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板块八 分类讨论求角
典 例 精 讲
题型一 按照点的不同位置关系分类讨论
【例1】 已知 点 P 在直线AD 上,E 为CD 上一点.
(1)如图1,当点 P 在线段AD 延长线上时,求证:∠PEC--∠APE=130°;
(2)如图2,当点 P 在射线DA 上运动时(不与点 A,D重合),求∠APE与 PEC之间的数量关系.
题型二 按照线的不同位置关系分类讨论
【例2】 如图，已知直线 直线GF 分别交直线AB,CD于E,F 两点, 点 M 为直线EF 左侧一点，且. 则
题型三 分类讨论求角之间的关系
【例3】 将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起(如图①)，其中∠A=30°，∠B=60°,∠D=∠E=45°.
(1)猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
(2)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究CE∥AB时∠BCD等于多少度，并简要说明理由.
【例4】 如图,已知AB∥CD,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC.
(1)求证:BE⊥DE;
(2)H是直线CD上一动点(不与点 D 重合),BI平分∠HBD交CD 于点I,在图2或备用图中，请你画出图形，并猜想∠EBI与∠BHD的数量关系，且说明理由.
针 对 训 练
1.如果两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的两倍少 30°，则这两个角的度数分别是
2.如图,已知直线AB∥射线CD,∠CEB=100°. P 是射线EB 上一动点,过点P作PQ∥EC交射线CD于点Q,连接CP.作∠PCF=∠PCQ,交直线AB于点F,CG平分∠ECF.在点 P 的运动过程中，是否存在这样的情形，使 若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由.
3.(1)如图1,F 是OC 边上一点,求证:
(2)如图2, OC平分 ,点 D,E 在射线OA,OC 上,点 P 是射线OB 上的一个动点，连接 DP 交射线OC 于点 F，设 若 是否存在这样的x的值，使得 若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.
板块八 分类讨论求角
典 例 精 讲
题型一 按照点的不同位置关系分类讨论
【例1】 已知AB∥CD,∠BAD=50°,点 P 在直线AD上,E为CD上一点.
(1)如图1,当点 P在线段AD 延长线上时,求证:∠PEC-∠APE=130°;
【解答】在点 P 左侧作PF∥AB.∵AB∥CD,∴PF∥AB∥CD.
∴∠APF=∠BAD=50°.设∠APE=x,则.
(2)如图2,当点 P 在射线DA 上运动时(不与点A,D重合),求∠APE与∠PEC之间的数量关系.
【解答】①当点 P 在线段AD 上时,在点 P 左侧作PF∥AB,
易得PF∥AB∥CD.设∠APE=x,则∠EPF=x-50°,
②当点 P 在线段DA 延长线上时,在点 P 右侧作PF∥AB,
易得PF∥AB∥CD,∠APF=∠BAD=50°,设∠APE=x,
则∠FPE=∠PEC=∠APF+∠APE=50°+x,
故∠APE+∠PEC=230°或∠PEC-∠APE=50°.
题型二 按照线的不同位置关系分类讨论
【例2】 如图,已知直线AB∥CD,直线GF分别交直线AB,CD于E,F两点,∠GEB=70°,点 M为直线EF 左侧一点,且∠BEM=150°,∠EMF=30°,则∠GFM= 50°或110° .
【解答】当点 M在AB 上方时,在点 E上方作EN∥FM,则∠GFM=∠GEN,∠NEM=∠EMF=30°,∠GEM=∠BEM-∠GEB=80°,∴∠GFM=∠GEN=80°-30°=50°;
当点M在AB 下方时,在点 E左侧作EN∥FM,则∠GFM+∠NEF=180°,∠EMF=∠NEM=30°,∠BEF=180°-∠GEB=110°,∠MEF=∠BEM-∠BEF=40°,∴∠NEF=∠MEF+∠NEM=70°, 故∠GFM=50°或110°.
题型三 分类讨论求角之间的关系
【例3】 将一副三角板中的两个直角顶点 C叠放在一起(如图①)，其中 60°,∠D=∠E=45°.
(1)猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
(2)若按住三角板ABC不动，绕顶点 C转动三角板DCE，试探究( 时 等于多少度，并简要说明理由.
【解答】(1)∠BCD+∠ACE=180°,理由如下:
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD,
∴∠ 0°;
(2)当 CE 运动到AC 右侧,BC上方时,
∵当AB∥CE,∴∠BCE=180°-∠B=120°,
又∵∠DCE=90°,∴∠BCD=360°-120°-90°=150°;
当CE运动到BC 下方时,∵AB∥CE,∴∠BCE=∠B=60°,
又∵∠DCE=90°,∴∠BCD=90°-60°=30°.
综上所述,当CE∥AB时,∠BCD等于150°或30°.
【例4】 如图,已知AB∥CD,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC.
(1)求证:BE⊥DE;
(2)H是直线CD上一动点(不与点 D重合),BI平分∠HBD交CD 于点I,在图2或备用图中，请你画出图形，并猜想∠EBI与∠BHD的数量关系，且说明理由.
【分析】(1)根据基本图作辅助线即可得到 BE⊥DE；
(2)分点H 在点D 的左边和右边两种情况，表示出∠ABH 和∠EBI，从而得解.
【解答】(1)证明:在点 E右侧作EF∥AB.
∵AB∥CD,EF∥AB,∴EF∥CD,∴∠FED=∠EDC.∵EF∥AB,∴∠ABE=∠BEF,∵AB∥CD,
∴∠ABD+∠CDB=180°,∵BE平分∠ABD,DE平分,
∴∠BEF+∠FED=90°,∴BE⊥DE;
(2)∠BHD=2∠EBI或.
理由:∵BE平分∠ABD,∴∠ABD=2∠EBD,∵BI平分∠HBD,∴∠HBD=2∠IBD,①点H 在点D 的左边时,∠ABH=∠ABD-∠HBD=2∠EBD-2∠IBD,∠EBI=∠EBD-∠IBD,∴∠ABH=2∠EBI.∵AB∥CD,∴∠BHD=∠ABH,∴∠BHD=2∠EBI;
②点H 在点D 的右边时,∠ABH=∠ABD+∠HBD=2∠EBD+2∠IBD,∠EBI=∠EBD+∠IBD,∴∠ABH=2∠EBI.∵AB∥CD,∴∠BHD=180°-∠ABH.∴∠BHD=180°-2∠EBI.
综上所述,∠BHD=2∠EBI或.
针 对 训 练
1.如果两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的两倍少 30°，则这两个角的度数分别是 30°,30°或70°,110° .
【解答】设这两个角为x,2x-30°,则x=2x-30°或. ,解得x=30°或70°,x=30°时, 时， 故这两个角的度数为30°,30°或70°,110°.
2.如图,已知直线AB∥射线CD,∠CEB=100°. P 是射线EB 上一动点,过点 P作PQ∥EC交射线CD于点Q,连接CP.作∠PCF=∠PCQ,交直线AB于点F,CG平分∠ECF.在点 P 的运动过程中，是否存在这样的情形，使 若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由.
【解答】存在.设∠EGC=3x,∠EFC=2x,则∠GCF=3x-2x=x,
①当点G,F在点E 的右侧时,则∠ECG=∠PCF=∠PCD=x,
,解得x=20°,∴∠CPQ=3x=60°;
②当点G,F在点E 的左侧时,则∠ECG=∠GCF=x,可得∠
解得x=25°,∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=50°+80°=130°,
∴∠FCP= ∠FCQ=65°,∴∠CPQ=∠ECP=65°-50°=15°.
故∠CPQ=60°或15°.
3.(1)如图1,F是OC 边上一点,求证:∠AFC=∠AOC+∠OAF;
(2)如图2,∠AOB=40°,OC平分∠AOB,点 D,E在射线OA,OC上,点 P 是射线OB 上的一个动点,连接 DP 交射线OC 于点 F,设. 若DE⊥OA，是否存在这样的x 的值，使得∠EFD=4∠EDF 若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.
【解答】(1)在点 F 上方作FN∥OA,则∠NFC=∠AOC,∠AFN=∠OAF,易得∠AFC=∠AOC+∠OAF;
(2)存在这样的x的值,使得∠EFD=4∠EDF.分两种情况:
①如图2,若DP在DE 左侧,∵DE⊥OA,∴∠EDF=90°-x°,
∵∠AOC=20°,∴∠EFD=20°+x°,当∠EFD=4∠EDF时, 解得x=68;
②如备用图,若DP在DE 右侧,∠EDF=x°-90°,∠DFC=20°+x°,∠EFD=180°-20°-x°= .当∠EFD=4∠EDF 时, 解得x=104;
综上所述,当x=68或104时,∠EFD=4∠EDF.

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