= lg|x|=f(x),所以它是偶函数.当x>0时,|x|=x,即函数y=lg|x|在区间(0,+∞)上单调递增.又因为f(x)为偶函数,
所以f(x)=lg|x|在区间(-∞,0)上单调递减.
3.(多选)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3,则下列说法正确的是
A.f(4)=-3
B.函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点
C.函数y=f(x)的最小值为-4
D.函数y=f(x)的最大值为4
1
2
3
4
√
√
√
1
2
3
4
∵f(x)=(log2x)2-log2x2-3=(log2x)2-2log2x-3,
∴f(4)=(log24)2-2log24-3=22-2×2-3=-3,故A正确.
令f(x)=0得log2x=-1或log2x=3,
解得x=或x=8,即方程f(x)=0有两个不相等的实数根,
∴函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点,故B正确.
令log2x=t,则y=t2-2t-3=(t-1)2-4(t∈R),
∴此函数有最小值-4,无最大值.故C正确,D错误.
4.溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.已知纯净水中氢离子的浓度[H+]= 10-7摩尔/升,则纯净水的pH为　　.
1
2
3
4
当[H+]=10-7时,pH=-lg 10-7=7,
所以纯净水的pH是7.
7
课时对点练
五
1.若函数f(x)=log2(x+1)的定义域是[0,1],则函数f(x)的值域为
A.[0,1] B.(0,1)
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
1
2
3
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5
6
7
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9
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11
12
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14
15
16
基础巩固
√
∵0≤x≤1,∴1≤x+1≤2,
∴log21≤log2(x+1)≤log22,
即0≤log2(x+1)≤1,故函数f(x)的值域为[0,1].
2.函数f(x)=ln(|x|+1)的图象大致是
1
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16
√
f(x)=ln(|x|+1),x∈R,排除A;
f(-x)=ln(|-x|+1)=ln(|x|+1)=f(x),
故函数f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,排除B;
当x=0时,f(0)=ln 1=0,排除D;
选项C符合题意.
3.设f(x)=lg(10x+1)+ax是偶函数,那么a的值为
A.1 B.-1
C. D.-
1
2
3
4
5
6
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8
9
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13
14
15
16
√
方法一　∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1),
即lg(10-1+1)-a=lg(10+1)+a,
即lg(10-1+1)-lg(10+1)=2a,
即-1=2a,解得a=-.
方法二　∵f(x)为偶函数,
∴对任意的实数x都有f(-x)=f(x),
即lg(10-x+1)-ax=lg(10x+1)+ax,
整理得,lg(10-x+1)-lg(10x+1)=2ax lg 10-x=2ax 102ax=10-x, *
∵(*)式对任意的实数x恒成立,∴2a=-1,即a=-.
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14
15
16
4.函数f(x)=lo(-x2+6x-5)的单调递减区间是
A.(-∞,3] B.[3,+∞)
C.(1,3] D.[3,5)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由f(x)=lo(-x2+6x-5),得-x2+6x-5>0,即(x-5)(x-1)<0,解得1由题意,令g(x)=lox,h(x)=-x2+6x-5,则f(x)=g(h(x)),
易知g(x)在其定义域上是减函数,要求函数f(x)的单调递减区间,需求在区间(1,5)上二次函数h(x)的单调递增区间,
由h(x)=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,则在(1,5)上二次函数h(x)的单调递增区间为(1,3],即函数f(x)的单调递减区间为(1,3].
5.在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料的质量M(单位:kg)、火箭的质量(除燃料外)m(单位:kg)的函数关系是v= 2ln.当火箭的最大速度达到11.5 km/s时,燃料的质量与火箭的质量之比约为(参考数据:e5.75≈314)
A.314 B.313
C.312 D.311
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由题意将v=11.5 km/s代入v=2ln,可得11.5=2ln,
∴ln=5.75,∴1+=e5.75≈314.
∴≈313.即燃料的质量与火箭的质量之比约为313.
6.已知函数f(x)=log3(1-ax),若f(x)在(-∞,2]上为减函数,则实数a的取值范围为
A.(0,+∞) B.
C.(1,2) D.(-∞,0)
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由于函数f(x)=log3(1-ax)在(-∞,2]上为减函数,且函数y=log3u为增函数,
则函数u=1-ax在(-∞,2]上为减函数,
∴-a<0,得a>0,且u=1-ax>0在(-∞,2]上恒成立,
则umin=1-2a>0,解得a<.
因此,实数a的取值范围是.
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7.若函数f(x)=lg(ax2+ax+1)(a≠0)有最小值,则实数a的取值范围是　　　.
(0,4)
令t=ax2+ax+1,
若f(x)有最小值,且t=ax2+ax+1有最小值,且最小值大于0,
则解得0即实数a的取值范围是(0,4).
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8.若函数f(x)=logax(其中a为常数,且a>0,a≠1)满足f(2)>f(3),则f(2x-1)∵f(2)>f(3),
∴f(x)=logax是减函数,
{x|1由f(2x-1)解得19.已知-3≤lox≤-,求函数f(x)=log2·log2的值域.
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∵-3≤lox≤-,
∴-3≤-log2x≤-,即≤log2x≤3.
∵f(x)=log2log2
=(log2x-log22)(log2x-log24)
=(log2x-1)(log2x-2).
令t=log2x,则≤t≤3,
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∴f(x)=g(t)=(t-1)(t-2)=t2-3t+2=-.
∵≤t≤3,
∴f(x)max=g(3)=2,f(x)min=g=-.
∴函数f(x)=log2·log2.
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10.已知f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(其中a>0且a≠1).
(1)求f(x)+g(x)的定义域;
f(x)+g(x)的定义域需满足
解得-1所以f(x)+g(x)的定义域为(-1,1).
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(2)判断f(x)+g(x)的奇偶性并说明理由;
f(x)+g(x)为偶函数,
设F(x)=f(x)+g(x),则
F(-x)=loga(-x+1)+loga(1+x)=F(x),
又F(x)的定义域为(-1,1)关于原点对称,
所以f(x)+g(x)为偶函数.
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(3)求使f(x)+g(x)<0成立的x的集合.
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由f(x)+g(x)<0得
loga(x+1)+loga(1-x)<0,
即当a>1时,
解得-1即x∈(-1,0)∪(0,1);
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当0综上所述,当a>1时,使f(x)+g(x)<0成立的x的集合为(-1,0)∪(0,1);当011.若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为
A.　　B.　　C.2　　D.4
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综合运用
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由题意得当a>1时,f(1)+f(0)=a+loga2+1=a,即loga2=-1,解得a=,与a>1矛盾;
当0即loga2=-1,解得a=.
综上,a的值为.
12.生物体死亡后,它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率),P与死亡年数t之间的函数关系式为P=(其中a为常数),大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%,则可推断该文物属于(参考数据:log20.79≈-0.34)
参考时间轴:
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A.战国　　　B.汉　　　C.唐　　　D.宋
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由题意知,当t=5 730时,P=,
故=,解得a=5 730,
所以P=,
所以当P=0.79时,可得0.79=,
两边取以2为底的对数得log20.79=log2=-≈-0.34,解得t≈1 948.2,
所以2 022-1 948.2=73.8∈(-202,220),
所以可推断该文物属于汉.
13.(多选)若函数f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增,则a,b的值可能是
A.a=2,b=2 B.a=,b=
C.a=e,b=-2 D.a=,b=0
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√
令t=|x-b|,该函数在(-∞,b)上单调递减,要使函数f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增,则外层函数y=logat是定义域内的减函数,则01
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14.设f(x)=|lg(x-1)|,若0(4,+∞)
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先画出函数f(x)=|lg(x-1)|的图象,如图,
∵0且f(a)=f(b),
∴12,
∴-lg(a-1)=lg(b-1),
∴=b-1,∴a=1+,
∴a+b=b++1=b-1++2≥2+2=4,
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∵b>2,∴b-1≠,
故上式“=”取不到,
∴a+b>4,∴a+b的取值范围是(4,+∞).
15.(多选)若f(x)=lg(|x-2|+1),则下列命题正确的是
A.f(x+2)是偶函数
B.f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增
C.f(x)没有最大值
D.f(x)没有最小值
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拓广探究
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对于A,f(x+2)=lg(|x|+1),∵lg(|-x|+1)=lg(|x|+1),∴f(x+2)为偶函数,故A正确;
对于B,当x≥0时,f(x+2)=lg(x+1),∴f(x+2)在(0,+∞)上单调递增;
∵f(x+2)为偶函数,∴f(x+2)在(-∞,0)上单调递减,
∵f(x+2)向右平移2个单位长度后得到f(x),
∴f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故B正确;
对于C,D,根据f(x)的单调性,知f(x)min=f(2),无最大值,故C正确,D错误.
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16.已知函数f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.
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∵f(x)=2+log3x,∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6= (log3x+3)2-3,
∵函数f(x)的定义域为[1,9],
∴要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,必须满足解得1≤x≤3,
∴0≤log3x≤1,
∴6≤(log3x+3)2-3≤13,
∴当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13.作业35　对数函数y＝logax的图象和性质
[分值:100分]
单选题每小题5分,共25分;多选题每小题6分,共24分
1.函数y=loga(x-1)(02.函数y=的定义域为 (　　)
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(2,3)∪(3,+∞) D.(2,4)∪(4,+∞)
3.(多选)若0A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知lomA.nC.15.设a=log36,b=log510,c=log714,则 (　　)
A.c>b>a B.b>c>a
C.a>c>b D.a>b>c
6.(多选)若0A.3y<3x B.logx3C.log4x
7.如果函数f(x)=(3-a)x与g(x)=logax的单调性相同,则实数a的取值范围是　　　　.
8.若函数f(x)=logax(≤x≤2)的最大值比最小值大1,则实数a=　　　　.
9.(9分)比较下列各数的大小:
(1)lo3,lo3;(3分)
(2)3log45与4log43;(3分)
(3)lo0.3,log20.8.(3分)
10.(10分)已知f(x)=|lg x|,且>a>b>1,试比较f(a),f(b),f(c)的大小.
11.(多选)已知实数a,b满足等式log2a=log3b,给出下列四个关系式,其中可能成立的是 (　　)
A.a>b>1 B.b>a>1
C.a12.若函数f(x)=loga(x+b)的图象如图所示,其中a,b为常数,则函数g(x)=ax+b的图象大致是 (　　)
13.已知y=loga(3a-1)恒为正值,则a的取值范围为　　　　　　　　　　.
14.若函数f(x)=lg 的定义域为R,则实数k的取值范围是　　　　.
15.(多选)已知f(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点(4,2),则下列命题正确的有 (　　)
A.函数为增函数
B.函数为偶函数
C.若x>1,则f(x)>0
D.若016.(12分)若不等式x2-logmx<0在内恒成立,求实数m的取值范围.
答案精析
1.A　2.C　3.BCD　4.D　5.D　6.CD
7.（1，2）　8.或
9.解　（1）∵log3∴<，
即lo3（2）∵3log45=log453=log4125，
4log43=log481，
且对数函数y=log4x在定义域（0，+∞）上是增函数，125>81，
∴log4125>log481，即3log45>4log43.
（3）∵lo0.3>0，log20.8<0，
∴lo0.3>log20.8.
10.解　先作出函数y=lg x的图象，再将图象位于x轴下方的部分折到x轴上方，于是得到f（x）=|lg x|的图象，如图，
由图象可知，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增.
由>a>b>1得，
f>f（a）>f（b），
又f==|-lg c|=|lg c|=f（c）.
所以f（c）>f（a）>f（b）.
11.BD
12.D　［由f（x）的图象可知0所以g（x）的图象应为D.］
13.∪（1，+∞）
解析　当
即y=loga（3a-1）恒为正值；
当即a>1时，
y=loga（3a-1）恒为正值.
综上所述，1.
即a的取值范围为∪（1，+∞）.
14.［0，3）
解析　依题意，得2kx2-kx+>0的解集为R，
即不等式2kx2-kx+>0恒成立，
当k=0时，>0恒成立，
所以k=0满足条件.
当k≠0时，
则
解得0综上，实数k的取值范围是［0，3）.
15.ACD　［由题意知2=loga4，解得a=2，故f（x）=log2x，函数为增函数，故A正确；f（x）=log2x为非奇非偶函数，故B错误；当x>1时，f（x）=log2x>log21=0成立，故C正确；因为f（x）=log2x的图象往上凸，故若016.解　由x2-logmx<0，得x2要使x2∵当x=时，y=x2=，
∴只要当x=时，y=logm=logm即可，∴，
即≤m.又0即实数m的取值范围是.作业36　对数函数y＝logax的图象和性质的综合问题
[分值:100分]
单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共12分
1.若函数f(x)=log2(x+1)的定义域是[0,1],则函数f(x)的值域为 (　　)
A.[0,1] B.(0,1)
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
2.函数f(x)=ln(|x|+1)的图象大致是 (　　)
3.设f(x)=lg(10x+1)+ax是偶函数,那么a的值为 (　　)
A.1 B.-1
C. D.-
4.函数f(x)=lo(-x2+6x-5)的单调递减区间是 (　　)
A.(-∞,3] B.[3,+∞)
C.(1,3] D.[3,5)
5.在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料的质量M(单位:kg)、火箭的质量(除燃料外)m(单位:kg)的函数关系是v=2ln.当火箭的最大速度达到11.5 km/s时,燃料的质量与火箭的质量之比约为(参考数据:e5.75≈314) (　　)
A.314 B.313
C.312 D.311
6.已知函数f(x)=log3(1-ax),若f(x)在(-∞,2]上为减函数,则实数a的取值范围为 (　　)
A.(0,+∞) B.
C.(1,2) D.(-∞,0)
7.若函数f(x)=lg(ax2+ax+1)(a≠0)有最小值,则实数a的取值范围是　　　　.
8.若函数f(x)=logax(其中a为常数,且a>0,a≠1)满足f(2)>f(3),则f(2x-1)9.(10分)已知-3≤lox≤-,求函数f(x)=log2·log2的值域.
10.(11分)已知f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(其中a>0且a≠1).
(1)求f(x)+g(x)的定义域;(2分)
(2)判断f(x)+g(x)的奇偶性并说明理由;(4分)
(3)求使f(x)+g(x)<0成立的x的集合.(5分)
11.若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为 (　　)
A. B.
C.2 D.4
12.生物体死亡后,它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率),P与死亡年数t之间的函数关系式为P=(其中a为常数),大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%,则可推断该文物属于(参考数据:log20.79≈-0.34) (　　)
参考时间轴:
A.战国 B.汉
C.唐 D.宋
13.(多选)若函数f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增,则a,b的值可能是 (　　)
A.a=2,b=2 B.a=,b=
C.a=e,b=-2 D.a=,b=0
14.设f(x)=|lg(x-1)|,若015.(多选)若f(x)=lg(|x-2|+1),则下列命题正确的是 (　　)
A.f(x+2)是偶函数
B.f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增
C.f(x)没有最大值
D.f(x)没有最小值
16.(12分)已知函数f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.
答案精析
1.A　2.C　3.D　4.C　5.B　6.B　
7.（0，4）　8.｛x|19.解　∵-3≤lox≤-，
∴-3≤-log2x≤-，
即≤log2x≤3.
∵f（x）=log2log2
=（log2x-log22）（log2x-log24）
=（log2x-1）（log2x-2）.
令t=log2x，则≤t≤3，
∴f（x）=g（t）=（t-1）（t-2）
=t2-3t+2=-.
∵≤t≤3，
∴f（x）max=g（3）=2，
f（x）min=g=-.
∴函数f（x）=log2·log2的值域为.
10.解　（1）f（x）+g（x）的定义域需满足解得-1所以f（x）+g（x）的定义域为（-1，1）.
（2）f（x）+g（x）为偶函数，
设F（x）=f（x）+g（x），则
F（-x）=loga（-x+1）+loga（1+x）=F（x），
又F（x）的定义域为（-1，1）关于原点对称，所以f（x）+g（x）为偶函数.
（3）由f（x）+g（x）<0得
loga（x+1）+loga（1-x）<0，
即
当a>1时，
解得-1即x∈（-1，0）∪（0，1）；
当0综上所述，当a>1时，使f（x）+g（x）<0成立的x的集合为（-1，0）∪（0，1）；当011.B
12.B　［由题意知，
当t=5 730时，P=，
故=，解得a=5 730，
所以P=，
所以当P=0.79时，
可得0.79=，
两边取以2为底的对数得log20.79=log2=-≈-0.34，
解得t≈1 948.2，
所以2 022-1 948.2
=73.8∈（-202，220），
所以可推断该文物属于汉.］
13.BD　［令t=|x-b|，该函数在（-∞，b）上单调递减，要使函数f（x）=loga|x-b|在（-∞，0）上单调递增，则外层函数y=logat是定义域内的减函数，则014.（4，+∞）
解析　先画出函数f（x）=|lg（x-1）|的图象，如图，∵0且f（a）=f（b），∴12，
∴-lg（a-1）=lg（b-1），
∴=b-1，∴a=1+，
∴a+b=b++1
=b-1++2
≥2+2=4，
∵b>2，∴b-1≠，
故上式“=”取不到，
∴a+b>4，
∴a+b的取值范围是（4，+∞）.
15.ABC　［对于A，f（x+2）=lg（|x|+1），∵lg（|-x|+1）=lg（|x|+1），∴f（x+2）为偶函数，故A正确；
对于B，当x≥0时，f（x+2）=lg（x+1），∴f（x+2）在（0，+∞）上单调递增；
∵f（x+2）为偶函数，∴f（x+2）在（-∞，0）上单调递减，
∵f（x+2）向右平移2个单位长度后得到f（x），
∴f（x）在（-∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，故B正确；
对于C，D，根据f（x）的单调性，知f（x）min=f（2），无最大值，故C正确，D错误.］
16.解　∵f（x）=2+log3x，
∴y=［f（x）］2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2=（log3x）2+6log3x+6
=（log3x+3）2-3，
∵函数f（x）的定义域为［1，9］，
∴要使函数y=［f（x）］2+f（x2）有意义，必须满足
解得1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，
∴6≤（log3x+3）2-3≤13，
∴当x=3时，函数y=［f（x）］2+f（x2）取得最大值13.

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