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第2节　第1课时　向心力　探究向心力大小的表达式
(分值：100分)
选择题1～3题，6～10题，每小题8分，共64分。
对点题组练
题组一　向心力的理解
1.(2024·辽宁葫芦岛高一期末)“荡秋千”是儿童时期比较喜欢的一项运动项目。在荡秋千的过程中，人和座椅整体一定不受(　　)
重力 拉力
空气阻力 向心力
2.如图，用一根结实的细绳拴住一个小物体，在足够大的光滑水平桌面上抡动细绳，使小物体做匀速圆周运动时，则作用在小物体上的拉力方向(　　)
沿绳指向圆心
沿绳背向圆心
垂直于绳、与运动方向相同
垂直于绳、与运动方向相反
3.快艇在湖面上做匀速圆周运动，则水对快艇的作用力方向可能是(　　)
F1
F2
F3
F4
题组二　探究影响向心力大小的因素
温馨提示：此系列题卡，非选择题每空2分，分值不同题空另行标注
4.(6分)如图所示，向心力演示仪的挡板A、C到转轴距离为R，挡板B到转轴距离为2R，塔轮①④半径相同，①②③半径之比为1∶2∶3，④⑤⑥半径之比为3∶2∶1。现通过控制变量法，用该装置探究向心力大小与角速度、运动半径，质量的关系。
(1)当质量和运动半径一定时，探究向心力的大小与角速度的关系，将传动皮带套在②④塔轮上，应将质量相同的小球分别放在挡板________处(选填“A”“B”或“C”中的两个)。
(2)当质量和角速度一定时，探究向心力的大小与运动半径之间的关系，应将皮带套在________塔轮上(选填①②③④⑤⑥中的两个)。
(3)将大小相同的铁球和橡胶球分别放置在A、C挡板处，传动皮带套在①④两个塔轮上，图中标尺上黑白相间的等分格显示出两个小球向心力大小的比值为3∶1，则铁球与橡胶球的质量之比为________。
5.(8分)为“探究向心力大小与角速度的关系”，某实验小组通过如图甲所示的装置进行实验。滑块套在水平杆上，可随水平杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过细绳连接滑块，可测绳上拉力大小。滑块上固定一遮光片，宽度为d，光电门可以记录遮光片通过的时间，测出滑块中心到竖直杆的距离为l。实验过程中细绳始终被拉直。
(1)滑块随杆转动做匀速圆周运动时，每经过光电门一次。力传感器和光电门就同时获得一组拉力F和遮光时间t，则滑块的角速度ω＝________(用t、l、d表示)。
(2)为探究向心力大小与角速度的关系，得到多组实验数据后，应作出F与________(选填“t”“”“t2”或“”)的关系图像。若作出图像是一条过原点的倾斜直线，表明此实验过程中向心力与________成正比(选填“角速度”“角速度的平方”或“角速度二次方根”)。
(3)若作出图像如图乙所示，图线不过坐标原点的原因是_____________________。
题组三　向心力公式及其应用
6.要保持一个质量为2 kg的小球在半径为1 m的圆周上以4 m/s的线速度做匀速圆周运动，则需要提供的向心力为(　　)
1 N 2 N
4 N 32 N
7.一质量为m的小球做半径为r的匀速圆周运动，周期为T，则小球的向心力为(　　)
8.甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，角速度之比4∶3，则它们的向心力之比为(　　)
1∶4 2∶3
4∶9 9∶16
综合提升练
9.(多选)如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是(　　)
小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
向心力是细线对小球的拉力和小球所受重力的合力
向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
向心力的大小等于mgsin θ
10.(多选)如图所示，一对双人花样滑冰运动员，手拉着手绕他们连线上某一点在冰面上做匀速圆周运动，已知男女运动员质量之比为3∶2，两人重心间距为L，不计一切摩擦，则下列说法正确的是(　　)
男女运动员转动所需向心力之比为1∶1
女运动员以男运动员所站位置为圆心转动
男女运动员转动的角速度之比为2∶3
男女运动员转动的线速度之比为2∶3
11.(14分)如图所示为圆盘餐桌的简化示意图，圆盘在水平面内匀速转动，角速度为ω，质量为m杯子(可视为质点)随圆盘一起做匀速圆周运动，杯子到转轴距离为R，求杯子：
(1)(7分)线速度v的大小；
(2)(7分)所受摩擦力f的大小。
培优加强练
12.(8分)如图甲是“探究向心力大小F与质量m、半径r、角速度ω的关系”的实验装置示意图。电动机带动转台匀速转动，改变电动机的电压可以改变转台的转速：质量为m的金属块放在转台上随转台一起转动，金属块到转轴的水平距离为r，用一轻质细线绕过固定在转台中心的光滑小滑轮与力传感器连接，可直接测量向心力的大小F；转台一端下方固定挡光宽度为d的挡光杆，挡光杆经过光电门时，系统将自动记录其挡光时间。金属块与转台之间的摩擦力忽略不计。
(1)某同学测出挡光杆到转轴的水平距离为R，转台匀速转动时挡光杆经过光电门时的挡光时间为Δt，转台的角速度ω的表达式为________(用题目中所给物理量的字母表示)。
(2)该同学为了探究向心力大小F与角速度ω的关系，需要控制________和________两个量保持不变；多次改变转速后，记录了一系列力与对应角速度的数据，作出F－ω2图像如图乙所示，若已知金属块质量m＝0.45 kg，则金属块到转轴的水平距离r＝________ m(结果保留2位有效数字)。
第1课时　向心力　探究向心力大小的表达式
1.D　[在荡秋千的过程中，人和座椅整体受重力、绳子的拉力和空气阻力作用，向心力是效果力，不是整体所受的力，故D正确。]
2.A　[小物体做匀速圆周运动的向心力由绳的拉力提供，方向沿绳指向圆心，故A正确。]
3.C　[快艇在湖面上做匀速圆周运动，合力提供向心力，快艇受重力，以及水对快艇的作用力，受力分析如图所示，所以水对快艇的作用力可能为F3，故C正确。]
4.(1)A、C　(2)①④　(3)3∶1
解析　(1)需要控制两小球做圆周运动的半径相同，故应选择到转轴距离都为R的A、C两处。
(2)两个变速塔轮靠皮带传送，即皮带套在的塔轮上线速度相同，若控制角速度相同，则两塔轮的半径相同，故应将皮带套在①④塔轮上。
(3)由题意可得，两球转动的半径和角速度相同，即两个小球向心力之比即为两个小球质量之比，故为3∶1。
5.(1)　(2)　角速度的平方　(3)滑块与水平杆之间有摩擦力
解析　(1)滑块的角速度为ω＝＝。
(2)根据F＝mlω2＝·可知，为探究向心力大小与角速度的关系，得到多组实验数据后，应作出F与的关系图像；若作出图像是一条过原点的倾斜直线，表明此实验过程中向心力与角速度的平方成正比。
(3)若作出图像如题图乙所示，图线不过坐标原点的原因是滑块与水平杆之间有摩擦力。
6.D　[根据向心力公式可得F向＝m＝ N＝32 N，故D正确。]
7.D　[根据F向＝m，v＝，联立可得F向＝m＝，故D正确。]
8.C　[根据匀速圆周运动向心力公式F＝mrω2，两个物体向心力之比为F甲∶F乙＝4∶9，故C正确。]
9.BC　[对小球受力分析可知，小球受到重力、细线的拉力两个力，这两个力的合力提供小球做圆周运动的向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供小球做圆周运动的向心力，如图所示，故A错误，B、C正确；根据受力分析可知向心力F＝mgtan θ，故D错误。]
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10.AD　[男女运动员转动为同轴转动，角速度相同，因此角速度之比为1∶1，C错误；由两运动员的拉力提供向心力，大小相等，则有男女运动员转动所需向心力之比为1∶1，A正确；男女运动员以相同的角速度转动，由向心力公式有m男r男ω2＝m女r女ω2，则由男女运动员做圆周运动的半径之比为r男∶r女＝m女∶m男＝2∶3，即圆心在两人手的连线上，B错误；由线速度与角速度的关系公式v＝rω，可知男女运动员转动的线速度之比为v男∶v女＝r男∶r女＝2∶3，D正确。]
11.(1)Rω　(2)mRω2
解析　(1)因杯子转动的半径为R，线速度v＝Rω。
(2)根据向心力公式F＝mRω2
杯子的静摩擦力提供做圆周运动的向心力，有
f＝mRω2。
12.(1)ω＝　(2)金属块的质量m　金属块到转轴的水平距离r　0.20
解析　(1)挡光杆绕转轴运动的线速度v＝，根据v＝Rω知转台的角速度ω＝。
(2)该同学为了探究向心力大小F与角速度ω的关系，需要控制金属块的质量m和金属块到转轴的水平距离r两个量保持不变；根据F＝mrω2，结合图像可得mr＝k＝＝0.09，若已知金属块质量m＝0.45 kg，则金属块到转轴的水平距离r＝0.20 m。第2节　科学探究：向心力
第1课时　向心力　探究向心力大小的表达式
学习目标　1.了解向心力的概念，知道向心力是根据力的作用效果命名的。2.通过实验，探究并了解匀速圆周运动向心力大小与半径、线速度、角速度、质量的关系。
知识点一　向心力的理解
取一根细绳，一端系一小球，另一端固定在一枚图钉上。将图钉钉于水平光滑木板上，如图所示。
(1)用手指沿小球与图钉连线的垂直方向轻轻弹击小球，在细绳未伸直前，小球做什么运动？
(2)使小球运动过程中细绳伸直，用手指弹击小球，方向同上，加大弹击力量，小球做什么运动？
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1.定义
做匀速圆周运动的物体一定受到指向________的合外力的作用，这个力称为向心力。
2.方向
始终指向________，总是与运动方向________。
3.作用效果
向心力只改变速度的________，不改变速度的________。
4.向心力的性质
向心力是效果力，不是具体某个性质的力，在受力分析时，不能多出一个向心力。
5.来源
向心力可能是________、________或________，也可能是某几个力的____________或某一个力的分力。
例1 (多选)关于向心力，下列说法正确的是(　　)
A.物体由于做圆周运动而产生向心力
B.向心力不改变做圆周运动的物体的速度大小
C.做匀速圆周运动的物体的向心力是恒定的
D.做匀速圆周运动的物体所受各力的合力即为向心力
例2 (新教材鲁科版P67“图3－14”改编)如图，将细线穿过一根内壁光滑平整的竖直空心管，在细线一端拴一个小螺母，另一端挂一个篮球，摇动空心管使螺母在水平面内做圆周运动。当螺母的转速达到一定值时，篮球就会悬停空中处于静止状态，此时螺母(　　)
A.受到重力、绳子的拉力和向心力
B.受到的重力和绳子的拉力是一对平衡力
C.做圆周运动的向心力由篮球的重力提供
D.做圆周运动的向心力由重力和绳子拉力的合力提供
知识点二　探究影响向心力大小的因素
1.定性探究阅读课本：随着做圆周运动物体的质量变大、转动半径变大、角速度变大，能拉起的篮球数量也变多。说明向心力与哪些因素有关？
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2.用向心力演示器定量探究
(1)实验器材：向心力演示器、小球等。
(2)实验原理与设计
如图所示，匀速转动手柄，可使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也就随之做匀速圆周运动。挡板对小球的作用力提供了小球做匀速圆周运动的向心力。同时，小球挤压挡板的力使挡板另一端压缩测力套筒的弹簧，压缩量可从标尺上读出，该读数即显示了向心力的大小。
(3)实验步骤
①把两个质量不同的小球分别放在长槽和短槽上，调整塔轮上的皮带和小球位置，使两球的转动半径和角速度都相同。转动手柄，观察向心力的大小与质量的关系。
②换两个质量相同的小球，使两球的角速度相同。再增大长槽上小球的转动半径，使两球的转动半径不同。转动手柄，观察向心力的大小与半径的关系。
③两个质量相同的小球，使两球的转动半径相同，观察向心力的大小与角速度的关系。
数据分析
m1∶m2 r1∶r2 ω1∶ω2 F1∶F2 实验结论
实验一 1∶2 1∶1 1∶1 1∶2 F∝m
实验二 1∶1 2∶1 1∶1 2∶1 F∝r
实验三 1∶1 1∶1 1∶2 1∶4 F∝ω2
(4)实验结论：向心力的大小与质量、半径和角速度平方成正比。
【思考】
在探究影响向心力大小的因素实验中，采用了什么探究方法？
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
例3 某实验小组利用如图所示的装置进行“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”实验。转动手柄可使塔轮、长槽和短槽随之匀速转动。塔轮自上而下有三层，每层左、右半径比分别是1∶1、2∶1和3∶1。左、右塔轮通过皮带连接，并可通过改变皮带所处层来改变左、右塔轮的角速度之比。小球在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为1∶2∶1，两个小球随塔轮做匀速圆周运动的向心力大小关系可由标尺露出的等分格的格数判断。
(1)本实验中用到的方法主要是________。
A.理想实验法 B.等效替代法
C.微小量放大法 D.控制变量法
(2)探究向心力F与半径r的关系时，应将质量相同的小球分别放在挡板C和挡板B处，将传动皮带套在两塔轮半径________(选填“相同”或“不同”)的轮盘上。
(3)如图所示，两质量相等的钢球分别放在挡板A和C处。先将皮带连接在左、右半径之比为2∶1的塔轮上，实验中匀速转动手柄，得到左、右标尺露出的等分格数之比为1∶4；再将皮带连接在左、右半径之比为3∶1的塔轮上，匀速转动手柄，此时左、右两边塔轮的角速度之比为________，得到左、右标尺露出的等分格数之比为1∶9。实验表明做匀速圆周运动的物体，在质量和转动半径一定时，向心力的大小与________(选填“角速度”或“角速度的平方”)成正比。
知识点三　向心力公式及简单应用
1.向心力公式：F＝________或F＝________。
2.若用周期和转速表示，向心力公式还可以写为F＝________＝________。
【思考】
如图所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体。
(1)物体需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？
(2)当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受到的摩擦力大小怎样变化？
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例4 (2024·福建宁德高一期末)如图所示，一半径r＝0.2 m的甩干桶内有一质量m＝0.5 kg的物体，物体贴着内壁跟着圆筒以角速度ω＝20 rad/s绕竖直中心轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)物体的运动周期和线速度大小；
(2)桶壁对物体支持力的大小。
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随堂对点自测
1.(向心力的理解)对做圆周运动的物体所受的向心力说法正确的是(　　)
A.做匀速圆周运动的物体，因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B.因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C.向心力一定是物体所受的合外力
D.向心力和向心加速度的方向都是不变的
2.(向心力的分析)游乐场内旋转飞椅的运动可以简化为如图所示的匀速圆周运动，下列关于飞椅的受力分析正确的是(　　)
A.飞椅受到重力、悬绳拉力和向心力的作用
B.飞椅只受向心力作用
C.飞椅在运动中合外力不变
D.飞椅所受的重力和悬绳拉力的合力提供其做圆周运动的向心力
3.(向心力公式的应用)如图所示，质量m＝1 kg的小物块在水平转盘上，随转盘一起做匀速圆周运动。已知轨道半径R＝1 m，转盘角速度ω＝2 rad/s。则小物块所需向心力大小为(　　)
A.3 N B.4 N
C.5 N D.6 N
第1课时　向心力　探究向心力大小的表达式
知识点一
导学　提示　(1)细绳未伸直前，小球做匀速直线运动。
(2)细绳伸直后，小球做匀速圆周运动。
知识梳理
1.圆心　2.圆心　垂直　3.方向　大小　5.弹力　重力　摩擦力　合力
例1 BD　[受到的力提供向心力，物体才做圆周运动，而不是由于物体做圆周运动而产生向心力，故A错误；向心力总是与速度方向垂直，不能改变速度的大小，但能改变速度的方向，故B正确；向心力始终指向圆心，方向时刻在改变，故C错误；向心力是以作用效果命名的力，做匀速圆周运动的物体的向心力是其所受各力的合力，故D正确。]
例2 D　[螺母受到重力、绳子的拉力，故A错误；螺母受到重力和绳子的拉力的合力提供向心力，不是平衡力，故B错误；螺母做圆周运动的向心力由重力和绳子拉力的合力提供，故C错误，D正确。]
知识点二
导学
1.提示　向心力与做圆周运动的物体的质量、转动半径、转动角速度有关，且m变大，r变大，ω变大，向心力均变大。
[思考]　提示　控制变量法。
例3 (1)D　(2)相同　(3)1∶3　角速度的平方
解析　(1)本实验通过控制质量m、角速度ω和半径r中两个物理量相同，探究向心力F与另外一个物理量之间的关系，采用的科学方法是控制变量法，故D正确。
(2)探究向心力F与半径r的关系时，需要控制小球质量m和角速度ω相同，而塔轮边缘线速度相同，所以为了使角速度ω相同，根据v＝Rω可知应将传动皮带套在两塔轮半径相同的轮盘上。
(3)先将皮带连接在左、右半径之比为2∶1的塔轮上，此时左、右两边塔轮的角速度之比，即A、C处钢球做匀速圆周运动的角速度之比为＝＝，并且＝＝eq \f(ω,ω)；再将皮带连接在左、右半径之比为3∶1的塔轮上，此时左、右两边塔轮的角速度之比，即A、C处钢球做匀速圆周运动的角速度之比为＝＝，并且＝＝，以上数据表明做匀速圆周运动的物体，在质量和转动半径一定时，向心力的大小与角速度的平方成正比。
知识点三
1.mrω2　m　2.mr　m(2πn)2r
[思考]　提示　(1)物体随圆盘转动时受重力、弹力、静摩擦力三个力作用，其中静摩擦力指向圆心提供向心力。
(2)当物体转动的角速度变大后，由F＝mrω2知，需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大。
例4 (1) s　4 m/s　(2)40 N
解析　(1)根据T＝可得，物体的运动周期
T＝ s＝ s
根据v＝rω可得，物体的线速度大小
v＝0.2×20 m/s＝4 m/s。
(2)对物体受力分析可知，筒壁对物体的支持力提供向心力，则N＝mrω2＝0.5×0.2×202 N＝40 N，即桶壁对物体支持力的大小为40 N。
随堂对点自测
1.B　[做匀速圆周运动的物体，向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，由于方向时刻发生变化，所以向心力是一个变力，故A错误；因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小，故B正确；做变速圆周运动时，物体所受的合外力的一部分提供向心力，故C错误；向心力和向心加速度的方向总是指向圆心，方向时刻发生变化，故D错误。]
2.D　[向心力为效果力，是由其他的力提供的，而飞椅在做圆周运动的过程中实际只受到重力与悬绳的拉力这两个力的作用，而向心力是由这两个力的合力提供的，故A、B错误，D正确；做匀速圆周运动的物体，所受合外力大小不变，方向始终指向圆心，即方向始终在发生变化，因此飞椅在运动中合外力始终在变，故C错误。]
3.B　[小物块随转盘一起做匀速圆周运动，由向心力公式可得小物块所需向心力大小为F＝mRω2＝1×1×22 N＝4 N，故A、C、D错误，B正确。](共51张PPT)
第2节　科学探究：向心力
第1课时　向心力　探究向心力大小的表达式
第3章　圆周运动
1.了解向心力的概念，知道向心力是根据力的作用效果命名的。
2.通过实验，探究并了解匀速圆周运动向心力大小与半径、线速度、角速度、质量的关系。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　探究影响向心力大小的因素
知识点一　向心力的理解
知识点三　向心力公式及简单应用
知识点一　向心力的理解
取一根细绳，一端系一小球，另一端固定在一枚图钉上。将图钉钉于水平光滑木板上，如图所示。
(1)用手指沿小球与图钉连线的垂直方向轻轻弹击小球，在细绳未伸直前，小球做什么运动？
(2)使小球运动过程中细绳伸直，用手指弹击小球，方向同上，加大弹击力量，小球做什么运动？
提示　(1)细绳未伸直前，小球做匀速直线运动。
(2)细绳伸直后，小球做匀速圆周运动。
1.定义
做匀速圆周运动的物体一定受到指向______的合外力的作用，这个力称为向心力。
2.方向
始终指向______，总是与运动方向______。
3.作用效果
向心力只改变速度的______，不改变速度的______。
圆心
圆心
垂直
方向
大小
4.向心力的性质
向心力是效果力，不是具体某个性质的力，在受力分析时，不能多出一个向心力。
5.来源
向心力可能是______、______或________，也可能是某几个力的______或某一个力的分力。
弹力
重力
摩擦力
合力
例1 (多选)关于向心力，下列说法正确的是(　　)
A.物体由于做圆周运动而产生向心力
B.向心力不改变做圆周运动的物体的速度大小
C.做匀速圆周运动的物体的向心力是恒定的
D.做匀速圆周运动的物体所受各力的合力即为向心力
BD
解析　受到的力提供向心力，物体才做圆周运动，而不是由于物体做圆周运动而产生向心力，故A错误；向心力总是与速度方向垂直，不能改变速度的大小，但能改变速度的方向，故B正确；向心力始终指向圆心，方向时刻在改变，故C错误；向心力是以作用效果命名的力，做匀速圆周运动的物体的向心力是其所受各力的合力，故D正确。
D
例2 (新教材鲁科版P67“图3－14”改编)如图，将细线穿过一根内壁光滑平整的竖直空心管，在细线一端拴一个小螺母，另一端挂一个篮球，摇动空心管使螺母在水平面内做圆周运动。当螺母的转速达到一定值时，篮球就会悬停空中处于静止状态，此时螺母(　　)
A.受到重力、绳子的拉力和向心力
B.受到的重力和绳子的拉力是一对平衡力
C.做圆周运动的向心力由篮球的重力提供
D.做圆周运动的向心力由重力和绳子拉力的合力提供
解析　螺母受到重力、绳子的拉力，故A错误；螺母受到重力和绳子的拉力的合力提供向心力，不是平衡力，故B错误；螺母做圆周运动的向心力由重力和绳子拉力的合力提供，故C错误，D正确。
知识点二　探究影响向心力大小的因素
1.定性探究
阅读课本：随着做圆周运动物体的质量变大、转动半径变大、角速度变大，能拉起的篮球数量也变多。说明向心力与哪些因素有关？
提示　向心力与做圆周运动的物体的质量、转动半径、转动角速度有关，且m变大，r变大，ω变大，向心力均变大。
2.用向心力演示器定量探究
(1)实验器材：向心力演示器、小球等。
(2)实验原理与设计
如图所示，匀速转动手柄，可使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也就随之做匀速圆周运动。挡板对小球的作用力提供了小球做匀速圆周运动的向心力。同时，小球挤压挡板的力使挡板另一端压缩测力套筒的弹簧，压缩量可从标尺上读出，该读数即显示了向心力的大小。
(3)实验步骤
①把两个质量不同的小球分别放在长槽和短槽上，调整塔轮上的皮带和小球位置，使两球的转动半径和角速度都相同。转动手柄，观察向心力的大小与质量的关系。
②换两个质量相同的小球，使两球的角速度相同。再增大长槽上小球的转动半径，使两球的转动半径不同。转动手柄，观察向心力的大小与半径的关系。
③两个质量相同的小球，使两球的转动半径相同，观察向心力的大小与角速度的关系。
数据分析
m1∶m2 r1∶r2 ω1∶ω2 F1∶F2 实验结论
实验一 1∶2 1∶1 1∶1 1∶2 F∝m
实验二 1∶1 2∶1 1∶1 2∶1 F∝r
实验三 1∶1 1∶1 1∶2 1∶4 F∝ω2
(4)实验结论：向心力的大小与质量、半径和角速度平方成正比。
【思考】
在探究影响向心力大小的因素实验中，采用了什么探究方法？
提示　控制变量法。
例3 某实验小组利用如图所示的装置进行“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”实验。转动手柄可使塔轮、长槽和短槽随之匀速转动。塔轮自上而下有三层，每层左、右半径比分别是1∶1、2∶1和3∶1。左、右塔轮通过皮带连接，并可通过改变皮带所处层来改变左、右塔轮的角速度之比。小球在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为1∶2∶1，两个小球随塔轮做匀速圆周运动的向心力大小关系可由标尺露出的等分格的格数判断。
(1)本实验中用到的方法主要是________。
A.理想实验法 B.等效替代法
C.微小量放大法 D.控制变量法
(2)探究向心力F与半径r的关系时，应将质量相同的小球分别放在挡板C和挡板B处，将传动皮带套在两塔轮半径________(选填“相同”或“不同”)的轮盘上。
(3)如图所示，两质量相等的钢球分别放在挡板A和C处。先将皮带连接在左、右半径之比为2∶1的塔轮上，实验中匀速转动手柄，得到左、右标尺露出的等分格数之比为1∶4；再将皮带连接在左、右半径之比为3∶1的塔轮上，匀速转动手柄，此时左、右两边塔轮的角速度之比为________，得到左、右标尺露出的等分格数之比为1∶9。实验表明做匀速圆周运动的物体，在质量和转动半径一定时，向心力的大小与________(选填“角速度”或“角速度的平方”)成正比。
答案　(1)D　(2)相同　(3)1∶3　角速度的平方
解析　(1)本实验通过控制质量m、角速度ω和半径r中两个物理量相同，探究向心力F与另外一个物理量之间的关系，采用的科学方法是控制变量法，故D正确。
(2)探究向心力F与半径r的关系时，需要控制小球质量m和角速度ω相同，而塔轮边缘线速度相同，所以为了使角速度ω相同，根据v＝Rω可知应将传动皮带套在两塔轮半径相同的轮盘上。
知识点三　向心力公式及简单应用
mrω2
m(2πn)2r
【思考】
如图所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体。
(1)物体需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？
(2)当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受到的摩擦力大小怎样变化？
提示　(1)物体随圆盘转动时受重力、弹力、静摩擦力三个力作用，其中静摩擦力指向圆心提供向心力。
(2)当物体转动的角速度变大后，由F＝mrω2知，需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大。
例4 (2024·福建宁德高一期末)如图所示，一半径r＝0.2 m的甩干桶内有一质量m＝0.5 kg的物体，物体贴着内壁跟着圆筒以角速度ω＝20 rad/s绕竖直中心轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)物体的运动周期和线速度大小；
(2)桶壁对物体支持力的大小。
根据v＝rω可得，物体的线速度大小v＝0.2×20 m/s＝4 m/s。
(2)对物体受力分析可知，筒壁对物体的支持力提供向心力，则N＝mrω2＝0.5×0.2×202 N＝40 N，即桶壁对物体支持力的大小为40 N。
随堂对点自测
2
B
1.(向心力的理解)对做圆周运动的物体所受的向心力说法正确的是(　　)
A.做匀速圆周运动的物体，因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B.因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C.向心力一定是物体所受的合外力
D.向心力和向心加速度的方向都是不变的
解析　做匀速圆周运动的物体，向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，由于方向时刻发生变化，所以向心力是一个变力，故A错误；因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小，故B正确；做变速圆周运动时，物体所受的合外力的一部分提供向心力，故C错误；向心力和向心加速度的方向总是指向圆心，方向时刻发生变化，故D错误。
D
2.(向心力的分析)游乐场内旋转飞椅的运动可以简化为如图所示的匀速圆周运动，下列关于飞椅的受力分析正确的是(　　)
A.飞椅受到重力、悬绳拉力和向心力的作用
B.飞椅只受向心力作用
C.飞椅在运动中合外力不变
D.飞椅所受的重力和悬绳拉力的合力提供其做圆周运动的向心力
解析　向心力为效果力，是由其他的力提供的，而飞椅在做圆周运动的过程中实际只受到重力与悬绳的拉力这两个力的作用，而向心力是由这两个力的合力提供的，故A、B错误，D正确；做匀速圆周运动的物体，所受合外力大小不变，方向始终指向圆心，即方向始终在发生变化，因此飞椅在运动中合外力始终在变，故C错误。
B
3.(向心力公式的应用)如图所示，质量m＝1 kg的小物块在水平转盘上，随转盘一起做匀速圆周运动。已知轨道半径R＝1 m，转盘角速度ω＝2 rad/s。则小物块所需向心力大小为(　　)
A.3 N B.4 N
C.5 N D.6 N
解析　小物块随转盘一起做匀速圆周运动，由向心力公式可得小物块所需向心力大小为F＝mRω2＝1×1×22 N＝4 N，故A、C、D错误，B正确。
课后巩固训练
3
D
题组一　向心力的理解
1.(2024·辽宁葫芦岛高一期末)“荡秋千”是儿童时期比较喜欢的一项运动项目。在荡秋千的过程中，人和座椅整体一定不受(　　)
A.重力 B.拉力
C.空气阻力 D.向心力
解析　在荡秋千的过程中，人和座椅整体受重力、绳子的拉力和空气阻力作用,向心力是效果力，不是整体所受的力，故D正确。
对点题组练
A
2.如图，用一根结实的细绳拴住一个小物体，在足够大的光滑水平桌面上抡动细绳，使小物体做匀速圆周运动时，则作用在小物体上的拉力方向(　　)
A.沿绳指向圆心
B.沿绳背向圆心
C.垂直于绳、与运动方向相同
D.垂直于绳、与运动方向相反
解析　小物体做匀速圆周运动的向心力由绳的拉力提供，方向沿绳指向圆心，故A正确。
C
3.快艇在湖面上做匀速圆周运动，则水对快艇的作用力方向可能是(　　)
A.F1 B.F2
C.F3 D.F4
解析　快艇在湖面上做匀速圆周运动，合力提供向心力，快艇受重力，以及水对快艇的作用力，受力分析如图所示，所以水对快艇的作用力可能为F3，故C正确。
题组二　探究影响向心力大小的因素
4.如图所示，向心力演示仪的挡板A、C到转轴距离为R，挡板B到转轴距离为2R，塔轮①④半径相同，①②③半径之比为1∶2∶3，④⑤⑥半径之比为3∶2∶1。现通过控制变量法，用该装置探究向心力大小与角速度、运动半径，质量的关系。
(1)当质量和运动半径一定时，探究向心力的大小与角速度的关系，将传动皮带套在②④塔轮上，应将质量相同的小球分别放在挡板________处(选填“A”“B”或“C”中的两个)。
(2)当质量和角速度一定时，探究向心力的大小与运动半径之间的关系，应将皮带套在________塔轮上(选填①②③④⑤⑥中的两个)。
(3)将大小相同的铁球和橡胶球分别放置在A、C挡板处，传动皮带套在①④两个塔轮上，图中标尺上黑白相间的等分格显示出两个小球向心力大小的比值为3∶1，则铁球与橡胶球的质量之比为________。
答案　(1)A、C　(2)①④　(3)3∶1
解析　(1)需要控制两小球做圆周运动的半径相同，故应选择到转轴距离都为R的A、C两处。
(2)两个变速塔轮靠皮带传送，即皮带套在的塔轮上线速度相同，若控制角速度相同，则两塔轮的半径相同，故应将皮带套在①④塔轮上。
(3)由题意可得，两球转动的半径和角速度相同，即两个小球向心力之比即为两个小球质量之比，故为3∶1。
5.为“探究向心力大小与角速度的关系”，某实验小组通过如图甲所示的装置进行实验。滑块套在水平杆上，可随水平杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过细绳连接滑块，可测绳上拉力大小。滑块上固定一遮光片，宽度为d，光电门可以记录遮光片通过的时间，测出滑块中心到竖直杆的距离为l。实验过程中细绳始终被拉直。
(1)滑块随杆转动做匀速圆周运动时，每经过光电门一次。力传感器和光电门就同时获得一组拉力F和遮光时间t，则滑块的角速度ω＝________(用t、l、d表示)。
题组三　向心力公式及其应用
6.要保持一个质量为2 kg的小球在半径为1 m的圆周上以4 m/s的线速度做匀速圆周运动，则需要提供的向心力为(　　)
A.1 N B.2 N C.4 N D.32 N
D
D
C
8.甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，角速度之比4∶3，则它们的向心力之比为(　　)
A.1∶4 B.2∶3 C.4∶9 D.9∶16
解析　根据匀速圆周运动向心力公式F＝mrω2，两个物体向心力之比为F甲∶F乙＝4∶9，故C正确。
BC
9.(多选)如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是(　　)
A.小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B.向心力是细线对小球的拉力和小球所受重力的合力
C.向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D.向心力的大小等于mgsin θ
综合提升练
解析　对小球受力分析可知，小球受到重力、细线的拉力两个力，这两个力的合力提供小球做圆周运动的向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供小球做圆周运动的向心力，如图所示，故A错误，B、C正确；根据受力分析可知向心力F＝mgtan θ，故D错误。
AD
10.(多选)如图所示，一对双人花样滑冰运动员，手拉着手绕他们连线上某一点在冰面上做匀速圆周运动，已知男女运动员质量之比为3∶2，两人重心间距为L，不计一切摩擦，则下列说法正确的是(　　)
A.男女运动员转动所需向心力之比为1∶1
B.女运动员以男运动员所站位置为圆心转动
C.男女运动员转动的角速度之比为2∶3
D.男女运动员转动的线速度之比为2∶3
解析　男女运动员转动为同轴转动，角速度相同，因此角速度之比为1∶1，C错误；由两运动员的拉力提供向心力，大小相等，则有男女运动员转动所需向心力之比为1∶1，A正确；男女运动员以相同的角速度转动，由向心力公式有m男r男ω2＝m女r女ω2，则由男女运动员做圆周运动的半径之比为r男∶r女＝m女∶m男＝2∶3，即圆心在两人手的连线上，B错误；由线速度与角速度的关系公式v＝rω，可知男女运动员转动的线速度之比为v男∶v女＝r男∶r女＝2∶3，D正确。
11.如图所示为圆盘餐桌的简化示意图，圆盘在水平面内匀速转动，角速度为ω，质量为m杯子(可视为质点)随圆盘一起做匀速圆周运动，杯子到转轴距离为R，求杯子：
(1)线速度v的大小；
(2)所受摩擦力f的大小。
答案　(1)Rω　(2)mRω2
解析　(1)因杯子转动的半径为R，线速度v＝Rω。
(2)根据向心力公式F＝mRω2
杯子的静摩擦力提供做圆周运动的向心力，有f＝mRω2。
12.如图甲是“探究向心力大小F与质量m、半径r、角速度ω的关系”的实验装置示意图。电动机带动转台匀速转动，改变电动机的电压可以改变转台的转速：质量为m的金属块放在转台上随转台一起转动，金属块到转轴的水平距离为r，用一轻质细线绕过固定在转台中心的光滑小滑轮与力传感器连接，可直接测量向心力的大小F；转台一端下方固定挡光宽度为d的挡光杆，挡光杆经过光电门时，系统将自动记录其挡光时间。金属块与转台之间的摩擦力忽略不计。
培优加强练
(1)某同学测出挡光杆到转轴的水平距离为R，转台匀速转动时挡光杆经过光电门时的挡光时间为Δt，转台的角速度ω的表达式为________(用题目中所给物理量的字母表示)。
(2)该同学为了探究向心力大小F与角速度ω的关系，需要控制________和________两个量保持不变；多次改变转速后，记录了一系列力与对应角速度的数据，作出F－ω2图像如图乙所示，若已知金属块质量m＝0.45 kg，则金属块到转轴的水平距离r＝________ m(结果保留2位有效数字)。第2节　第2课时　向心加速度
(分值：100分)
选择题1～10题，每小题8分，共80分。
对点题组练
题组一　向心加速度的方向和大小
1.光滑的水平面上固定着一个螺旋形光滑水平轨道，俯视如图所示。一小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，运动到螺旋形中央，下列关于该小球运动的说法正确的是(　　)
线速度增大，角速度不变
线速度不变，角速度减小
线速度减小，向心加速度增大
角速度增大，向心加速度增大
2.游乐园有一种游戏设施叫做“魔盘”，当质量相同的两个小朋友坐在“魔盘”上随“魔盘”一起在水平面内匀速转动时，他们距轴心的距离不一样，简化模型如图所示。两个小朋友相比具有(　　)
相同的线速度 相同的加速度
相同的转动周期 相同的摩擦力
3.甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动周期之比为3∶4，则它们的向心加速度大小之比为(　　)
1∶4 4∶1
4∶9 9∶4
4.如图，某校活动中，甲、乙两名老师进行扳手腕比赛，最终乙获得胜利。设乙的手肘处为O点，掌心处为A点，O、A之间的距离为30 cm。若在扳手腕过程中手肘O点不动，手臂在2 s内绕O点在同一平面内匀速转动90°，π2＝10，则在此过程中(　　)
掌心处于平衡状态
掌心转动的角速度为45 rad/s
掌心转动的线速度大小为 m/s
掌心转动的向心加速度大小约为 m/s2
题组二　圆周运动的动力学分析
5.(2023·全国甲卷，17)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于(　　)
1 2
3 4
6.如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系式正确的是(　　)
线速度vA＝vB
角速度ωA>ωB
它们受到合力FA合>FB合
它们受到的摩擦力fA>fB
7.质量为m的飞机以恒定速率v在空中水平盘旋，如图所示，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则此时空气对飞机的作用力大小为(　　)
m mg
m m
8.如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度匀速转动，一个质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度为g。则转台转动的角速度大小为(　　)
9.一质量为m的物体，沿半径为R的半圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则它在最低点时受到的摩擦力大小为(　　)
μmg
μm(g＋) μm(g－)
综合提升练
10.甲图是两个圆锥摆，两摆球运动轨道在同一个水平面内，乙图是完全相同的两个小球在内壁光滑的倒圆锥内做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)
甲图中两小球的运动周期相等
甲图中两小球的线速度大小相等
乙图中两个小球的线速度大小相等
乙图中两个小球的角速度大小相等
11.(10分)运动员趴在雪橇上从山坡沿截面为圆弧型的冰道快速滑降至水平面上的大圆轨道上。雪橇和运动员(可视为质点)的总质量为m，以速度v在大圆轨道上做匀速圆周运动。圆弧型冰道截面半径为R，雪橇离圆弧型冰道最低点的竖直高度为h＝0.4R。忽略摩擦和空气阻力，重力加速度为g。其中R未知，求：
(1)(3分)圆弧型冰道对雪橇的支持力；
(2)(3分)雪橇的向心加速度；
(3)(4分)大圆轨道的半径r。
培优加强练
12.(10分)图甲所示是一种叫“旋转飞椅”的游乐项目，将其结构简化为如图乙所示的模型。长L＝3 m的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径r＝3 m的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。转盘静止时，钢绳沿竖直方向自由下垂；转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角θ＝37°。将游客和座椅看作一个质点，质量m＝50 kg。不计钢绳重力和空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)(3分)当转盘匀速转动时，游客和座椅做圆周运动的向心加速度的大小；
(2)(3分)当转盘匀速转动时，游客和座椅做圆周运动的线速度的大小；
(3)(4分)游客由静止到随转盘匀速转动的过程中，钢绳对游客和座椅做的功W。
第2课时　向心加速度
1.D　[水平轨道光滑，所以小球的线速度大小不变，但是转动半径变小，根据ω＝可知角速度增大，根据a＝可知向心加速度变大，故D正确，A、B、C错误。]
2.C　[小朋友随“魔盘”一起做匀速圆周运动，则他们的角速度相等，又因为角速度、线速度以及周期满足v＝rω，T＝，且两个小朋友运动的半径不同，所以他们的线速度不同，周期相同，故A错误，C正确；由a＝rω2知，两个小朋友的角速度相同，运动半径不同，所以他们的向心加速度不同，故B错误；向心力由摩擦力提供，且两个小朋友的质量相同，则根据F＝ma知两个小朋友受到的摩擦力不同，故D错误。]
3.B　[设甲、乙两个物体的转动半径分别为r1、r2，周期分别为T1、T2，由a＝r得＝·＝×＝，故B正确。]
4.D　[掌心做匀速圆周运动，合外力不为零，掌心处于非平衡状态，故A错误；掌心在2 s内绕O点在同一平面内匀速转动的角度为，ω＝，代入数据得ω＝ rad/s，故B错误；根据线速度和角速度的关系v＝rω，代入数据得v＝ m/s，故C错误；根据向心加速度和角速度的关系a＝rω2，代入数据得a＝ m/s2，故D正确。]
5.C　[设该质点的质量为m，运动周期为T，轨道半径为r，所受合力为F，由题意知T＝，k为比例系数，将上式代入F＝mr得F＝mr3，即质点所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，所以n＝3，故C正确。]
6.C　[A、B同轴运动，两者角速度相等，选项B错误；根据v＝rω可知，选项A错误；由F合＝mrω2可知，选项C正确；在竖直方向，它们所受的静摩擦力等于重力，由于二者质量相等，重力相等，所以它们受到的静摩擦力相等，选项D错误。]
7.C　[对飞机受力分析，如图所示。根据牛顿第二定律有F合＝m，由平行四边形定则得空气对飞机的作用力F＝eq \r(（mg）2＋F)＝m，故C正确，A、B、D错误。]
8.D　[对物块受力分析如图所示，由牛顿第二定律有mgtan 60°＝mrω2，由几何关系有r＝Rsin 60°，解得ω＝，A、B、C错误，D正确。]
9.C　[在最低点，合力提供向心力，得N－mg＝m，则N＝mg＋m，由牛顿第三定律可知N＝N′，又由滑动摩擦力公式有f＝μN′＝μ(mg＋m)＝μm(g＋)，选项C正确。]
10.A　[设题图甲中做圆锥摆运动的其中一个小球对应摆绳与竖直方向的夹角为θ，摆球与悬点的高度差为h，线速度大小为v，周期为T，根据牛顿第二定律有mgtan θ＝m＝mhtan θ，解得v＝tan θ，T＝2π，可知题图甲中两小球的线速度大小不相等，周期相等，A正确，B错误；设题图乙中倒圆锥母线与竖直方向夹角为α，由牛顿第二定律可得＝m＝mrω′2，解得 v′＝，ω′＝，两球运动的轨道半径不同，故线速度、角速度大小均不同，C、D错误。]
11.(1)mg　(2)g　(3)
解析　(1)雪橇和圆弧圆心O连线与竖直方向的夹角为α，则cos α＝＝，圆弧型冰道对雪橇的支持力N＝＝mg。
(2)由牛顿第二定律得mgtan α＝ma
解得a＝g。
(3)由向心加速度公式得a＝，解得r＝。
12.(1)7.5 m/s2　(2)6 m/s　(3)1 200 J
解析　
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(1)对游客和座椅整体受力分析如图所示，可知mgtan θ＝ma，游客和座椅做圆周运动所需要的向心加速度为
a＝gtan θ＝10× m/s2＝7.5 m/s2。
(2)根据几何关系可知游客和座椅做圆周运动的半径为R＝r＋Lsin θ＝3 m＋3×0.6 m＝4.8 m
根据向心加速度公式有a＝
代入数据得游客和座椅做圆周运动的线速度的大小为v＝＝ m/s＝6 m/s。
(3)游客和座椅由静止到随转盘匀速转动的过程，根据动能定理有W－mgL(1－cos θ)＝mv2
解得W＝1 200 J。第2课时　向心加速度
学习目标　1.理解向心加速度的概念，知道向心加速度和线速度、角速度的关系。2.能够运用向心加速度公式求解有关问题。3.能掌握解决匀速圆周运动动力学问题的方法和步骤。
知识点一　向心加速度
如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1.定义：做圆周运动的物体受到向心力的作用，那么它必然存在一个由________产生的加速度。这个加速度叫做________________。
2.方向：总是指向________，它就是速度的变化率。
3.物理意义：描述速度________变化的快慢。
4.说明：匀速圆周运动加速度的________时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是____________________。
5.向心加速度公式
(1)a＝＝________。
(2)由于v＝rω，所以向心加速度也可以写成a＝________。
(3)由于ω＝＝2πf，所以向心加速度也可以写成a＝________＝________。
6.向心加速度与半径的关系(如图所示)
7.向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，线速度大小变化时，向心加速度大小也发生变化。求向心加速度时，速度必须用该时刻或该位置的____________。
例1 两物体都在做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A.它们的线速度大小相等时，半径小的向心加速度大
B.它们的周期相等时，半径小的向心加速度大
C.它们的角速度相等时，半径小的向心加速度大
D.它们的转速相等时，半径小的向心加速度大
　　　　
例2 (2024·吉林卷，2)“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的(　　)
A.半径相等
B.线速度大小相等
C.向心加速度大小相等
D.角速度大小相等
知识点二　圆周运动的动力学分析
向心力的来源实例分析
实例分析 图例 向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动 弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 绳的拉力(弹力)提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动，当小球经过最低点时 拉力和重力的合力提供向心力
小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时 绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力
例3 (新教材鲁科版P67“图3－13”改编)向心加速度由向心力产生。下面请分析解决涉及圆周运动的一些动力学问题。在图中，若水平圆台转动的角速度ω＝0.6 rad/s，质量为m＝30 kg的小孩坐在距离轴心1 m处随圆台一起转动。
(1)小孩的向心加速度为多大？
(2)小孩受到的静摩擦力为多大？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
例4 如图所示，质量为m的小球用长为l的细线悬于固定点B，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角是θ，重力加速度为g。不计空气阻力，求：
(1)细线对小球的拉力大小F；
(2)小球做圆周运动的周期T；
(3)若保持轨迹圆的圆心O到悬点B的距离h不变，改变绳长l，则小球运动周期的变化情况。
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圆周运动的动力学问题的分析思路
(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
(2)确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。
(3)找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。
(4)利用牛顿第二定律列方程F合＝mrω2＝m＝mr。
(5)解方程求出待求物理量。　　
例5 如图所示，在光滑水平面上，轻弹簧的一端固定在竖直转轴O上，另一端连接质量为m的小球，轻弹簧的劲度系数为k，原长为L，小球以角速度ω绕竖直转轴做匀速圆周运动(k>mω2)。则小球运动的向心加速度大小为(　　)
A.ω2L B.
C. D.
随堂对点自测
1.(向心加速度的理解)关于向心加速度，下列说法正确的是(　　)
A.由a＝知，匀速圆周运动的向心加速度恒定
B.匀速圆周运动不属于匀速运动
C.向心加速度能表示速度方向改变，也能表示速度大小改变
D.做圆周运动的物体，加速度方向时刻指向圆心
2.(向心加速度的大小)自行车靠一条链子将两个齿轮连接起来，一辆自行车的齿轮转动示意图如图所示，O1、O2是自行车的两个转动齿轮1和2的中心，A和B分别是齿轮1和齿轮2边缘上一点，其中齿轮1上有一点C，C点到齿轮1中心O1的距离为齿轮1半径的一半，则(　　)
A.A点和B点的线速度相同
B.B点和C点的向心加速度相等
C.B点和C点的向心加速度之比为4∶1
D.B点和C点的线速度大小之比为2∶1
3.(圆周运动的动力学分析)如图所示，两个质量相同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的(　　)
A.角速度相同
B.线速度大小相同
C.向心加速度大小相同
D.受到的向心力大小相同
第2课时　向心加速度
知识点一
导学　提示　(1)地球只受到太阳引力作用，方向指向太阳(圆心)，加速度方向指向太阳(圆心)。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向图钉(圆心)，故加速度的方向指向图钉(圆心)。
(2)由于加速度的方向指向圆心，始终与线速度方向垂直，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(3)由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。
知识梳理
1.向心力　向心加速度　2.圆心　3.方向　4.方向　变加速曲线运动　5.(1)rω2　(2)ωv　(3)r　4π2f2r　7.瞬时速度
例1 A　[根据a＝可知线速度大小相等时，半径小的向心加速度大，A正确；根据a＝r可知周期相等时，半径大的向心加速度大，B错误；根据a＝rω2可知角速度相等时，半径小的向心加速度小，C错误；根据a＝4π2n2r可知转速相等时，半径小的向心加速度小，D错误。]
例2 D　[由图可知rP知识点二
例3 (1)0.36 m/s2　(2)10.8 N
解析　(1)小孩受到的向心加速度为
a＝rω2＝1×0.62 m/s2＝0.36 m/s2。
(2)小孩受到的静摩擦力提供小孩做圆周运动所需要的向心力，即f＝ma＝10.8 N。
例4 (1)　(2)2π　(3)不变
解析　(1)对小球进行受力分析如图所示
则有F＝。
(2)根据牛顿第二定律得
mgtan θ＝mω2lsin θ
解得ω＝
周期T＝＝2π。
(3)根据上述有ω＝，根据几何关系有cos θ＝，解得ω＝，若保持轨迹圆的圆心O到悬点B的距离h不变，增大绳长l，小球做匀速圆周运动的角速度ω不会发生改变，周期不变。
例5 B　[设小球做匀速圆周运动时弹簧长度为L1，此时弹簧的伸长量为L1－L，根据牛顿第二定律得F＝mω2L1，其中F＝k(L1－L)，向心加速度为a＝ω2L1，联立解得a＝，选项B正确。]
随堂对点自测
1.B　[由a＝知，匀速圆周运动的向心加速度大小是恒定的，但是方向不断改变，A错误；匀速圆周运动的速度方向不断改变，故不属于匀速运动，B正确；向心加速度只表示速度方向改变快慢，C错误；只有做匀速圆周运动的物体，加速度方向才时刻指向圆心，D错误。]
2.D　[A点和B点是链条传动，线速度大小相等，方向不同，故A错误；A点和C点是同轴转动，角速度相同，即ωA＝ωC，根据v＝ωr，可得＝＝，因为vA＝vB，所以vB∶vC＝2∶1，故D正确；因为两齿轮的半径关系未知，无法比较B、C两点向心加速度的大小，故B、C错误。]
3.A　[设细线与竖直方向的夹角为θ，根据合力提供向心力有mgtan θ＝mrω2，根据几何关系得tan θ＝，解得ω＝，所以它们的角速度相同，故A正确；两个小球的角速度相同，根据v＝rω知线速度大小不同，故B错误；设细线与竖直方向的夹角为θ，根据mgtan θ＝ma得a＝gtan θ，因为细线与竖直方向的夹角为θ不同，故向心加速度大小不同，故C错误；设细线与竖直方向的夹角为θ，则F＝mgtan θ，因为细线与竖直方向的夹角为θ不同，故向心加速度大小不同，故D错误。](共49张PPT)
第2节　科学探究：向心力
第2课时　向心加速度
第3章　圆周运动
1.理解向心加速度的概念，知道向心加速度和线速度、角速度的关系。
2.能够运用向心加速度公式求解有关问题。
3.能掌握解决匀速圆周运动动力学问题的方法和步骤。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　圆周运动的动力学分析
知识点一　向心加速度
知识点一　向心加速度
如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
提示　(1)地球只受到太阳引力作用，方向指向太阳(圆心)，加速度方向指向太阳(圆心)。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向图钉(圆心)，故加速度的方向指向图钉(圆心)。
(2)由于加速度的方向指向圆心，始终与线速度方向垂直，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(3)由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。
1.定义：做圆周运动的物体受到向心力的作用，那么它必然存在一个由________产生的加速度。这个加速度叫做____________。
2.方向：总是指向______，它就是速度的变化率。
3.物理意义：描述速度______变化的快慢。
4.说明：匀速圆周运动加速度的______时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是________________。
向心力
向心加速度
圆心
方向
方向
变加速曲线运动
rω2
ωv
4π2f2r
6.向心加速度与半径的关系(如图所示)
7.向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，线速度大小变化时，向心加速度大小也发生变化。求向心加速度时，速度必须用该时刻或该位置的__________。
瞬时速度
A
例1 两物体都在做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A.它们的线速度大小相等时，半径小的向心加速度大
B.它们的周期相等时，半径小的向心加速度大
C.它们的角速度相等时，半径小的向心加速度大
D.它们的转速相等时，半径小的向心加速度大
D
例2 (2024·吉林卷，2)“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的(　　)
A.半径相等
B.线速度大小相等
C.向心加速度大小相等
D.角速度大小相等
知识点二　圆周运动的动力学分析
向心力的来源实例分析
例3 (新教材鲁科版P67“图3－13”改编)向心加速度由向心力产生。下面请分析解决涉及圆周运动的一些动力学问题。在图中，若水平圆台转动的角速度ω＝0.6 rad/s，质量为m＝30 kg的小孩坐在距离轴心1 m处随圆台一起转动。
(1)小孩的向心加速度为多大？
(2)小孩受到的静摩擦力为多大？
答案　(1)0.36 m/s2　(2)10.8 N
解析　(1)小孩受到的向心加速度为a＝rω2＝1×0.62 m/s2＝0.36 m/s2。
(2)小孩受到的静摩擦力提供小孩做圆周运动所需要的向心力，即
f＝ma＝10.8 N。
例4 如图所示，质量为m的小球用长为l的细线悬于固定点B，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角是θ，重力加速度为g。不计空气阻力，求：
(1)细线对小球的拉力大小F；
(2)小球做圆周运动的周期T；
(3)若保持轨迹圆的圆心O到悬点B的距离h不变，
改变绳长l，则小球运动周期的变化情况。
解析　(1)对小球进行受力分析如图所示
(2)根据牛顿第二定律得mgtan θ＝mω2lsin θ
B
例5 如图所示，在光滑水平面上，轻弹簧的一端固定在竖直转轴O上，另一端连接质量为m的小球，轻弹簧的劲度系数为k，原长为L，小球以角速度ω绕竖直转轴做匀速圆周运动(k>mω2)。则小球运动的向心加速度大小为(　　)
随堂对点自测
2
B
D
2.(向心加速度的大小)自行车靠一条链子将两个齿轮连接起来，一辆自行车的齿轮转动示意图如图所示，O1、O2是自行车的两个转动齿轮1和2的中心，A和B分别是齿轮1和齿轮2边缘上一点，其中齿轮1上有一点C，C点到齿轮1中心O1的距离为齿轮1半径的一半，则(　　)
A.A点和B点的线速度相同
B.B点和C点的向心加速度相等
C.B点和C点的向心加速度之比为4∶1
D.B点和C点的线速度大小之比为2∶1
A
3.(圆周运动的动力学分析)如图所示，两个质量相同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的(　　)
A.角速度相同
B.线速度大小相同
C.向心加速度大小相同
D.受到的向心力大小相同
课后巩固训练
3
D
题组一　向心加速度的方向和大小
1.光滑的水平面上固定着一个螺旋形光滑水平轨道，俯视如图所示。一小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，运动到螺旋形中央，下列关于该小球运动的说法正确的是(　　)
A.线速度增大，角速度不变
B.线速度不变，角速度减小
C.线速度减小，向心加速度增大
D.角速度增大，向心加速度增大
对点题组练
C
2.游乐园有一种游戏设施叫做“魔盘”，当质量相同的两个小朋友坐在“魔盘”上随“魔盘”一起在水平面内匀速转动时，他们距轴心的距离不一样，简化模型如图所示。两个小朋友相比具有(　　)
A.相同的线速度 B.相同的加速度
C.相同的转动周期 D.相同的摩擦力
B
3.甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动周期之比为3∶4，则它们的向心加速度大小之比为(　　)
A.1∶4 B.4∶1 C.4∶9 D.9∶4
D
C
题组二　圆周运动的动力学分析
5.(2023·全国甲卷，17)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
C
6.如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系式正确的是(　　)
A.线速度vA＝vB B.角速度ωA>ωB
C.它们受到合力FA合>FB合 D.它们受到的摩擦力fA>fB
解析　A、B同轴运动，两者角速度相等，选项B错误；根据v＝rω可知，选项A错误；由F合＝mrω2可知，选项C正确；在竖直方向，它们所受的静摩擦力等于重力，由于二者质量相等，重力相等，所以它们受到的静摩擦力相等，选项D错误。
C
7.质量为m的飞机以恒定速率v在空中水平盘旋，如图所示，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则此时空气对飞机的作用力大小为(　　)
D
8.如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度匀速转动，一个质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度为g。则转台转动的角速度大小为(　　)
C
9.一质量为m的物体，沿半径为R的半圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则它在最低点时受到的摩擦力大小为(　　)
A
综合提升练
10.甲图是两个圆锥摆，两摆球运动轨道在同一个水平面内，乙图是完全相同的两个小球在内壁光滑的倒圆锥内做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)
A.甲图中两小球的运动周期相等
B.甲图中两小球的线速度大小相等
C.乙图中两个小球的线速度大小相等
D.乙图中两个小球的角速度大小相等
11.运动员趴在雪橇上从山坡沿截面为圆弧型的冰道快速滑降至水平面上的大圆轨道上。雪橇和运动员(可视为质点)的总质量为m，以速度v在大圆轨道上做匀速圆周运动。圆弧型冰道截面半径为R，雪橇离圆弧型冰道最低点的竖直高度为h＝0.4R。忽略摩擦和空气阻力，重力加速度为g。其中R未知，求：
(1)圆弧型冰道对雪橇的支持力；
(2)雪橇的向心加速度；
(3)大圆轨道的半径r。
12.图甲所示是一种叫“旋转飞椅”的游乐项目，将其结构简化为如图乙所示的模型。长L＝3 m的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径r＝3 m的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。转盘静止时，钢绳沿竖直方向自由下垂；转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角θ＝37°。将游客和座椅看作一个质点，质量m＝50 kg。不计钢绳重力和空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
培优加强练
(1)当转盘匀速转动时，游客和座椅做圆周运动的向心加速度的大小；
(2)当转盘匀速转动时，游客和座椅做圆周运动的线速度的大小；
(3)游客由静止到随转盘匀速转动的过程中，钢绳对游客和座椅做的功W。
答案　(1)7.5 m/s2　(2)6 m/s　(3)1 200 J

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