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第5讲　球的切接问题（新高考专用）
【真题自测】 2
【考点突破】 2
【考点一】空间几何体的外接球 2
【考点二】空间几何体的内切球 4
【专题精练】 6
考情分析：
空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题位置．
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
【考点一】空间几何体的外接球
一、单选题
1．（2020·全国·高考真题）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁·一模）已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·河南信阳·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ）

A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为
C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为
4．（2024·辽宁·三模）如图，在棱长为2的正方体中，点分别为的中点，为面的中心，则以下命题正确的是（ ）
A．平面截正方体所得的截面面积为
B．四面体的外接球的表面积为
C．四面体的体积为
D．若点为的中点，则存在平面内一点，使直线与所成角的余弦值为
三、填空题
5．（2023·湖北·模拟预测）已知正三棱锥的各顶点都在表面积为球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为 .
6．（2024·全国·模拟预测）已知空间四面体满足，则该四面体外接球体积的最小值为 ．
规律方法：
求解空间几何体的外接球问题的策略
(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径．
(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的．
(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解．
【考点二】空间几何体的内切球
一、单选题
1．（2024·云南大理·模拟预测）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）．如图所示，正八面体的棱长为，此八面体的外接球与内切球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北·二模）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·广东湛江·一模）在直三棱柱中，，，，分别为和的中点，为棱上的一点，且，则下列选项中正确的有（ ）
A．三棱柱存在内切球
B．直线被三棱柱的外接球截得的线段长为
C．点在棱上的位置唯一确定
D．四面体的外接球的表面积为
4．（2024·广东茂名·一模）如图，已知圆锥顶点为，其轴截面是边长为2的为等边三角形，球内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），是球与圆锥母线的交点，是底面圆弧上的动点，则（ ）
A．球的体积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．的最大值为3
D．若为中点，则平面截球的截面面积为
三、填空题
5．（2024·湖南株洲·一模）若半径为R的球O是圆柱的内切球，则该球的表面积与该圆柱的侧面积之差为 .
6．（2024·广西·二模）在三棱锥中，，，，的面积分别3，4，12，13，且，则其内切球的表面积为 ．
规律方法：
空间几何题的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径．
一、单选题
1．（2024·安徽安庆·三模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西太原·二模）已知圆锥的顶点为P，底面圆的直径，，则该圆锥内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽池州·二模）已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·天津和平·二模）如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西安康·模拟预测）若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·青海·二模）如图，已知在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，，，底面积为，且，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·西藏·模拟预测）已知圆锥的轴截面是一个正三角形，其中是圆锥顶点，AB是底面直径．若C是底面圆O上一点，P是母线SC上一点，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·河南周口·模拟预测）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，面积为的扇形，则该圆锥的外接球的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为40cm的正方体截去八个一样的四面体得到的，则（ ）
A．该几何体的顶点数为12
B．该几何体的棱数为24
C．该几何体的表面积为
D．该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项
10．（2024·河南濮阳·模拟预测）如图，正方体的棱长为4，点是其侧面上的一个动点（含边界），点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使得二面角大小为
B．存在点，使得平面与平面平行
C．当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为
D．当为的中点时，四棱锥外接球的表面积为
11．（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，分别是棱上的动点，，，则下列说法正确的是（ ）

A．直三棱柱的体积为
B．直三棱柱外接球的表面积为
C．若分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
D．取得最小值时，
三、填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）《论球与圆柱》是古希腊数学家阿基米德的得意杰作，据传说在他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图为一个圆柱与球的组合体，其中球与圆柱的侧面和上 下底面均相切，为底面圆的一条直径，，若球的半径，则球的体积与圆柱的体积之比为 ；球心到平面的距离为 .
13．（2024·陕西西安·模拟预测）三棱锥中，，且两两垂直．设三棱锥的外接球和内切球的表面积分别为和，则 ．
14．（2024·内蒙古·三模）在平行四边形中，，沿将折起，则三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 .
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【真题自测】 2
【考点突破】 5
【考点一】空间几何体的外接球 5
【考点二】空间几何体的内切球 13
【专题精练】 20
考情分析：
空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题位置．
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A C B C
1．A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．

2．C
【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
3．B
【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，所以，，
所以，，，
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为.
故选：B.
4．C
【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
.
故选：C.
【考点一】空间几何体的外接球
一、单选题
1．（2020·全国·高考真题）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁·一模）已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·河南信阳·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ）

A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为
C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为
4．（2024·辽宁·三模）如图，在棱长为2的正方体中，点分别为的中点，为面的中心，则以下命题正确的是（ ）
A．平面截正方体所得的截面面积为
B．四面体的外接球的表面积为
C．四面体的体积为
D．若点为的中点，则存在平面内一点，使直线与所成角的余弦值为
三、填空题
5．（2023·湖北·模拟预测）已知正三棱锥的各顶点都在表面积为球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为 .
6．（2024·全国·模拟预测）已知空间四面体满足，则该四面体外接球体积的最小值为 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A B ACD ABC
1．A
【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意，
得，为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球的表面积.
故选：A

【点睛】
本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
2．B
【分析】根据体积可求正四棱锥的高，再结合外接球球心的性质可求其半径，故可求外接球的表面积.
【详解】
如图，设在底面的射影为，则平面，
且为的交点.
因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为，且，
故，故.
由正四棱锥的对称性可知在直线上，设外接球的半径为，
则，故，故，
故正四棱锥的外接球的表面积为，
故选：B.
3．ACD
【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项.
【详解】

对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，
故该正八面体结构的表面积，故A正确；
对B：连接，则，底面，
故该正八面体结构的体积，故B错误；
对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径，
故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确；
对D：该正八面体结构的内切球半径，
故内切球的表面积，故D正确；
故选：ACD．
4．ABC
【分析】选项A，取中点，连接，利用正方体的性质，得出平面截正方体所得的截面为菱形，即可求解；选项B，建立空间直角坐标系，直接求出球心坐标，从而求出半径，即可求解；选项C，取中点，中点连接，根据条件证得面，从而有，再利用棱锥的体积公式，求出底面积和高，即可求解；选项D，先求出与在面的投影所成角的大小，再利用最小角定理即可求解，从而求出结果.
【详解】对于选项A，如图1，取中点，连接，因为点分别为的中点，
所以，，且，即四边形为菱形，
所以平面截正方体所得的截面即为菱形，
又易知，所以菱形的面积为，故选项A正确，
对于选项B，如图2建立空间直角坐标系，
则，
设四面体的外接球的球心坐标为，外接球的半径为，
所以，
解得，所以，
故四面体的外接球的表面积为，所以选项B正确，
对于选项C，如图3，取中点，中点连接，易知，
又是中点，所以，得到，
又面，面，所以面，
所以，
又易知到面的距离为，
，
所以，故选项C正确，
对于选项D，如图4，分别是平面的垂线和斜线，是在平面内的射影，
易知为锐角，是平面内和不重合的任一直线，在上截取，
连接，则，
在与中，因为，，
而，所以，
即平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，
如图5，取中点，易知在面上投影为，
又因为，，所以，
过作直线，使，设直线与所成的角为，
所以，
又，在区间上单调递减，
故在平面内不存在点，使直线与所成角的余弦值为，
故选：ABC.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项D，先求出与在面的投影所成角的大小，再利用最小角定理及的单调性，即可求解.
5．/
【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.
【详解】因为，所以正三棱锥外接球半径，
如图所示，设外接球圆心为O，过向底面作垂线垂足为D，，
要使正三棱锥体积最大，则底面与在圆心的异侧，
因为是正三棱锥，所以D是的中心，
所以，
又因为，所以，
，
所以，
令，
解得或，
当，；当，，
所以在递增，在递减，
故当时，正三棱锥的体积最大，此时正三棱锥的高为，
故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为.
故答案为：
6．
【分析】设分别为的中点，连接，结合三角形全等可证是线段的垂直平分线，同理可证是线段的垂直平分线，故而判断球心在上，由三角形两边之和大于第三边可得的范围，结合图形判断球心的位置以及半径，从而求出结果.
【详解】设分别为的中点，连接，
由已知，，故，因为是的中点，所以，
因为为的中点，故，即是线段的垂直平分线；
同理可得，是线段的垂直平分线，故球心在上，
设球的半径为，球心为，则，即，故，
此时为线段的中点，且，故所求外接球体积的最小值为．
故答案为：

规律方法：
求解空间几何体的外接球问题的策略
(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径．
(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的．
(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解．
【考点二】空间几何体的内切球
一、单选题
1．（2024·云南大理·模拟预测）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）．如图所示，正八面体的棱长为，此八面体的外接球与内切球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北·二模）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·广东湛江·一模）在直三棱柱中，，，，分别为和的中点，为棱上的一点，且，则下列选项中正确的有（ ）
A．三棱柱存在内切球
B．直线被三棱柱的外接球截得的线段长为
C．点在棱上的位置唯一确定
D．四面体的外接球的表面积为
4．（2024·广东茂名·一模）如图，已知圆锥顶点为，其轴截面是边长为2的为等边三角形，球内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），是球与圆锥母线的交点，是底面圆弧上的动点，则（ ）
A．球的体积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．的最大值为3
D．若为中点，则平面截球的截面面积为
三、填空题
5．（2024·湖南株洲·一模）若半径为R的球O是圆柱的内切球，则该球的表面积与该圆柱的侧面积之差为 .
6．（2024·广西·二模）在三棱锥中，，，，的面积分别3，4，12，13，且，则其内切球的表面积为 ．
规律方法：
空间几何题的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A C ABD ACD
1．A
【分析】根据给定条件，确定八面体的外接球球心及半径，利用体积法求出内切球半径，再利用球的体积公式求解即得.
【详解】正八面体的棱长为，连接，
由四边形为正方形，得，
则四边形亦为正方形，即点到各顶点距离相等，
于是此八面体的外接球球心为，半径为，
此八面体的表面积为，设此八面体的内切球半径为，
由，得，即，解得，
所以此八面体的外接球与内切球的体积之比为.
故选：A
【点睛】结论点睛：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足：.
2．C
【分析】由已知和正弦定理，勾股定理求出圆锥底面圆的半径和高，再由三角形面积相等求出圆锥内切球半径，然后由球的表面积公式和圆锥的侧面积公式求出结果即可.
【详解】因为三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，
所以为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长，
由正弦定理可得底面圆的半径，
所以圆锥的高，
如图，圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径，
轴截面三角形面积为，
所以内切球半径，
内切球的表面积为，
圆锥的侧面积为，
所以其和为，
故选：C.
3．ABD
【分析】根据三棱柱若存在内切球，则球心必为中截面的内切圆圆心可确定A正确；根据球的性质可知直线被外接球截得的线段长为矩形的外接圆直径，由此可得B正确；利用垂直关系，结合勾股定理构造方程可求得C错误；设，四面体的外接球半径为，利用勾股定理可构造方程组求得，代入球的表面积公式可知D正确.
【详解】对于A，取棱中点，连接，
若三棱柱存在内切球，则三棱柱内切球球心即为的内切圆圆心，
的内切圆半径即为的内切圆半径，又，，，
，的内切圆半径，
即的内切圆半径为，
又平面、平面到平面的距离均为，
三棱柱存在内切球，内切球半径为，A正确；
对于B，取中点，中点，中点，连接，
，为的外接圆圆心，又，平面，
为三棱柱的外接球的球心；
平面，平面，，
又，，平面，平面，
，平面，为四边形的外接圆圆心，
四边形为矩形，
直线被三棱柱截得的线段长即为矩形的外接圆直径，
，直线被三棱柱截得的线段长为，B正确；
对于C，在平面中作出矩形，
设，则，
，，，
又，，即，
解得：或，为棱的三等分点，不是唯一确定的，C错误；
对于D，取中点，
，为的外接圆圆心，且，
则四面体的外接球球心在过且垂直于平面的直线上，
平面，平面，
设，四面体的外接球半径为，
，解得：，，
四面体的外接球表面积为，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查多面体的外接球、内切球相关问题的求解，解题关键是能够根据几何体外接球和内切球的定义及性质，确定球心所在的位置，从而利用长度关系来构造方程求得半径.
4．ACD
【分析】对A，根据相切求出球的半径，再利用球的体积公式即可；对B，写出体积表达式并结合基本不等式即可判断；对C，设，写出的函数表达式，利用导数即可求出其最大值；对D，利用等体积法求出到平面，再求出截面积即可.
【详解】选项A，如图，设底面圆心为，则，，，
因为是边长为2的为等边三角形，则，为中点，
则球的半径球的体积为，故A正确.
选项，作，因为面，，
所以底面，，
，故B错误.
选项C，设，，
..
.，
设，则令，解得，
当时，，当时，则，
易知在上单调递减，则在单调递减，且，
则当时，， 单调递增；
，故C正确.
选项，当为中点时，，
由，，，得..
设点到平面的距离为，，，，代入数据解得.
截面面积为，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键是设设，，结合余弦定理和勾股定理求出线段和表示式，利用导数求出其最大值即可.
5．
【分析】由题意可得该圆柱的高，底面半径为，计算该球的表面积与该圆柱的侧面积即可得.
【详解】由题意可得该圆柱的高，底面半径为，
故该圆柱的侧面积,
该球的表面积,
则.
故答案为：.
6．/
【分析】根据题中所给数据特征：，再类比勾股定理，由面推及至空间几何体可知三棱锥是一个墙角模型，所以，设PA=x，PB=y，PC=z，则可由题中所给面积数据求出侧棱长，再依据内切球公式计算相关量即可求出内切球.
【详解】因为，所以类比勾股定理由面推及到空间几何体可知三棱锥是一个墙角模型，
所以，
设三棱锥的三条侧棱PA，PB，PC长分别为PA=x，PB=y，PC=z，
则由题意有①，所以有，，
所以代入①式，
所以，
设三棱锥的内切球半径为，则
，
所以，，所以内切球的表面积为.
故答案为：.
一、单选题
1．（2024·安徽安庆·三模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西太原·二模）已知圆锥的顶点为P，底面圆的直径，，则该圆锥内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽池州·二模）已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·天津和平·二模）如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西安康·模拟预测）若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·青海·二模）如图，已知在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，，，底面积为，且，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·西藏·模拟预测）已知圆锥的轴截面是一个正三角形，其中是圆锥顶点，AB是底面直径．若C是底面圆O上一点，P是母线SC上一点，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·河南周口·模拟预测）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，面积为的扇形，则该圆锥的外接球的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为40cm的正方体截去八个一样的四面体得到的，则（ ）
A．该几何体的顶点数为12
B．该几何体的棱数为24
C．该几何体的表面积为
D．该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项
10．（2024·河南濮阳·模拟预测）如图，正方体的棱长为4，点是其侧面上的一个动点（含边界），点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使得二面角大小为
B．存在点，使得平面与平面平行
C．当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为
D．当为的中点时，四棱锥外接球的表面积为
11．（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，分别是棱上的动点，，，则下列说法正确的是（ ）

A．直三棱柱的体积为
B．直三棱柱外接球的表面积为
C．若分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
D．取得最小值时，
三、填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）《论球与圆柱》是古希腊数学家阿基米德的得意杰作，据传说在他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图为一个圆柱与球的组合体，其中球与圆柱的侧面和上 下底面均相切，为底面圆的一条直径，，若球的半径，则球的体积与圆柱的体积之比为 ；球心到平面的距离为 .
13．（2024·陕西西安·模拟预测）三棱锥中，，且两两垂直．设三棱锥的外接球和内切球的表面积分别为和，则 ．
14．（2024·内蒙古·三模）在平行四边形中，，沿将折起，则三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 .
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B B D C C ABD BC
题号 11
答案 ACD
1．A
【分析】根据截面图分析即可得半径比，然后可得答案.
【详解】如图，等边三角形的内切圆和外接圆的半径即为内切球和外接球的半径，
记内切球和外接球的半径分别为和，
则
所以其外接球与内切球的表面积之比为.
故选：A．
2．C
【分析】利用条件先判定为正三角形，再作出圆锥及其内切球的轴截面，利用正三角形的性质计算球半径，最后根据球的体积公式计算即可.
【详解】由圆锥的性质易知为以P为顶点的等腰三角形，
又，所以，则为正三角形，边长为，
如图所示，作出圆锥及其内切球的轴截面，
设中点分别为，内切球球心为O，
由正三角形内心的性质易知

即内切球球半径为1，所以体积.
故选：C
3．B
【分析】先利用题给条件求得圆锥的母线长，再利用公式即可求得该圆锥的侧面积.
【详解】球表面积为，则该球半径为，
设圆锥的高为h，则圆锥的母线长为，
则此圆锥的轴截面面积为
，解之得，
则该圆锥的侧面积为
故选：B
4．B
【分析】根据题意可得正四棱锥的斜高为5，底面正方形的边长为6，从而可得正四棱锥的高，设这个正四棱锥的内切球的半径为，高线与斜高的夹角为，则易得，，从而可得，再代入球的体积公式，即可求解．
【详解】作出四棱锥如图：
根据题意可得正四棱锥的斜高为，底面正方形的边长为6，
正四棱锥的高为，
设这个正四棱锥的内切球的球心为，半径为，与侧面相切于，
则高线与斜高的夹角为，则，
则,
，，
这个正四棱锥的内切球的体积为．
故选：B．
5．B
【分析】过圆锥的旋转轴作轴截面，由题意可求得轴截面内切圆的半径为1，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．
【详解】
如图，由题意知内切圆和外接圆同圆心，即的内心与外心重合，则为正三角形，
因为内切球表面积为，设内切圆的半径为，则，所以内切圆的半径为1，
所以的边长为，
所以圆锥的底面半径为，又高为，
故圆锥体积，
故选：B.
6．D
【分析】取的中点为，即可说明点为梯形外接圆的圆心，再证明平面，过的中点作交于点，则平面，即可得到为四棱锥外接球球心，外接球半径为，从而求出表面积.
【详解】取的中点为，因为，等腰梯形的面积为，
所以梯形的高为，所以，则，所以，连接、，
所以、为等边三角形，点为梯形外接圆的圆心，
连接，在中，根据余弦定理得，即，解得.
因为，，所以，所以.
因为，，平面，所以平面，
过的中点作交于点，则平面，且为的中点，
所以点为外接圆圆心，所以为四棱锥外接球球心，
所以外接球半径为，故表面积.
故选：D
7．C
【分析】取点D在母线SA上且，可证明三棱锥与三棱锥外接球相同，再由正弦定理求出三角形的外接圆半径即为外接球半径得解.
【详解】如图，
设点D在母线SA上且，
因为是直角三角形，所以三棱锥外接球的球心E在SO上，
由 ≌，可得，
即三棱锥外接球的球心E也是三棱锥外接球的球心，且两个外接球的表面积相等．
由，得的外心即为三棱锥外接球的球心E．
在中，，
所以的外接圆的直径，
所以三棱锥外接球的表面积是，
故选：C．
8．C
【分析】先求出圆锥的侧面展开图的圆心角，再由此求出圆锥的底面圆半径和高，然后可求外接球的半径，由此求得圆锥的外接球的面积.
【详解】设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由题意可知，，解得，
设圆锥的底面圆半径为，则，所以，
则该圆锥的高为，
设该圆锥的外接球的半径为，由球的性质可知，，
解得，所以该圆锥的外接球的面积为.
故选：C.
9．ABD
【分析】对于A，该几何体的顶点是正方体各棱的中点，由正方体有12条棱即可判断；对于B，由该几何体有6个面为正方形即可判断；对于C，该几何体的棱长为，根据正三角形及正方形的面积公式求解即可判断；对于D，原正方体内切球的半径为20cm，原正方体外接球的半径为，该几何体外接球的球心为原正方体的中心，故外接球半径为，根据球的表面积公式及等差中项的定义即可判断.
【详解】对于A，该几何体的顶点是正方体各棱的中点，正方体有12条棱，所以该几何体的顶点数为12，故A正确；
对于B，由题意知，该几何体有6个面为正方形，故该几何体的棱数为，故B正确；
对于C，该几何体的棱长为，该几何体有6个面为正方形，8个面为等边三角形，
所以该几何体的表面积为，故C错误；
对于D，原正方体内切球的半径为20cm，内切球表面积为.
原正方体外接球的半径为，外接球表面积为.
由题意得该几何体外接球的球心为原正方体的中心，故外接球半径为，
所以该几何体外接球的表面积为.
因为，
所以该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项，故D正确.
故选:ABD.
10．BC
【分析】由题意，证得，得到二面角的平面角，可得判定A错误；利用线面平行的判定定理分别证得平面，平面，结合面面平行的判定定理，证得平面平面，可判定B正确；取中点，证得，得到，得到点在侧面内运动轨迹是以为圆心、半径为的劣弧，可判定C正确；当为中点时，连接与交于点，求得，得到四棱锥外接球的球心为，进而可判定D错误.
【详解】对于A，在正方体中，可得平面，
因为平面，平面，所以，
所以二面角的平面角为，其中，所以A错误；
对于B，如图所示，当M为中点，为中点时，
在正方体中，可得，
因为平面，且平面，所以平面，
又因为，且平面，且平面，所以平面，
因为，且平面，所以平面平面，所以B正确；

对于C，如图所示，取中点，连接，，，
在正方体中，平面，且，
所以平面，因为平面，可得，
则，
则点在侧面内运动轨迹是以为圆心、半径为2的劣弧，
分别交，于，如图所示，则，
结合对称性可知，，
则，劣弧的长为，所以C正确；
对于D，当为中点时，可得为等腰直角三角形，且平面平面，
连接与交于点，可得，
所以四棱锥外接球的球心即为与的交点，
所以四棱锥外接球的半径为，其外接球的体积为，所以D错误.
故选：BC.
11．ACD
【分析】根据三棱柱的体积公式即可判断A选项；通过确定球心的位置，求出直三棱柱外接球的半径，即可判断B选项；通过平移找到异面直线所成角，然后在三角形中利用余弦定理可判断C选项；通过三棱柱的侧面展开图可判断D选项．
【详解】选项A：因为，，
所以三棱柱的上、下底面均为正三角形，
所以，故A正确．
选项B：如图1，记和外接圆的圆心分别为和，
连接，，记的中点为，连接，
则， ，
易知为直三棱柱的外接球半径，
且，
所以直三棱柱外接球的表面积为，故B错误．

选项C：如图2，取的中点，连接，
易知，，且，
故即异面直线与所成角或其补角，连接，
则，
故，
故异面直线与所成角的余弦值为，故C正确．
选项D：将直三棱柱的侧面展开得到平面展开图，
如图3所示．连接，分别交，于点，
易知的最小值为．
在侧面展开图中易知点分别为的三等分点，
过点作交于点，
由勾股定理得，
因为，所以，故D正确．
.
12．
【分析】根据球与圆柱的体积公式代入计算，即可求解；再由面面垂直的判定定理可证平面平面，从而可得平面，再由勾股定理以及相似三角形可得.
【详解】
因为球的半径，所以球的体积为，
圆柱的体积为，
所以球的体积与圆柱的体积之比为，
由题易知平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，
连接，则平面与平面的交线为，
所以过点在平面内作，垂足为点，则平面.
如图，易知，由勾股定理可得，
由，可知，
即，解得，
所以球心到平面的距离为.
故答案为：；
13．
【分析】根据三棱锥结构，可补成正方体，利用正方体外接球求半径，再由等体积法求出三棱锥内切球半径，利用球的面积公式得解.
【详解】由题意可知，三棱锥可以为棱，补成棱长为的正方体，
所以三棱锥的外接球与所在正方体的外接球相同，
所以外接球直径，其面积，
设三棱锥内切球半径为，则由等体积法可得：,
即，
解得，故，
所以.
故答案为：
14．
【分析】根据条件，利用余弦定理得，由题知平面时，三棱锥的体积最大，再将三棱锥补全为正方体，将问题转化成求正方体的外接球半径，即可解决问题.
【详解】在中，，
由余弦定理得，
得到，所以，则，
由题可知，当平面时，三棱锥的体积最大，
如下图，可将三棱锥补全为正方体，
则三棱锥外接球的半径即为正方体外接球的半径，易知,
所以，故三棱锥外接球的表面积为，
故答案为：.
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