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3.1 数列的通项公式（含递推求通项）、数列求和与综合运用
考点分布 考查频率 命题趋势
等差、等比数列基本运算 2024年北京卷第14题，5分 2024年甲卷第4题，5分 2024年II卷第12题，5分 2023年II卷第8题，5分 2023年甲卷第5、13题，10分 2022年乙卷第13题，5分 2025年高考数列考查将聚焦核心点是等差、等比的基本量运算、递推公式求通项公式、数列求和等，递推式中特别是利用数列前n项和与第n项的关系进行推导，此部分题型多样，常作为选择填空或最后一题数列新定义压轴题，挑战考生的思维深度与解题能力。
递推式求数列通项 2024年甲卷文17题，12分 2023年乙卷第18题，12分 2023年II卷第18题，12分 2022年I卷第17题，10分
数列求和 2024年甲卷第18题，12分 2023年甲卷第17题，12分 2022年甲卷第18题，12分 2021年I卷第17题，10分
数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有。其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度。
1．（2024年北京高考数学真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
2．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
3．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024年北京高考数学真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.其中正确结论的序号是 .
6．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
7.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
8．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
9．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.
10．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．
11．（2024年天津高考数学真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．
(1)求的通项公式及；(2)设数列满足，其中．
（ⅰ）求证：当时，求证：；（ⅱ）求．
12．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．
13．（2023·全国·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．(1)若，求的通项公式；(2)若为等差数列，且，求．
14．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
高频考点一 等差、等比数列的基本量问题
核心知识：
利用等差数列中的基本量（首项，公差，项数），等比数列的基本量（首项，公比，项数）翻译条件，将问题转换成含基本量的方程或不等式问题求解．
典例1：（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）等比数列的前项和为，公比为，若，则（ ）
A． B．2 C． D．3
变式训练
1.（2024·重庆·一模）已知各项均为正数的等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．25 B．16 C．9 D．4
2．（2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
3．（2024·河北廊坊·高三校联考期中）已知等比数列的前项和为，则（ ）
A．18 B．54 C．128 D．192
高频考点2 证明等差等比数列
核心知识：判断或证明数列是等差、等比数列常见的方法如下．
（1）定义法：对于的任意正整数：
①若为一常数，则为等差数列；②若为常数，则为等比数列。
（2）中项公式法：①若，则为等差数列；
②若，则为等比数列。
（3）通项公式法：①若，则为等差数列；（2）若，则为等比数列。
（4）前项和法：若的前项和满足：
①，则为等差数列；②，则为等比数列。
典例1：设数列满足．
(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的通项公式．
变式训练：
1．（2024·河南·三模）已知数列的各项都为正数，且其前项和.
(1)证明：是等差数列，并求；(2)如果，求数列的前项和.
2．在等差数列中，.(1)求的通项公式；(2)若数列满足，其前项和为，证明：数列为等比数列，且；
高频考点3 等差等比数列的交汇问题
核心知识：
在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法。可以达到减少运算量的目的。
典例1：（2024·北京·高三统考开学考试）已知数列的前n项和为，且，其中k，b不同时为0．给出下列四个结论：①当时，为等比数列；②当时，一定不是等差数列；
③当时，为常数列；④当时，是单调递增数列．其中所有正确结论的序号是 ．
变式训练：
1．（2024·江苏南通·高三统考期中）设等差数列的前项和为，且，是等比数列，满足，则 .
2.已知数列满足，且.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.
高频考点4 数列的通项公式
核心知识：常见求解数列通项公式的方法有如下几种：
（1）观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式；
（2）累加法：形如的解析式；（3）累乘法：形如；
（4）公式法（等差、等比数列）；（5）取倒数法：形如的关系式；
（6）构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差（比）数列构造为等差（比）数列来求通项公式。
典例1：（1）已知数列满足（n为正整数），且．求数列的通项公式．
（2）记为数列的前n项和．已知，．求的通项公式．
（3）已知数列中，，．求数列的通项公式．
（4）设数列满足，对于n为正整数，都有．求数列的通项公式．
变式训练：
1．（2024·黑龙江哈尔滨·高三校考期中）（1）已知数列满足，，求的通项．（2）数列中，，（n为正整数），求．
2．（2024·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 .
3．（2025·重庆·高三专题练习）已知数列满足，，.若，求数列的通项公式.
高频考点5 数列求和
核心知识：
求数列前项和的常见方法有以下四种．
（1）公式法：利用等差、等比数列的前项和公式求数列的前项和．
（2）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．其方法核心有两点：一是裂项，将一个式子分裂成两个式子差的形式；二是要能相消．常见的裂项相消变换有以下形式．
①分式裂项：；
②根式裂项：；③对数式裂项；
④指数式裂项
（3）错位相减法
（4）分组转化法
典例1：（2024·山东潍坊·三模）在①数列为等差数列，且；②，；③正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答. 问题：已知数列的前项和为，且__________.
(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，求.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
变式训练：
1.（2024·高三·北京·开学考试）已知是等差数列，其前项和为，，.
(1)求数列的通项公式及；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列的前项和.条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
2.（2024·高三·天津滨海新·期末）已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，．(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)若，求数列的前项和．
高频考点6 数列性质的综合问题（最值类）
核心知识：解题时，首先要深刻理解等差、等比数列的基本概念和性质，并熟练掌握常用的方法和技能。对于复杂的数列问题，要学会将大问题分解成小问题，运用函数与方程的数学思想处理数列问题。同时，要善于运用猜想与归纳等数学思想，将实际问题或非分等比等差问题转化为等比等差问题处理。此外，数列与不等式、函数、解析几何等知识的交汇也是常考点，需要灵活运用相关知识和方法。总之，解决数列性质的综合问题，需要综合运用多种数学思想和方法，加强解题反思，提高运用知识解决问题的能力。
典例1：（多选题）（2024·广东·二模）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
B．
C．当时，取得最小值 D．记，则数列的前项和为
变式训练：
【典例6-1】（多选题）（2024·高三·重庆·期末）设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为 B．满足的最小值是14
C．满足的最大值是14 D．数列的最小项为第8项
2．（2024·上海杨浦·统考一模）等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列的前 n 项和 ，不等式 对任意恒成立， 则实数m的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．2
高频考点7 实际应用中的数列问题
核心知识：
解数列应用题的一般步骤：
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；（2）根据题意数列问题模型；（3）应用数列知识求解；（4）将数列问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等。
典例1：（2024·陕西宝鸡·模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）（参考数据：）
A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元
变式训练：
1.（2024·北京朝阳·二模）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.（2024·辽宁大连·高二统考期末）刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月还一次款，分10次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元．
A． B． C． D．
高频考点8以数列为载体的情境题
核心知识：
1、应用数列知识解决此类问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——等差、等比数列模型；
2、需要读懂题目所表达的具体含义，观察给定数列的特征，进而判断出该数列的通项与求和公式；
3、求解时要明确目标，认清是求和、求通项、还是解递推关系问题，然后通过数学推理与计算得出结果，并回归实际问题中，进行检验，最终得出结论。
典例1：（2024·浙江温州·一模）已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
变式训练：
1.（2024·福建宁德·二模）若数列相邻两项的和依次构成等差数列，则称是“邻和等差数列”.例如，数列1，2，4，5，7，8，10为“邻和等差数列”.已知数列是“邻和等差数列”，是其前项和，且，，，则（ ）
A．39700 B．39800 C．39900 D．40000
2.（2024·上海奉贤·一模）已知数列不是常数列，前项和为，．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：
①若各项均为正整数的等差数列满足公差，则是“可控数列”；
②若等比数列是“可控数列”，则其公比．
则下列判断正确的是（ ）
A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题
高频考点9 数列的递推问题
核心知识：利用构造或猜想，解决数列递推问题.
典例1：（2024·河北沧州·三模）自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成，这种生物在生育下一代时，成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代.若某生物群体的基因型为，在该生物个体的随机交配过程中，基因型为的子代因无法适应自然环境，会被自然界淘汰.例如，当亲代只有基因型个体时，其子1代的基因型如下表所示：
雌雄
×
由上表可知，子1代中，子1代产生的配子中占，占.以此类推，则子10代中个体所占比例为 .
变式训练：
1．（2024·广东·高三专题练习）某电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第一次播放了1条以及余下的条的，第2次播放了2条以及余下的，第3次播放了3条以及余下的，以后每次按此规律插播广告，在第次播放了余下的x条．
(1)设第次播放后余下条，这里，，求与的递推关系式．
(2)求这家电视台这一天播放广告的时段x与广告的条数y．
2．（2025·浙江杭州·高三校联考期中）阿司匹林（分子式，分子质量180）对血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的发病风险.对于急性心肌梗死疑似患者，建议第一次服用剂量300，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小时服用200.阿司匹林口服后经胃肠道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解为主要代谢产物水杨酸（分子式，分子质量138），降解过程生成的水杨酸的质量为阿司匹林质量的，水杨酸的清除半衰期（一般用物质质量衰减一半所用的时间来描述衰减情况，这个时间被称作半衰期）约为12小时.（考虑所有阿司匹林都降解为水杨酸）
(1)求急性心肌梗死疑似患者第1次服药48小时后第3次服药前血液中水杨酸的含量（单位）；
(2)证明：急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230.
1．（2024·山西运城·三模）已知数列是等差数列，，则（ ）
A．4 B． C． D．
2．（2024·广东深圳·高考模拟预测）已知正项等比数列满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知正项等差数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．记为数列的前项和，若，为等比数列，则（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
5．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
6．（2024·广东·模拟预测）已知正项等比数列中，，数列满足，则使得不等式成立的的最小值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
7．（2024·四川南充·高三校考阶段练习）已知数列的前项和，，且，若，（其中），则的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．2023 D．
8．（2024·江苏南京·高三校联考期中）已知数列通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元．
A． B． C． D．
10．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为斤，设，则（ ）
A． B．7 C．13 D．26
11.若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.已知数列满足，且是数列生成的控制函数，数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．19 B．21 C．22 D．23
12.（多选题）（2024·高三·甘肃白银·期末）已知数列满足：，则下列说法不正确的是（ ）
A．数列为递减数列 B．存在，使得
C．存在，使得 D．存在，使得
13．（2024·江苏南通·高三统考期中）已知等差数列前3项和，，，成等比数列，则数列的公差 ．
14．（2024·陕西渭南·高三校考阶段练习）数列的前项和为，若，则 ．
15．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为，在线段上取两个点，，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，则（1） ；（2）如果对，恒成立，那么线段的长度的取值范围是 .
16．（2024·山东·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．
17．（2024·辽宁朝阳·高三联考阶段练习）在数列中，，.(1)求证：为等差数列；
18．（2024·河北承德·统考模拟预测）已知数列满足，
(1)证明：数列为等差数列；(2)若将数列中满足的项，称为数列中的相同项，将数列的前40项中所有的相同项都剔除，求数列的前40项中余下项的和.
19．（2023·辽宁大连·高三大连市金州高级中学校考期中）设是数列的前n项和，已知，(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明：当时，.
20．（2024·浙江·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，．
(1)写出数列的前4项；(2)求出数列的通项公式．
21．（2024·湖北·高三专题练习）已知数列满足（），且，求数列的通项公式．
22.已知曲线：，点在上，在处的切线为，直线的斜率是直线斜率的2倍，经过点的直线与的另一个交点为，在处的切线为，直线的斜率是直线斜率的2倍，经过点的直线与的另一个交点为，照如此方法构造点，.
(1)证明：直线的方程为.(2)若，证明数列为等比数列，并求出的通项公式.
23．点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线C：上的点作曲线C的切线与曲线C交于，过点作曲线C的切线与曲线C交于点，依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知．(1)求数列、的通项公式；
(2)记点到直线（即直线）的距离为，求证：；
24．（2024·河北廊坊·高三校联考期中）在数列中，．
(1)证明：数列为常数列．(2)若，求数列的前项和．
25．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，且（为常数）.(1)若构成等比数列，求的值；
(2)若，且恒成立，求实数的最小值.
26．（2024·广东·模拟预测）已知等比数列的前项和为，各项均为正数的数列的前项和为，满足.(1)分别求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和.
27．（2024·湖北·高三对口高考）数列是等比数列，前n项和，数列满足.(1)求p的值及通项；(2)求和.
28．（2024·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）已知数列的前n项和为，___________，.
(1)求数列的通项公式；(2)已知数列，当时，，.记数列的前n项和为，求.在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
①；②；③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
29.已知数列中，，，对任意都成立，数列的前n项和为．(1)若是等差数列，求k的值；(2)若，，求；
(3)是否存在实数k，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．
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3.1 数列的通项公式（含递推求通项）、数列求和与综合运用
考点分布 考查频率 命题趋势
等差、等比数列基本运算 2024年北京卷第14题，5分 2024年甲卷第4题，5分 2024年II卷第12题，5分 2023年II卷第8题，5分 2023年甲卷第5、13题，10分 2022年乙卷第13题，5分 2025年高考数列考查将聚焦核心点是等差、等比的基本量运算、递推公式求通项公式、数列求和等，递推式中特别是利用数列前n项和与第n项的关系进行推导，此部分题型多样，常作为选择填空或最后一题数列新定义压轴题，挑战考生的思维深度与解题能力。
递推式求数列通项 2024年甲卷文17题，12分 2023年乙卷第18题，12分 2023年II卷第18题，12分 2022年I卷第17题，10分
数列求和 2024年甲卷第18题，12分 2023年甲卷第17题，12分 2022年甲卷第18题，12分 2021年I卷第17题，10分
数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有。其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度。
1．（2024年北京高考数学真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
【答案】 23 57.5/
【详解】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则，
故，.故答案为：.
2．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
【答案】95
【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得，
则.故答案为：.
3．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】方法一：利用等差数列的基本量
由，根据等差数列的求和公式，，
又. 故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，
，故. 故选：D
方法三：特殊值法
不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D
4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，则，
则等差数列的公差，故.故选：B.
5．（2024年北京高考数学真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【解析】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，
而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确.
对于②，取则均为等比数列，
但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误.
对于③，设，，
若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解，
若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同解，矛盾；
若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，
当有偶数解，此方程即为，方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，
否则，因单调性相反，方程至多一个偶数解，
当有奇数解，此方程即为，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即
否则，因单调性相反，方程至多一个奇数解，
因为，不可能同时成立，
故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确.
对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，
后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④.
6．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
【答案】 48 384
【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，则，且，可得，
则，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因为为等比数列，则，且，所以；
又因为，则；
空2：设后7项公比为，则，解得，
可得，所以. 故答案为：48；384.
7.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【解析】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,又，解得：，
所以．故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，所以．故选：C.
8．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，所以有，，解得：或，
当时，，即为，易知，，即；
当时，，与矛盾，舍去．故选：C．
9．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
10．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．
【解析】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以.
（2）,所以
故
所以
，.
11．（2024年天津高考数学真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．
(1)求的通项公式及；(2)设数列满足，其中．
（ⅰ）求证：当时，求证：；（ⅱ）求．
【解析】（1）设等比数列的公比为，因为，即，
可得，整理得，解得或（舍去），所以.
（2）（i）由（1）可知，且，
当时，则，即 可知，
，
可得，
当且仅当时，等号成立， 所以；
（ii）由（1）可知：，若，则；若，则，
当时，，可知为等差数列，
可得，
所以，且，符合上式，综上所述：.
12．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，所以，
（2）因为，令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
13．（2023·全国·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．(1)若，求的通项公式；(2)若为等差数列，且，求．
【答案】(1)(2)
【详解】（1），，解得，，
又，，
即，解得或（舍去），.
（2）为等差数列，，即，
，即，解得或， ，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或（舍去）
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得. 综上，.
14．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【详解】（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，即证，
而显然成立，所以；
（3）因为
，
所以，设
所以，则，
作差得，
所以，所以.
高频考点一 等差、等比数列的基本量问题
核心知识：
利用等差数列中的基本量（首项，公差，项数），等比数列的基本量（首项，公比，项数）翻译条件，将问题转换成含基本量的方程或不等式问题求解．
典例1：（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）等比数列的前项和为，公比为，若，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】由可知，故，故，故，故选：B
变式训练
1.（2024·重庆·一模）已知各项均为正数的等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．25 B．16 C．9 D．4
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，由，得，
（也可由等差数列的性质得，得）
解得，又，所以，解得或．
因为各项均为正数，所以，所以，，所以．故选：D
2．（2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】A
【详解】因为数列均为等差数列，可得，
且，又由，可得．
因此.故选：A．
3．（2024·河北廊坊·高三校联考期中）已知等比数列的前项和为，则（ ）
A．18 B．54 C．128 D．192
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，则，解得．
．故选：D.
高频考点2 证明等差等比数列
核心知识：判断或证明数列是等差、等比数列常见的方法如下．
（1）定义法：对于的任意正整数：
①若为一常数，则为等差数列；②若为常数，则为等比数列。
（2）中项公式法：①若，则为等差数列；
②若，则为等比数列。
（3）通项公式法：①若，则为等差数列；（2）若，则为等比数列。
（4）前项和法：若的前项和满足：
①，则为等差数列；②，则为等比数列。
典例1：设数列满足．
(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的通项公式．
【解析】（1）由，，得，由，
得，所以，
故数列是以为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）得，则，
则；；，．
由累加法可得，
又，则，同时满足上式，所以．
变式训练：
1．（2024·河南·三模）已知数列的各项都为正数，且其前项和.
(1)证明：是等差数列，并求；(2)如果，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，(2).
【详解】（1）当时，或，
因为，所以，，
两式相减得，
因为，所以，故是首项为1，公差为的等差数列，；
（2）由（1）知，，
，
则，
，
所以.
2．在等差数列中，.(1)求的通项公式；(2)若数列满足，其前项和为，证明：数列为等比数列，且；
【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，
所以，所以，所以的通项公式为.
（2）由题意知，所以，所以数列为等比数列，
数列前项和，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以.
高频考点3 等差等比数列的交汇问题
核心知识：
在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法。可以达到减少运算量的目的。
典例1：（2024·北京·高三统考开学考试）已知数列的前n项和为，且，其中k，b不同时为0．给出下列四个结论：①当时，为等比数列；②当时，一定不是等差数列；
③当时，为常数列；④当时，是单调递增数列．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】，当时，，可得，当时，，
由两个式相减可得，即，可得，
对于①，当时，得，即，又k，b不同时为0，
所以，，所以是首项公比为等比数列，故①正确；
对于②③，当时，，且，所以是以为首项，
公比为等比数列，所以，，
所以当时，，此时是常数列，即是等差数列，故②错误③正确；
对于④，当时，，，
因为是减函数，所以是递增函数，
所以是单调递增数列，故④正确．故答案为：①③④.
变式训练：
1．（2024·江苏南通·高三统考期中）设等差数列的前项和为，且，是等比数列，满足，则 .
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，为等比数列，为等差数列，，则的等比数列，，∴，则，∴，，
，∴，.故答案为：
2.已知数列满足，且.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.
【解析】（1）证明：因，则，
则是以为首项，公比为3的等比数列；
（2）由（1），，
则是以为首项，公差为1的等差数列，则；
（3）由（2），，
则，
则.
证明：假设数列中存在不同的三项能构成等差数列，
设这三项项数为.其中，
则，.
设，则，得，
注意到，，则.
这与矛盾，则数列中不存在不同的三项能构成等差数列.
高频考点4 数列的通项公式
核心知识：常见求解数列通项公式的方法有如下几种：
（1）观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式；
（2）累加法：形如的解析式；（3）累乘法：形如；
（4）公式法（等差、等比数列）；（5）取倒数法：形如的关系式；
（6）构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差（比）数列构造为等差（比）数列来求通项公式。
典例1：（1）已知数列满足（n为正整数），且．求数列的通项公式．
（2）记为数列的前n项和．已知，．求的通项公式．
（3）已知数列中，，．求数列的通项公式．
（4）设数列满足，对于n为正整数，都有．求数列的通项公式．
【解析】（1）因为，所以，
所以．
又，所以当时也适合上式，所以；
（2）因为时，，所以，两式相减得到
，化简整理得，
所以，当时，，又当，，又，解得，
所以，当时，．
又当时，，满足，当时，，不满足．综上所述，；
（3）因为，，故，所以，整理得，
又，，，所以为定值．
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，得；
（4）因为①，所以②，
②①得．所以数列的奇数项，与偶数项分别是公差为2的等差数列，
当n为偶数时，，
当n为奇数时，，
所以.
变式训练：
1．（2024·黑龙江哈尔滨·高三校考期中）（1）已知数列满足，，求的通项．（2）数列中，，（n为正整数），求．
【解析】（1）因为，所以，
所以；
综上：. 而符合上式，故.
（2）因为，，
所以，综上：.
2．（2024·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】方法一：当时，，解得.又，
所以，所以数列为等差数列.又，所以，
解得，所以数列的公差，所以数列的通项公式为.
方法二：恒成立，当时，，解得.
当时，，且，解得.
当时，①，又②，
①-②，得③，所以④.
④-③，得.
因为，所以，即.又，
所以数列是首项为-2，公差为-5的等差数列，所以数列的通项公式为.
故答案为：.
3．（2025·重庆·高三专题练习）已知数列满足，，.若，求数列的通项公式.
【解析】将代入已知可得.
因为，所以，所以有，所以.
又，所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，，所以，.
高频考点5 数列求和
核心知识：
求数列前项和的常见方法有以下四种．
（1）公式法：利用等差、等比数列的前项和公式求数列的前项和．
（2）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．其方法核心有两点：一是裂项，将一个式子分裂成两个式子差的形式；二是要能相消．常见的裂项相消变换有以下形式．
①分式裂项：；
②根式裂项：；③对数式裂项；
④指数式裂项
（3）错位相减法
（4）分组转化法
典例1：（2024·山东潍坊·三模）在①数列为等差数列，且；②，；③正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答. 问题：已知数列的前项和为，且__________.
(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，求.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）若选①，因为为等差数列，令，则，所以公差，
所以等差数列的通项公式为；
若选②，当时，，因此，
即，所以为常数列，因此，所以；
若选③，当时，，即.又因为，所以.
当时，有，，
所以，即.
又因为，所以，所以是以2为公差的等差数列，所以.
（2）若选①，由（1）可知，；
若选②，由（1）可知，；
若选③，由（1）可知，.
变式训练：
1.（2024·高三·北京·开学考试）已知是等差数列，其前项和为，，.
(1)求数列的通项公式及；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列的前项和.条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）设数列{an}的公差为.，，，
所以，所以.
（2）若选①：，；
若选②：，
.
若选③：，
.
2.（2024·高三·天津滨海新·期末）已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，．(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)若，求数列的前项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，，则由，即，得 ，
解得 或，因为，故舍去，所以，．
（2）由（1）得，，所以，
令数列的前项和为，则，
即①，②，
两式相减得：
，
所以.
（3）设数列的前项和为，由，，得，
则，即；故
.
高频考点6 数列性质的综合问题（最值类）
核心知识：解题时，首先要深刻理解等差、等比数列的基本概念和性质，并熟练掌握常用的方法和技能。对于复杂的数列问题，要学会将大问题分解成小问题，运用函数与方程的数学思想处理数列问题。同时，要善于运用猜想与归纳等数学思想，将实际问题或非分等比等差问题转化为等比等差问题处理。此外，数列与不等式、函数、解析几何等知识的交汇也是常考点，需要灵活运用相关知识和方法。总之，解决数列性质的综合问题，需要综合运用多种数学思想和方法，加强解题反思，提高运用知识解决问题的能力。
典例1：（多选题）（2024·广东·二模）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
B．
C．当时，取得最小值 D．记，则数列的前项和为
【答案】BCD
【解析】由题意可设公差为，则有
由有：，故A错误；
故B正确；
，由二次函数的性质可知：
当时，取得最小值，故C正确；因为，
所以
所以为等差数列，公差为4，首项为，
所以的前项和为：故D正确.故选：BCD.
变式训练：
【典例6-1】（多选题）（2024·高三·重庆·期末）设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为 B．满足的最小值是14
C．满足的最大值是14 D．数列的最小项为第8项
【答案】ABD
【解析】由可知．
对于选项A：由为负，为正可知，最小，A正确．
对于选项B：，
则满足的最小值为14，满足的最大值是13,故B正确，C错误．
对于选项D：由为负，为正，且为负，为正可知：
为负．考虑到，故最大，即最小，正确．
故选：ABD
2．（2024·上海杨浦·统考一模）等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
所以是以为首项，为公差的等差数列，
若当且仅当时，的前项和取得最大值，
所以
即，，故选：C.
3．（2024·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列的前 n 项和 ，不等式 对任意恒成立， 则实数m的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．2
【答案】B
【解析】因为，
所以，整理得，
又得，，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，故，，
所以，即，
因为，
令，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又，所以或时，，所以
所以，，解得.所以实数m的最大值为6.故选：B
高频考点7 实际应用中的数列问题
核心知识：
解数列应用题的一般步骤：
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；（2）根据题意数列问题模型；（3）应用数列知识求解；（4）将数列问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等。
典例1：（2024·陕西宝鸡·模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）（参考数据：）
A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元
【答案】A
【解析】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为.
依题意可得，则，
所以数列是首项为90，公比为1.3的等比数列，则，即，
则，
故从2024年到2033年该产品的销售总额约为3937万元. 故选：A.
变式训练：
1.（2024·北京朝阳·二模）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意知，，于是得最底层小球的数量为，即，.
从而有，整理得，
，，
，，由于皆为正整数，所以
（i）当时，，当时，，
（iii）当时，，
（iv）当时，只有符合题意，即的值为2. 故选：B.
2.（2024·辽宁大连·高二统考期末）刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月还一次款，分10次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设小明每个月所要还款的钱数为元，根据等额本息还款法可得，
第一个月末所欠银行贷款为：，
第二个月末所欠银行贷款为：,，……，
第10个月末所欠银行贷款为：
由于分10次还清所有的欠款，故，解得，故选：D．
高频考点8以数列为载体的情境题
核心知识：
1、应用数列知识解决此类问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——等差、等比数列模型；
2、需要读懂题目所表达的具体含义，观察给定数列的特征，进而判断出该数列的通项与求和公式；
3、求解时要明确目标，认清是求和、求通项、还是解递推关系问题，然后通过数学推理与计算得出结果，并回归实际问题中，进行检验，最终得出结论。
典例1：（2024·浙江温州·一模）已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B
【解析】由题意得数列的前项依次为：，个，，个，，个，，个，，，
当时，，
当时，，
所以使成立的的最小值为.故选：B.
变式训练：
1.（2024·福建宁德·二模）若数列相邻两项的和依次构成等差数列，则称是“邻和等差数列”.例如，数列1，2，4，5，7，8，10为“邻和等差数列”.已知数列是“邻和等差数列”，是其前项和，且，，，则（ ）
A．39700 B．39800 C．39900 D．40000
【答案】A
【解析】设，由，得，则，
故．
故选：A
2.（2024·上海奉贤·一模）已知数列不是常数列，前项和为，．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：
①若各项均为正整数的等差数列满足公差，则是“可控数列”；
②若等比数列是“可控数列”，则其公比．
则下列判断正确的是（ ）
A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题
【答案】C
【解析】对于①，由于数列的各项均为正整数，且公差，
但对，有对任意正整数恒成立（否则，矛盾），
故对时有.这表明不是“可控数列”，故①错误；
对于②，若等比数列是“可控数列”，由于数列不是常数列，，故公比.
所以，从而，
则，
当时，则，
令，则可知当时，不成立；
当时，显然成立，而对于恒成立，
由于为严格增数列，且时，，
故问题等价于存在，使得，
记，随m的增大，减小，故，
故只需，解得，故②正确.综上，①是假命题，②是真命题. 故选：C.
高频考点9 数列的递推问题
核心知识：利用构造或猜想，解决数列递推问题.
典例1：（2024·河北沧州·三模）自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成，这种生物在生育下一代时，成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代.若某生物群体的基因型为，在该生物个体的随机交配过程中，基因型为的子代因无法适应自然环境，会被自然界淘汰.例如，当亲代只有基因型个体时，其子1代的基因型如下表所示：
雌雄
×
由上表可知，子1代中，子1代产生的配子中占，占.以此类推，则子10代中个体所占比例为 .
【答案】
【解析】由题，设子代中占比为，则占比为.
所以，则子代的基因型如下表所示，
雌雄
×
由表可得，表格中总份数为（其中淘汰了份），
因此子代中占比为，化简得，即，
即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，，因此 .故答案为：.
变式训练：
1．（2024·广东·高三专题练习）某电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第一次播放了1条以及余下的条的，第2次播放了2条以及余下的，第3次播放了3条以及余下的，以后每次按此规律插播广告，在第次播放了余下的x条．
(1)设第次播放后余下条，这里，，求与的递推关系式．
(2)求这家电视台这一天播放广告的时段x与广告的条数y．
【解析】（1）依题意，第次播放了，
因此，整理得．
（2）∵，
又∵，∴．
∴，∴
∴．
∵当时，，与互质，，∴，则 即．
2．（2025·浙江杭州·高三校联考期中）阿司匹林（分子式，分子质量180）对血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的发病风险.对于急性心肌梗死疑似患者，建议第一次服用剂量300，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小时服用200.阿司匹林口服后经胃肠道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解为主要代谢产物水杨酸（分子式，分子质量138），降解过程生成的水杨酸的质量为阿司匹林质量的，水杨酸的清除半衰期（一般用物质质量衰减一半所用的时间来描述衰减情况，这个时间被称作半衰期）约为12小时.（考虑所有阿司匹林都降解为水杨酸）
(1)求急性心肌梗死疑似患者第1次服药48小时后第3次服药前血液中水杨酸的含量（单位）；
(2)证明：急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230.
【解析】（1）设是小时后第次服药前血液中水杨酸的含量，
易知每24小时，水杨酸的含量变为原来的，则，
时，，；
（2）由（1）知，，
则是以首项为，公比为的等比数列，
故，，，
故急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230mg.
1．（2024·山西运城·三模）已知数列是等差数列，，则（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，则，又，则，解得，
所以.故选：C
2．（2024·广东深圳·高考模拟预测）已知正项等比数列满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为．由，得，解得，
又
故选：A
3．已知正项等差数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为等差数列，所以，，
则，所以，
从而，故，故选：C.
4．记为数列的前项和，若，为等比数列，则（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】D
【解析】因为为等比数列，所以的首项为，第二项为，
第三项为，故的公比为2，所以，
所以当时，，显然当时也符合，
故，所以.故选：D.
5．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】B
【解析】，，
两式相减可得，
所以，因为，所以，即恒成立，故.故选：B.
6．（2024·广东·模拟预测）已知正项等比数列中，，数列满足，则使得不等式成立的的最小值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】B
【解析】由题可得， 所以，
设的公比为，，则，得，所以．
则，所以，
所以，
由，得．故选：B．
7．（2024·四川南充·高三校考阶段练习）已知数列的前项和，，且，若，（其中），则的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．2023 D．
【答案】A
【解析】由题意得，，
将以上各式相加得，
即
，
则，而，，
故，即，
又，故，
当且仅当，即时取等号，即的最小值是4，故选：A
8．（2024·江苏南京·高三校联考期中）已知数列通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，恒成立，所以对恒成立，故，
又当时，为单调递增的数列，故要使对任意，都有，则，即，解得，综上可得，故选:C
9.刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设小明每个月所要还款的钱数为元，
根据等额本息还款法得，第一个月末所欠银行贷款为：，
第二个月末所欠银行贷款数为：；．．．，
第12个月末所欠银行贷款为：
；
由于分12次还清所有的欠款，所以，解得.故选：D．
10．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为斤，设，则（ ）
A． B．7 C．13 D．26
【答案】C
【解析】由题意知：这个人原来持金为斤，
第1关收税金为：斤；第2关收税金为斤；
第3关收税金为斤，
以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤，
所以，
即，解得，
又由，所以.故选：C.
11.若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.已知数列满足，且是数列生成的控制函数，数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．19 B．21 C．22 D．23
【答案】B
【解析】由题意可知，当时，可得，则；
当时，可得，则，所以，
则当时，，
则，因为，所以无解；
当时，，所以，因为，所以，即的值为21.故选：B.
12.（多选题）（2024·高三·甘肃白银·期末）已知数列满足：，则下列说法不正确的是（ ）
A．数列为递减数列 B．存在，使得
C．存在，使得 D．存在，使得
【答案】ABC
【解析】因为，则，可得，
由可得，则，则，
设函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，所以，，
因为，则，，，
以此类推可知，对任意的，，所以，，
故数列为递增数列，A错，B错，C错；
因为，则，，
因此，存在，便得，D对.故选：ABC
13．（2024·江苏南通·高三统考期中）已知等差数列前3项和，，，成等比数列，则数列的公差 ．
【答案】或
【解析】由，可知，即，
又，，成等比数列，所以，
即，解得或，故答案为：或2
14．（2024·陕西渭南·高三校考阶段练习）数列的前项和为，若，则 ．
【答案】
【解析】①，②，
两式相减得，故，，
令中得，，所以，而不适合上式，
故答案为：.
15．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为，在线段上取两个点，，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，则（1） ；（2）如果对，恒成立，那么线段的长度的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意，得图1中的线段为，，
图2中的正六边形边长为，；
图3中的最小正六边形的边长为，
图4中的最小正六边形的边长为， 由此类推，，
因为
，
（1）；
（2），对恒成立，
又，，，
故答案为：（1）；（2）.
16．（2024·山东·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．
【解析】解法一：因为，设，
所以，
则，解得，即，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
解法二：因为，两边同时除以得，
所以，，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，所以.
17．（2024·辽宁朝阳·高三联考阶段练习）在数列中，，.(1)求证：为等差数列；
【解析】（1）由，得，
又，所以数列是以为首项，的等比数列，
即，即，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
18．（2024·河北承德·统考模拟预测）已知数列满足，
(1)证明：数列为等差数列；(2)若将数列中满足的项，称为数列中的相同项，将数列的前40项中所有的相同项都剔除，求数列的前40项中余下项的和.
【解析】（1）数列满足， 设，则，
有，，
所以数列是首项为3公差为3的等差数列，即数列为等差数列.
（2）由（1）可知，，设，同理可证数列是首项为12公差为9的等差数列，，
设数列的前n项和为，数列的前n项和为，数列的前40项和为，
若，即，得，，有，
将数列的前40项中所有的相同项都剔除，则数列的前40项中余下项的和为：
.
19．（2023·辽宁大连·高三大连市金州高级中学校考期中）设是数列的前n项和，已知，(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明：当时，.
【解析】（1）由已知得，
所以.因为，，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，所以的通项公式.
（2）由知，所以，
所以，所以
.
当时，.令，
根据复合函数的单调性可知，当时，单调递增.
又，所以时，有，即，
所以当时，，即当时，.
20．（2024·浙江·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，．
(1)写出数列的前4项；(2)求出数列的通项公式．
【解析】（1）因为①，所以②，
②－①得，所以，所以，
所以，，，．
（2）当，由，得，，，…，，
所以，即，
又，所以．当时，满足上式，故．
21．（2024·湖北·高三专题练习）已知数列满足（），且，求数列的通项公式．
【解析】因为，且，所以，所以，
所以（）即，，，，
将个式子相乘得（），
因为，所以（），
又当时，，所以（）．
22.已知曲线：，点在上，在处的切线为，直线的斜率是直线斜率的2倍，经过点的直线与的另一个交点为，在处的切线为，直线的斜率是直线斜率的2倍，经过点的直线与的另一个交点为，照如此方法构造点，.
(1)证明：直线的方程为.(2)若，证明数列为等比数列，并求出的通项公式.
【解析】（1）由，可得，则的斜率为，
所以的方程为即.
又，所以可化为，故的方程为.
（2）由题可知的方程为，即，
同理可知的方程为.将的方程与方程联立，可得，
所以，即，所以是首项为1，公比为3的等比数列，故.
23．点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线C：上的点作曲线C的切线与曲线C交于，过点作曲线C的切线与曲线C交于点，依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知．
(1)求数列、的通项公式；
(2)记点到直线（即直线）的距离为，求证：；
【解析】（1）曲线上点处的切线的斜率为，故得到的切线方程为，联立方程组，消去得：，
化简得：，所以或.由得点的坐标为，
由得点得坐标为，所以.
故数列是以1为首项，为等比的等比数列，所以，.
（2）由（1）可知，，
所以直线的方程为：，化简得：.
所以，所以，
所以
. 所以.
24．（2024·河北廊坊·高三校联考期中）在数列中，．
(1)证明：数列为常数列．(2)若，求数列的前项和．
【解析】（1）令，得，则．
因为①，所以②．
①-②得，即．
因为，所以数列为常数列．
（2）由（1）可得，所以是公差为1的等差数列，所以．
因为，所以③，④．
③-④得，所以．
25．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，且（为常数）.(1)若构成等比数列，求的值；
(2)若，且恒成立，求实数的最小值.
【解析】（1）令，则，；
令，则，，即；
成等比数列，，即，
解得：或，又，.
（2）当时，由得：，即，
，，
，，，
，
又，，，，即的最小值为.
26．（2024·广东·模拟预测）已知等比数列的前项和为，各项均为正数的数列的前项和为，满足.(1)分别求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和.
【解析】（1）设数列的公比为，
则或，所以当时，，
当时，，所以数列的通项公式为或.
因为① 所以当时，，解得，
当时，，② 由①②可得，即，
所以或. 当时，即（），
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，所以.
当时，即，（）， 当时，，
又，所以，与数列的各项都为正数相矛盾， 综述：数列的通项公式为.
（2）设数列的前n项和为，当时，，
则，当时，，
.
综述：数列的前项和为或.
27．（2024·湖北·高三对口高考）数列是等比数列，前n项和，数列满足.(1)求p的值及通项；(2)求和.
【解析】（1）因为，所以当时，，
因为数列是等比数列，所以也应满足，所以，所以通项.
（2）由（1）得，
当时，
；
当时，
；
所以.
28．（2024·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）已知数列的前n项和为，___________，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列，当时，，.记数列的前n项和为，求.
在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
①；②；③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）选①：∵，时，，
∴两式相减得，即，又当n=1时，，∴，满足上式，∴；
选②：当n=1时，，∴，
∵，时，，∴两式相减得，
数列是以2为首项2为公比的等比数列，∴；
选③∵，时，，
∴两式相除得，当n=1时，，满足上式，∴；
（2）因为当时，，，所以当时，，
当时，，当时，.
当时，，当时，，
当时，，所以.
29.已知数列中，，，对任意都成立，数列的前n项和为．(1)若是等差数列，求k的值；(2)若，，求；
(3)是否存在实数k，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意，数列是等差数列，可得，
即，即，故．
（2）由时，，即，
整理得，故．
当n是偶数时，；
当n是奇数时，，
．
综上，．
（3）若是等比数列，则公比，由题意，故，，．
①若为等差中项，则，即，，解得（舍去）；
②若为等差中项，则，即，．
因为，解得，；
③若为等差中项，则，即，．
因为，解得，，综上，存在实数k满足题意，．
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