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培优提升六　小船渡河与关联速度问题
(分值：100分)
选择题1～11题，每小题8分，共88分。
对点题组练
题组一　小船渡河问题
1.图甲是救援船水上渡河演练的场景，假设船头始终垂直河岸，船的速度v船大小恒定，图乙中虚线ABC是救援船渡河的轨迹示意图，其中A点是出发点，D点位于A点的正对岸，AB段是直线，BC段是曲线，下列说法正确的是(　　)
船以该种方式渡河位移最短
船以该种方式渡河时间最长
AB段中水流速度不断增大
BC段中水流速度不断减小
2.唐僧、悟空、八戒、沙僧师徒四人想划船渡过一条宽200 m、两岸平齐的大河，他们在静水中划船的速度为3 m/s，河水的流速为4 m/s，对于这次划船过河，他们有各自的看法，其中正确的是(　　)
悟空说：我们划船过河只需要40 s的时间
八戒说：要想走最少的路就得朝着正对岸划船
沙僧说：要想到达正对岸就得使船头朝向正对岸
唐僧说：今天这种情况，我们是不可能到达正对岸的
3.(2024·山东东营高一期末)如图所示，小船从岸边A处渡河，船在静水中的速度大小v1＝4 m/s，船头与上游河岸的夹角为37°，河水的流速大小v2＝5 m/s，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则小船相对河岸的速度大小为(　　)
2.4 m/s 3.0 m/s
4.5 m/s 5.0 m/s
题组二　关联速度问题
4.如图所示，某工作人员A以速度v沿直线水平向左拉轻绳，绳与水平方向的夹角为θ，此时表演者B速度大小为(　　)
vsin θ vcos θ
5.如图所示，一根长直轻杆AB靠在墙角沿竖直墙和水平地面向下滑动。当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是(　　)
v1＝v2tan θ v1＝
v1＝v2cos θ v1＝v2sin θ
6.如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未标出)，关于两球速度vA和vB的关系，下列说法正确的是(　　)
若θ＝30°，则A、B两球的速度大小相等
若θ＝60°，则A、B两球的速度大小相等
vA＝vBtan θ
vA＝vBsin θ
7.有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物块A和B，它们通过一根绕过光滑定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，轻绳始终处于紧绷状态，物块A向右运动。如图所示，当绳与轨道成30°角时，物块A和B的速度大小之比为(　　)
1∶1 1∶2
∶2 2∶
综合提升练
8.如图所示，一条小船从码头A过河，小船在静水中的速度为v，船头指向始终与河岸垂直(沿AA′方向)。当水流速度为v1时，小船运动到河对岸的码头B靠岸，AB与河岸的夹角为α＝60°。当水流速度为v2时，小船运动到河对岸的码头C靠岸，AC与河岸的夹角为β＝30°。下列说法正确的是(　　)
小船沿AB、AC过河的时间相等
小船沿AC过河的时间更长
v1∶v2＝1∶2
当水流速度为v1时，要使小船到达码头A′，船头应指向河的上游且与河岸夹角为60°
9.(多选)(2024·广东汕头高一期末)生活中运送装修材料时，常采用图中的滑轮装置。向右做匀速直线运动的工作人员A通过一根绕过定滑轮的轻绳吊起装修材料B，设工作人员和装修材料的速度大小分别为vA和vB，则下列说法正确的是(　　)
vAvA>vB
物块B处于超重状态
物块B处于失重状态
10.如图所示，圆心在O点，半径为R的圆弧轨道abc竖直固定在水平桌面上，Oc与Oa的夹角为60°，轨道最低点a与桌面相切。一段不可伸长的轻绳两端系着质量分别为m和4m的小球A和B(均可视为质点)，挂在圆弧轨道边缘c的两边，开始时，B位于c点，从静止释放，设轻绳足够长，不计一切摩擦，则在B球由c下滑到a的过程中(　　)
当小球B经过a点时，A、B速度大小之比为1∶1
当小球B经过a点时，A、B速度大小之比为2∶
小球B经过a点时的速度大小为
小球B经过a点时的速度大小为
11.(多选)如图所示，不可伸长的轻绳平行于斜面，一端与质量为m的物块B相连，B与斜面光滑接触。轻绳另一端跨过滑轮与质量为M的物块A连接。A在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀速运动，物块B始终沿斜面运动且斜面始终静止，当轻绳与杆的夹角为β时，物块B的速度大小为v2，斜面倾角为α，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
＝
＝
轻绳拉力一定大于mgsin α
斜面受到地面水平向右的摩擦力
培优加强练
12.(12分)一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。
(1)(6分)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s。
①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？
②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？
(2)(6分)若船在静水中的速度v2′＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？
培优提升六　小船渡河与关联速度问题
1.D　[若船头垂直河岸方向渡河，则渡河时间最短，渡河位移不是最短，故A、B错误；若保持船头垂直于河岸，则在垂直于河岸方向上的速度不变，根据等时性可知水平分运动的时间跟竖直分运动的时间相等，AB段中相等的时间水平方向运动的位移相同，因此水流速度不变，BC段中相等的时间水平方向运动的位移变短，因此水流速度不断减小，故C错误，D正确。]
2.D　[当船头与河岸垂直时，用时最短，为t＝＝ s，故A错误；由于水速大于船速，无论怎么划，都无法到达正对岸，当船速垂直于合速度时，渡河位移有最小值，如图，故B、C错误，D正确。]
3.B　[由题意可知，船头与上游河岸的夹角为37°，船在静水中的速度v1可以分解为垂直河岸的分速度和平行河岸的分速度，如图所示，垂直河岸的分速度大小为v⊥＝v1sin 37°＝4×0.6 m/s＝2.4 m/s，平行河岸的分速度大小为v∥＝v1cos 37°＝4×0.8 m/s＝3.2 m/s，方向与水流方向相反。由运动的合成可得小船相对河岸的速度大小为v＝eq \r(v＋（v2－vp）2)＝ m/s＝3.0 m/s，故B正确。]
4.B　[将工作人员A的速度v沿着平行绳子和垂直绳子方向进行分解，如图所示，则有v1＝vcos θ，B的速度与沿绳方向的速度相等，故B正确，A、C、D错误。]
5.A　[将A点的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向，在沿杆方向上的分速度为v11＝v1cos θ，将B点的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向，在沿杆方向上的分速度v21＝v2sin θ，由于v11＝v21，所以v1＝v2tan θ，故A正确。]
6.C　[当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知(如图所示)，沿杆方向两分速度大小相等，vAcos θ＝vBsin θ，即vA＝vBtan θ。当θ＝45°时，vA＝vB，故C正确。]
7.C　[将B的速度分解，如图所示，则有v2＝vA，v2＝vBcos 30°，解得＝cos 30°＝，故C正确。]
8.A　[因船头始终垂直于河岸，可知船过河的时间为t＝，即小船沿AB、AC过河的时间相等，A正确，B错误；由题意可知＝tan 60°，＝tan 30°，解得v1∶v2＝1∶3，C错误；当水流速度为v1时，要使小船到达码头A′，则合速度应该垂直河对岸，船头应指向河的上游且与河岸夹角为cos θ＝＝，则θ≠60°，D错误。]
9.BC　[工作人员A的运动可分解为沿绳方向和垂直于绳方向的两个运动，设斜拉绳子与水平方向的夹角为θ，由几何关系可得vB＝vAcos θ，所以vA>vB，故B正确，A错误；工作人员A向右做匀速直线运动，vA不变，所以斜拉绳子与水平方向的夹角θ减小，则cos θ增大，所以vB增大，即物块B向上做加速直线运动，处于超重状态，故C正确，D错误。]
10.D　[设B球经过a点时，A、B两球的速度大小分别为vA、vB，A球上升的高度为h，由于两球构成的系统机械能守恒，有4mg(R－Rcos 60°)＝mgh＋mv＋(4m)v，由几何关系知h＝＝R，vA、vB沿绳子方向的分速度大小相等，有vA＝vBcos 30°，解得＝cos 30°＝，vB＝，故D正确。]
11.AC　[根据速度的关联性可知，物块B的速度大小为物块A的速度沿着绳方向的分速度大小，即有v2＝v1cos β，可得＝，故A正确，B错误；由于物块A在外力作用下做匀速直线运动，而随着A向下运动，绳子与竖直方向的夹角β在减小，因此B的速度大小v2逐渐增大，即B沿着斜面向上做的是加速运动，则其加速度沿着斜面向上，因此在沿着斜面的方向上对B由牛顿第二定律有T－mgsin α＝ma，可知轻绳拉力一定大于mgsin α，故C正确；取斜面为研究对象，由于斜面受到B对其斜向右下方垂直于斜面的压力，该力有两个作用效果，一个使斜面有向右运动的趋势，一个使斜面紧压地面，由此可知斜面在向右运动的趋势下受到地面水平向左的摩擦力，故D错误。]
12.(1)①垂直河岸方向　36 s　90 m
②船头与上游河岸成60°角方向　24 s　180 m
(2)船头与上游河岸成53°角方向　150 s　300 m
解析　(1)若v2＝5 m/s，船速大于水速。
①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向；当船头垂直河岸时，如图甲所示
tmin＝＝ s＝36 s
v合＝eq \r(v＋v)＝ m/s
s1＝v合tmin＝90 m。
　　
②欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向，如图乙所示
有v2sin α＝v1
得α＝30°
所以当船头与上游河岸夹角为60°时航程最短
s2＝d＝180 m
t＝＝＝24 s。
(2)若v2′＝1.5 m/s，船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为θ，则航程s3＝
欲使航程最短，需使θ最大，如图丙所示，以v1矢量末端为圆心，v2′大小为半径作圆，出发点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合″与水平方向夹角最大，应使v合″与圆相切，即v合″⊥v2′
sin θ＝＝
得θ＝37°
所以船头应朝与上游河岸夹角为53°方向
t′＝＝＝150 s
s3＝＝300 m。培优提升六　小船渡河与关联速度问题
学习目标　1.通过实例分析进一步理解运动的合成与分解的原理。2.会用运动合成与分解的理论分析小船渡河问题。3.会分析实际运动中的关联速度问题。
提升1　小船渡河问题
如图所示为一条宽为d的大河，小明驾着小船从A点出发，欲将一批货物运送到对岸。已知河水流速为v水，小船在静水中的航速为v船。
(1)渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？
(2)怎么求解小船渡河过程所用的时间？小船如何渡河时间最短？最短时间为多少？此时渡河位移为多大？
(3)小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移为多大？
(4)小船渡河时间的长短与水流速度是否有关？
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例1 (新教材鲁科版P41“迁移”改编)如图所示，一条小船位于d＝200 m宽的河正中A点处，下游100 m处有一危险区，已知水流速度为v1＝4 m/s，求：
(1)若小船在静水中速度为v2＝5 m/s，则小船到岸的最短时间；
(2)若小船在静水中速度为v2＝5 m/s，则小船以最短的位移到岸，小船船头与河岸夹角及所用时间；
(3)为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的最小速度。
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“三模型、两方案”解决小船渡河问题
　　
训练 下列选项图中，若渡河区域内的河岸平直，水流速度方向处处与河岸平行，越靠近河中央，水流速度越大。设木船相对静水的速度大小恒定。以最短的时间过河，则木船在出发点P与登陆点Q之间的运动轨迹可能是(　　)
提升2　关联速度问题
如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。
(1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？
(2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？
(3)从运动的合成与分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？
(4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？
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1.分析绳(杆)关联速度问题时，需要注意：应该分解物体的实际运动速度，即________。
分解方法：将物体的实际速度分解为________________和____________的两个分量。
2.常见的速度分解模型
情景图示 定量结论
v＝v∥＝____________
v物′＝v∥＝________
v∥＝v∥′即____________
v∥＝v∥′即____________
角度1　绳的关联速度
例2 如图所示，重物沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高。当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为(　　)
A.vsin θ B.
C.vcos θ D.
例3 (多选)(2024·福建福州高一期末)如图所示，一条细绳跨过光滑轻质定滑轮连接物体A、B，物体A悬挂起来，物体B穿在一根水平杆上。若物体B在水平外力作用下沿杆匀速向左运动，速度大小为v，当绳与水平杆间的夹角为θ时，下列判断正确的是(　　)
A.物体A的速度为
B.物体A的速度为vcos θ
C.细绳的张力等于物体A的重力
D.细绳的张力大于物体A的重力
角度2　杆的关联速度
例4 甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻杆连接，乙球处于水平地面上，甲球紧靠在竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，如图所示，当乙球距离起点3 m时，下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B.甲、乙两球的速度大小之比为3∶
C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
随堂对点自测
1.(小船渡河问题)如图所示为某人游珠江，他以一定的速度且面部始终垂直于河岸向对岸游去。设江中各处水流速度相等，他游过的路程、过河所用的时间与水速的关系是(　　)
A.水速大时，路程长，时间长
B.水速大时，路程长，时间不变
C.水速大时，路程长，时间短
D.路程、时间与水速无关
2.(绳的关联问题)如图所示，汽车通过绳子绕过定滑轮连接重物M一起运动，不计滑轮摩擦和绳子质量，已知汽车以速度v匀速向左运动，绳子与水平方向夹角为θ，重物M的速度用vM表示。则(　　)
A.重物做匀速运动
B.重物做匀变速运动
C.vM＝vcos θ
D.v＝vMcos θ
3.(杆的关联问题)如图所示，一轻杆两端分别固定着质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成θ角时，A球沿槽下滑的速度为vA，则此时B球的速度大小为(　　)
A.vAtan θ B.
C.vAcos θ D.vAsin θ
培优提升六　小船渡河与关联速度问题
提升1
导学　提示　(1)①船相对水的运动(即船在静水中的运动)。
②船随水漂流的运动。
(2)由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度，用河的宽度除以垂直于河岸方向的速度得出过河时间。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。由图可知，tmin＝，此时船渡河的位移大小s＝，位移方向满足tan θ＝。
(3)情况一：v水最短的位移为河宽d，此时合速度垂直河岸。船头与上游河岸夹角θ满足：v船cos θ＝v水，如图所示。渡河所用时间t＝。
情况二：v水>v船
如图所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短。由图可知sin α＝，最短位移为s＝＝d。此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝。
(4)无关。
例1 (1)20 s　(2)37°　 s　(3)2 m/s
解析　(1)当船头与河岸垂直时，时间最短
t1＝＝20 s。
(2)设船头与河岸的夹角为θ，渡河时间为t2，合成图如图：
可知，cos θ＝＝
则θ＝37°
t2＝eq \f(d,2\r(v－v))＝ s。
(3)设小船避开危险区合速度与水流方向的夹角为α，则tan α＝＝，则α＝30°
当船头分运动与合运动垂直时，取得最小值。如图所示
最小速度v2min＝v1sin α＝2 m/s。
训练 D　[以最短的时间过河，则木船的船头垂直于河岸，木船渡河同时参与了两个运动，垂直河岸的分运动和平行河岸的分运动，其中垂直河岸的分速度等于木船相对静水的速度，保持不变；平行河岸的分速度等于水速，根据题意可知平行河岸的分速度先增大后减小，故木船的加速度先平行于河岸向右，后平行于河岸向左，木船做曲线运动，根据加速度方向指向轨迹的凹侧可知，D正确，A、B、C错误。]
提升2
导学　提示　(1)不相等。如图，船的位移s船大于车的位移s车，且s车＝l1－l2。
(2)不相等，船的速度大于车的速度。
(3)如图，P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度。
(4)由v＝v船cos α得v船＝。
知识梳理
1.合速度　垂直于绳(杆)　沿绳(杆)　2.v物cos θ　v物cos θ　v物cos θ＝v物′cos α　v物cos α＝v物′cos β
例2 C　[将重物的速度按图示两个方向分解，如图所示，得绳子速率为v绳＝vcos θ；而绳子速率等于小车的速率，则小车的速率为v车＝v绳＝vcos θ，故C正确。]
例3 BD　[将物体B的速度按图示两个方向分解，如图所示。故物体A的速度等于沿绳方向的速度，则有vA＝vcos θ，故A错误，B正确；物体B向左匀速运动，则θ减小，cos θ增大，故vA增大，即A向上做加速运动，故细绳的张力大于物体A的重力，故C错误，D正确。]
例4 B　[当乙球距离起点3 m时，设轻杆与竖直方向夹角为θ，则sin θ＝，cos θ＝，将两球的速度分别沿杆和垂直于杆的方向进行分解，如图所示，则v1在沿杆方向的分量为v1杆＝v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2杆＝v2sin θ，结合v1杆＝v2杆，解得v1∶v2＝3∶，A错误，B正确；当甲球即将落地时，θ接近90°，此时甲球的速度达到最大，根据v1cos θ＝v2sin θ，得此时乙球的速度v2接近0，C、D错误。]
随堂对点自测
1.B　[将人运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，水流的运动不影响垂直于河岸方向上的运动，在垂直于河岸方向上t＝，人的划水速度不变，所以过河的时间不变。水流速的大小影响在沿河岸方向上的位移，s＝v水t，时间不变，水流速越大，沿河岸方向上的位移越大，根据运动的合成，发生的位移(路程)越大，B正确，A、C、D错误。]
2.C　[将汽车的速度分解为沿绳子方向的分速度和垂直于绳子方向的分速度，则有vM＝vcos θ，由于运动过程θ减小，cos θ增大，则重物M的速度vM增大，重物M做加速运动。假设绳子足够长，经过足够长的时间，θ趋近于0°，cos θ趋近于1，vM趋近于v，可知重物并不是做匀加速运动，C正确，A、B、D错误。]
3.B　[如图所示，将A、B两球的速度分别分解为沿着杆方向和垂直杆方向两个分速度，对A球有vA2＝vAcos θ，对B球有vB2＝vB sin θ，由于vA2、vB2沿着同一个杆，则有vA2＝vB2，即vA cos θ ＝vBsin θ，解得vB＝vA＝，故B正确。](共52张PPT)
培优提升六　小船渡河与关联速度问题
第2章　抛体运动
1.通过实例分析进一步理解运动的合成与分解的原理。
2.会用运动合成与分解的理论分析小船渡河问题。
3.会分析实际运动中的关联速度问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　关联速度问题
提升1　小船渡河问题
提升1　小船渡河问题
如图所示为一条宽为d的大河，小明驾着小船从A点出发，欲将一批货物运送到对岸。已知河水流速为v水，小船在静水中的航速为v船。
(1)渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？
(2)怎么求解小船渡河过程所用的时间？小船如何渡河时间最短？最短时间为多少？此时渡河位移为多大？
(3)小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移为多大？
(4)小船渡河时间的长短与水流速度是否有关？
提示　(1)①船相对水的运动(即船在静水中的运动)。
②船随水漂流的运动。
(4)无关。
(1)若小船在静水中速度为v2＝5 m/s，则小船到岸的最短时间；
(2)若小船在静水中速度为v2＝5 m/s，则小船以最短的位移到岸，小船船头与河岸夹角及所用时间；
(3)为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的最小速度。
(2)设船头与河岸的夹角为θ，渡河时间为t2，合成图如图：
“三模型、两方案”解决小船渡河问题
D
训练 下列选项图中，若渡河区域内的河岸平直，水流速度方向处处与河岸平行，越靠近河中央，水流速度越大。设木船相对静水的速度大小恒定。以最短的时间过河，则木船在出发点P与登陆点Q之间的运动轨迹可能是(　　)
解析　以最短的时间过河，则木船的船头垂直于河岸，木船渡河同时参与了两个运动，垂直河岸的分运动和平行河岸的分运动，其中垂直河岸的分速度等于木船相对静水的速度，保持不变；平行河岸的分速度等于水速，根据题意可知平行河岸的分速度先增大后减小，故木船的加速度先平行于河岸向右，后平行于河岸向左，木船做曲线运动，根据加速度方向指向轨迹的凹侧可知，D正确，A、B、C错误。
提升2　关联速度问题
如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。
(1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？
(2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？
(3)从运动的合成与分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？
(4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？
提示　(1)不相等。如图，船的位移s船大于车的位移s车，且s车＝l1－l2。
(2)不相等，船的速度大于车的速度。
(3)如图，P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度。
1.分析绳(杆)关联速度问题时，需要注意：应该分解物体的实际运动速度，即________。
分解方法：将物体的实际速度分解为________________和__________的两个分量。
合速度
垂直于绳(杆)
沿绳(杆)
2.常见的速度分解模型
情景图示 定量结论
v＝v∥＝________________
v物′＝v∥＝________________
v物cos θ
v物cos θ
情景图示 定量结论
v∥＝v∥′即__________________________________
v∥＝v∥′即__________________________________
v物cos θ＝v物′cos α
v物cos α＝v物′cos β
角度1　绳的关联速度
例2 如图所示，重物沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高。当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为(　　)
C
解析　将重物的速度按图示两个方向分解，如图所示，得绳子速率为v绳＝vcos θ；而绳子速率等于小车的速率，则小车的速率为v车＝v绳＝vcos θ，故C正确。
例3 (多选)(2024·福建福州高一期末)如图所示，一条细绳跨过光滑轻质定滑轮连接物体A、B，物体A悬挂起来，物体B穿在一根水平杆上。若物体B在水平外力作用下沿杆匀速向左运动，速度大小为v，当绳与水平杆间的夹角为θ时，下列判断正确的是(　　)
BD
解析　将物体B的速度按图示两个方向分解，如图所示。故物体A的速度等于沿绳方向的速度，则有vA＝vcos θ，故A错误，B正确；物体B向左匀速运动，则θ减小，cos θ增大，故vA增大，即A向上做加速运动，故细绳的张力大于物体A的重力，故C错误，D正确。
角度2　杆的关联速度
例4 甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻杆连接，乙球处于水平地面上，甲球紧靠在竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，如图所示，当乙球距离起点3 m时，下列说法正确的是(　　)
B
随堂对点自测
2
B
1.(小船渡河问题)如图所示为某人游珠江，他以一定的速度且面部始终垂直于河岸向对岸游去。设江中各处水流速度相等，他游过的路程、过河所用的时间与水速的关系是(　　)
A.水速大时，路程长，时间长
B.水速大时，路程长，时间不变
C.水速大时，路程长，时间短
D.路程、时间与水速无关
C
2.(绳的关联问题)如图所示，汽车通过绳子绕过定滑轮连接重物M一起运动，不计滑轮摩擦和绳子质量，已知汽车以速度v匀速向左运动，绳子与水平方向夹角为θ，重物M的速度用vM表示。则(　　)
A.重物做匀速运动 B.重物做匀变速运动
C.vM＝vcos θ D.v＝vMcos θ
解析　将汽车的速度分解为沿绳子方向的分速度和垂直于绳子方向的分速度，则有vM＝vcos θ，由于运动过程θ减小，cos θ增大，则重物M的速度vM增大，重物M做加速运动。假设绳子足够长，经过足够长的时间，θ趋近于0°，cos θ趋近于1，vM趋近于v，可知重物并不是做匀加速运动，C正确，A、B、D错误。
B
3.(杆的关联问题)如图所示，一轻杆两端分别固定着质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成θ角时，A球沿槽下滑的速度为vA，则此时B球的速度大小为(　　)
课后巩固训练
3
D
题组一　小船渡河问题
1.图甲是救援船水上渡河演练的场景，假设船头始终垂直河岸，船的速度v船大小恒定，图乙中虚线ABC是救援船渡河的轨迹示意图，其中A点是出发点，D点位于A点的正对岸，AB段是直线，BC段是曲线，下列说法正确的是(　　)
A.船以该种方式渡河位移最短
B.船以该种方式渡河时间最长
C.AB段中水流速度不断增大
D.BC段中水流速度不断减小
对点题组练
解析　若船头垂直河岸方向渡河，则渡河时间最短，渡河位移不是最短，故A、B错误；若保持船头垂直于河岸，则在垂直于河岸方向上的速度不变，根据等时性可知水平分运动的时间跟竖直分运动的时间相等，AB段中相等的时间水平方向运动的位移相同，因此水流速度不变，BC段中相等的时间水平方向运动的位移变短，因此水流速度不断减小，故C错误，D正确。
D
2.唐僧、悟空、八戒、沙僧师徒四人想划船渡过一条宽200 m、两岸平齐的大河，他们在静水中划船的速度为3 m/s，河水的流速为4 m/s，对于这次划船过河，他们有各自的看法，其中正确的是(　　)
A.悟空说：我们划船过河只需要40 s的时间
B.八戒说：要想走最少的路就得朝着正对岸划船
C.沙僧说：要想到达正对岸就得使船头朝向正对岸
D.唐僧说：今天这种情况，我们是不可能到达正对岸的
B
3.(2024·山东东营高一期末)如图所示，小船从岸边A处渡河，船在静水中的速度大小v1＝4 m/s，船头与上游河岸的夹角为37°，河水的流速大小v2＝5 m/s，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则小船相对河岸的速度大小为(　　)
A.2.4 m/s B.3.0 m/s
C.4.5 m/s D.5.0 m/s
B
题组二　关联速度问题
4.如图所示，某工作人员A以速度v沿直线水平向左拉轻绳，绳与水平方向的夹角为θ，此时表演者B速度大小为(　　)
解析　将工作人员A的速度v沿着平行绳子和垂直绳子方向进行分解，如图所示，则有v1＝vcos θ，B的速度与沿绳方向的速度相等，故B正确，A、C、D错误。
A
5.如图所示，一根长直轻杆AB靠在墙角沿竖直墙和水平地面向下滑动。当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是(　　)
解析　将A点的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向，在沿杆方向上的分速度为v11＝v1cos θ，将B点的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向，在沿杆方向上的分速度v21＝v2sin θ，由于v11＝v21，所以v1＝v2tan θ，故A正确。
C
6.如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未标出)，关于两球速度vA和vB的关系，下列说法正确的是(　　)
A.若θ＝30°，则A、B两球的速度大小相等
B.若θ＝60°，则A、B两球的速度大小相等
C.vA＝vBtan θ
D.vA＝vBsin θ
C
7.有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物块A和B，它们通过一根绕过光滑定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，轻绳始终处于紧绷状态，物块A向右运动。如图所示，当绳与轨道成30°角时，物块A和B的速度大小之比为(　　)
A
综合提升练
8.如图所示，一条小船从码头A过河，小船在静水中的速度为v，船头指向始终与河岸垂直(沿AA′方向)。当水流速度为v1时，小船运动到河对岸的码头B靠岸，AB与河岸的夹角为α＝60°。当水流速度为v2时，小船运动到河对岸的码头C靠岸，AC与河岸的夹角为β＝30°。下列说法正确的是(　　)
A.小船沿AB、AC过河的时间相等
B.小船沿AC过河的时间更长
C.v1∶v2＝1∶2
D.当水流速度为v1时，要使小船到达码头A′，船头应指向河的上游且与河岸夹角为60°
BC
9.(多选)(2024·广东汕头高一期末)生活中运送装修材料时，常采用图中的滑轮装置。向右做匀速直线运动的工作人员A通过一根绕过定滑轮的轻绳吊起装修材料B，设工作人员和装修材料的速度大小分别为vA和vB，则下列说法正确的是(　　)
A.vAvB
C.物块B处于超重状态 D.物块B处于失重状态
解析　工作人员A的运动可分解为沿绳方向和垂直于绳方向的两个运动，设斜拉绳子与水平方向的夹角为θ，由几何关系可得vB＝vAcos θ，所以vA>vB，故B正确，A错误；工作人员A向右做匀速直线运动，vA不变，所以斜拉绳子与水平方向的夹角θ减小，则cos θ增大，所以vB增大，即物块B向上做加速直线运动，处于超重状态，故C正确，D错误。
D
10.如图所示，圆心在O点，半径为R的圆弧轨道abc竖直固定在水平桌面上，Oc与Oa的夹角为60°，轨道最低点a与桌面相切。一段不可伸长的轻绳两端系着质量分别为m和4m的小球A和B(均可视为质点)，挂在圆弧轨道边缘c的两边，开始时，B位于c点，从静止释放，设轻绳足够长，不计一切摩擦，则在B球由c下滑到a的过程中(　　)
AC
11.(多选)如图所示，不可伸长的轻绳平行于斜面，一端与质量为m的物块B相连，B与斜面光滑接触。轻绳另一端跨过滑轮与质量为M的物块A连接。A在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀速运动，物块B始终沿斜面运动且斜面始终静止，当轻绳与杆的夹角为β时，物块B的速度大小为v2，斜面倾角为α，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
12.一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。
(1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s。
①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？
②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？
(2)若船在静水中的速度v2′＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？
培优加强练
解析　(1)若v2＝5 m/s，船速大于水速。
①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向；当船头垂直河岸时，如图甲所示
②欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向，如图乙所示
有v2sin α＝v1
得α＝30°
所以当船头与上游河岸夹角为60°时航程最短s2＝d＝180 m

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