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【中考真题汇编】江苏13大市三年（2022-2024）中考真题分类汇编
专题06 尺规作图（3年中考，5大题型）
题型一 作垂线 1
题型二 作角平分线 5
题型三 作角 7
题型四 平移、旋转、对称轴变换作图 8
题型五 尺规作图综合题/压轴题 10
题型一 作垂线
1．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，，，．
(1)求证：；
(2)用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹）
2．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：．
3．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，△ABC为锐角三角形．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2）
4．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，已知线段和线段．
(1)用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）
①作线段的垂直平分线，交线段于点；
②以线段为对角线，作矩形，使得，并且点在线段的上方．
(2)当，时，求（1）中所作矩形的面积．
5．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，与相交于点，，．
(1)求证：；
(2)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
6．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．
(1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”．
(2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
(3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）．
7．（2023·江苏徐州·中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉璧，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ；
(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
8．（2022·江苏扬州·中考真题）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
【初步尝试】如图1，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
【问题联想】如图2，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形；
【问题再解】如图3，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．
（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
题型二 作角平分线
9．（2023·江苏·中考真题）如图，、、、是直线上的四点，．

(1)求证：；
(2)点、分别是、的内心．
①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接，则与的关系是________．
10．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，．
(1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值）
11．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，已知，点M是上的一个定点．

(1)尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N；
(2)在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________．
12．（2023·江苏·中考真题）如图，在中，．

(1)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，求与重叠部分的面积．
题型三 作角
13．（2022·江苏泰州·中考真题）已知：△ABC中，D 为BC边上的一点.
(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；
(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.
14．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知及边上一点．
(1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的长．
题型四 平移、旋转、对称轴变换作图
15．（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
(1)如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）；
(2)如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围．
16．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，．

(1)求出对角线的长；
(2)尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）
17．（2023·江苏南京·中考真题）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作，顺，；若逆时针旋转，记作，逆，．
例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作，逆，．
(1)如图②，经过，顺，得到，用尺规作出．（保留作图痕迹）
(2)如图③，经过，逆，得到，经过，顺，得到，连接，．求证：四边形是平行四边形．
(3)如图④， 在 中， 若 经过（2） 中的变换得到的四边形是正方形．
①用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
②直接写出的长．
题型五 尺规作图综合题/压轴题
18．（2023·江苏镇江·中考真题）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．
如图1是俯视图，分别表示门框和门所在位置，M，N分别是上的定点，，的长度固定，的大小可变．

(1)图2是门完全打开时的俯视图，此时，，，求的度数．
(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置．
（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(3)在门开合的过程中，的最大值为______．（参考数据：）
19．（2024·江苏盐城·中考真题）如图1，E、F、G、H分别是平行四边形各边的中点，连接交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形称为平行四边形的“中顶点四边形”．
(1)求证：中顶点四边形为平行四边形；
(2)①如图2，连接交于点O，可得M、N两点都在上，当平行四边形满足________时，中顶点四边形是菱形；
②如图3，已知矩形为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）
20．（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务：如图1，点D、E分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点．

操作：如图2，连接、交于点P，连接交于点M，延长交于点N，则M、N分别为、的中点．
理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，则，，即M、N分别为、的中点．
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图3，，点E、F在直线上．
①作线段的中点；
②在①中作图的基础上，在直线上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得；
（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了．点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点；
【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（3）如图5，是的中位线．请在线段上作出一点Q，使得（要求用两种方法）．
21．（2022·江苏镇江·中考真题）操作探究题
(1)已知是半圆的直径，（是正整数，且不是3的倍数）是半圆的一个圆心角．
操作：如图1，分别将半圆的圆心角（取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
交流：当时，可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分吗？
探究：你认为当满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分？说说你的理由．
(2)如图2，的圆周角．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
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【中考真题汇编】江苏13大市三年（2022-2024）中考真题分类汇编
专题06 尺规作图（3年中考，5大题型）
题型一 作垂线 1
题型二 作角平分线 12
题型三 作角 17
题型四 平移、旋转、对称轴变换作图 20
题型五 尺规作图综合题/压轴题 26
题型一 作垂线
1．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，，，．
(1)求证：；
(2)用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴；
（2）解：所作图形如图，
．
2．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：方法不唯一，如图所示．

（2）∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵点在以为直径的圆上，
∴，
∴．
又∵为的切线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵在和中，
∴．
∴．
3．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，△ABC为锐角三角形．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2）
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）解：如图，
∴点D为所求点．
（2）解：过点A作AE垂直于BC，垂足为E，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴，四边形ABCD是梯形，
∴，
∴四边形AECD是矩形，
∴，
∴四边形ABCD的面积为，
故答案为：．
4．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，已知线段和线段．
(1)用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）
①作线段的垂直平分线，交线段于点；
②以线段为对角线，作矩形，使得，并且点在线段的上方．
(2)当，时，求（1）中所作矩形的面积．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)矩形的面积为
【详解】（1）解：①线段的垂直平分线，如图所示，
②如图，矩形ABCD即为所求．
（2）解：如图所示，
∵在矩形中，，，，
∴在中，，
∴矩形的面积是，
故答案是：．
5．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，与相交于点，，．
(1)求证：；
(2)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：，
，．
在和中，，
；
（2）解：是的垂直平分线，
，
由（1）的结论可知，,
又∵,
则,
∴
，
是的垂直平分线，
，
，
四边形是菱形，
如图所示，菱形为所求．
6．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．
(1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”．
(2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
(3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）．
【答案】(1)证明见解析
(2)图见解析
(3)或
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D是点C的“关联点”．
（2）解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点；
②以为圆心，为半径作圆；
③过作交于点；
④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求，
证明：∵在以为直径的圆上运动，
∴，
由（1）可知：，
∵，
∴．
（3）①当时，
如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线左侧、A的右侧时，是锐角三角形，
此时，
∵，且，，
在中，，
在中，，
；
②当时，同理可得：；
综上所述，或．
7．（2023·江苏徐州·中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉璧，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ；
(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
【答案】(1)
(2)①符合，图见详解；②图见详解
【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为，
∴它们的面积之比为；
故答案为；
（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可

由作图可知满足比例关系为的关系；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接，然后分别过点C、D作的平行线，交于点F、G，进而以为直径画圆，则问题得解；如图所示：

8．（2022·江苏扬州·中考真题）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
【初步尝试】如图1，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
【问题联想】如图2，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形；
【问题再解】如图3，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．
（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
【答案】见解析
【详解】【初步尝试】如图所示，作∠AOB的角平分线所在直线OP即为所求；
【问题联想】如图，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；
【问题再解】如图，先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧CD即为所求．
题型二 作角平分线
9．（2023·江苏·中考真题）如图，、、、是直线上的四点，．

(1)求证：；
(2)点、分别是、的内心．
①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接，则与的关系是________．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析 ②
【详解】（1）∵，，，
∴．
在和中
∴．
（2）①三角形的内心为三角形的三个角的平分线的交点，作，的角平分线，其交点即为点．

②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，根据平移的性质可知．
故答案为：．
10．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，．
(1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值）
【答案】(1)见详解
(2)
【详解】（1）解：如下图：即为所求．
（2）过点D作交与点E，过点D作交与点F，
则，
又∵
∴四边形为矩形，
∵是的平分线，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
设，
∴，，
在中，，
在中，，
∵
∴
∴
解得：，
∴．
11．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，已知，点M是上的一个定点．

(1)尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N；
(2)在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）解：如图，为所作；
；
（2）解：∵和为的切线，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴的劣弧与所围成图形的面积
．
故答案为：．
12．（2023·江苏·中考真题）如图，在中，．

(1)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，求与重叠部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：∵，是的切线，
∴，
∴，
则，
解得：，
如图所示，设交于点，连接，

∵，
∴是等边三角形，
如图所示，过点作于点，

∴
∴
在中，,
∴,
∴，则，
∴与重叠部分的面积为．
题型三 作角
13．（2022·江苏泰州·中考真题）已知：△ABC中，D 为BC边上的一点.
(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；
(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.
【答案】(1)2
(2)图见详解
(3)直线BC与⊙F相切，理由见详解
【详解】（1）解：∵DE∥AB，
∴，
∴，
∵AB=5，BD=9，DC=6，
∴，
∴；
（2）解：作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；
如图所示：点F即为所求，
（3）解：直线BC与⊙F相切，理由如下：
作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，如图，
∵∠DFA=∠A，
∴四边形ABRF是等腰梯形，
∴，
∵△FBC的面积等于，
∴，
∴CD⊥DF，
∵FD是⊙F的半径，
∴直线BC与⊙F相切．
14．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知及边上一点．
(1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)
【详解】（1）解：如图所示，
∴；
点O即为所求
（2）解：如图所示，
连接，以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，
∵是直径，
∴，即，
根据作图可得，
∴，即，是点到的距离，
∵，
∴，
∴，
点即为所求点的位置；
（3）解：如图所示，
根据作图可得，，连接，
∴在中，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
设，则，
∴在中，，
解得，（负值舍去），
∴，
在中，．
题型四 平移、旋转、对称轴变换作图
15．（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
(1)如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）；
(2)如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)图见解析（答案不唯一）
(3)或．
【详解】（1）解：∵是线段的四等分点．，
∴，
∴，
∴线段的平移图形是，；
故答案为：，；
（2）解：如图所示，即为所求；
由作图可知：，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，
∴即为所求；
（3）解：∵点的坐标分别是、、，
∴，
∴，，
∵对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，且，
∴或，
如图，当 DE在外时,分别以点D,E为圆心,3为半径画弧,两弧交于点F,则取点F在y轴上半轴时，
,,
,
∴；
同理当在内时，分别以点D,E为圆心,3为半径画弧,两弧交于点F,则取点F在y轴下半轴时，
,,
∴，
综上：或．
16．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，．

(1)求出对角线的长；
(2)尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)
(2)作图见解析
【详解】（1）解：连接，过作于，如图所示：
在中，，，
，
，
，
在中，，，，则；
（2）解：如图所示：

17．（2023·江苏南京·中考真题）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作，顺，；若逆时针旋转，记作，逆，．
例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作，逆，．
(1)如图②，经过，顺，得到，用尺规作出．（保留作图痕迹）
(2)如图③，经过，逆，得到，经过，顺，得到，连接，．求证：四边形是平行四边形．
(3)如图④， 在 中， 若 经过（2） 中的变换得到的四边形是正方形．
①用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
②直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①见解析；②
【详解】（1）解：如图1，
1．以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧在的上方交于点，分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，
2．延长至，使，延长至，使，连接，
则就是求作的三角形；
（2）证明：和位似，与位似，
，，，
，
，
，
，
，
同理可得：，
四边形是平行四边形；
（3）解：如图2，
1．以为边在上方作等边三角形，
2．作等边三角形的外接圆，作直径，连接，
3．作，，延长，交于，连接，，
则四边形是正方形，
证明：由上知：，，
，，，，
，
要使是正方形，应使，，
，，
，
，
，
作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法；
，，，
．
题型五 尺规作图综合题/压轴题
18．（2023·江苏镇江·中考真题）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．
如图1是俯视图，分别表示门框和门所在位置，M，N分别是上的定点，，的长度固定，的大小可变．

(1)图2是门完全打开时的俯视图，此时，，，求的度数．
(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置．
（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(3)在门开合的过程中，的最大值为______．（参考数据：）
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：在中，，
∴．
∴．
（2）门的位置如图1中或所示．（画出其中一条即可）

（3）如图2，连接，过点O作，交的延长线于点H．

∵在门的开合过程中，在不断变化，
∴当最大时，的值最大．
由图2可知，当与重合时，取得最大值，此时最大，
∴的最大值为．
故答案为：
19．（2024·江苏盐城·中考真题）如图1，E、F、G、H分别是平行四边形各边的中点，连接交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形称为平行四边形的“中顶点四边形”．
(1)求证：中顶点四边形为平行四边形；
(2)①如图2，连接交于点O，可得M、N两点都在上，当平行四边形满足________时，中顶点四边形是菱形；
②如图3，已知矩形为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)见解析
(2)①；②见解析．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点E、F、G、H分别是各边的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
同理可得：四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）①当平行四边形满足时，中顶点四边形是菱形，
由（1）得四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴中顶点四边形是菱形，
故答案为：；
②如图所示，即为所求，
连接，作直线，交于点O，然后作（或作BM=MN=ND），然后连接即可，
∴点M和N分别为的重心，符合题意；
证明：矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形；
分别延长交四边于点E、F、G、H如图所示：
∵矩形，
∴，，
由作图得，
∴，
∴，
∴点F为的中点，
同理得：点E为的中点，点G为的中点，点H为的中点．
20．（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务：如图1，点D、E分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点．

操作：如图2，连接、交于点P，连接交于点M，延长交于点N，则M、N分别为、的中点．
理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，则，，即M、N分别为、的中点．
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图3，，点E、F在直线上．
①作线段的中点；
②在①中作图的基础上，在直线上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得；
（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了．点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点；
【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（3）如图5，是的中位线．请在线段上作出一点Q，使得（要求用两种方法）．
【答案】（1）①见解析，②见解析；
（2）见解析；
（3）见解析
【详解】解：[实践操作]
（1）①如图，
点即为所求作的点；
②如图，
点即为所求作的点；
（2）如图，
作法一、
作法二、
点，即为所求作的点；
[探索发现]（3）如图，
作法一、
作法二、
作法三、
作法四、
作法五、
点即为所求的点．
21．（2022·江苏镇江·中考真题）操作探究题
(1)已知是半圆的直径，（是正整数，且不是3的倍数）是半圆的一个圆心角．
操作：如图1，分别将半圆的圆心角（取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
交流：当时，可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分吗？
探究：你认为当满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分？说说你的理由．
(2)如图2，的圆周角．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】(1)作图见解析；交流：，或；
探究：正整数（不是3的倍数），理由见解析
(2)作图见解析
【详解】（1）
操作：
交流：，或；
探究：设，解得（为非负整数）．
或设，解得（为正整数）．
所以对于正整数（不是3的倍数），都可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分；
（2）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
第6页（共36页）

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