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2025二轮复习专项训练5
基本初等函数、函数与方程
[考情分析]　基本初等函数作为高考的命题热点，多单独或与不等式综合考查，函数的应用问题集中体现在函数模型的选择使用．函数与方程主要是函数零点个数的判断、零点所在区间、求参数取值范围等方面．常以选择题、填空题的形式出现，有时难度较大．
【练前疑难讲解】
一、基本初等函数的图象与性质
1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分01两种情况，着重关注两个函数图象的异同．
2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况．
二、函数的零点
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象的交点的横坐标．
三、函数模型及其应用
应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键
(1)一般程序：
(2)解题关键：解答这类问题的关键是准确地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·安徽芜湖·二模）在数列中，为其前n项和，首项，且函数的导函数有唯一零点，则=（ ）
A．26 B．63 C．57 D．25
5．（21-22高二下·陕西宝鸡·期末）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和4.9，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·湖北武汉·二模）函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·广东茂名·一模）e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
9．（2024·广东·一模）已知函数在区间上单调，且满足，，则 .
10．（2024·广东梅州·模拟预测）某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有的杂质，按市场要求杂质含量不得超过，现要进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，要使产品达到市场要求，对该溶液过滤的最少次数为 ．
（参考数据：，）
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D C C C ABC BC
1．D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
2．B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
3．D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
4．C
【分析】计算，分析的奇偶性，可判断零点取值，代入计算可得的递推关系，求出前5项，计算求和即可.
【详解】因为，
所以，由题意可知：有唯一零点.
令，可知为偶函数且有唯一零点，
则此零点只能为0，即，代入化简可得：，
又，所以，，，，所以.
故选：C
5．C
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】解：的定义域为，又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，，
所以，所以在上存在唯一的零点.
故选：C
6．C
【分析】根据题意得到方程组，求出，根据得到.
【详解】依题意，，两式相减可得，，
故，而，故.
故选：C．
7．ABC
【分析】分类讨论函数的单调性及极值点判断各个选项即可.
【详解】，
当时, ,A选项正确；
，
，
,
时, 有两个根,且时
,根据极值点判断，故C选项正确,D选项错误；
当时, 有两个根,且此时
,故B选项正确.
故选：ABC．
8．BC
【分析】构建函数根据题意分析可得，对A、D：取特值分析判断；对B、C：根据的单调性，分类讨论分析判断.
【详解】原式变形为，
构造函数，则，
∵，
当时，，则，即；
当时，，则，即；
故在上单调递减，在上单调递增，
对于A：取，则
∵在上单调递增，故，
即满足题意，但，A错误；
对于B：若，则有：
当，即时，则，即；
当，即时，由在时单调递增，且，
故，则；
综上所述：， B正确；
对于C：若，则有：
当，即时，显然成立；
当，即时，令，
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴当时，所以，即，
由可得，即
又∵由在时单调递增，且，
∴，即；
综上所述：，C正确；
对于D：取，，则，
∵在上单调递减，故，
∴故，满足题意，但，D错误.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：指对同构的常用形式：
（1）积型：，
①构造形式为：，构建函数；
②构造形式为：，构建函数；
③构造形式为：，构建函数.
（2）商型：，
①构造形式为：，构建函数；
②构造形式为：，构建函数；
③构造形式为：，构建函数.
9．
【分析】由单调性确定函数的最小正周期范围，再结合零点及最小值点求出周期即可得解.
【详解】依题意，，而函数在上单调，
则函数的最小正周期，又，，
因此，解得，所以.
故答案为：
10．
【分析】设至少需要过滤次，得到，结合对数的运算和参考数据，求得，即可求解.
【详解】设至少需要过滤次，可得，即，
两边取对数，可得，所以，
又因为，所以，所以使产品达到市场要求的过滤次数最少为次．
故答案为：.
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
2．（2022·江苏连云港·二模）若函数是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
5．（23-24高三上·北京·期中）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（ ）
A．1.25 B．1.5 C．1.67 D．2
6．（22-23高二上·云南玉溪·阶段练习）已知函数如满足：，，且时，，则（ ）
A． B． C．0 D．
7．（21-22高三下·北京·开学考试）已知（且，且），则函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（21-22高三上·江苏扬州·期末）年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（ ）（素数即质数，，计算结果取整数）
A． B． C． D．
9．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·河南·模拟预测）函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（2023·贵州遵义·模拟预测）今年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（ ）（参考数据:）
A．年 B．年 C．年 D．年
12．（2022·广东惠州·二模）函数的图像与函数的图像的交点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
二、多选题
13．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·山东潍坊·三模）已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（23-24高一下·陕西安康·期末）已知函数且，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．
16．（2022·辽宁葫芦岛·二模）设函数，若关于的方程有四个实数解，且，则的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．99 D．100
三、填空题
17．（2023·浙江宁波·二模）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则 ．
18．（2024·北京通州·二模）已知函数的定义域为 ．
19．（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 .
20．（2023·广东深圳·一模）定义开区间的长度为．经过估算，函数的零点属于开区间 （只要求写出一个符合条件，且长度不超过的开区间）．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B D B B B B D B
题号 11 12 13 14 15 16
答案 B C ABD ABD AD BC
1．D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
2．A
【分析】由题意可得，化简整理即可求得m的值．
【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得，
即，整理得，所以.
故选：A
3．B
【分析】对实数分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.
【详解】当时，，符合题意；
当时，因为函数的值域为满足，
由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零；
若时，依题意有的最小值，即，
若时，不符合题意；
综上：，
故选：B.
4．D
【分析】根据与的关系图可得正确的选项.
【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.
当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
5．B
【分析】由已知可得出，可得出，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得的近似值.
【详解】由题意可得，所以，所以，
所以.
故选：B.
6．B
【分析】先判断出函数是周期为6的周期函数，再利用周期性直接求解即可．
【详解】由，则，
所以函数是周期为6的周期函数，
又，即，
所以．
故选：B．
7．B
【分析】由（且，且），得，从而得到与互为反函数，根据互为反函数的性质即可得到结果．
【详解】∵（且，且），
∴，∴，
∴，函数与函数互为反函数，
∴函数与的图象关于直线对称，且具有相同的单调性.
故选：B．
8．B
【分析】计算的值，即可得解.
【详解】因为，
所以，估计以内的素数个数为.
故选：B.
9．D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
10．B
【分析】根据给定条件，作出函数与图象，利用图象交点个数作答.
【详解】由，得，因此函数的零点即为函数与的图象交点横坐标，
在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，

观察图象知，函数与的图象有唯一公共点，
所以函数的零点个数为1.
故选：B
11．B
【分析】根据已知条件得，解方程组求出的值，当时，在等式两边取对数即可求解.
【详解】由题意得:，解得，
所以，
当时，得，即，
两边取对数得，
所以，
即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要年.
故选：B.
12．C
【分析】作出两个函数的图像，由图像可得交点个数．
【详解】在上是增函数，在和上是减函数，在和上是增函数，，，，
作出函数的图像，如图，由图像可知它们有4个交点．
故选：C．
13．ABD
【分析】利用已知，求二元变量的最值，一般可用用消元法变为函数求最值，如，，当然也可以用均值不等式求最值，如，.
【详解】选项A：因为，，，所以，所以，故A正确．
选项B：，当且仅当时取等号，（利用基本不等式时注意取等号的条件）,故B正确．
选项C：，所以，当且仅当时取等号，故C错误．
选项D：，
当且仅当时取等号，（另解：，当且仅当时取等号）,故D正确．
故选:ABD.
14．ABD
【分析】由函数图象过点可得的值，根据指数、对数、幂函数图象的特点逐一判断即可.
【详解】由图可得，即，
单调递减过点，故A正确；
为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，故B正确；
为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；
，根据““上不动、下翻上”可知D正确；
故选：ABD.
15．AD
【分析】根据给定条件，可得，利用对数运算性质计算判断AB；变形给定的式子，借助对勾函数的单调性判断CD.
【详解】函数，由，得，
对于AB，，则，解得，A正确，B错误；
对于C，在上单调递增，则，C错误；
对于D，，
而在上单调递增，，因此，D正确.
故选：AD
16．BC
【分析】首先根据题意画出图象，根据二次函数的性质得到，根据对数函数的性质得到，从而得到，再根据函数单调性求解即可.
【详解】如图所示：
因为关于的方程有四个实数解，且，
所以.
的对称轴为，所以.
因为，所以，即，.
因为，所以.
所以，
因为，为减函数，
所以.
故选：BC
17．2
【分析】根据指数函数的单调性求出函数的最值，即可得解.
【详解】因为函数在区间上递增，
所以，
则，解得或（舍去）.
故答案为：.
18．
【分析】根据函数的定义域有意义，解不等式求解.
【详解】根据题意可得,解得
故定义域为.
故答案为：
19．
【分析】根据对数的运算性质将函数化简为，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】因为
，
当，即时，取到最小值，且.
故答案为：
20．（不唯一）
【分析】利用函数的零点存在定理求解.
【详解】解：因为都是减函数，
所以是减函数，
又，
即，
所以函数在上有零点，且，
故答案为（不唯一）
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
2．（2022·湖南常德·一模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·四川成都·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·安徽·一模）若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·重庆·模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（21-22高二下·河北秦皇岛·期末）“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
7．（2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2023·广东梅州·二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山东威海·一模）若函数与的图像有且仅有一个交点，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．（22-23高三下·湖南·阶段练习）住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度y（单位：）之间近似满足函数关系式，其中，且，，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（ ）
A．17周 B．24周 C．28周 D．26周
二、多选题
11．（2023·安徽合肥·一模）已知数列满足．若对，都有成立，则整数的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．1
12．（2023·重庆九龙坡·二模）若a，b，c都是正数，且则（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·甘肃武威·模拟预测）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·湖北·模拟预测）已知，，，，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
15．（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 .
16．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 .
17．（21-22高一上·广东珠海·阶段练习）已知函数求使方程的实数解个数为3时取值范围 ．
18．（22-23高三下·广东佛山·开学考试）已知函数，对任意的正实数x都有恒成立，则a的取值范围是 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A D A A C B C D
题号 11 12 13 14
答案 BC BCD BCD ABD
1．A
【分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的单调性排除D，从而判断选项.
【详解】对于B，当时，，，，则，不满足图象，故B错误;
对于C，，定义域为，而，关于轴对称，故C错误;
对于D,当时，，由反比例函数的性质可知在单调递减，故D错误;
利用排除法可以得到，在满足题意，A正确.
故选：A
2．C
【分析】分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用时，值为正即可判断作答.
【详解】函数定义域为R，，即是奇函数，A，B不满足；
当时，即，则，而，因此，D不满足，C满足.
故选：C
3．A
【分析】根据根式与对数的定义域，结合交集的定义求解即可.
【详解】由，
所以，
故，
故选：A
4．D
【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较的大小，结合基本不等式及对数函数单调性比较的大小，可得结论.
【详解】，
而，且．
所以，故．
故选：D.
5．A
【分析】根据对数函数的性质可得且，则，即可求出的大致范围，再令的根为、且，，，对分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可；
【详解】解：依题意且，所以，解得或，综上可得，
令的根为、且，，，
若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；
若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；
故选：A
6．A
【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.
【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，
则，解得：，当时，，，
则，所以函数为奇函数，即充分性成立；
“函数为奇函数”，
则，即，
解得：，故必要性不成立，
故选：A．
7．C
【分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可．
【详解】作出函数的图象，如图所示：

将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数，
由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点；
当时，直线与函数的图象没有交点；
当时，直线与函数的图象有三个交点；
所以直线与函数的图象不可能有两个交点．
故选：C．
8．B
【分析】，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案.
【详解】令，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
，
所以函数在区间上有唯一零点，
所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.
故选：B.
9．C
【分析】将条件与只有1个交点转换为函数只有1个零点，参数分离求出a，再构造函数，利用其单调性求解即可.
【详解】与只有1个交点等价于函数 只有1个零点，
即只有1个解，
令，则，，
当时，单调递增，当时，单调递减，并且，
所以， ，函数的大致图像如下图：
，原不等式为： ，即，
令，显然在时是增函数，又，
的解集是.
故选：C.
10．D
【分析】由已知数据求得参数，然后解不等式即可得．
【详解】，由，，得，，
两式相减得，则，所以，.
该住房装修完成后要达到安全入住的标准，则，
则，即，解得，
故至少需要通风26周.
故选：D．
11．BC
【分析】根据数列以及构造不等式可得对都成立；分别对为奇数和偶数时进行分类讨论即可求得的取值范围并得出结果.
【详解】由可得，
若对，都有成立，即，
整理可得，所以对都成立；
当为奇数时，恒成立，所以，即；
当为偶数时，恒成立，所以，即；
所以的取值范围是，则整数的值可能是.
故选：BC
12．BCD
【分析】设，得到， ， ，再逐项判断.
【详解】解：设，
则，，
，，
，，
所以，
，因为，所以，则等号不成立，
所以，则，
因为，所以，
故选：BCD
13．BCD
【分析】根据对数函数的性质可得定点，得出，利用均值不等式判断A，重要不等式判断B，转化为二次函数判断C，根据“1”的变形技巧及均值不等式判断D.
【详解】由题得点，即，
所以，即，当且仅当时取等号，故A错误；
，当且仅当时取等号，故B正确；，故C正确；
由，，，且取不到等号，故，故D正确．
故选：BCD
14．ABD
【分析】先根据题意将条件转化为a，b是函数分别与函数，图象交点的横坐标．从而得到两交点关于直线对称，进而即可判断A；结合选项A整理得到，进而即可判断B；再结合选项A，构造函数，根据导函数性质即可判断C；结合选项B即基本不等式(注意：，即不等式取不到等号)即可判断D．
【详解】对于A，由题意知，a，b是函数分别与函数，图象交点的横坐标，
由的图象关于对称，
则其向上，向右都平移一个单位后的解析式为，
所以的图象也关于对称，
又，两个函数的图象关于直线对称，
故两交点，关于直线对称，
所以，，故A正确；
对于B，结合选项A得，则，即，即成立，故B正确；
对于C，结合选项A得，令，则，
所以在上单调递减，则，故C错误；
对于D，结合选项B得(，即不等式取不到等号)，故D正确．
故选：ABD．
15．或
【分析】令，，，，分类讨论的取值范围，判断，的单调性，结合存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案．
【详解】由题意，令，，，，
当时，在上单调递减，在上单调递减，则在上的值域为，
因为存在最小值，故需，解得，
结合，此时；
当时，在上单调递减，在上单调递增，则在上的值域为，
因为存在最小值，故需，即，解得，
这与矛盾；
当时，在上单调递减，且在上的值域为，，此时存在最小值2；
则实数的取值范围为或．
故答案为：或．
16．
【分析】根据题意，问题转化为存在，为真命题，即，求出的最小值得解.
【详解】若命题任意“，”为假命题，
则命题存在，为真命题，
因为时，，
令，则，
则在上单调递增，
所以，
所以.
故答案为：.
17．
【分析】分析给定函数的性质，作出图象，数形结合求出取值范围.
【详解】当时，函数在是递减，函数值集合为，
在上递增，函数值集合为，当时，是增函数，函数值集合为R，
方程的实数解个数，即为函数与直线的交点个数，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，
观察图象，当时，直线与函数的图象有3个交点，
所以方程的实数解个数为3时取值范围是.
故答案为：
18．
【分析】根据已知对式子进行变形，再利用两个函数互为反函数的性质以及导数，研究函数的单调性以及最值进行求解.
【详解】因为对任意的正实数x都有恒成立，
所以，即对任意的正实数x恒成立，
因为函数与函数互为反函数，且，
所以对任意的正实数x恒成立，即，
令，则，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以，解得.
故答案为：.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2025二轮复习专项训练5
基本初等函数、函数与方程
[考情分析]　基本初等函数作为高考的命题热点，多单独或与不等式综合考查，函数的应用问题集中体现在函数模型的选择使用．函数与方程主要是函数零点个数的判断、零点所在区间、求参数取值范围等方面．常以选择题、填空题的形式出现，有时难度较大．
【练前疑难讲解】
一、基本初等函数的图象与性质
1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分01两种情况，着重关注两个函数图象的异同．
2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况．
二、函数的零点
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象的交点的横坐标．
三、函数模型及其应用
应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键
(1)一般程序：
(2)解题关键：解答这类问题的关键是准确地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·安徽芜湖·二模）在数列中，为其前n项和，首项，且函数的导函数有唯一零点，则=（ ）
A．26 B．63 C．57 D．25
5．（21-22高二下·陕西宝鸡·期末）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和4.9，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·湖北武汉·二模）函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·广东茂名·一模）e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
9．（2024·广东·一模）已知函数在区间上单调，且满足，，则 .
10．（2024·广东梅州·模拟预测）某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有的杂质，按市场要求杂质含量不得超过，现要进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，要使产品达到市场要求，对该溶液过滤的最少次数为 ．
（参考数据：，）
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
2．（2022·江苏连云港·二模）若函数是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
5．（23-24高三上·北京·期中）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（ ）
A．1.25 B．1.5 C．1.67 D．2
6．（22-23高二上·云南玉溪·阶段练习）已知函数如满足：，，且时，，则（ ）
A． B． C．0 D．
7．（21-22高三下·北京·开学考试）已知（且，且），则函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（21-22高三上·江苏扬州·期末）年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（ ）（素数即质数，，计算结果取整数）
A． B． C． D．
9．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·河南·模拟预测）函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（2023·贵州遵义·模拟预测）今年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（ ）（参考数据:）
A．年 B．年 C．年 D．年
12．（2022·广东惠州·二模）函数的图像与函数的图像的交点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
二、多选题
13．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·山东潍坊·三模）已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（23-24高一下·陕西安康·期末）已知函数且，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．
16．（2022·辽宁葫芦岛·二模）设函数，若关于的方程有四个实数解，且，则的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．99 D．100
三、填空题
17．（2023·浙江宁波·二模）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则 ．
18．（2024·北京通州·二模）已知函数的定义域为 ．
19．（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 .
20．（2023·广东深圳·一模）定义开区间的长度为．经过估算，函数的零点属于开区间 （只要求写出一个符合条件，且长度不超过的开区间）．
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
2．（2022·湖南常德·一模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·四川成都·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·安徽·一模）若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·重庆·模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（21-22高二下·河北秦皇岛·期末）“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
7．（2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2023·广东梅州·二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山东威海·一模）若函数与的图像有且仅有一个交点，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．（22-23高三下·湖南·阶段练习）住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度y（单位：）之间近似满足函数关系式，其中，且，，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（ ）
A．17周 B．24周 C．28周 D．26周
二、多选题
11．（2023·安徽合肥·一模）已知数列满足．若对，都有成立，则整数的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．1
12．（2023·重庆九龙坡·二模）若a，b，c都是正数，且则（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·甘肃武威·模拟预测）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·湖北·模拟预测）已知，，，，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
15．（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 .
16．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 .
17．（21-22高一上·广东珠海·阶段练习）已知函数求使方程的实数解个数为3时取值范围 ．
18．（22-23高三下·广东佛山·开学考试）已知函数，对任意的正实数x都有恒成立，则a的取值范围是 ．
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