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培优提升七　平抛运动的两类典型问题
(分值：100分)
选择题1～9题，每小题8分，共72分。
对点题组练
题组一　与斜面、曲面相结合的平抛运动
1.(多选)(2024·广东深圳高一期中)如图所示，某人在斜面底端的正上方某高度处水平抛出两个物体甲、乙，分别落在A、B两处，不计空气阻力，则以下判断正确的是(　　)
甲物体有空中运动的时间更长
乙物体在空中运动的时间更长
甲物体的初速度更大
两个物体空中运动过程中的加速度不同
2.如图所示为竖直放置的圆弧轨道OAB，O点为圆心，半径为R。一个可以视为质点的小球从圆心O以初速度v0水平向右抛出，落在轨道上的C点，已知OC与OB的夹角为α。则v0大小为(　　)
3.如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y＝x2，在y轴上有一点P，坐标为(0，6 m)。从P点将一小球水平抛出，初速度为1 m/s。则小球第一次打在曲面上的位置为(不计空气阻力)(　　)
(3 m，3 m) (2 m，4 m)
(1 m，1 m) (1 m，2 m)
4.如图所示是倾角为30°的斜坡，在斜坡底端P点正上方某一位置Q处以速度v0水平向左抛出一个小球A，小球恰好能垂直落在斜坡上，运动时间为t1，小球B从同一点Q处自由下落，下落至P点的时间为t2，不计空气阻力，则t1∶t2为(　　)
∶ 1∶
1∶3 1∶
5.(多选)如图所示，现有甲、乙两名运动员(均视为质点)从出发区先后沿水平方向向左腾空飞出，其速度大小之比为v甲∶v乙＝2∶1，不计空气阻力，则甲、乙两名运动员从飞出至落到着陆坡(可视为斜面)上的过程中，下列说法正确的是(　　)
甲、乙落到坡面上的瞬时速度方向相同
甲、乙落到坡面上的瞬时速度大小相等
甲、乙在空中飞行的时间之比为t甲∶t乙＝2∶1
甲、乙在空中飞行的水平位移之比为x甲∶x乙＝2∶1
题组二　平抛运动的临界极值问题
6.(新教材鲁科版P47“迁移”改编)在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，壕沟的尺寸如图所示。摩托车后轮离开地面后失去动力，可以视为平抛运动。摩托车后轮落到壕沟对面才算安全，若该摩托车恰能安全越过壕沟，其初速度大小为(　　)
10 m/s 15 m/s
20 m/s 30 m/s
7.如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为(　　)
(＋1)D
8.(2024·陕西宝鸡高一期末)如图所示是消防车利用云梯(未画出)进行高层灭火，消防水炮离地的最大高度H＝40 m，出水口始终保持水平且出水方向可以水平调节，着火点在高h＝20 m的楼层，其水平射出的水的初速度在5 m/s≤v0≤15 m/s之间，可进行调节，出水口与着火点不能靠得太近，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，则(　　)
如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离x最大为40 m
如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离x最小为10 m
如果出水口与着火点的水平距离x不能小于15 m，则射出水的初速度最小为5 m/s
若该着火点高度为40 m，该消防车仍能有效灭火
综合提升练
9.(2024·陕西西安高一期末)如图所示为排球发球员在底线中点距离地面高h1处将排球水平击出，已知排球场的长为l1，宽为l2，球网高为h2。为使排球能落在对方球场区域，则发球员将排球击出后，关于排球初速度的最小值vmin和最大值vmax的描述中正确的是(　　)
vmin＝
vmin＝
vmax＝l1
vmax＝eq \r(\f(g（4l－l）,2h1))
10.(8分)如图为一游戏中某个环节的示意图。参与游戏的选手会遇到一个人造山谷AOB，AO是高h＝3 m的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，∠OAB＝60°，B点右侧是一段水平跑道。选手可以自A点借助绳索降到O点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A点直接跃上水平跑道。选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)(4分)若选手以速度v0在A点水平跳出后，能落到水平跑道上，求v0的最小值；
(2)(4分)若选手以速度v1＝4 m/s在A点水平跳出，求该选手在空中的运动时间。
培优加强练
11.(12分)如图所示，一小球自平台上水平抛出，恰好落在台的一倾角为α＝53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.8 m，重力加速度g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：
(1)(4分)小球水平抛出的初速度v0是多少？
(2)(4分)斜面与平台边缘的水平距离s是多少？
(3)(4分)若斜面顶端高H＝10 m，则小球离开平台后经多长时间t到达斜面底端？
12.(8分)如图所示，在水平地面上有一高h＝3.2 m的竖直墙，现将一小球以v0＝6 m/s的速度，从离地面高为H＝5 m的A点水平抛出，小球撞到墙上B点时的速度与竖直墙成37°角，不计空气阻力和墙的厚度，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)(4分)小球从A到B所用的时间t；
(2)(4分)若仍将小球从原位置沿原方向抛出，为使小球不碰到竖直墙，小球抛出时的初速度大小应满足什么条件？
培优提升七　平抛运动的两类典型问题
1.BC　[根据t＝，由于乙物体下落的高度较大，则乙物体在空中运动的时间更长，故A错误，B正确；根据v＝，下落高度相同时，甲的水平位移较大，则甲的初速度更大，故C正确； 两个物体在空中运动过程中均只受重力作用，则加速度相同，故D错误。]
2.A　[小球平抛时下落的高度为Rsin α，水平距离为Rcos α，可得Rcos α＝v0t，Rsin α＝gt2，解得v0＝，A正确。]
3.C　[小球做平抛运动，水平方向有x1＝v0t，竖直方向有y1＝gt2，球第一次打在曲面上的坐标为(x1，y0－y1)，有y0－y1＝x，解得t＝1 s，x1＝1 m，y1＝5 m，球第一次打在曲面上的坐标为(1 m，1 m)，故C正确。]
4.A　[小球A恰好能垂直落在斜坡上，如图所示，竖直方向的速度vy＝gt1＝，水平位移x＝v0t1，竖直位移hA＝gt，联立得到hA＝gt＝x，由几何关系可知小球B做自由落体运动的高度为hB＝hA＋xtan 30°＝x＝gt，联立解得＝，故A正确。]
5.AC　[只要是落在斜面上，位移与水平方向夹角就相同，速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角的正切值的二倍，故甲、乙速度方向相同，A正确；由于初速度大小不相等，故落到斜面上的速度大小也不相等，B错误；设斜坡倾角为θ，则有tan θ＝＝＝，解得t＝，可知他们飞行时间之比为＝＝，C正确；根据x＝v0t得＝·＝，D错误。]
6.C　[摩托车做平抛运动，竖直方向h1－h2＝gt2，水平方向x＝v0t，解得v0＝20 m/s，故C正确。]
7.C　[设出水孔到水桶中心距离为x，则x＝v0，落到桶底A点时x＋＝v0，解得v0＝·，故C正确。]
8.B　[出水口与着火点之间的高度差为Δh＝20 m，又Δh＝gt2，解得t＝2 s，又5 m/s≤v0≤15 m/s，因此出水口与着火点的水平距离x的范围为10 m≤x≤30 m，故B正确，A错误；如果出水口与着火点的水平距离不能小于15 m，则最小出水速度为7.5 m/s，故C错误；如果着火点高度为40 m，保持出水口水平，则水不能到达着火点，故D错误。]
9.A　[排球恰好从球网中点过去落在对方球场区域时排球初速度最小，根据平抛运动规律可得h1－h2＝gt，＝vmint1，解得vmin＝，故A正确，B错误；排球恰好落在对方球场区域左边两个边角中的其中一个时排球初速度最大，根据平抛运动规律可得h1＝gt，＝vmaxt2，解得vmax＝eq \r(\f(g（4l＋l）,2h1))，故C、D错误。]
10.(1) m/s　(2)0.6 s
解析　(1)若选手以速度v0在A点水平跳出后，恰好落在B点，则水平方向有hsin 60°＝v0t
竖直方向有hcos 60°＝gt2
解得v0＝ m/s
故选手落在水平跑道上的v0的最小值为 m/s。
(2)若选手以速度v1＝4 m/s在A点水平跳出，因v1＜ m/s，选手将落在弧形坡上，设该选手在空中运动的时间为t1，则下降高度为h1＝gt
水平前进距离x＝v1t1
又x2＋h＝h2
解得t1＝0.6 s。
11.(1)3 m/s　(2)1.2 m　(3)1.65 s
解析　(1)小球速度方向与斜面平行，所以vy＝v0 tan 53°，v＝2gh，解得vy＝4 m/s，v0＝3 m/s。
(2)由vy＝gt1得t1＝0.4 s
水平距离为
s＝v0t1＝3×0.4 m＝1.2 m。
(3)小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度
a＝＝gsin 53°＝8 m/s2
初速度v＝eq \r(v＋v)＝5 m/s
且＝vt2＋at
整理得4t＋5t2－12.5＝0，解得t2＝1.25 s或t2＝－2.5 s(舍去)，所以t＝t1＋t2＝1.65 s。
12.(1)0.8 s　(2)v<4.8 m/s或v>8 m/s
解析　(1)小球做平抛运动，撞墙时竖直分速度为vy＝＝8 m/s，由vy＝gt得t＝0.8 s。
(2)小球在水平方向上做匀速直线运动，则有
x＝v0t＝6×0.8 m＝4.8 m
设小球以初速度v1抛出时恰好能越过墙，小球从抛出至运动到墙的上沿历时t1，由平抛运动的规律得x＝v1t1，H－h＝gt，解得v1＝8 m/s
小球以初速度v2抛出时恰好落到墙与地面的交汇处，小球从抛出至落地历时t2，由平抛运动的规律得x＝v2t2，H＝gt，解得v2＝4.8 m/s
所以为使小球不碰到竖直墙，小球抛出时的初速度大小应满足的条件为v<4.8 m/s或v>8 m/s。培优提升七　平抛运动的两类典型问题
学习目标　1.掌握平抛运动的特点及规律，体会将复杂运动分解为简单运动的物理思想。2.掌握平抛运动与斜面、曲面相结合问题的解题方法。3.会分析平抛运动的临界问题。
提升1　与斜面、曲面相结合的平抛运动
角度1　与斜面相结合的平抛运动
已知条件 情景示例 解题策略
已知速度方向 从斜面外水平抛出，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面 分解速度，构建速度矢量三角形vx＝v0vy＝gttan θ＝＝
从斜面外水平抛出，恰好无碰撞地进入斜面轨道，如图所示，已知该点速度沿斜面方向 分解速度vx＝v0vy＝gttan α＝＝
已知位移方向 从斜面上水平抛出又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下 分解位移，构建位移矢量三角形x＝v0ty＝gt2tan θ＝＝
在斜面外水平抛出，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移x＝v0ty＝gt2tan θ＝＝
例1 (2024·福建福州市高一月考)如图所示，以水平初速度v0＝10 m/s 抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为60°的斜面上。不计空气阻力，g＝10 m/s2，则物体完成这段飞行的时间是(　　)
A. s B.1 s
C. s D.2 s
例2 跳台滑雪是一项勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台。一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在滑雪道上获得较高速度后从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图所示。已知可视为质点的运动员从A点水平飞出的速度v0＝20 m/s，山坡可看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
(1)运动员在空中的飞行时间t1；
(2)运动员从飞出至落在斜面上的位移大小s；
(3)运动员落到斜面上时的速度大小v；
(4)运动员何时离斜面最远？
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角度2　与曲面相结合的平抛运动
情景示例 解题策略
从圆弧形轨道外水平抛出，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度，构建速度矢量三角形vx＝v0vy＝gttan θ＝＝
从圆弧面外水平抛出，垂直落在圆弧面上，如图所示，已知速度的方向垂直于圆弧面 分解速度，构建速度矢量三角形vx＝v0vy＝gttan θ＝＝
从圆弧面上水平抛出又落到圆弧面上，如图所示 利用几何关系求解位移关系x＝v0ty＝gt2R2＝(x－R)2＋y2
例3 如图，可视为质点的小球，位于半径为 m半圆柱体左端点A的正上方某处，以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B点。过B点半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°，则物体初速度为(不计空气阻力，重力加速度为g＝10 m/s2)(　　)
A. m/s B.4 m/s
C.3 m/s D.2 m/s
例4 (多选)如图所示，水平固定半球形碗的球心为O点，最低点为P点。在碗边缘处的A点向球心O以速度v1、v2水平抛出两个小球，在空中的飞行时间分别为t1、t2，小球分别落在碗内的M、P两点。已知∠MOP＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，以下判断正确的是(　　)
A.t1∶t2＝∶ B.t1∶t2＝2∶
C.v1∶v2＝∶10 D.v1∶v2＝∶5
提升2　平抛运动的临界极值问题
1.分析平抛运动中临界极值问题的思路
(1)确定运动性质。
(2)分析临界条件。
(3)确定临界状态，并画出轨迹示意图。
(4)应用平抛运动规律结合临界条件列方程求解。
2.处理平抛运动中临界极值问题的关键
(1)提取出重要的临界条件，如“恰好”“不大于”等关键词，确定临界状态及临界轨迹，并由此列出符合临界条件的物理方程。
(2)运用数学知识分析求解临界与极值问题。
例5 (2024·湖北卷，3)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(　　)
A.荷叶a B.荷叶b
C.荷叶c D.荷叶d
例6 (2024·福建福州市高一期末)中国的面食文化博大精深，其中“山西刀削面”堪称一绝。如图所示，面团到锅上边沿的竖直距离h＝0.8 m，最近的水平距离L＝0.6 m，用刀削下面片，面片以v0＝3 m/s的水平速度飞向锅中。已知锅的直径d＝0.4 m，重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力，面片可视作质点。
(1)求面片到达锅上边沿所用的时间t；
(2)为保证削出的面片落入锅中，面片的水平初速度应满足什么条件？
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随堂对点自测
1.(与斜面相结合的平抛运动)如图所示，某物体(可视为质点)以水平初速度抛出，飞行一段时间t＝ s后，垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上(g取10 m/s2)，由此计算出物体的水平位移x和水平初速度v0正确的是(　　)
A.x＝25 m B.x＝5 m
C.v0＝10 m/s D.v0＝20 m/s
2.(与曲面相结合的平抛运动)如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为(　　)
A.eq \f(vtan α,g) B.eq \f(2vtan α,g)
C.eq \f(v,gtan α) D.eq \f(2v,gtan α)
3.(平抛运动的临界问题)如图所示，M、N是两块挡板，挡板M高h′＝10 m，其上边缘与挡板N的下边缘在同一水平面。从高h＝15 m的A点以速度v0水平抛出一小球(可视为质点)，A点与两挡板的水平距离分别为d1＝10 m，d2＝20 m。N板的上边缘高于A点，若能使小球直接进入挡板M的右边区域，则小球水平抛出的初速度v0的大小可能是(g取10 m/s2，空气阻力不计)(　　)
A.8 m/s B.4 m/s
C.15 m/s D.21 m/s
培优提升七　平抛运动的两类典型问题
提升1
例1 A　[物体撞在斜面上的速度与斜面垂直，将该速度分解，如图所示，由于不计空气阻力，因此物体水平方向的速度仍为v0，设物体竖直方向的速度为vy，则有tan 60°＝，又由vy＝gt，解得t＝ s，故A正确。]
例2 (1)3 s　(2)75 m　(3)10 m/s　(4)1.5 s
解析　(1)运动员从A点到B点做平抛运动，
水平方向的位移：x＝v0t1
竖直方向的位移：y＝gt
又有tan 37°＝
解得t1＝3 s，x＝60 m，y＝45 m。
(2)运动员从飞出至落在斜面上的位移大小
s＝＝75 m。
(3)运动员落在斜面上时速度的竖直分量
vy＝gt1＝10×3 m/s＝30 m/s
运动员落到斜面上时的速度大小
v＝eq \r(v＋v)＝10 m/s。
(4)如图，设运动员在C点距离斜面最远，此时合速度方向与斜面平行，
tan 37°＝
即tan 37°＝，解得t2＝＝1.5 s。
例3 C　[小球运动过程中，水平位移为x＝R＋Rcos 60°＝v0t，小球恰好与半圆柱体相切于B点，可知在B点的速度与水平方向的夹角为30°，则vy＝v0tan 30°＝gt，解得v0＝3 m/s，故C正确。]
例4 BD　[小球落在M、P两点下落的高度分别为h1＝Rcos 37°＝0.8R，h2＝R，根据平抛运动规律，竖直方向上h＝gt2，可知t1＝＝，t2＝＝，解得t1∶t2＝2∶，B正确，A错误；小球落在M、P两点水平位移分别为x1＝R－Rsin 37°＝0.4R，x2＝R，根据平抛运动规律，水平方向上x＝vt，可知v1＝＝，v2＝＝，解得v1∶v2＝∶5，C错误，D正确。]
提升2
例5 C　[
]
例6 (1)0.4 s　(2)1.5 m/s解析　(1)由h＝gt2得面片到达锅上边沿所用时间
t＝0.4 s。
(2)当面片恰好落到右边沿时L＝v1t
解得v1＝1.5 m/s
当面片恰好落到左边沿时L＋d＝v2t
解得v2＝2.5 m/s
为保证削出的面片落入锅中
面片水平初速度应满足v1故1.5 m/s随堂对点自测
1.C　[物体撞在斜面上时竖直分速度vy＝gt＝10 m/s，将速度进行分解，根据平行四边形定则知，tan 30°＝，解得v0＝10× m/s＝10 m/s，则水平位移x＝v0t＝10× m＝10 m，故C正确，A、B、D错误。]
2.A　[如图所示，
对在B点时的速度进行分解，小球运动的时间t＝＝，则A、B间的水平距离x＝v0t＝eq \f(vtan α,g)，故A正确，B、C、D错误。]
3.C　[要让小球落到挡板M的右边区域，下落的高度为Δh＝h－h′＝5 m，由t＝得t＝1 s，由d1＝v01t，d2＝v02t，得v0的范围为10 m/s＜v0＜20 m/s，故C正确，A、B、D错误。](共53张PPT)
培优提升七　平抛运动的两类典型问题
第2章　抛体运动
1.掌握平抛运动的特点及规律，体会将复杂运动分解为简单运动的物理思想。
2.掌握平抛运动与斜面、曲面相结合问题的解题方法。
3.会分析平抛运动的临界问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　平抛运动的临界极值问题
提升1　与斜面、曲面相结合的平抛运动
提升1　与斜面、曲面相结合的平抛运动
角度1　与斜面相结合的平抛运动
A
例1 (2024·福建福州市高一月考)如图所示，以水平初速度v0＝10 m/s 抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为60°的斜面上。不计空气阻力，g＝10 m/s2，则物体完成这段飞行的时间是(　　)
例2 跳台滑雪是一项勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台。一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在滑雪道上获得较高速度后从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图所示。已知可视为质点的运动员从A点水平飞出的速度v0＝20 m/s，山坡可看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
(1)运动员在空中的飞行时间t1；
(2)运动员从飞出至落在斜面上的位移大小s；
(3)运动员落到斜面上时的速度大小v；
(4)运动员何时离斜面最远？
解析　(1)运动员从A点到B点做平抛运动，
(3)运动员落在斜面上时速度的竖直分量
vy＝gt1＝10×3 m/s＝30 m/s
角度2　与曲面相结合的平抛运动
C
BD
例4 (多选)如图所示，水平固定半球形碗的球心为O点，最低点为P点。在碗边缘处的A点向球心O以速度v1、v2水平抛出两个小球，在空中的飞行时间分别为t1、t2，小球分别落在碗内的M、P两点。已知∠MOP＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，以下判断正确的是(　　)
提升2　平抛运动的临界极值问题
1.分析平抛运动中临界极值问题的思路
(1)确定运动性质。
(2)分析临界条件。
(3)确定临界状态，并画出轨迹示意图。
(4)应用平抛运动规律结合临界条件列方程求解。
2.处理平抛运动中临界极值问题的关键
(1)提取出重要的临界条件，如“恰好”“不大于”等关键词，确定临界状态及临界轨迹，并由此列出符合临界条件的物理方程。
(2)运用数学知识分析求解临界与极值问题。
例5 (2024·湖北卷，3)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(　　)
A.荷叶a B.荷叶b
C.荷叶c D.荷叶d
C
例6 (2024·福建福州市高一期末)中国的面食文化博大精深，其中“山西刀削面”堪称一绝。如图所示，面团到锅上边沿的竖直距离h＝0.8 m，最近的水平距离L＝0.6 m，用刀削下面片，面片以v0＝3 m/s的水平速度飞向锅中。已知锅的直径d＝0.4 m，重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力，面片可视作质点。
(1)求面片到达锅上边沿所用的时间t；
(2)为保证削出的面片落入锅中，面片的水平初速度应满足什么条件？
答案　(1)0.4 s　(2)1.5 m/s(2)当面片恰好落到右边沿时L＝v1t
解得v1＝1.5 m/s
当面片恰好落到左边沿时L＋d＝v2t
解得v2＝2.5 m/s
为保证削出的面片落入锅中
面片水平初速度应满足v1故1.5 m/s随堂对点自测
2
C
A
2.(与曲面相结合的平抛运动)如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为(　　)
C
3.(平抛运动的临界问题)如图所示，M、N是两块挡板，挡板M高h′＝10 m，其上边缘与挡板N的下边缘在同一水平面。从高h＝15 m的A点以速度v0水平抛出一小球(可视为质点)，A点与两挡板的水平距离分别为d1＝10 m，d2＝20 m。N板的上边缘高于A点，若能使小球直接进入挡板M的右边区域，则小球水平抛出的初速度v0的大小可能是(g取10 m/s2，空气阻力不计)(　　)
A.8 m/s B.4 m/s
C.15 m/s D.21 m/s
课后巩固训练
3
BC
题组一　与斜面、曲面相结合的平抛运动
1.(多选)(2024·广东深圳高一期中)如图所示，某人在斜面底端的正上方某高度处水平抛出两个物体甲、乙，分别落在A、B两处，不计空气阻力，则以下判断正确的是(　　)
对点题组练
A.甲物体有空中运动的时间更长
B.乙物体在空中运动的时间更长
C.甲物体的初速度更大
D.两个物体空中运动过程中的加速度不同
A
C
3.如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y＝x2，在y轴上有一点P，坐标为(0，6 m)。从P点将一小球水平抛出，初速度为1 m/s。则小球第一次打在曲面上的位置为(不计空气阻力)(　　)
A.(3 m，3 m) B.(2 m，4 m)
C.(1 m，1 m) D.(1 m，2 m)
A
4.如图所示是倾角为30°的斜坡，在斜坡底端P点正上方某一位置Q处以速度v0水平向左抛出一个小球A，小球恰好能垂直落在斜坡上，运动时间为t1，小球B从同一点Q处自由下落，下落至P点的时间为t2，不计空气阻力，则t1∶t2为(　　)
AC
5.(多选)如图所示，现有甲、乙两名运动员(均视为质点)从出发区先后沿水平方向向左腾空飞出，其速度大小之比为v甲∶v乙＝2∶1，不计空气阻力，则甲、乙两名运动员从飞出至落到着陆坡(可视为斜面)上的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙落到坡面上的瞬时速度方向相同
B.甲、乙落到坡面上的瞬时速度大小相等
C.甲、乙在空中飞行的时间之比为t甲∶t乙＝2∶1
D.甲、乙在空中飞行的水平位移之比为x甲∶x乙＝2∶1
C
题组二　平抛运动的临界极值问题
6.(新教材鲁科版P47“迁移”改编)在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，壕沟的尺寸如图所示。摩托车后轮离开地面后失去动力，可以视为平抛运动。摩托车后轮落到壕沟对面才算安全，若该摩托车恰能安全越过壕沟，其初速度大小为(　　)
A.10 m/s B.15 m/s
C.20 m/s D.30 m/s
C
7.如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为(　　)
B
8.(2024·陕西宝鸡高一期末)如图所示是消防车利用云梯(未画出)进行高层灭火，消防水炮离地的最大高度H＝40 m，出水口始终保持水平且出水方向可以水平调节，着火点在高h＝20 m的楼层，其水平射出的水的初速度在5 m/s≤v0≤15 m/s之间，可进行调节，出水口与着火点不能靠得太近，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，则(　　)
A.如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离x最大为40 m
B.如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离x最小为10 m
C.如果出水口与着火点的水平距离x不能小于15 m，则射出水的初速度最小为5 m/s
D.若该着火点高度为40 m，该消防车仍能有效灭火
A
9.(2024·陕西西安高一期末)如图所示为排球发球员在底线中点距离地面高h1处将排球水平击出，已知排球场的长为l1，宽为l2，球网高为h2。为使排球能落在对方球场区域，则发球员将排球击出后，关于排球初速度的最小值vmin和最大值vmax的描述中正确的是(　　)
综合提升练
10.如图为一游戏中某个环节的示意图。参与游戏的选手会遇到一个人造山谷AOB，AO是高h＝3 m的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，∠OAB＝60°，B点右侧是一段水平跑道。选手可以自A点借助绳索降到O点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A点直接跃上水平跑道。选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)若选手以速度v0在A点水平跳出后，能落到水平跑道上，求v0的最小值；
(2)若选手以速度v1＝4 m/s在A点水平跳出，求该选手在空中的运动时间。
解析　(1)若选手以速度v0在A点水平跳出后，恰好落在B点，则水平方向有hsin 60°＝v0t
培优加强练
11.如图所示，一小球自平台上水平抛出，恰好落在台的一倾角为α＝53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.8 m，重力加速度g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：
(1)小球水平抛出的初速度v0是多少？
(2)斜面与平台边缘的水平距离s是多少？
(3)若斜面顶端高H＝10 m，则小球离开平台后经多长时间t到达斜面底端？
答案　(1)3 m/s　(2)1.2 m　(3)1.65 s
(2)由vy＝gt1得t1＝0.4 s
水平距离为s＝v0t1＝3×0.4 m＝1.2 m。
12.如图所示，在水平地面上有一高h＝3.2 m的竖直墙，现将一小球以v0＝6 m/s的速度，从离地面高为H＝5 m的A点水平抛出，小球撞到墙上B点时的速度与竖直墙成37°角，不计空气阻力和墙的厚度，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)小球从A到B所用的时间t；
(2)若仍将小球从原位置沿原方向抛出，为使小球不碰到竖直墙，小球抛出时的初速度大小应满足什么条件？
答案　(1)0.8 s　(2)v<4.8 m/s或v>8 m/s

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