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培优提升四　多物体组成的系统机械能守恒问题
(分值：100分)
选择题1～10题，每小题8分，共80分。
对点题组练
题组一　非质点类物体的机械能守恒
1.如图所示，一个质量为m、质量分布均匀的细链条长为L，置于光滑水平桌面上，用手按住一端，使长部分垂在桌面下(桌面高度大于链条长度，重力加速度为g)。现将链条由静止释放，则其上端刚离开桌面时链条的动能为(　　)
0 mgL
mgL mgL
2.如图所示，匀质铁链质量为m，长度为L，现使其放在倾角为30°的光滑斜面上，其余部分竖直下垂。若由静止释放使铁链自由运动，则铁链下滑至整条铁链刚好全部离开斜面时，铁链的速度为(　　)
3.如图，总长为l、质量为m的均匀软绳对称地挂在轻质小滑轮上，用细线将质量也为m的物块与软绳连接。将物块由静止释放，直到软绳刚好全部离开滑轮，不计一切摩擦，重力加速度为g，则(　　)
刚释放时细线的拉力大小为mg
该过程中物块的机械能减少了mgl
该过程中软绳的重力势能减少了mgl
软绳离开滑轮时速度大小为
题组二　多物体组成的系统机械能守恒
4.(多选)如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根轻质细杆连接，两小球可绕过轻杆中心的水平轴无摩擦转动，现让轻杆处于水平位置，静止释放小球后，重球b向下转动，轻球a向上转动，在转过90°的过程中，以下说法正确的是(　　)
b球的重力势能减少，动能增加
a球的重力势能增加，动能减少
a球和b球的机械能总和保持不变
a球和b球的机械能总和不断减小
5.(多选)如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两中心有孔的相同小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一不可伸长的细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在N球碰到A点前的运动过程中，下列说法中正确的是(　　)
M球的机械能守恒
M球的机械能减少
M球和N球组成的系统的机械能守恒
绳的拉力对N球做负功
6.如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接，跨过固定在水平地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放(A落地时，立即烧断细线)，B上升的最大高度是(　　)
2R
7.如图所示，质量为m和3m的小球A和B，系在长为L的细线两端，桌面水平光滑，高为h(h＜L)，重力加速度为g，B球无初速度从桌边滑下，落在沙地上静止不动，则A球离开桌边的速度为(　　)
综合提升练
8.(多选)如图所示，倾角θ＝37°的斜面固定在水平地面上，物块P和Q通过不可伸长的轻绳连接并跨过轻质定滑轮，轻绳与斜面平行。已知P的质量mP＝3 kg，开始时两物块均静止，P距地面高度H＝1 m，Q与定滑轮间的距离足够大。现将P、Q位置互换并从静止释放，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计一切摩擦。下列说法正确的是(　　)
Q物块的质量为4 kg
P、Q组成的系统机械能守恒
Q落地时的速度大小为2 m/s
Q落地瞬间重力的功率为100 W
9.(多选)(2024·福建师大附中期末)如图所示，有一光滑轨道ABC，AB部分为半径为R的圆弧，BC部分水平，质量均为m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，不计小球大小。开始时a球处在圆弧上端A点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，则下列说法正确的是(　　)
a球下滑过程中机械能保持不变
b球下滑过程中机械能增加
a、b球滑到水平轨道上时速度大小为
从释放a、b球到a、b球滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做的功为
10.(多选)如图所示，物体A、B通过不可伸长的细绳及轻质弹簧连接在光滑轻质定滑轮两侧，物体A、B的质量都为m。开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上。放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
弹簧的劲度系数为
此时弹簧的弹性势能等于mgh－mv2
此时物体B的速度大小也为v
此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上
11.(8分)如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L，重力加速度为g。开始时，杆静止在水平位置，则无初速度释放后杆转到竖直位置时，求A、B两小球的速度大小。
培优加强练
12.(12分)(2024·山东济南高一期末)如图所示，轻绳一端固定于O点，绕过轻质光滑的动滑轮和定滑轮，另一端与质量为mB＝2m的物块B相连，动滑轮下方悬挂质量为mA＝m的物块A，将物块B置于倾角为30°的固定光滑斜面的顶端。已知斜面长为L，与物块B相连接的轻绳始终与斜面平行，悬挂动滑轮的轻绳竖直，两滑轮间竖直距离足够长，空气阻力忽略不计，两物块均可视为质点，重力加速度为g。现由静止释放物块B，求：
(1)(6分)物块B运动至斜面底端时的动能；
(2)(6分)物块B从斜面顶端运动至底端的过程中，克服轻绳拉力做的功。
培优提升四　多物体组成的系统机械能守恒问题
1.D　[取桌面下处为零势能参考平面，根据机械能守恒定律得Ek＝·＋·＝mgL。故D正确。]
2.D　[把铁链分成两个部分，下一半铁链重心下落的高度为h1＝，上一半铁链重心下落的高度为h2＝＋sin 30°＝L，对整条铁链从刚释放到刚好全部离开斜面由机械能守恒定律得mgh1＋mgh2＝mv2，解得v＝，故D正确。]
3.D　[刚释放时，物块m有加速度有mg－T＝ma，拉力小于mg，故A错误；物块的重力势能减小mgl，但物块也获得了速度，即动能增加，故机械能损失小于mgl，故B错误；因为绳子均匀，把绳子的重心看作在绳子的中点，所以绳子相当于向下移动了l，减小的重力势能为mgl，故C错误；对绳和物块组成的系统，由机械能守恒定律得mg·l＋mgl＝×2mv2，解得速度v＝，故D正确。]
4.AC　[在b球向下、a球向上摆动过程中，两球均在加速转动，两球动能增加，同时b球重力势能减少，a球重力势能增加，A正确，B错误；a、b两球组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，C正确，D错误。]
5.BC　[因M球下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减少，N球的机械能增加，但M球和N球组成的系统的机械能守恒，B、C正确，A、D错误。]
6.B　[设B的质量为m，则A的质量为3m，A球落地前，A、B组成的系统机械能守恒，有3mgR－mgR＝(3m＋m)v2，解得v＝，烧断细线后，对B运用动能定理有－mgh＝0－mv2，解得h＝，则B上升的最大高度为H＝h＋R＝，故B正确。]
7.A　[从B球释放到落地过程，A、B组成的系统机械能守恒，A球离开桌边时的速度大小为v，则有3mgh＝(m＋3m)v2，解得v＝，选项A正确。]
8.BC　[设轻绳的弹力大小为F，对物块Q由平衡条件有mQgsin 37°＝F，对物块P由平衡条件有F＝mPg，联立解得mQ＝＝5 kg，故A错误；P、Q组成的系统运动过程中，只有重力做功，系统机械能守恒，故B正确；设Q落地时速度的大小为v，此时P的速度大小也为v，由机械能守恒定律有mQgH－mPgHsin 37°＝(mQ＋mP)v2，解得v＝2 m/s，故C正确；Q落地瞬间重力的功率为P＝mQgv＝100 W，故D错误。]
9.CD　[a、b球和轻杆组成的系统机械能守恒，故A错误；由系统机械能守恒有mgR＋2mgR＝×2mv2，解得a、b球滑到水平轨道上时速度大小为v＝，故C正确；从释放a、b球到a、b球滑到水平轨道上，对a球，由动能定理有W＋mgR＝mv2，解得轻杆对a球做的功为W＝，D正确；因轻杆对a球做正功，则轻杆对b球做负功，则b球的机械能减少，故B错误。]
10.AB　[由题意可知，此时弹簧拉力大小等于物体B的重力，即F＝mg，弹簧伸长的长度为x＝h，由F＝kx得k＝，故A正确；物体B对地面恰好无压力时，B的速度为零，故C错误；A与弹簧组成的系统机械能守恒，则有mgh＝mv2＋Ep，则弹簧的弹性势能Ep＝mgh－mv2，故B正确；对A，根据牛顿第二定律有F－mg＝ma，又F＝mg，得a＝0，故D错误。]
11.　
解析　把A、B两小球和杆看成一个系统，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。
以A球在最低点的位置为零势能位置，则
初状态：系统的动能为Ek1＝0
重力势能为Ep1＝2mgL
末状态(即杆转到竖直位置)：
系统的动能为Ek2＝mv＋mv
重力势能为Ep2＝mg
由机械能守恒定律得
2mgL＝mgL＋mv＋mv
又因为在杆自由转动过程中A、B两球的角速度相同，则vA＝2vB
联立解得vA＝，vB＝。
12.(1)　(2)
解析　(1)物块B的速度大小始终是物块A速度大小的2倍，即vB＝2vA
对A、B组成的系统，由机械能守恒定律有
mBgLsin 30 °－mAg＝mAv＋mBv
解得vB＝
物块B的动能Ek＝mBv＝
(2)设物块B从斜面顶端运动至底端的过程，克服轻绳拉力做的功为W，由动能定理有
mBgLsin 30°－W＝mBv
解得W＝。培优提升四　多物体组成的系统机械能守恒问题
学习目标　1.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达形式。2.掌握非质点类物体的机械能守恒问题的处理方法。3.会分析多个物体组成的系统的机械能守恒问题。
提升1　非质点类物体的机械能守恒
1.非质点类物体机械能守恒问题的解决关键在于正确确定重心的位置。
2.先分段考虑各部分的重力势能，再取各部分重力势能的代数和作为整体的重力势能。
3.利用Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp列式。
角度1　“链条”类物体机械能守恒
例1 长为L的均匀链条，总质量为m，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的垂在桌边，如图所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，取桌面为零势能参考平面，重力加速度为g。
(1)开始时两部分链条重力势能之和为多少？
(2)刚离开桌面时，整个链条的重力势能为多少？
(3)链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？
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角度2　“液柱”类物体机械能守恒
例2 如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(重力加速度大小为g)(　　)
A. B.
C. D.
提升2　多物体组成的系统机械能守恒问题
1.分析多个物体组成的系统的机械能问题时，首先判断多个物体组成的系统的机械能是否守恒，主要看系统是否只有重力、弹簧弹力做功。当系统机械能守恒时，单个物体的机械能通常不守恒。
2.系统机械能守恒，且机械能从一个物体转移到另一个物体时，有ΔEA＝－ΔEB，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少。
角度1　轻绳连接体
常见情景如图所示：
分析轻绳连接体的机械能变化问题的要点：
(1)分析清楚两物体速度大小是否相等。
(2)分析清楚两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化关系。
(3)对于系统中的单个物体，一般绳上的力对其做功，机械能不守恒；但对于系统整体，机械能可能守恒。
例3 如图所示，一条不可伸长的轻质软绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个质量分别为m、3m的小球a 和b，用手按住a球静止于地面时，b 球离地面的高度为h。两物体均可视为质点，定滑轮的质量及一切阻力均不计，重力加速度为g。释放a球后，至a球上升到最高点时，下列说法正确的是(　　)
A.a球的机械能守恒
B.b球的机械能增加
C.a球和b球组成的系统机械能守恒
D.a球上升的最大高度为1.5h
例4 如图所示，质量都是m的A和B两物体，通过不可伸长的轻绳跨过轻质定滑轮相连，固定斜面光滑，倾角为θ，不计绳子和滑轮之间的摩擦及空气阻力。开始时A物体离地的高度为h，B物体位于斜面的底端且与B相连的绳与斜面平行，用手托住A物体，A、B两物体均静止，重力加速度为g，松手后，
(1)求A物体将要落地时的速度大小；
(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面上升，求B物体在斜面上上升的最远点离地面的高度(B未与滑轮相撞)。
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角度2　轻杆连接体
常见情景如图所示：
分析轻杆连接体的机械能变化问题的要求：
(1)杆对物体的作用力方向并不总是沿杆，杆能对物体做功，单个物体机械能不一定守恒。
(2)对于杆和物体组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦，若除重力外，没有其他外力对系统做功，则系统机械能守恒。
例5 (2024·福建龙岩高一期中)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有质量均为m＝1 kg的小球A和B，且两球之间用一根长L＝0.4 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.3 m。现让两球从静止开始自由下滑，最后都进入到上方开有细槽的光滑圆管中，不计球与圆管内壁碰撞时的机械能损失，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)全过程A、B小球分别减小的重力势能；
(2)A、B都进入到光滑圆筒中时的速度大小；
(3)全过程轻杆对A做的功。
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随堂对点自测
1.(非质点类物体的机械能守恒)如图所示，有一条长为1 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(重力加速度g＝10 m/s2)(　　)
A.2.5 m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
2.(轻绳连接体)(多选)如图所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体a和b，且a的质量大于b的质量，不计摩擦和定滑轮质量，两物体由静止开始运动的过程中(　　)
A.a、b各自的机械能分别守恒
B.a减少的机械能等于b增加的机械能
C.a减少的重力势能等于b增加的机械能
D.a和b组成的系统机械能守恒
3.(轻杆连接体)如图所示，半径为R＝0.4 m的圆弧形光滑轨道固定于竖直平面内，圆弧形轨道与光滑的水平地面相切，可视为质点的质量均为m＝0.5 kg的小球甲、乙用轻杆连接，置于圆弧形轨道上，小球甲与O点等高，小球乙位于圆心O的正下方。某时刻将两小球由静止释放，最终它们在光滑水平面上运动。重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力。则下列说法正确的是(　　)
A.两小球最终在水平面上运动的速度大小为 m/s
B.两小球最终在水平面上运动的速度大小为2 m/s
C.整个过程中轻杆对小球乙做的功为0.5 J
D.整个过程中轻杆对小球乙做的功为1 J
培优提升四　多物体组成的系统机械能守恒问题
提升1
例1 (1)－　(2)－　(3)
解析　(1)开始时链条的重力势能
Ep1＝－×＝－。
(2)刚滑离桌面时，链条的重力势能
Ep2＝mg×＝－。
(3)设链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为v，根据机械能守恒定律得Ep1＝Ep2＋mv2
联立解得v＝。
例2 A　[当两液面高度相等时，减少的重力势能全部转化为液体的动能，根据机械能守恒定律得mg×h＝mv2，解得v＝，A正确。]
提升2
例3 D　[a球在上升过程中绳子对a球做正功，a球机械能不守恒，故A错误；b球在下降的过程中绳子对b球做负功，b球机械能不守恒，故B错误；b球落地后，速度变为0，有能量损失，所以释放a球后，至a球上升到最高点时a球和b球组成的系统机械能不守恒，故C错误；设当b球刚落地时a、b球的速度大小为v，对于a、b两球组成的系统来说，只有重力做功，所以系统的机械能守恒，取地面为参考平面，对系统由机械能守恒定律得3mgh＝mgh＋mv2＋×3mv2，此后a球做匀减速直线运动，有v2＝2gh′，解得h′＝0.5h，所以a球能达到的最大高度H＝h＋h′＝1.5h，故D正确。]
例4 (1)　(2)h(1＋sin θ)
解析　(1)两物体组成的系统机械能守恒，则
mgh－mghsin θ＝(m＋m)v2
解得v＝。
(2)当A物体落地后，B物体由于惯性将继续上升，此时绳子松弛，对B物体而言，只有重力做功，故机械能守恒，设其上升的最远点离地面的高度为H，根据机械能守恒定律得mv2＝mg(H－hsin θ)，解得H＝h(1＋sin θ)。
例5 (1)5 J　3 J　(2)2 m/s　(3)－1 J
解析　(1)对A：ΔEpA＝－mg(Lsin 30°＋h)＝－5 J，
A的重力势能减少了5 J。
对B：ΔEpB＝－mgh＝－3 J，B的重力势能减少了3 J。
(2)选地面为零势能参考平面，设A、B都进入到光滑圆筒中时的速度大小为vt，对AB组成的系统，由机械能守恒定律得
mg(Lsin 30°＋h)＋mgh＝×2mv
解得vt＝2 m/s。
(3)设全过程轻杆对A做的功为W杆，对A由动能定理得mg(Lsin 30°＋h)＋W杆＝mv
解得W杆＝－1 J。
随堂对点自测
1.A　[设链条的质量为2m，长度为L，以初始状态链条的最高点所在的水平面为零势能参考平面，链条的机械能为E＝Ep＋Ek＝－mg·sin θ－mg·＋0＝－mgL，设链条全部滑出斜面时的速度为v，则动能为Ek′＝×2mv2，重力势能为Ep′＝－2mg·，由机械能守恒定律可得E＝Ek′＋Ep′，即－mgL＝mv2－mgL，解得v＝＝2.5 m/s，故A正确，B、C、D错误。]
2.BD　[a下落过程中，绳的拉力对a做负功，a的机械能减少；b上升过程中，绳的拉力对b做正功，b的机械能增加，A错误；a、b组成的系统机械能守恒，a减少的机械能等于b增加的机械能，B、D正确；a减少的重力势能并没有全部转化为b的机械能，还有一部分转变成a的动能，C错误。]
3.D　[两个球组成的系统机械能守恒，则mgR＝mv2＋mv2，解得v＝＝ m/s＝2 m/s，故A、B错误；整个过程中，对球乙，根据动能定理有W＝mv2＝×0.5×22 J＝1 J，故C错误，D正确。](共47张PPT)
培优提升四　多物体组成的系统机械能守恒问题
第1章　功和机械能
1.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达形式。
2.掌握非质点类物体的机械能守恒问题的处理方法。
3.会分析多个物体组成的系统的机械能守恒问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　多物体组成的系统机械能守恒问题
提升1　非质点类物体的机械能守恒
提升1　非质点类物体的机械能守恒
1.非质点类物体机械能守恒问题的解决关键在于正确确定重心的位置。
2.先分段考虑各部分的重力势能，再取各部分重力势能的代数和作为整体的重力势能。
3.利用Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp列式。
(1)开始时两部分链条重力势能之和为多少？
(2)刚离开桌面时，整个链条的重力势能为多少？
(3)链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？
角度2　“液柱”类物体机械能守恒
例2 如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(重力加速度大小为g)(　　)
A
提升2　多物体组成的系统机械能守恒问题
1.分析多个物体组成的系统的机械能问题时，首先判断多个物体组成的系统的机械能是否守恒，主要看系统是否只有重力、弹簧弹力做功。当系统机械能守恒时，单个物体的机械能通常不守恒。
2.系统机械能守恒，且机械能从一个物体转移到另一个物体时，有ΔEA＝－ΔEB，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少。
角度1　轻绳连接体
常见情景如图所示：
分析轻绳连接体的机械能变化问题的要点：
(1)分析清楚两物体速度大小是否相等。
(2)分析清楚两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化关系。
(3)对于系统中的单个物体，一般绳上的力对其做功，机械能不守恒；但对于系统整体，机械能可能守恒。
D
例3 如图所示，一条不可伸长的轻质软绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个质量分别为m、3m的小球a 和b，用手按住a球静止于地面时，b 球离地面的高度为h。两物体均可视为质点，定滑轮的质量及一切阻力均不计，重力加速度为g。释放a球后，至a球上升到最高点时，下列说法正确的是(　　)
A.a球的机械能守恒
B.b球的机械能增加
C.a球和b球组成的系统机械能守恒
D.a球上升的最大高度为1.5h
例4 如图所示，质量都是m的A和B两物体，通过不可伸长的轻绳跨过轻质定滑轮相连，固定斜面光滑，倾角为θ，不计绳子和滑轮之间的摩擦及空气阻力。开始时A物体离地的高度为h，B物体位于斜面的底端且与B相连的绳与斜面平行，用手托住A物体，A、B两物体均静止，重力加速度为g，松手后，
(1)求A物体将要落地时的速度大小；
(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面上升，求B物体在斜面上上升的最远点离地面的高度(B未与滑轮相撞)。
角度2　轻杆连接体
常见情景如图所示：
分析轻杆连接体的机械能变化问题的要求：
(1)杆对物体的作用力方向并不总是沿杆，杆能对物体做功，单个物体机械能不一定守恒。
(2)对于杆和物体组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦，若除重力外，没有其他外力对系统做功，则系统机械能守恒。
例5 (2024·福建龙岩高一期中)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有质量均为m＝1 kg的小球A和B，且两球之间用一根长L＝0.4 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.3 m。现让两球从静止开始自由下滑，最后都进入到上方开有细槽的光滑圆管中，不计球与圆管内壁碰撞时的机械能损失，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)全过程A、B小球分别减小的重力势能；
(2)A、B都进入到光滑圆筒中时的速度大小；
(3)全过程轻杆对A做的功。
解析　(1)对A：ΔEpA＝－mg(Lsin 30°＋h)＝－5 J，
A的重力势能减少了5 J。
对B：ΔEpB＝－mgh＝－3 J，B的重力势能减少了3 J。
(2)选地面为零势能参考平面，设A、B都进入到光滑圆筒中时的速度大小为vt，对AB组成的系统，由机械能守恒定律得
随堂对点自测
2
A
1.(非质点类物体的机械能守恒)如图所示，有一条长为1 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(重力加速度g＝10 m/s2)(　　)
BD
2.(轻绳连接体)(多选)如图所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体a和b，且a的质量大于b的质量，不计摩擦和定滑轮质量，两物体由静止开始运动的过程中(　　)
A.a、b各自的机械能分别守恒
B.a减少的机械能等于b增加的机械能
C.a减少的重力势能等于b增加的机械能
D.a和b组成的系统机械能守恒
解析　a下落过程中，绳的拉力对a做负功，a的机械能减少；b上升过程中，绳的拉力对b做正功，b的机械能增加，A错误；a、b组成的系统机械能守恒，a减少的机械能等于b增加的机械能，B、D正确；a减少的重力势能并没有全部转化为b的机械能，还有一部分转变成a的动能，C错误。
D
课后巩固训练
3
D
对点题组练
D
D
AC
题组二　多物体组成的系统机械能守恒
4.(多选)如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根轻质细杆连接，两小球可绕过轻杆中心的水平轴无摩擦转动，现让轻杆处于水平位置，静止释放小球后，重球b向下转动，轻球a向上转动，在转过90°的过程中，以下说法正确的是(　　)
A.b球的重力势能减少，动能增加
B.a球的重力势能增加，动能减少
C.a球和b球的机械能总和保持不变
D.a球和b球的机械能总和不断减小
解析　在b球向下、a球向上摆动过程中，两球均在加速转动，两球动能增加，同时b球重力势能减少，a球重力势能增加，A正确，B错误；a、b两球组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，C正确，D错误。
BC
5.(多选)如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两中心有孔的相同小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一不可伸长的细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在N球碰到A点前的运动过程中，下列说法中正确的是(　　)
A.M球的机械能守恒
B.M球的机械能减少
C.M球和N球组成的系统的机械能守恒
D.绳的拉力对N球做负功
解析　因M球下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减少，N球的机械能增加，但M球和N球组成的系统的机械能守恒，B、C正确，A、D错误。
B
6.如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接，跨过固定在水平地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放(A落地时，立即烧断细线)，B上升的最大高度是(　　)
A
7.如图所示，质量为m和3m的小球A和B，系在长为L的细线两端，桌面水平光滑，高为h(h＜L)，重力加速度为g，B球无初速度从桌边滑下，落在沙地上静止不动，则A球离开桌边的速度为(　　)
BC
综合提升练
8.(多选)如图所示，倾角θ＝37°的斜面固定在水平地面上，物块P和Q通过不可伸长的轻绳连接并跨过轻质定滑轮，轻绳与斜面平行。已知P的质量mP＝3 kg，开始时两物块均静止，P距地面高度H＝1 m，Q与定滑轮间的距离足够大。现将P、Q位置互换并从静止释放，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计一切摩擦。下列说法正确的是(　　)
CD
AB
10.(多选)如图所示，物体A、B通过不可伸长的细绳及轻质弹簧连接在光滑轻质定滑轮两侧，物体A、B的质量都为m。开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上。放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
11.如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L，重力加速度为g。开始时，杆静止在水平位置，则无初速度释放后杆转到竖直位置时，求A、B两小球的速度大小。
解析　把A、B两小球和杆看成一个系统，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。
以A球在最低点的位置为零势能位置，则
初状态：系统的动能为Ek1＝0
重力势能为Ep1＝2mgL
末状态(即杆转到竖直位置)：
12.(2024·山东济南高一期末)如图所示，轻绳一端固定于O点，绕过轻质光滑的动滑轮和定滑轮，另一端与质量为mB＝2m的物块B相连，动滑轮下方悬挂质量为mA＝m的物块A，将物块B置于倾角为30°的固定光滑斜面的顶端。已知斜面长为L，与物块B相连接的轻绳始终与斜面平行，悬挂动滑轮的轻绳竖直，两滑轮间竖直距离足够长，空气阻力忽略不计，两物块均可视为质点，重力加速度为g。现由静止释放物块B，求：
培优加强练
(1)物块B运动至斜面底端时的动能；
(2)物块B从斜面顶端运动至底端的过程中，克服轻绳拉力做的功。
解析　(1)物块B的速度大小始终是物块A速度大小的2倍，即vB＝2vA
对A、B组成的系统，由机械能守恒定律有
(2)设物块B从斜面顶端运动至底端的过程，克服轻绳拉力做的功为W，由动能定理有

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