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专题4 分段数列
新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,由于分段数列问题大多涉及分类讨论思想,对能力要求更高,作为压轴题出现的频率更高,本专题总结分段数列的常见类型及求解,供大家参考.
（一）分段数列求通项
分段数列求通项,关键是确定n在不同范围内取值时与的关系,恰当进行分类是求解的难点.
【例1】（2024届四川省成都石室中学高三下学期适应性考试）已知数列满足 当时,
(1)求和,并证明当为偶数时是等比数列；
(2)求及.
【解析】（1）因为 当时,,
所以,.
,,又,
当为偶数时,是以为首项,以为公比的等比数列；
（2）由（1）知,,
设,则 为偶数时,
当为奇数时,
；
设,为奇数时,,
所以.
.
（二）分段数列求和
对于分段数列求和,一般数列分几段,求和时也分几段,对于型的数列求和,一定要注意若为偶数,则奇数项与偶数项各有项,若n为奇数,则奇数项有项,偶数项有,若是公差为的等差数列,则的奇数项是公差为的等差数列,若是公比为的等比数列,则的偶数项是公比为的等比数列.
【例2】（2024届广东省名校教研联盟高三下学期5月模拟）已知数列是公差不为0的等差数列,其前n项和为,,,,成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若,,求数列的前100项和．
【解析】（1）设数列的首项为,公差为,
根据题意得即
解得或．
又因,所以．所以的通项公式为．
（2）由（1）得．
即数列的偶数项是以4为首项,4为公差的等差数列,
奇数项是以为首项,16为公比的等比数列．
数列的前100项中偶数项有50项,奇数项有50项,
数列的前100项和．
,
．
所以．
【例3】（2024届湖南省长沙市第一中学高考最后一卷）若各项均为正数的数列满足（为常数）,则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”,且.
(1)求的通项公式；
(2)设,求数列的前项和.
【解析】（1）由为“比差等数列”,
得,从而.
设,则,
所以数列为等差数列.
因为,所以为常数列,
因此,,即,
所以是首项为,公比为的等比数列,因此.
（2）当为偶数时,
；
当为奇数时,.
综上,.
（三）型的分段数列
此类问题比较简单,求解时只需分n为偶数与奇数即可,求指定项时要注意区分该项在奇数项或偶数项中的位置,求和时要注意奇数项与偶数项的项数.
【例4】已知数列的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列.数列前项和为,且满足
(1)求；
(2)求数列的通项公式及数列的前2k项和;
(3)在数列中,是否存在连续的三项,按原来的顺序成等差数列 若存在,求出所有满足条件的正整数的值;若不存在,说明理由
【解析】（1）设等差数列的公差为,等比数列的公比为,
则,
因为,所以,即,
因为,所以,即,
解得,
所以；
（2）由（1）知,
所以对于,有,,
所以（）,
（3）在数列中,仅存在连续三项按原来的顺序成等差数列,此时正整数,
下面说明：
若,则由,得,
化简得,
此式左边是偶数,右边是奇数,不可能成立,
若,则由,得,化简得,
令,则,
所以,所以只有,此时,
综上,在数列中,仅存在连续三项按原来的顺序成等差数列,此时正整数.
（四）型的分段数列
求解此题问题,一般是由已知条件推出与（或与,与）的递推关系,再构造等差（比）数列求通项.
【例5】设数列满足：是的等比中项.
（1）求的值；
（2）求数列的前20项的和.
【解析】（1）由已知,,
又是的比例中项,所以,即,显然且,故解得；
（2）是奇数时,,,,而,
所以数列是等比数列,
．
（五）相邻项和（积）为等差（比）数列型的分段数列
1.若,则当时,,两式相减得,即数列与数列均是公差为的等差数列.
2.若,则,两式相除得,即数列与数列均是公比为的等比数列.
【例6】设数列的前n项和为,且．
（1）求；
（2）若对恒成立,求的取值范围．
【解析】（1）因为,当时,,
两式相减得,则,
两式相减得．
当时,,则；当时,,则,
所以.
（2）由（1）得．
要使对恒成立,则即解得,
所以的取值范围为.
（六）型的分段数列
求解此类问题,关键是确定分界点.
【例7】（2023年高考全国乙卷数学真题）记为等差数列的前项和,已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为,
由题意可得,即,解得,
所以,
（2）因为,
令,解得,且,
当时,则,可得；
当时,则,可得
；
综上所述：.
【例8】（2024届吉林省长春市东北师大附中高三第六次模拟）记集合无穷数列中存在有限项不为零,,对任意,设．定义运算若,则,且．
(1)设,用表示；
(2)若,证明：：
(3)若数列满足,数列满足,设,证明：．
【解析】（1）因为,所以,
所以,
根据多项式的乘法可得：．
（2）因为,
所以．
又,
所以,
所以
（3）对于,
因为,所以,
所以,
所以,
所以．
所以．
所以．
所以
(七)含或型的分段数列
求解含或型的分段数列问题,一般借助三角函数的周期性求解,求和时通常把一个周期内的项求和后,构造新数列求解.
【例9】（2024届山东潍坊高三三模）已知正项等差数列的公差为2,前项和为,且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
【解析】（1）因为,
所以,即,解得或,
又因为,所以,所以.
（2）,所以,
所以为奇数时,
,
为偶数时,
,
所以前项和.
(八)当时型的分段数列
求解此类问题的关键是判断在每个范围内数列项的个数.
【例10】已知数列是等差数列,其前和为,,,数列满足
(1)求数列,的通项公式；
(2)若对数列,,在与之间插入个2（）,组成一个新数列,求数列的前83项的和.
【解析】（1）设公差为,故,解得,
故,
故,①
当时,,
当时,,②
式子①-②得,,
即,当时,也满足上式,故；
（2）因为,所以在中,从项开始,到项为止,
共有项数为,
当时,,当时,,
故数列前项是项之后还有项为2,
.
【例11】（2023年天津高考数学真题）已知是等差数列,．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列,且对任意的,当时,则,
（Ⅰ）当时,求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
【解析】（1）由题意可得,解得,
则数列的通项公式为,
求和得
.
（2）(Ⅰ)由题意可知,当时,,
取,则,即,
当时,,
取,此时,
据此可得,
综上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：,
则数列的公比满足,
当时,,所以,
所以,即,
当时,,所以,
所以数列的通项公式为,
其前项和为：.
【例1】（2024届湖南省邵阳市高三第三次联考）已知数列,,函数,其中,均为实数．
(1)若,,,,,
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设数列的前项和为,求证：．
(2)若为奇函数,,,且,问：当时,是否存在整数,使得成立．若存在,求出的最大值；若不存在,请说明理由．（附：,）
【解析】（1）（ⅰ）,,
由,
得,解得,
又,
,
,是以2为公比,2为首项的等比数列．
．
（ⅱ）令,则,
．
显然,当时,是递增数列,在时,单调递减,
可得,．
．
（2）为奇函数,
．
,
又,,
,．
,
由得,．
,
,
,,
在上为增函数,
当时,,；
,
．
当时,．
时,,又,
当时,,．
又,的最大值为5．
【例2】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为等差数列,,记,分别为数列,的前n项和,,．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时,．
【解析】（1）设等差数列的公差为,而,
则,
于是,解得,,
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知,,,
当为偶数时,,
,
当时,,因此,
当为奇数时,,
当时,,因此,
所以当时,.
方法2：由（1）知,,,
当为偶数时,,
当时,,因此,
当为奇数时,若,则
,显然满足上式,因此当为奇数时,,
当时,,因此,
所以当时,.
【例3】（2024年天津高考数学真题）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．
(1)求数列前项和；
(2)设,．
（ⅰ）当时,求证：；
（ⅱ）求．
【解析】（1）设等比数列的公比为,
因为,即,
可得,整理得,解得或（舍去）,
所以.
（2）（i）由（1）可知,且,
当时,则,即
可知,
,
可得,
当且仅当时,等号成立,所以；
（ii）由（1）可知：,
若,则；若,则,
当时,,可知为等差数列,
可得,
所以,
且,符合上式,综上所述：.
【例4】（2021年新高考1卷数学真题）已知数列满足,
（1）记,写出,,并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【解析】（1）由题设可得
又,,故即即
所以为等差数列,故.
（2）设的前项和为,则,因为,所以
.
【例5】（2024届湖南长沙高三下学期三模）若各项均为正数的数列满足（为常数）,则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”,且.
(1)求的通项公式；
(2)设,求数列的前项和.
【解析】（1）由为“比差等数列”,
得,
从而.
设,则,
所以数列为等差数列.
因为,
所以为常数列,
因此,,即,
所以是首项为,公比为的等比数列,
因此.
（2）当为偶数时,
；
当为奇数时,.
综上,.
【例6】设是数列的前n项和,已知,
（1）证明：是等比数列；
（2）求满足的所有正整数n.
【解析】（1）由已知得,
所以,其中,,所以是以为首项,为公比的等比数列；
（2）由（1）知,所以,,
所以,所以
,当时,单调递减,其中,,,
所以满足的所有正整数n为1,2.
1.（2024届福建省厦门市高三第四次质量检测）设为数列的前项和,已知,且为等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若,求的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为,因为,
所以,即,
所以,即,
当时,,
当时,,满足上式,所以.
（2）由（1）知
则
所以数列的前项和为.
2．（2024届重庆市第八中学校高三下学期5月月考）已知数列满足,．
(1)求,,,并求证：；
(2)求数列的前2n项和．
【解析】（1）,,,
证明：,
,
即,,则,
故．
（2）由（1）可得：且,
所以数列是公比为2的等比数列,
故,解得：,,
故
所以
．
3．（2024届贵州省贵阳市第一中学等校高三下学期三模）已知正项数列的前项和为,且满足.试求:
(1)数列的通项公式;
(2)记,数列的前项和为,当时,求满足条件的最小整数.
【解析】（1）因为,当时,,
当时,,因为,
两式相减得,,因为,所以,
所以,均为等差数列,,．
所以；
（2）由题意得,,
所以,
因为,所以,
解得．所以满足条件的最小整数为9．
4．（2024届天津市武清区杨村第一中学高考热身练）已知数列是正项等比数列,是等差数列,且,
(1)求数列和的通项公式;
(2),求数列的前项和.
(3)表示不超过的最大整数,表示数列的前项和,集合共有4个元素,求范围;
【解析】（1）设等比数列的公比为,等差数列的公差为,
因为,
则,解得或（舍去）,
所以；.
（2）因为,,
设,
,
两式相减得
,
所以,
当n为奇数时,,
设
,
.
（3）由题意可知：,
其中,
所以,
集合,设,
则,
所以当时,,当时,．
计算可得,,,,,
因为集合有4个元素,．
5．（2024届天津市第一中学高三第五次月考）已知数列是等差数列,,,数列的前n项和为,且,
(1)求数列和的通项公式；
(2)若集合中恰有四个元素,求实数的取值范围；
(3)设数列满足,的前n项和为,证明：．
【解析】（1）设等差数列的公差为,
由题意可得：,解得,
所以；又因为,
若,可得,解得；若,可得,
两式相减得,即；
可知数列是以首项,公比的等比数列,所以.
（2）由（1）可知：,
若,即,可得,
设,原题意等价于关于n的不等式恰有4个不同的解,
令,
当且仅当时,等号成立,
可得,且,则,
所以实数的取值范围为.
（3）由题意可知：,则,
则,
因为,则,即,可得,
则；
又因为,则,可得,
则；
综上所述：.
6．（2024届山西省高考三模）已知等差数列的公差,前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式；
(2)若,求数列的前项和.
【解析】（1）因为,,
所以,解得或,
因为,所以,则；
（2）由（1）可得,
所以
.
7．（2024届福建省厦门市高三第二次质检）已知为等差数列的前n项和,,,.
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前n项和,若,求n的最小值.
【解析】（1）设数列的公差为d,
依题意,, 即,解得,
所以的通项公式是.
（2）由（1）知,所以,
,
恒成立,
令,
由,由于,所以.
所以
所以的最小值为4.
8．（2024届天津市十二区重点学校高三下学期联考）设是等差数列,其前项和,是等比数列,且,,.
(1)求与的通项公式；
(2)设,求数列的前项和；
(3)若对于任意的不等式恒成立,求实数的取值范围.
【解析】（1）设等差数列的公差为,等比数列的公比为,
由,,又,,,
由,,又,,,
,,
即,．
（2）当为奇数时,,
记,则有
,
,
得：
,
,
,
当为偶数时,,
记,
,
．
（3）由与恒成立,
可得恒成立,
恒成立,即求的最大值,
设,
,
单调递增,
又,
,
．
9．（2024届山东省烟台市高三二模）已知是公差不为0的等差数列,其前4项和为16,且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设,求数列的前项和.
【解析】（1）设的公差为,由题意知,即,
即有,因为,可得,,
所以；
（2）设数列的前项中的奇数项之和为,偶数项之和为,
则
,
,
所以．
10．已知等差数列的前项和为,.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）时,,
时,,
又,
所以；
（2）由（1）,
当时,,
当时,
,
.
11．已知的前项和是,且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前项和．
【解析】（1）由①得,当时,②,
联立①②得,
所以有,
因为,所以．
（2）设数列的前项中的奇数项之和为,偶数项之和为,
由（1）知
则,
,
综上：．
12．已知正项数列的前项和为,且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若的前项和为,求.
【解析】（1）因为①,时,②,
①-②整理得,
数列是正项数列,,
当时,,
,数列是以1为首项,2为公差的等差数列,
；
（2）由题意知,设的前项中奇数项的和为,偶数项的和为,
,
,
.
13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1＝－9,a2为整数,且a5≤0,a6≥0.
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 设b1＝,bn＋1＝(n∈N*),求{bn}的前n项和Tn.
【解析】 设{an}的公差为d,由题意得
所以≤d≤.因为a2∈Z,所以d＝2,
所以an＝2n－11.
(2) 设b1＝,bn＋1＝(n∈N*),求{bn}的前n项和Tn.
由题可知,当n为偶数时,bn＋bn＋1＝(－2)n＝2n.
①当n为奇数(n≥3)时,Tn＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(bn－1＋bn)＝b1＋22＋24＋…＋2n－1＝＋＝.
当n＝1时也符合上式．
②当n为偶数时, Tn＝Tn－1＋bn＝＋an－1＝＋2n－13.
所以Tn＝
14.（2020天津高考真题）已知为等差数列,为等比数列,．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数,设求数列的前项和．
【解析】(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为q.
由,,可得d=1.
从而的通项公式为.
由,
又q≠0,可得,解得q=2,
从而的通项公式为.
(2)当n为奇数时,,
当n为偶数时,,
对任意的正整数n,有,
和 ①
由①得 ②
由①②得,
由于,
从而得：.
因此,.
所以,数列的前2n项和为.
15.（2024届广东省广州实验中学校考）已知数列满足,且的前100项和
(1)求的首项；
(2)记,数列的前项和为,求证：.
【解析】（1）当为奇数时,；
则偶数项构成以为公差的等差数列,
所以当为偶数时,；
当为偶数时,,
则奇数项构成以1为公差的等差数列,
所以当为奇数时,,
则,又,
所以,
解得,.
（2）由（1）得,,,,
当时,,
∴,
综上,知.
16．（2024云南省昆明市五华区高三上学期第五次检测数学试题）已知数列满足,数列满足．
(1)求,的值及数列的通项公式；
(2)若（,）,求的取值范围；
(3)在数列中,是否存在正整数,,使,,（,,）构成等比数列？若存在,求符合条件的一组的值,若不存在,请说明理由．
【解析】（1）由已知得：,
．
因为,,所以,
而,所以是以1为首项,2为公差的等差数列,
所以数列的通项公式为．
（2）不等式化为：,
设,
则,
所以在上单调递增,
所以,因为在上恒成立,
所以,
所以的取值范围为．
（3）若,,（,,）构成等比数列,
则,即：,
所以,
由于,均为正整数,所以奇数必须是完全平方数,
又因为,所以,
则为奇数的平方,不妨取,,
所以,当时,,,即：,不满足题意,舍去；
当时,,,即：,,不满足题意,舍去；
当时,,,即：,.
所以符合条件的一组的值可以是．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题4 分段数列
新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,由于分段数列问题大多涉及分类讨论思想,对能力要求更高,作为压轴题出现的频率更高,本专题总结分段数列的常见类型及求解,供大家参考.
（一）分段数列求通项
分段数列求通项,关键是确定n在不同范围内取值时与的关系,恰当进行分类是求解的难点.
【例1】（2024届四川省成都石室中学高三下学期适应性考试）已知数列满足 当时,
(1)求和,并证明当为偶数时是等比数列；
(2)求及.
【解析】（1）因为 当时,,
所以,.
,,又,
当为偶数时,是以为首项,以为公比的等比数列；
（2）由（1）知,,
设,则 为偶数时,
当为奇数时,
；
设,为奇数时,,
所以.
.
（二）分段数列求和
对于分段数列求和,一般数列分几段,求和时也分几段,对于型的数列求和,一定要注意若为偶数,则奇数项与偶数项各有项,若n为奇数,则奇数项有项,偶数项有,若是公差为的等差数列,则的奇数项是公差为的等差数列,若是公比为的等比数列,则的偶数项是公比为的等比数列.
【例2】（2024届广东省名校教研联盟高三下学期5月模拟）已知数列是公差不为0的等差数列,其前n项和为,,,,成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若,,求数列的前100项和．
【解析】（1）设数列的首项为,公差为,
根据题意得即
解得或．
又因,所以．所以的通项公式为．
（2）由（1）得．
即数列的偶数项是以4为首项,4为公差的等差数列,
奇数项是以为首项,16为公比的等比数列．
数列的前100项中偶数项有50项,奇数项有50项,
数列的前100项和．
,
．
所以．
【例3】（2024届湖南省长沙市第一中学高考最后一卷）若各项均为正数的数列满足（为常数）,则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”,且.
(1)求的通项公式；
(2)设,求数列的前项和.
【解析】（1）由为“比差等数列”,
得,从而.
设,则,
所以数列为等差数列.
因为,所以为常数列,
因此,,即,
所以是首项为,公比为的等比数列,因此.
（2）当为偶数时,
；
当为奇数时,.
综上,.
（三）型的分段数列
此类问题比较简单,求解时只需分n为偶数与奇数即可,求指定项时要注意区分该项在奇数项或偶数项中的位置,求和时要注意奇数项与偶数项的项数.
【例4】已知数列的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列.数列前项和为,且满足
(1)求；
(2)求数列的通项公式及数列的前2k项和;
(3)在数列中,是否存在连续的三项,按原来的顺序成等差数列 若存在,求出所有满足条件的正整数的值;若不存在,说明理由
【解析】（1）设等差数列的公差为,等比数列的公比为,
则,
因为,所以,即,
因为,所以,即,
解得,
所以；
（2）由（1）知,
所以对于,有,,
所以（）,
（3）在数列中,仅存在连续三项按原来的顺序成等差数列,此时正整数,
下面说明：
若,则由,得,
化简得,
此式左边是偶数,右边是奇数,不可能成立,
若,则由,得,化简得,
令,则,
所以,所以只有,此时,
综上,在数列中,仅存在连续三项按原来的顺序成等差数列,此时正整数.
（四）型的分段数列
求解此题问题,一般是由已知条件推出与（或与,与）的递推关系,再构造等差（比）数列求通项.
【例5】设数列满足：是的等比中项.
（1）求的值；
（2）求数列的前20项的和.
【解析】（1）由已知,,
又是的比例中项,所以,即,显然且,故解得；
（2）是奇数时,,,,而,
所以数列是等比数列,
．
（五）相邻项和（积）为等差（比）数列型的分段数列
1.若,则当时,,两式相减得,即数列与数列均是公差为的等差数列.
2.若,则,两式相除得,即数列与数列均是公比为的等比数列.
【例6】设数列的前n项和为,且．
（1）求；
（2）若对恒成立,求的取值范围．
【解析】（1）因为,当时,,
两式相减得,则,
两式相减得．
当时,,则；当时,,则,
所以.
（2）由（1）得．
要使对恒成立,则即解得,
所以的取值范围为.
（六）型的分段数列
求解此类问题,关键是确定分界点.
【例7】（2023年高考全国乙卷数学真题）记为等差数列的前项和,已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为,
由题意可得,即,解得,
所以,
（2）因为,
令,解得,且,
当时,则,可得；
当时,则,可得
；
综上所述：.
【例8】（2024届吉林省长春市东北师大附中高三第六次模拟）记集合无穷数列中存在有限项不为零,,对任意,设．定义运算若,则,且．
(1)设,用表示；
(2)若,证明：：
(3)若数列满足,数列满足,设,证明：．
【解析】（1）因为,所以,
所以,
根据多项式的乘法可得：．
（2）因为,
所以．
又,
所以,
所以
（3）对于,
因为,所以,
所以,
所以,
所以．
所以．
所以．
所以
(七)含或型的分段数列
求解含或型的分段数列问题,一般借助三角函数的周期性求解,求和时通常把一个周期内的项求和后,构造新数列求解.
【例9】（2024届山东潍坊高三三模）已知正项等差数列的公差为2,前项和为,且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
【解析】（1）因为,
所以,即,解得或,
又因为,所以,所以.
（2）,所以,
所以为奇数时,
,
为偶数时,
,
所以前项和.
(八)当时型的分段数列
求解此类问题的关键是判断在每个范围内数列项的个数.
【例10】已知数列是等差数列,其前和为,,,数列满足
(1)求数列,的通项公式；
(2)若对数列,,在与之间插入个2（）,组成一个新数列,求数列的前83项的和.
【解析】（1）设公差为,故,解得,
故,
故,①
当时,,
当时,,②
式子①-②得,,
即,当时,也满足上式,故；
（2）因为,所以在中,从项开始,到项为止,
共有项数为,
当时,,当时,,
故数列前项是项之后还有项为2,
.
【例11】（2023年天津高考数学真题）已知是等差数列,．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列,且对任意的,当时,则,
（Ⅰ）当时,求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
【解析】（1）由题意可得,解得,
则数列的通项公式为,
求和得
.
（2）(Ⅰ)由题意可知,当时,,
取,则,即,
当时,,
取,此时,
据此可得,
综上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：,
则数列的公比满足,
当时,,所以,
所以,即,
当时,,所以,
所以数列的通项公式为,
其前项和为：.
【例1】（2024届湖南省邵阳市高三第三次联考）已知数列,,函数,其中,均为实数．
(1)若,,,,,
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设数列的前项和为,求证：．
(2)若为奇函数,,,且,问：当时,是否存在整数,使得成立．若存在,求出的最大值；若不存在,请说明理由．（附：,）
【解析】（1）（ⅰ）,,
由,
得,解得,
又,
,
,是以2为公比,2为首项的等比数列．
．
（ⅱ）令,则,
．
显然,当时,是递增数列,在时,单调递减,
可得,．
．
（2）为奇函数,
．
,
又,,
,．
,
由得,．
,
,
,,
在上为增函数,
当时,,；
,
．
当时,．
时,,又,
当时,,．
又,的最大值为5．
【例2】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为等差数列,,记,分别为数列,的前n项和,,．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时,．
【解析】（1）设等差数列的公差为,而,
则,
于是,解得,,
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知,,,
当为偶数时,,
,
当时,,因此,
当为奇数时,,
当时,,因此,
所以当时,.
方法2：由（1）知,,,
当为偶数时,,
当时,,因此,
当为奇数时,若,则
,显然满足上式,因此当为奇数时,,
当时,,因此,
所以当时,.
【例3】（2024年天津高考数学真题）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．
(1)求数列前项和；
(2)设,．
（ⅰ）当时,求证：；
（ⅱ）求．
【解析】（1）设等比数列的公比为,
因为,即,
可得,整理得,解得或（舍去）,
所以.
（2）（i）由（1）可知,且,
当时,则,即
可知,
,
可得,
当且仅当时,等号成立,所以；
（ii）由（1）可知：,
若,则；若,则,
当时,,可知为等差数列,
可得,
所以,
且,符合上式,综上所述：.
【例4】（2021年新高考1卷数学真题）已知数列满足,
（1）记,写出,,并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【解析】（1）由题设可得
又,,故即即
所以为等差数列,故.
（2）设的前项和为,则,因为,所以
.
【例5】（2024届湖南长沙高三下学期三模）若各项均为正数的数列满足（为常数）,则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”,且.
(1)求的通项公式；
(2)设,求数列的前项和.
【解析】（1）由为“比差等数列”,
得,
从而.
设,则,
所以数列为等差数列.
因为,
所以为常数列,
因此,,即,
所以是首项为,公比为的等比数列,
因此.
（2）当为偶数时,
；
当为奇数时,.
综上,.
【例6】设是数列的前n项和,已知,
（1）证明：是等比数列；
（2）求满足的所有正整数n.
【解析】（1）由已知得,
所以,其中,,所以是以为首项,为公比的等比数列；
（2）由（1）知,所以,,
所以,所以
,当时,单调递减,其中,,,
所以满足的所有正整数n为1,2.
1.（2024届福建省厦门市高三第四次质量检测）设为数列的前项和,已知,且为等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若,求的前项和.
2．（2024届重庆市第八中学校高三下学期5月月考）已知数列满足,．
(1)求,,,并求证：；
(2)求数列的前2n项和．
3．（2024届贵州省贵阳市第一中学等校高三下学期三模）已知正项数列的前项和为,且满足.试求:
(1)数列的通项公式;
(2)记,数列的前项和为,当时,求满足条件的最小整数.
4．（2024届天津市武清区杨村第一中学高考热身练）已知数列是正项等比数列,是等差数列,且,
(1)求数列和的通项公式;
(2),求数列的前项和.
(3)表示不超过的最大整数,表示数列的前项和,集合共有4个元素,求范围;
5．（2024届天津市第一中学高三第五次月考）已知数列是等差数列,,,数列的前n项和为,且,
(1)求数列和的通项公式；
(2)若集合中恰有四个元素,求实数的取值范围；
(3)设数列满足,的前n项和为,证明：．
6．（2024届山西省高考三模）已知等差数列的公差,前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式；
(2)若,求数列的前项和.
7．（2024届福建省厦门市高三第二次质检）已知为等差数列的前n项和,,,.
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前n项和,若,求n的最小值.
8．（2024届天津市十二区重点学校高三下学期联考）设是等差数列,其前项和,是等比数列,且,,.
(1)求与的通项公式；
(2)设,求数列的前项和；
(3)若对于任意的不等式恒成立,求实数的取值范围.
9．（2024届山东省烟台市高三二模）已知是公差不为0的等差数列,其前4项和为16,且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设,求数列的前项和.
10．已知等差数列的前项和为,.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
11．已知的前项和是,且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前项和．
12．已知正项数列的前项和为,且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若的前项和为,求.
13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1＝－9,a2为整数,且a5≤0,a6≥0.
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 设b1＝,bn＋1＝(n∈N*),求{bn}的前n项和Tn.
14.（2020天津高考真题）已知为等差数列,为等比数列,．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数,设求数列的前项和．
15.（2024届广东省广州实验中学校考）已知数列满足,且的前100项和
(1)求的首项；
(2)记,数列的前项和为,求证：.
16．（2024云南省昆明市五华区高三上学期第五次检测数学试题）已知数列满足,数列满足．
(1)求,的值及数列的通项公式；
(2)若（,）,求的取值范围；
(3)在数列中,是否存在正整数,,使,,（,,）构成等比数列？若存在,求符合条件的一组的值,若不存在,请说明理由．
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