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第1节　匀速圆周运动快慢的描述
(分值：100分)
选择题1～11题，每小题7分，共77分。
对点题组练
题组一　描述匀速圆周运动的物理量及各量间的关系
1.如图所示，世界上最大的无轴式摩天轮的总高度为145 m，直径达125 m，摩天轮匀速运行一周需时30 min。摩天轮匀速转动的角速度大小为(　　)
rad/s rad/s
rad/s rad/s
2.如图所示，某同学使篮球在手指上旋转，手指和篮球的接触点与篮球球心在同一竖直线上。篮球上的小泥点随篮球旋转n圈所用时间为t，假设篮球匀速旋转，则小泥点的角速度大小为(　　)
3.小红同学在体验糕点制作“裱花”环节时，她在绕中心匀速转动的圆盘上放置一块8英寸(直径20 cm)的蛋糕，在蛋糕边缘每隔4 s均匀“点”一次奶油，蛋糕转动一周正好均匀“点”上15点奶油。下列说法正确的是(　　)
圆盘转动的转速为2π r/min
圆盘转动的角速度大小为 rad/s
蛋糕边缘的线速度大小为 m/s
蛋糕边缘的奶油半个周期内的平均速度为0
题组二　圆周运动的传动问题
4.如图所示，小强同学正在荡秋千，关于绳上a点和b点的线速度和角速度，下列关系正确的是(　　)
va＝vb va＞vb
ωa＝ωb ωa＜ωb
5.如图所示，当容器中的水从弯管流出时，容器就旋转起来，a、b为附着在容器外表面的两个水滴，当容器旋转时，a、b两水滴的角速度分别为ωa、ωb，线速度分别为va、vb，则(　　)
ωa >ωb ωa ＝ωb
va 6.(2024·福建三明市高一期末)图为某机械的皮带传动装置，已知小轮、大轮的半径分别为r1和r2。当两轮匀速转动时，皮带不打滑，关于小轮、大轮边缘上的点转动的线速度大小v1、v2和周期T1、T2的关系正确的是(　　)
v1∶v2＝r1∶r2 v1∶v2＝r2∶r1
T1∶T2＝r1∶r2 T1∶T2＝r2∶r1
7.(多选)明代出版的《天工开物》一书中就有牛拉齿轮翻车的图画(如图所示)，记录了我们祖先的劳动智慧，若A、B、C三齿轮半径的大小关系如图(rA>rB>rC)，则(　　)
线速度vA＝vB>vC 　 线速度vA角速度ωA<ωB＝ωC 　 角速度ωA＝ωB>ωC
8.(多选)(2023·吉林通化市期中)如图所示，一个环绕中心线OO′以ω为角速度转动的球，球上有A、B两点，则(　　)
A、B两点的角速度相等
A、B两点的线速度相等
若θ＝30°，则vA∶vB＝∶2
若θ＝30°，则vA∶vB＝2∶
综合提升练
9.如图甲所示，变速自行车有多个半径不同的链轮和飞轮，链轮与脚踏共轴，飞轮与后车轮共轴，其变速原理简化为图乙所示，A是链轮上与链条接触的点，B是飞轮的2挡齿轮上与链条相接触的点，C是后轮边缘上的一点，已知rA＝2rB，当人骑车使脚踏板以恒定角速度转动时，下列说法正确的是(　　)
A的线速度大于B的线速度
B的角速度小于C的角速度
A转动一圈，则C转动2圈
仅将链条从飞轮2挡调到1挡可以提速
10.如图所示，如果把钟表上的时针、分针、秒针的运动看成匀速圆周运动，那么，从它的分针与秒针第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为(　　)
min 1 min
min min
11.(多选)明朝的《天工开物》记载了我国古代劳动人民的智慧。如图所示，可转动的把手上a点到转轴的距离为2R，辘轳边缘b点到转轴的距离为R。甲转动把手，把井底的乙加速拉起来，则(　　)
a点的角速度等于b点的角速度
a点的线速度大于b点的线速度
绳对乙的拉力大于乙对绳子的拉力
绳对乙的拉力与乙的重力是一对平衡力
12.(12分)如图所示是花样滑冰模拟男选手以自己为转动轴拉着女选手做匀速圆周运动的示意图，若男选手的转速为45 r/min，女选手触地冰鞋的线速度为6 m/s。求：
(1)(4分)女选手做圆周运动的角速度ω；
(2)(4分)女选手触地冰鞋做圆周运动的半径r；
(3)(4分)若他们手拉手绕他们连线上的某点做匀速圆周运动，已知男、女选手触地冰鞋的线速度分别为3.5 m/s和4.9 m/s，则男、女选手做圆周运动的半径之比为多少？
培优加强练
13.(11分)如图所示的装置可测量子弹的速度，其中薄壁圆筒半径为R，圆筒上的a、b两点是一条直径上的两个端点(图中OO′为圆筒轴线)。圆筒以速度v竖直向下匀速运动，若某时刻子弹沿图示平面正好水平射入a点，且恰能经b点穿出。已知重力加速度为g。
(1)(5分)若圆筒匀速下落时不转动，求子弹射入a点时速度v0的大小；
(2)(6分)若圆筒匀速下落的同时绕OO′匀速转动，求圆筒转动的角速度ω应满足的条件。
第1节　匀速圆周运动快慢的描述
1.A　[摩天轮匀速转动的角速度大小为ω＝＝ rad/s，故A正确。]
2.D　[由角速度定义式，可得篮球的角速度ω＝，故A、B、C错误，D正确。]
3.B　[由题意可知，圆盘转动的周期为T＝15×4 s＝60 s＝1 min，则圆盘转动的转速为1 r/min，A错误；圆盘转动的角速度为ω＝＝ rad/s＝ rad/s，B正确；蛋糕边缘的线速度大小为v＝rω＝0.1× m/s＝ m/s，C错误；蛋糕边缘的奶油半个周期内的平均速度约为＝＝ m/s＝ m/s，故D错误。]
4.C　[绳子绕O点转动，a、b两点角速度相等，即ωa＝ωb，D错误，C正确；由v＝rω及ra＜rb，可知vb＞va，A、B错误。]
5.B　[容器壁上a、b两点旋转的角速度相等，但a的旋转半径大于b的旋转半径，根据v＝rω知a旋转的线速度大于b旋转的线速度，故B正确。]
6.C　[两轮边缘线速度大小相等，即v1∶v2＝1∶1，故A、B错误；根据T＝可知，T1∶T2＝r1∶r2，故C正确，D错误。]
7.AC　[齿轮A与齿轮B是齿轮传动，边缘点线速度相等，故vA＝vB，因为半径关系为rA>rB，根据v＝rω可知，A的角速度小于B的角速度，即ωA＜ωB；B与C是同轴转动，角速度相等，即ωC＝ωB，所以角速度关系为ωA＜ωB＝ωC，故C正确，D错误；B、C两轮角速度相等，根据v＝rω可知，半径比较大的齿轮B比C边缘的线速度大，即vC＜vB，结合前面分析可得vC＜vB＝vA，故A正确，B错误。]
8.AC　[A、B两点围绕同一个转轴转动，角速度相同，转动半径不同，则线速度不同，若θ＝30°，由v＝rω可知线速度之比为vA∶vB＝Rcos 30°∶R＝∶2，故A、C正确，B、D错误。]
9.C　[A、B通过链条传动，A的线速度等于B的线速度，故A错误；飞轮与后车轮共轴，B的角速度等于C的角速度，故B错误；由v＝rω，rA＝2rB，又vA＝vB，ωC＝ωB，可得＝＝＝，则A转动一圈，则C转动2圈，故C正确；由vB＝ωBrB，vC＝ωBR，仅将链条从飞轮2挡调到1挡，飞轮半径变大，rB变大，ωB变小，后轮速度变小，故D错误。]
10.C　[分针的周期为1 h，秒针的周期为1 min，两者的周期比为T1∶T2＝60∶1，分针与秒针从第1次重合到第2次重合有ω2t－ω1t＝2π，即t－t＝2π，所以有t＝ min，故C正确，A、B、D错误。]
11.AB　[a、b两点角速度相同，故A正确；根据v＝rω可知va>vb，即a点的线速度大于b点的线速度，故B正确；绳对乙的拉力与乙对绳的拉力是一对相互作用力，大小相等，方向相反，故C错误；由于乙被加速拉起，其加速度方向向上，即绳对乙的拉力大于乙的重力，绳对乙的拉力与乙的重力不是一对平衡力，故D错误。]
12.(1)1.5π rad/s　(2) m　(3)
解析　(1)两人的角速度相同，转速相同，根据角速度与转速关系得ω＝2πn＝2π× rad/s＝1.5π rad/s。
(2)由公式v＝rω可得女选手触地冰鞋做圆周运动的半径为r＝＝ m＝ m。
(3)设男选手做圆周运动的半径为r1，女选手做圆周运动的半径为r2，两选手的角速度相同，根据v＝rω可得男、女选手做圆周运动的半径之比为＝＝＝。
13.(1)　(2)ω＝(n＝1，2，3，…)
解析　(1)子弹做平抛运动，水平方向上有
2R＝v0t
竖直方向上有vt＝gt2
解得t＝，v0＝。
(2)圆筒转动的角速度是2π的整数倍时，从a点射入的子弹恰好能经b点射出，有2πn＝ωt(n＝1，2，3，…)
解得ω＝(n＝1，2，3，…)。第1节　匀速圆周运动快慢的描述
学习目标　1.会用线速度、角速度、周期、转速描述圆周运动。2.知道线速度、角速度、周期、转速之间的关系。3.知道匀速圆周运动的定义。4.掌握同轴转动和皮带传动的特点，学会分析比较各物理量。
知识点一　描述匀速圆周运动的物理量
如图所示，自行车的车轮绕固定的中心轴转动，A、B为车轮辐条上的两点，当它们随轮一起匀速转动时，讨论并回答下列问题：
(1)A、B两点的运动方向如何？
(2)A、B两点在相等的时间内哪个沿圆弧运动的轨迹长？哪个运动得快？
(3)如果B点在任意相等的时间内转过的弧长相等，B点做匀速运动吗？
(4)A、B两个点相同时间内转过的角度相等吗？转一周的时间相同吗？哪个绕圆心转动得快？
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1.匀速圆周运动
在任意相等时间内通过的________都相等的圆周运动称为匀速圆周运动。
2.线速度
(1)定义：物理学中，将做匀速圆周运动的物体通过的________与所用________之比称为匀速圆周运动的线速度的大小，用符号v表示。
(2)方向：____________________。
(3)定义式：v＝________。
(4)注意：做匀速圆周运动的物体，其轨迹上任意一点的线速度大小________，但方向却时刻都在________，“匀速”的含义是速率不变。
3.角速度
(1)定义：物理学中，将半径转过的__________与____________之比称为匀速圆周运动的角速度，用符号ω表示。
(2)定义式：ω＝________。
(3)单位：国际单位制中，角速度的单位是______，符号是________。
(4)注意：对某一确定的匀速圆周运动，角速度是________的。
4.周期、频率和转速
(1)周期T：周期性运动每重复一次所需要的时间。匀速圆周运动的周期等于物体运动________所用的________，单位：秒(s)、分钟(min)、小时(h)。
(2)频率f：在一段时间内，运动重复的________与这段时间之比。单位：赫兹(Hz)。
(3)转速n：物体一段时间内转过的________与这段时间之比。单位：____________________或________________。
(4)周期、转速和频率的关系：____________(n的单位为r/s)。
【思考判断】
(1)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同。(　　)
(2)物体做匀速圆周运动时，在相等时间内转过的角度相等。(　　)
(3)转速越大，周期越小，物体转动的越快。(　　)
(4)匀速圆周运动是一种匀速运动。(　　)
例1 (多选)如图所示，一长为l的轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，小球绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，在时间t内转过的圆心角为θ，下列说法正确的是(　　)
A.在时间t内小球转过的弧长为θl
B.在时间t内小球转过的弧长为
C.小球转动的角速度大小为
D.小球转动的线速度大小为θlt
知识点二　圆周运动各物理量间的关系
如图所示，物体P沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，周期为T，在一个周期内转过的角度为2π，转过的弧长为2πr，这时的线速度和角速度的大小分别为多少，能得出它们之间存在什么关系？
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1.线速度与角速度的关系：v＝rω。
(1)当v一定时，ω与r成反比。
(2)当ω一定时，v与r成正比。
2.描述圆周运动的各物理量间的关系
例2 一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为4 s，下列说法正确的是(　　)
A.角速度为0.5 rad/s
B.转速为0.25 r/s
C.运动轨迹的半径为 m
D.频率为0.5 Hz
例3 A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们(　　)
A.线速度大小之比为2∶3
B.角速度大小之比为3∶4
C.圆周运动的半径之比为2∶1
D.周期之比为2∶3
知识点三　圆周运动的传动问题
角度1　同轴转动
同轴转动：各点绕同一轴转动 图示
相同量 角速度ωA＝ωB周期TA＝TB
不同量 线速度＝
例4 在学校可以看到一种现象，有同学不由自主地转动自己手中的笔。同学的转笔过程可以视为圆周运动，转笔过程示意图如图，假设笔的长度为L，圆周运动的圆心为O，当笔尖M的线速度大小为v1，笔帽N的线速度大小为v2时，则圆心O到笔尖M的距离为(　　)
A. B.
C. D.
角度2　皮带传动
皮带传动：两轮边缘或皮带上各点 图示
相同量 边缘点线速度的大小vA＝vB
不同量 角速度＝周期＝
例5 (新教材鲁科版P642T改编)如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径是4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则(　　)
A.a点与d点的角速度大小之比为2∶1
B.a点与b点的线速度大小相等
C.a点与c点的角速度大小相等
D.a点与d点的线速度大小之比为4∶1
角度3　齿轮传动
齿轮传动：两齿轮啮合传动 图示
相同量 边缘点线速度的大小vA＝vB A、B为两齿轮边缘点
不同量 角速度＝周期＝
例6 如图所示为一种齿轮传动装置，忽略齿轮啮合部分的厚度，甲、乙两个轮子的半径之比为1∶3，则在传动的过程中(　　)
A.甲、乙两轮的角速度之比为1∶3
B.甲、乙两轮的周期之比为3∶1
C.甲、乙两轮边缘处的线速度大小之比为3∶1
D.甲、乙两轮边缘上的点相等时间内转过的弧长之比为1∶1
知识点四　匀速圆周运动的周期性和多解性
例7 (新教材鲁科版P645T改编)如图，直径为d的纸制圆筒，使它以角速度ω绕轴O匀速转动，然后使子弹沿直径穿过圆筒，若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒上留下a、b两个弹孔，已知aO、bO夹角为φ，求：
(1)子弹的速度；
(2)若题中“在圆筒旋转不到半周时”去掉，子弹的速度又如何？
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随堂对点自测
1.(匀速圆周运动的理解)下面关于匀速圆周运动的表述正确的是(　　)
A.做匀速圆周运动的物体处于平衡状态
B.匀速圆周运动是匀变速曲线运动
C.做匀速圆周运动的物体，其运动快慢用线速度描述
D.做匀速圆周运动的物体，在任意相等时间内的位移相同
2.(转动问题)(新教材鲁科版P63“迁移”改编)如图所示，地球上A、B两点绕地轴转动，其纬度分别是φ1＝30°、φ2＝60°。关于A、B两点，下列说法正确的是(　　)
A.转速之比为3∶1 　 B.线速度之比为∶1
C.角速度之比为∶1 　 D.周期之比为3∶1
3.(周期性与多解问题)(新教材鲁科版P65T6改编)如图所示，在水平圆板中心轴正上方高h＝0.8 m处以v0＝3 m/s的速度水平抛出一小球，圆板做匀速转动。当圆板半径OB转到图示位置时，小球开始抛出。要使小球与圆板只碰一次，且落点为B，求：
(1)小球击中B点时的速度大小；
(2)圆板转动的角速度ω。
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第1节　匀速圆周运动快慢的描述
知识点一
导学　提示　(1)两点的运动方向均沿各自圆周的切线方向。
(2)B点运动的轨迹长，B点运动得快。
(3)B点运动的速率不变，但B点运动的方向时刻变化，故B点不做匀速运动。
(4)A、B两个点相同时间内转过的角度相等，转一周的时间相同。绕圆心转动得一样快。
知识梳理
1.弧长　2.(1)弧长s　时间t　(2)沿圆周的切线方向　(3)　(4)不变　变化　3.(1)角度φ　所用时间t　(2)　(3)弧度每秒　rad/s　(4)不变　4.(1)一周　时间
(2)次数　(3)圈数　转每秒(r/s)　转每分(r/min)
(4)T＝＝
[思考判断]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
例1 AC　[根据弧长与圆心角的关系可知，在时间t内小球转过的弧长为θl，故A正确，B错误；根据角速度的定义式得ω＝，故C正确；小球转动的线速度大小为v＝＝，故D错误。]
知识点二
导学　提示　v＝，ω＝。由以上两式可得出v＝rω。
例2 B　[角速度为ω＝＝0.5π rad/s，故A错误；转速为n＝＝0.25 r/s，故B正确；轨迹半径为r＝＝ m＝ m，故C错误；频率为f＝＝0.25 Hz，故D错误。]
例3 D　[根据v＝，已知在相同时间内它们通过的路程之比是4∶3，则线速度大小之比为4∶3，故A错误；根据ω＝，相同时间内它们转过的角度之比为3∶2，则角速度之比为3∶2，故B错误；根据v＝rω可得圆周运动半径r＝，则圆周运动的半径之比为8∶9，故C错误；根据T＝得，周期之比为2∶3，故D正确。]
知识点三
例4 C　[设圆心O到笔尖M的距离为r1，到笔帽N的距离为r2，则有r1＋r2＝L，笔尖M与笔帽N的角速度相等，则有＝，联立解得r1＝，C正确，A、B、D错误。]
例5 A　[a、c两点的线速度大小相等，根据v＝ωr知a、c两点的角速度之比为ωa∶ωc＝rc∶ra＝2∶1，共轴转动的物体上各点具有相同的角速度，所以b、c、d三点的角速度相等，可知a点与d点的角速度大小之比为ωa∶ωd＝ωa∶ωc＝2∶1，故A正确，C错误；b、c、d三点的角速度相同，根据v＝ωr知b、c、d三点的线速度之比为vb∶vc∶vd＝rb∶rc∶rd＝1∶2∶4，a、c的线速度大小相等，所以a、b、c、d四点线速度之比为va∶vb∶vc∶vd＝2∶1∶2∶4，故B、D错误。]
例6 D　[齿轮传动中，两轮边缘处的线速度大小相等，即线速度大小之比为1∶1，选项C错误；根据v＝rω，甲、乙两个轮子的半径之比为1∶3，故甲、乙两轮的角速度之比为ω1∶ω2＝3∶1，选项A错误；周期T＝，所以甲、乙两轮的周期之比T1∶T2＝1∶3，选项B错误；根据线速度的定义式v＝可知，弧长s＝vt，即甲、乙两轮边缘上的点相等时间内转过的弧长之比为1∶1，选项D正确。]
知识点四
例7 (1)　(2)(n＝0，1，2，…)
解析　(1)子弹从a穿入到从b穿出圆筒时，圆筒转过的角度为π－φ(小于π，圆筒旋转不到半周)，则子弹穿过圆筒的时间为t＝
在这段时间内子弹的位移为d，则子弹的速度为
v＝＝。
(2)当没有“圆筒旋转不到半周”的条件限制时，圆筒旋转的角度为2nπ＋(π－φ)(n为转过的周数，n＝0，1，2，…)，时间为t＝，(n＝0，1，2，…)则v＝＝＝ (n＝0，1，2，…)。
随堂对点自测
1.C　[做匀速圆周运动的物体，其线速度方向是时刻变化的，所受合力不为零，因此处于非平衡状态，故A错误；做匀速圆周运动的物体，其所受的合力指向圆心，由于合力的方向时刻改变，加速度方向时刻改变，因此匀速圆周运动是变加速曲线运动，故B错误；做匀速圆周运动的物体，其运动快慢用线速度描述，故C正确；做匀速圆周运动的物体，在任意相等时间内通过的弧长即路程相等，但位移的方向可能不同，故D错误。]
2.B　[A、B两点均随地球自转，一起绕地轴转动，角速度相同，周期相同，则角速度之比为1∶1，周期之比为1∶1，转速之比为1∶1，故A、C、D错误；由v＝rω可知，线速度之比为vA∶vB＝rA∶rB＝cos 30°∶cos 60°＝∶1，故B正确。]
3.(1)5 m/s　(2)5nπ rad/s(n＝1，2，3，…)
解析　(1)小球抛出后做平抛运动，则有
h＝gt2，vy＝gt，v＝eq \r(v＋v)
解得v＝5 m/s，t＝0.4 s。
(2)由于小球与圆板只碰一次，且落点为B，则有
t＝nT＝(n＝1，2，3，…)
解得ω＝5nπ rad/s(n＝1，2，3，…)。(共57张PPT)
第1节　匀速圆周运动快慢的描述
第3章　圆周运动
1.会用线速度、角速度、周期、转速描述圆周运动。
2.知道线速度、角速度、周期、转速之间的关系。
3.知道匀速圆周运动的定义。
4.掌握同轴转动和皮带传动的特点，学会分析比较各物理量。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　圆周运动各物理量间的关系
知识点一　描述匀速圆周运动的物理量
知识点三　圆周运动的传动问题
知识点四　匀速圆周运动的周期性和多解性
知识点一　描述匀速圆周运动的物理量
如图所示，自行车的车轮绕固定的中心轴转动，A、B为车轮辐条上的两点，当它们随轮一起匀速转动时，讨论并回答下列问题：
(1)A、B两点的运动方向如何？
(2)A、B两点在相等的时间内哪个沿圆弧运动的轨迹长？哪个运动得快？
(3)如果B点在任意相等的时间内转过的弧长相等，B点做匀速运动吗？
(4)A、B两个点相同时间内转过的角度相等吗？转一周的时间相同吗？哪个绕圆心转动得快？
提示　(1)两点的运动方向均沿各自圆周的切线方向。
(2)B点运动的轨迹长，B点运动得快。
(3)B点运动的速率不变，但B点运动的方向时刻变化，故B点不做匀速运动。
(4)A、B两个点相同时间内转过的角度相等，转一周的时间相同。绕圆心转动得一样快。
1.匀速圆周运动
在任意相等时间内通过的______都相等的圆周运动称为匀速圆周运动。
弧长
2.线速度
(1)定义：物理学中，将做匀速圆周运动的物体通过的________与所用________之比称为匀速圆周运动的线速度的大小，用符号v表示。
(2)方向：__________________。
(3)定义式：v＝____________。
(4)注意：做匀速圆周运动的物体，其轨迹上任意一点的线速度大小______，但方向却时刻都在______，“匀速”的含义是速率不变。
弧长s
时间t
沿圆周的切线方向
不变
变化
3.角速度
(1)定义：物理学中，将半径转过的________与____________之比称为匀速圆周运动的角速度，用符号ω表示。
(2)定义式：ω＝_______。
(3)单位：国际单位制中，角速度的单位是__________，符号是____________。
(4)注意：对某一确定的匀速圆周运动，角速度是______的。
角度φ
所用时间t
弧度每秒
rad/s
不变
4.周期、频率和转速
(1)周期T：周期性运动每重复一次所需要的时间。匀速圆周运动的周期等于物体运动______所用的______，单位：秒(s)、分钟(min)、小时(h)。
(2)频率f：在一段时间内，运动重复的______与这段时间之比。单位：赫兹(Hz)。
(3)转速n：物体一段时间内转过的______与这段时间之比。单位：________________________________________。
一周
时间
次数
圈数
转每秒(r/s)或转每分(r/min)
【思考判断】
(1)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同。( )
(2)物体做匀速圆周运动时，在相等时间内转过的角度相等。( )
(3)转速越大，周期越小，物体转动的越快。( )
(4)匀速圆周运动是一种匀速运动。( )
×
√
√
×
AC
例1 (多选)如图所示，一长为l的轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，小球绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，在时间t内转过的圆心角为θ，下列说法正确的是(　　)
知识点二　圆周运动各物理量间的关系
如图所示，物体P沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，周期为T，在一个周期内转过的角度为2π，转过的弧长为2πr，这时的线速度和角速度的大小分别为多少，能得出它们之间存在什么关系？
1.线速度与角速度的关系：v＝rω。
(1)当v一定时，ω与r成反比。
(2)当ω一定时，v与r成正比。
2.描述圆周运动的各物理量间的关系
B
D
例3 A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们(　　)
A.线速度大小之比为2∶3
B.角速度大小之比为3∶4
C.圆周运动的半径之比为2∶1
D.周期之比为2∶3
知识点三　圆周运动的传动问题
角度1　同轴转动
例4 在学校可以看到一种现象，有同学不由自主地转动自己手中的笔。同学的转笔过程可以视为圆周运动，转笔过程示意图如图，假设笔的长度为L，圆周运动的圆心为O，当笔尖M的线速度大小为v1，笔帽N的线速度大小为v2时，则圆心O到笔尖M的距离为(　　)
C
角度2　皮带传动
例5 (新教材鲁科版P642T改编)如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径是4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则(　　)
A.a点与d点的角速度大小之比为2∶1
B.a点与b点的线速度大小相等
C.a点与c点的角速度大小相等
D.a点与d点的线速度大小之比为4∶1
A
解析　a、c两点的线速度大小相等，根据v＝ωr知a、c两点的角速度之比为ωa∶ωc＝rc∶ra＝2∶1，共轴转动的物体上各点具有相同的角速度，所以b、c、d三点的角速度相等，可知a点与d点的角速度大小之比为ωa∶ωd＝ωa∶ωc＝2∶1，故A正确，C错误；b、c、d三点的角速度相同，根据v＝ωr知b、c、d三点的线速度之比为vb∶vc∶vd＝rb∶rc∶rd＝1∶2∶4，a、c的线速度大小相等，所以a、b、c、d四点线速度之比为va∶vb∶vc∶vd＝2∶1∶2∶4，故B、D错误。
角度3　齿轮传动
例6 如图所示为一种齿轮传动装置，忽略齿轮啮合部分的厚度，甲、乙两个轮子的半径之比为1∶3，则在传动的过程中(　　)
A.甲、乙两轮的角速度之比为1∶3
B.甲、乙两轮的周期之比为3∶1
C.甲、乙两轮边缘处的线速度大小之比为3∶1
D.甲、乙两轮边缘上的点相等时间内转过的弧长之比为1∶1
D
知识点四　匀速圆周运动的周期性和多解性
例7 (新教材鲁科版P645T改编)如图，直径为d的纸制圆筒，使它以角速度ω绕轴O匀速转动，然后使子弹沿直径穿过圆筒，若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒上留下a、b两个弹孔，已知aO、bO夹角为φ，求：
(1)子弹的速度；
(2)若题中“在圆筒旋转不到半周时”去掉，子弹的速度又如何？
随堂对点自测
2
C
1.(匀速圆周运动的理解)下面关于匀速圆周运动的表述正确的是(　　)
A.做匀速圆周运动的物体处于平衡状态
B.匀速圆周运动是匀变速曲线运动
C.做匀速圆周运动的物体，其运动快慢用线速度描述
D.做匀速圆周运动的物体，在任意相等时间内的位移相同
解析　做匀速圆周运动的物体，其线速度方向是时刻变化的，所受合力不为零，因此处于非平衡状态，故A错误；做匀速圆周运动的物体，其所受的合力指向圆心，由于合力的方向时刻改变，加速度方向时刻改变，因此匀速圆周运动是变加速曲线运动，故B错误；做匀速圆周运动的物体，其运动快慢用线速度描述，故C正确；做匀速圆周运动的物体，在任意相等时间内通过的弧长即路程相等，但位移的方向可能不同，故D错误。
B
3.(周期性与多解问题)(新教材鲁科版P65T6改编)如图所示，在水平圆板中心轴正上方高h＝0.8 m处以v0＝3 m/s的速度水平抛出一小球，圆板做匀速转动。当圆板半径OB转到图示位置时，小球开始抛出。要使小球与圆板只碰一次，且落点为B，求：
(1)小球击中B点时的速度大小；
(2)圆板转动的角速度ω。
答案　(1)5 m/s　(2)5nπ rad/s(n＝1，2，3，…)
解得v＝5 m/s，t＝0.4 s。
课后巩固训练
3
A
题组一　描述匀速圆周运动的物理量及各量间的关系
1.如图所示，世界上最大的无轴式摩天轮的总高度为145 m，直径达125 m，摩天轮匀速运行一周需时30 min。摩天轮匀速转动的角速度大小为(　　)
对点题组练
D
B
C
题组二　圆周运动的传动问题
4.如图所示，小强同学正在荡秋千，关于绳上a点和b点的线速度和角速度，下列关系正确的是(　　)
A.va＝vb B.va＞vb
C.ωa＝ωb D.ωa＜ωb
解析　绳子绕O点转动，a、b两点角速度相等，即ωa＝ωb，D错误，C正确；由v＝rω及ra＜rb，可知vb＞va，A、B错误。
B
5.如图所示，当容器中的水从弯管流出时，容器就旋转起来，a、b为附着在容器外表面的两个水滴，当容器旋转时，a、b两水滴的角速度分别为ωa、ωb，线速度分别为va、vb，则(　　)
A.ωa >ωb B.ωa ＝ωb
C.va 解析　容器壁上a、b两点旋转的角速度相等，但a的旋转半径大于b的旋转半径，根据v＝rω知a旋转的线速度大于b旋转的线速度，故B正确。
C
6.(2024·福建三明市高一期末)图为某机械的皮带传动装置，已知小轮、大轮的半径分别为r1和r2。当两轮匀速转动时，皮带不打滑，关于小轮、大轮边缘上的点转动的线速度大小v1、v2和周期T1、T2的关系正确的是(　　)
A.v1∶v2＝r1∶r2 B.v1∶v2＝r2∶r1
C.T1∶T2＝r1∶r2 D.T1∶T2＝r2∶r1
AC
7.(多选)明代出版的《天工开物》一书中就有牛拉齿轮翻车的图画(如图所示)，记录了我们祖先的劳动智慧，若A、B、C三齿轮半径的大小关系如图(rA>rB>rC)，则(　　)
A.线速度vA＝vB>vC B.线速度vAC.角速度ωA<ωB＝ωC D.角速度ωA＝ωB>ωC
解析　齿轮A与齿轮B是齿轮传动，边缘点线速度相等，故vA＝vB，因为半径关系为rA>rB，根据v＝rω可知，A的角速度小于B的角速度，即ωA＜ωB；B与C是同轴转动，角速度相等，即ωC＝ωB，所以角速度关系为ωA＜ωB＝ωC，故C正确，D错误；B、C两轮角速度相等，根据v＝rω可知，半径比较大的齿轮B比C边缘的线速度大，即vC＜vB，结合前面分析可得vC＜vB＝vA，故A正确，B错误。
AC
C
9.如图甲所示，变速自行车有多个半径不同的链轮和飞轮，链轮与脚踏共轴，飞轮与后车轮共轴，其变速原理简化为图乙所示，A是链轮上与链条接触的点，B是飞轮的2挡齿轮上与链条相接触的点，C是后轮边缘上的一点，已知rA＝2rB，当人骑车使脚踏板以恒定角速度转动时，下列说法正确的是(　　)
综合提升练
A.A的线速度大于B的线速度
B.B的角速度小于C的角速度
C.A转动一圈，则C转动2圈
D.仅将链条从飞轮2挡调到1挡可以提速
C
AB
11.(多选)明朝的《天工开物》记载了我国古代劳动人民的智慧。如图所示，可转动的把手上a点到转轴的距离为2R，辘轳边缘b点到转轴的距离为R。甲转动把手，把井底的乙加速拉起来，则(　　)
A.a点的角速度等于b点的角速度
B.a点的线速度大于b点的线速度
C.绳对乙的拉力大于乙对绳子的拉力
D.绳对乙的拉力与乙的重力是一对平衡力
解析　a、b两点角速度相同，故A正确；根据v＝rω可知va>vb，即a点的线速度大于b点的线速度，故B正确；绳对乙的拉力与乙对绳的拉力是一对相互作用力，大小相等，方向相反，故C错误；由于乙被加速拉起，其加速度方向向上，即绳对乙的拉力大于乙的重力，绳对乙的拉力与乙的重力不是一对平衡力，故D错误。
12.如图所示是花样滑冰模拟男选手以自己为转动轴拉着女选手做匀速圆周运动的示意图，若男选手的转速为45 r/min，女选手触地冰鞋的线速度为6 m/s。求：
(1)女选手做圆周运动的角速度ω；
(2)女选手触地冰鞋做圆周运动的半径r；
(3)若他们手拉手绕他们连线上的某点做匀速圆周运动，
已知男、女选手触地冰鞋的线速度分别为3.5 m/s和4.9 m/s，
则男、女选手做圆周运动的半径之比为多少？
培优加强练
13.如图所示的装置可测量子弹的速度，其中薄壁圆筒半径为R，圆筒上的a、b两点是一条直径上的两个端点(图中OO′为圆筒轴线)。圆筒以速度v竖直向下匀速运动，若某时刻子弹沿图示平面正好水平射入a点，且恰能经b点穿出。已知重力加速度为g。
(1)若圆筒匀速下落时不转动，求子弹射入a点时速度v0的大小；
(2)若圆筒匀速下落的同时绕OO′匀速转动，求圆筒转动的角速度ω应满足的条件。
解析　(1)子弹做平抛运动，水平方向上有2R＝v0t

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