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10.1二元一次方程组的概念
一、单选题
1．下列方程是二元一次方程的是（　　）
A．x2﹣2x＝0 B．x+2y＝1 C．x﹣y+z＝0 D．2x﹣3＝4+x
2．下列方程组中是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
3．黑板上，老师要求嘉嘉和淇淇各写出一个二元一次方程：嘉嘉：xy＝1；淇淇：，对于两人所写的结果，下列说法正确的是（　　）
A．嘉嘉对 B．淇淇对
C．两人均对 D．两人均不对
4．下列4组数中，是二元一次方程2x+y＝4的解是（　　）
A． B． C． D．
5．已知关于x、y的二元一次方程2x+y＝k的解是，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若关于x、y的二元一次方程x+2y＝2a﹣1的一组解为x＝3，y＝1，则a的值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
7．若方程（a+1）x+3y|a|＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．±1 C．±2 D．1
8．方程2x+3y＝9的非负整数解有（　　）
A．无数个 B．2个 C．1个 D．0个
9．已知关于x，y的二元一次方程2x﹣3y＝t，其取值如下表，则p的值为（　　）
x m m+2
y n n﹣3
t 5 p
A．17 B．18 C．19 D．20
10．若关于x、y的方程组的解满足x+y＝2023，则k等于（　　）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
二、填空题
11．若x|2m﹣3|+（m﹣2）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的立方根是　 　
12．若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则3a﹣2b+2025的值为 　 　．
13．二元一次方程2x+3y＝16的自然数解有 　 　个．
14．和都是方程y＝kx+b的解，则k＝　 　．
15．若关于x，y的方程组的解中x与y互为相反数，则m＝　 　．
三、解答题
16．已知是关于x，y的二元一次方程3x+ay＝14的一组解．
（1）求a的值；
（2）请用含有x的代数式表示y．
17．定义：二元一次方程y＝ax+b与二元一次方程y＝bx+a互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程y＝2x+1与二元一次方程y＝x+2互为“反对称二元一次方程”．
（1）直接写出二元一次方程y＝4x﹣1的“反对称二元一次方程”：　 　．
（2）二元一次方程y＝3x+5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值．
18．已知关于x，y的二元一次方程kx+y＝3﹣k，k是不为零的常数．
（1）如果 是该方程的一个解，求k的值；
（2）当k每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程都有一组公共的解，试求出这个公共解．
19．已知二元一次方程5x+3y＝18．
（1）把方程写成用含x的代数式表示y的形式；
（2）填表，使x、y的值是方程5x+3y＝18的解；
x 0 1 2 3 4
y 6 　　 　　 　 　
（3）根据表格，请直接写出方程的非负整数解．
20．若关于x、y的二元一次方程变形为y＝ax+b的形式（a、b是常数，a≠0），则其中一对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为（a，b）．例如二元一次方程3x﹣2y＝1变形为，则二元一次方程3x﹣2y＝1的“相伴系数对”为（，﹣）．
（1）二元一次方程x+3y＝0的“相伴系数对”为 　 　；
（2）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为（2k，k+3），写出这个二元一次方程；
（3）关于x、y的二元一次方程（m2+n2）x﹣2y+2mn＝0，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求m+n的值．
答案
一、单选题
1．
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都为1的方程即为二元一次方程，据此进行判断即可．
【解答】解：A．x2﹣2x＝0，未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．x+2y＝1，符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意；
C．x﹣y+z＝0，含有三个未知数，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．2x﹣3＝4+x是一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．
【分析】依据二元一次方程组的定义求解即可．
【解答】解：A、该方程组中共有3个未知数，属于三元一次方程组，故本选项错误；
B、该方程组不是整式方程组，故本选项错误；
C、该方程组中第一个方程的最高次数是2，属于二元二次方程组，故本选项错误；
D、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项正确．
故选：D．
3．
【分析】含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数是1，这样的整式方程是二元一次方程，根据定义判断即可．
【解答】解：xy＝1含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，
∴嘉嘉写的方程不对；
不是整式方程，不是二元一次方程，
∴淇淇写的方程不对，
故选：D．
4．
【分析】根据二元一次方程组解的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A．二元一次方程2x+y＝4当x＝2时，y＝0，因此选项A不符合题意；
B．二元一次方程2x+y＝4当x＝1时，y＝2，因此选项B不符合题意；
C．二元一次方程2x+y＝4当x＝0.5时，y＝3，因此选项C符合题意；
D．二元一次方程2x+y＝4当x＝﹣2时，y＝8，因此选项D不符合题意．
故选：C．
5．
【分析】直接把代入到方程2x+y＝k中得到关于k的方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程2x+y＝k的解是，
∴2×2+（﹣1）＝k，
解得k＝3．
故选：C．
6．
【分析】先把x＝3，y＝1代入关于x、y的二元一次方程x+2y＝2a﹣1，得到关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：把x＝3，y＝1代入关于x、y的二元一次方程x+2y＝2a﹣1得：
2a﹣1＝3+2×1，
2a﹣1＝5，
2a＝6，
a＝3，
故选：A．
7．
【分析】先根据二元一次方程的定义得出关于a的不等式和方程，求出a的值即可．
【解答】解：∵方程（a+1）x+3y|a|＝1是关于x，y的二元一次方程，
∴a+1≠0且|a|＝1，
解得a＝1．
故选：D．
8．
【分析】由2x+3y＝9，可得出y＝3﹣x，结合x，y均为非负整数，即可得出方程2x+3y＝9的非负整数解有2个．
【解答】解：∵2x+3y＝9，
∴y＝3﹣x，
∵x，y均为非负整数，
∴或，
∴方程2x+3y＝9的非负整数解有2个．
故选：B．
9．
【分析】将表格中的数据代入方程列出关系式，计算即可求出p的值．
【解答】解：根据题意得2m﹣3n＝5，2（m+2）﹣3（n﹣3）＝p，
∴2（m+2）﹣3（n﹣3）＝2m﹣3n+13＝5+13＝18，
∴p＝18．
故选：B．
10．
【分析】让方程组中的两个方程直接相加得到5x+5y＝5k﹣5，化简得x+y＝k﹣1，结合已知即可求出k的值．
【解答】解：，
①+②得，5x+5y＝5k﹣5，
即x+y＝k﹣1，
因为x+y＝2023，
所以k﹣1＝2023，
所以k＝2024，
故选：D．
二、填空题
11．
【分析】根据二元一次方程的定义列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，|2m﹣3|＝1且m﹣2≠0，
所以，2m﹣3＝1或2m﹣3＝﹣1且m≠2，
解得m＝2或m＝1且m≠2，
所以m＝1．
所以m的立方根是1，
故答案为：1
12．
【分析】先将方程的解代入方程ax+by＝﹣1，求出3a﹣2b＝﹣1，再整体代入求值即可．
【解答】解：将代入方程ax+by＝﹣1可得，3a﹣2b＝﹣1，
∴原式＝﹣1+2025
＝2024；
故答案为：2024．
13．
【分析】要求二元一次方程2x+3y＝16的自然数解，首先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，分析解的情况即可．
【解答】解：由已知得，
∵x，y都是自然数，
∴且16﹣3y是2的倍数，
解不等式组得：，
∵y是自然数，16﹣3y是2的倍数，
∴y是偶数，
∴y＝0、2、4，
∴或或，共有3个解．
故答案为：3．
14．
【分析】将和分别代入方程y＝kx+b，得到关于k和b的二元一次方程组，求解即可．
【解答】解：将和分别代入方程y＝kx+b，
得，
解得．
故答案为：．
15．
【分析】先根据已知条件和互为相反数的和为0，求出x+y＝0，然后把已知方程组中的两个方程相加，得到关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：∵关于x，y的方程组的解中x与y互为相反数，
∴x+y＝0，
，
①+②得：7x+7y＝2m﹣4，
7（x+y）＝2m﹣4，
∴2m﹣4＝0，
2m＝4，
∴m＝2，
故答案为：2．
三、解答题
16．解：（1）∵是关于x，y的二元一次方程3x+ay＝14的一组解，
∴3×2+4a＝14，
解得a＝2；
（2）∵a＝2，
∴原方程可变为3x+2y＝14，
．
17．解：（1）由题知，二元一次方程y＝4x﹣1的“反对称二元一次方程”是y＝﹣x+4，
故答案为：y＝﹣x+4．
（2）二元一次方程y＝3x+5的“反对称二元一次方程”是y＝5x+3，
又∵二元一次方程y＝3x+5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，
∴，
解得，
∴m＝1，n＝8．
18．解：（1）把代入二元一次方程kx+y＝3﹣k中，得
2k﹣3＝3﹣k，
解得k＝2；
（2）原方程可化为k（x+1）+y＝3，
当x+1＝0时，无论k取任何一个不为零的值时，都有y＝3，
此时x＝﹣1，
即这个公共解是．
19．解：（1）5x+3y＝18，
得3y＝18﹣5x，
所以；
（2）将x的值1，3，4分别代入中得到y的值分别为：，1，；
∴填表如下：
x 0 1 2 3 4
y 6 1
故答案为：，1，；
（3）由上表可知：方程的非负整数解为：或．
20．解：（1）∵x+3y＝0，
∴3y＝﹣x，
∴，
∴二元一次方程x+3y＝0的“相伴系数对”为，
故答案为：；
（2）∵方程的“相伴系数对”为（2k，k+3），
∴该方程为y＝2kx+k+3，
∵是该方程的一个解，
∴6k+k+3＝﹣11，
解得k＝﹣2，
∴y＝﹣4x+1，
即4x+y＝1；
（3）将关于x、y的二元一次方程（m2+n2）x﹣2y+2mn＝0变形为，
∴“相伴系数对”为，
∵该方程的“相伴系数对”之和为2，
∴，
∴m2+n2+2mn＝4，
∴（m+n）2＝4，
∴m+n＝±2．

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