资源简介

9.3.2　向量坐标表示与运算
第1课时　向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示
课标要求　1.借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算.
【引入】 我们知道，在平面直角坐标系内，任意一点P都可以用有序实数对(x，y)来表示，而点P唯一对应着以原点O为起点，P为终点的向量，那么，平面内的任意一个向量a也能用一对有序实数来表示吗？
一、向量的坐标表示
探究1 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底.对于平面内的任意一个向量a，是否存在唯一的一对实数x，y，使a＝xi＋yj
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
向量的坐标
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝________.
特殊向量的坐标i＝________，j＝__________，0＝__________.
温馨提示　点的坐标与向量坐标的区别和联系
区别 表示形 式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号
意义 不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)
联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
例1 (链接教材P30例1)已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，求向量的坐标.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　求点和向量坐标的方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.
(2)求一个向量的坐标，可以把向量起点放在坐标原点，则向量终点的坐标即为该向量的坐标.
训练1 (1)已知在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4.
分别求出a，b，c的坐标；
(2)若i＝(1，0)，j＝(0，1)，分别写出向量b在i，j上的投影向量的坐标.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、向量线性运算的坐标表示
探究2 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b，λa的坐标吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3 如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，则
数学公式 文字语言表述
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
向量数乘 λa＝______________ 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
2.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝____________.
这就是说，一个向量的坐标等于该向量________的坐标减去________的坐标.
温馨提示　(1)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变.
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b
例2 (1)(链接教材P33习题9.3(2)T8)已知四边形ABCD的顶点分别为A(2，1)，
B(－1，3)，C(3，4)，D(6，2)，求证：四边形ABCD是平行四边形.
(2)(链接教材P33练习T3)已知点B(3，4)，＝(5，5)，求点A的坐标.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　向量坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.
训练2 (1)(链接教材P33练习T7)设x，y为实数，已知点A(1，2)，B(3，2)，向量a＝(x＋3，x－3y－4)与相等，则x，y的值分别为________.
(2)(链接教材P33练习T8)已知O是坐标原点，A(2，2)，B(－4，8)，且＋3＝0，则的坐标为________.
三、向量坐标运算的应用
例3 (链接教材P32例4)直线l上有两点P1，P2，在l上取不同于P1，P2的任一点P，存在一个实数λ，使＝λ(λ≠－1)，λ叫作点P分有向线段所成的比.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，点P分有向线段所成的比为λ(λ≠－1)，求点P的坐标.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　(1)坐标形式下向量相等的条件及其应用
①条件：相等向量的对应坐标相等.
②应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标.
(2)用有向线段定比分点的坐标公式
(λ≠－1)，可以求解有向线段定比分点的坐标及定点分有向线段所成的比.特别地当λ＝1时，即为线段中点坐标公式
训练3 (1)已知点P1(2，－1)，点P2(－1，3)，点P在线段P1P2上，且
||＝||，则点P的坐标为________.
(2)(链接教材P33习题9.3(2)T6)已知点A(7，1)，B(－2，－4)，且＝4，则点C的坐标为________.
【课堂达标】
1.已知＝(－2，4)，则下列说法正确的是(　　)
A.点A的坐标是(－2，4)
B.点B的坐标是(－2，4)
C.当点B是坐标原点时，点A的坐标是(－2，4)
D.当点A是坐标原点时，点B的坐标是(－2，4)
2.(链接教材P32练习T1)已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则a－b等于(　　)
A.(－1，2) B.(1，－2)
C.(－1，－2) D.(1，2)
3.已知点A(－1，1)，B(2，－1)，若直线AB上一点D满足＝2，则点D的坐标为(　　)
A. B.
C. D.(5，－3)
4.(链接教材P33练习T6)已知作用在原点的三个力F1＝(－1，2)，F2＝(2，－3)，F3＝(－3，2)，则它们的合力的坐标为________.
第1课时　向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示
探究1　提示　由平面向量基本定理可知，存在唯一一对实数x，y，使a＝xi＋yj.
知识梳理
单位向量　(x，y)　(1，0)　(0，1)　(0，0)
例1　解　设点A(x，y)，
则x＝||cos 150°＝6cos 150°＝－3，
y＝||sin 150°＝6sin 150°＝3，
即A(－3，3)，所以＝(－3，3).
训练1　解　(1)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
c＝(c1，c2)，
则a1＝|a|cos 45°＝2×＝，
a2＝|a|sin 45°＝2×＝，
b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，
b2＝|b|sin 120°＝3×＝，
c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，
c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2.
因此a＝(，)，b＝，
c＝(2，－2).
(2)b在向量i＝(1，0)上的投影向量的坐标为，在向量j＝(0，1)上的投影向量的坐标为.
探究2　提示　a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2).
λa＝λ(x1i＋y1j)＝λx1i＋λy1j，即λa＝(λx1，λy1).
探究3　提示　＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1).
知识梳理
1.(λx1，λy1)
2.(x2－x1，y2－y1)　终点　起点
例2　(1)证明　由题意知＝(－3，2)，＝(4，1)，＝(3，－2)，
＝(－4，－1)，
∴＝－，＝－，
∴∥，∥，
∴AB∥CD，BC∥DA，
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)解　设点A的坐标为(x，y)，
∵＝(5，5)，B(3，4)，
∴(3－x，4－y)＝(5，5)，
∴∴
∴A(－2，－1).
训练2　(1)－1，－　(2)(－2，6)　
[(1)∵A(1，2)，B(3，2)，∴＝(2，0).
∵a＝(x＋3，x－3y－4)与相等，
∴∴
(2)设点C的坐标为(x，y)，
∵A(2，2)，B(－4，8)，
∴＝(－6，6)，＝(x＋4，y－8).
又∵＋3＝0，
∴(－6，6)＋3(x＋4，y－8)＝(0，0)，
∴∴
∴C(－2，6)，∴＝(－2，6).
例3　解　设P(x，y).则＝(x－x1，y－y1)，
＝(x2－x，y2－y)，
由＝λ，得(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，
于是
因为λ≠－1，所以
所以点P的坐标为.
训练3　(1)　(2)(－29，－19)　
[(1)法一　设点P的坐标为(x，y)，
∵点P在线段P1P2上，
∴由||＝||，
可得＝.
又∵＝(x－2，y＋1)，
＝(－1－x，3－y)，
∴解得
∴点P的坐标为.
法二　∵点P在线段P1P2上，
且||＝||，∴＝，
由线段定比分点的坐标公式可得
∴点P的坐标为.
(2)法一　设C(x，y)，则＝(x－7，y－1).
∵＝(－9，－5)，∴4＝(－36，－20).
∵＝4，
∴∴
∴C(－29，－19).
法二　∵＝4，
又＝＋，∴＝3，
即＝＝－，
设C(x，y)，代入定比分点坐标公式，
得
即C(－29，－19).
课堂达标
1.D　[由任一向量的坐标的定义可知，当A是坐标原点时，点B的坐标是(－2，4).]
2.A　[a－b＝(1，1)－(1，－1)
＝＝(－1，2).]
3.D　[法一　设D(x，y)，
则＝(x＋1，y－1)，＝(x－2，y＋1).
又＝2，所以
解得x＝5，y＝－3，即点D的坐标为(5，－3).
法二　设D(x，y)，
由＝2，知B为AD的中点.
又A(－1，1)，B(2，－1)，
所以解得x＝5，y＝－3，
即点D的坐标为(5，－3).
法三　设D(x，y).
由＝2，得＝－2.
又A(－1，1)，B(2，－1)，
所以x＝＝5，
y＝＝－3，
即点D的坐标为(5，－3).]
4.(－2，1)　[∵F1＝(－1，2)，F2＝(2，－3)，
F3＝(－3，2)，
∴F1＋F2＋F3
＝(－1，2)＋(2，－3)＋(－3，2)
＝(－1＋2－3，2－3＋2)＝(－2，1).](共61张PPT)
第9章 9.3　9.3.2　向量坐标表示与运算
第1课时　向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示
课标要求
1.借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
2.会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算.
引入
课时精练
一、向量的坐标表示
二、向量线性运算的坐标表示
三、向量坐标运算的应用
课堂达标
内容索引
向量的坐标表示
一
探究1 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底.对于平面内的任意一个向量a，是否存在唯一的一对实数x，y，使a＝xi＋yj
提示　由平面向量基本定理可知，存在唯一一对实数x，y，使a＝xi＋yj.
向量的坐标
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个__________i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝_________.
特殊向量的坐标i＝_______，j＝_______，0＝________.
知识梳理
单位向量
(x，y)
(1，0)
(0，1)
(0，0)
温馨提示
点的坐标与向量坐标的区别和联系
区别 表示形式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号
意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)
联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
例1
设点A(x，y)，
求点和向量坐标的方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.
(2)求一个向量的坐标，可以把向量起点放在坐标原点，则向量终点的坐标即为该向量的坐标.
思维升华
(1)已知在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4.
训练1
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，
分别求出a，b，c的坐标；
(2)若i＝(1，0)，j＝(0，1)，分别写出向量b在i，j上的投影向量的坐标.
向量线性运算的坐标表示
二
探究2 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b，λa的坐标吗？
提示　a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2).
λa＝λ(x1i＋y1j)＝λx1i＋λy1j，即λa＝(λx1，λy1).
知识梳理
1.已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，则
数学公式 文字语言表述
向量 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
向量 数乘 λa＝__________ 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
(λx1，λy1)
(x2－x1，y2－y1)
这就是说，一个向量的坐标等于该向量______的坐标减去______的坐标.
终点
起点
温馨提示
例2
(1)(链接教材P33习题9.3(2)T8)已知四边形ABCD的顶点分别为A(2，1)，
B(－1，3)，C(3，4)，D(6，2)，求证：四边形ABCD是平行四边形.
∴AB∥CD，BC∥DA，
∴四边形ABCD是平行四边形.
设点A的坐标为(x，y)，
思维升华
向量坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.
训练2
(－2，6)
设点C的坐标为(x，y)，
向量坐标运算的应用
三
例3
设P(x，y).
得(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，
思维升华
思维升华
训练3
法一　设点P的坐标为(x，y)，
(－29，－19)
即C(－29，－19).
【课堂达标】
√
由任一向量的坐标的定义可知，当A是坐标原点时，
点B的坐标是(－2，4).
√
√
解得x＝5，y＝－3，即点D的坐标为(5，－3).
4.(链接教材P33练习T6)已知作用在原点的三个力F1＝(－1，2)，F2＝(2，－3)，F3＝(－3，2)，则它们的合力的坐标为________.
(－2，1)
∵F1＝(－1，2)，F2＝(2，－3)，F3＝(－3，2)，
∴F1＋F2＋F3＝(－1，2)＋(2，－3)＋(－3，2)
＝(－1＋2－3，2－3＋2)＝(－2，1).
【课时精练】
√
1.(多选)下面说法中正确的有
A.相等向量的对应坐标相同
B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C.一个坐标对应于唯一的一个向量
D.平面上一个点的坐标与以原点为始点、该点为终点的向量的坐标一一对应
√
√
由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误，A，B，D都正确.
√
√
3.向量a，b满足a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，则b＝
A.(3，4) B.(－3，4)
C.(3，－4) D.(－3，－4)
因为a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，
所以(a＋b)－(a－b)＝(－1，5)－(5，－3)，
即2b＝(－6，8)，所以b＝(－3，4).
√
4.若向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，c＝(4，2)，则c等于
A.3a－b B.3a＋b
C.－a＋3b D.a＋3b
设c＝xa＋yb，
√
5.设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝
A.(2，6) B.(－2，6)
C.(2，－6) D.(－2，－6)
由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，
则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6).
(5，－1)
7.(链接教材P33习题9.3(2)T2)已知向量a＝(3，5)，a的起点A的坐标为(－3，7)，则向量a的终点B的坐标为________.
(0，12)
4，－4
`
∵B(－3，1)，C(1，－1)，D是BC的中点，
∴D(－1，0)，又A(3，2)，
`
设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，
√
12.(多选)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，则第四个顶点的坐标可能为
A.(2，2) B.(4，6) C.(－6，0) D.(4，－6)
√
设第四个顶点的坐标为D(x，y).
当平行四边形为ABCD时，
√
√
当平行四边形为ACDB时，
故第四个顶点的坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0).
设P(x，y)，
(2)在第四象限？
14.已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底a，b表示c，则
A.c＝3a－2b B.c＝－3a＋2b
C.c＝－2a＋3b D.c＝2a＋3b
√
法一　如图，建立平面直角坐标系，设网格中最小的正方形的边长为1，
则a＝(1，1)，b＝(－2，3)，c＝(7，－3).
设向量c＝ma＋nb(m，n∈R)，
所以c＝3a－2b.
法二　如图，以i，j为基底，
则a＝i＋j，b＝－2i＋3j，c＝7i－3j.
设c＝λa＋μb＝(λ－2μ)i＋(λ＋3μ)j，λ，μ∈R，
所以c＝3a－2b.第2课时　向量数量积的坐标表示
课标要求　1.掌握向量数量积的坐标表示，会进行向量数量积的坐标运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.
【引入】 前面我们学面向量数量积及其性质，上节课学习了向量的坐标表示及向量加、减、数乘运算的坐标表示，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？
一、向量数量积的坐标表示
探究1 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量.
(1)计算i2，j2及i·j的值；
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何计算a·b
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
向量数量积的坐标表示
若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝____________.
即两个向量的数量积等于________________________.
温馨提示　(1)向量数量积的坐标表示适用于任意向量.
(2)a·b∈R.
例1 (链接教材P35例1)(1)已知a＝(－2，1)，b＝(－3，2)，则(3a－b)·(a－2b)＝(　　)
A.－15 B.－9
C.－27 D.13
(2)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则·的值是________.
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　数量积坐标运算的技巧
(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
①|a|2＝a·a.
②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.
③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积.
训练1 (1)若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，则x＝(　　)
A.3 B.－3
C. D.－
(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，且＝2，则·＝________.
二、向量的模
探究2 设向量a＝(x，y)，试用x，y表示|a|.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3 对于平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何用向量推导A，B两点间的距离.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 已知平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1).
(1)求a－2b及其模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
训练2 (1)(链接教材P37习题9.3(3)T6)已知点A(2，1)，B(1，2)，C(3，6)，则
|2＋|＝________.
(2)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(2，1)，则|3a－b|＝(　　)
A.2 B.
C.3 D.2
(3)已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　)
A. B. C.5 D.25
三、向量的夹角与垂直问题
【知识梳理】
向量的夹角
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，由向量数量积的定义，可得cos θ＝＝________________.
特别地，a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
温馨提示　a⊥b x1x2＋y1y2＝0的前提条件是a，b均不为零向量.
例3 (链接教材P35例2)已知向量＝(－1，3)，＝(1，t)，且(－2)⊥.
(1)求向量与的夹角θ；
(2)求点A到直线OB的距离.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法：
由cos θ＝＝直接求出cos θ.
(2)注意事项：利用cos θ＝求θ的值时，要注意0°≤θ≤180°，cos θ<0时有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
训练3 (1)已知a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，若向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　)
A. B.－
C. D.－
(2)(链接教材P37习题9.3(3)T5)已知点A(－3，5)，B(1，10)，C(2，1)，则∠ACB的大小为________；点A到直线BC的距离为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.(多选)在平面直角坐标系中，点O为原点，已知A(－3，－4)，B(5，－12)，＝－，则(　　)
A.＝(－8，8) B.＝(－8，8)
C.||＝8 D.·＝(－15，48)
2.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　)
A.1 B.
C.2 D.4
3.已知a，b为平面向量，且a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a与b夹角的余弦值等于(　　)
A. B.－
C. D.－
4.(链接教材P36练习T7)已知向量a＝(－4，3)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为________.
第2课时　向量数量积的坐标表示
探究1　提示　(1)i2＝|i|2＝1，j2＝|j|2＝1，
由于i⊥j，∴i·j＝0.
(2)∵a＝(x1，y1)＝x1i＋y1j，
b＝(x2，y2)＝x2i＋y2j，
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1i·(x2i＋y2j)＋y1j·(x2i＋y2j)
＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2
＝x1x2＋y1y2.
知识梳理
x1x2＋y1y2　它们对应坐标的乘积的和
例1　(1)A　(2)　[(1)法一　a＝(－2，1)，b＝(－3，2)，
所以3a－b＝(－3，1)，a－2b＝(4，－3)，
所以(3a－b)·(a－2b)＝－12－3＝－15.
法二　|a|＝＝，
|b|＝＝，
a·b＝(－2)×(－3)＋1×2＝8，
所以(3a－b)·(a－2b)
＝3|a|2－7a·b＋2|b|2
＝－15.
(2)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
∵AB＝，BC＝2，
∴A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2).
∵点E在边CD上，且＝2，
∴E，
∴＝，＝，
∴·＝－＋4＝.]
训练1　(1)A　(2)　[(1)a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.
(2)如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴，建立直角坐标系，则
B(2，0)，E(1，2)，C(2，2)，
F，
∴＝(－1，2)，＝，
∴·＝2－＝.]
探究2　提示　a2＝a·a＝x2＋y2，
所以|a|＝.
探究3　提示　由A(x1，y1)，B(x2，y2)，
得＝(x1－x2，y1－y2)，
故2＝·＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，
得||＝，
即AB＝.
例2　解　(1)∵a＝(3，5)，b＝(－2，1)，
∴a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(3＋4，5－2)＝(7，3)，∴|a－2b|＝＝.
(2)∵a·b＝－6＋5＝－1，
∴c＝a＋b＝(1，6)，
∴|c|＝＝.
训练2　(1)5　(2)B　(3)C　[(1)∵＝(－1，1)，＝(1，5)，
∴2＋＝(－1，7)，
∴|2＋|＝5.
(2)∵|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(2，1)，
∴(a－b)2＝|a－b|2
＝a2＋b2－2a·b＝1＋4－2a·b＝5，
∴a·b＝0.
∴|3a－b|2＝9a2＋b2－6a·b＝9＋4＝13，
∴|3a－b|＝.
(3)∵a＝(2，1)，∴a2＝5，
又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50，
即a2＋2a·b＋b2＝50，
∴5＋2×10＋b2＝50，
∴b2＝25，∴|b|＝5.]
知识梳理
例3　解　(1)因为＝(－1，3)，＝(1，t)，
所以－2＝(－3，3－2t).
因为(－2)⊥，
所以(－2)·＝(－3)×(－1)＋(3－2t)×3＝0，解得t＝2，
所以·＝(－1)×1＋3×2＝5，
||＝，||＝，
所以cos θ＝＝＝，
又0°≤θ≤150°，所以θ＝45°.
(2)点A到直线OB的距离为
d＝||sin θ＝×＝.
训练3　(1)B　(2)45°　　[(1)法一　由向量λa＋b与a－2b垂直，得(λa＋b)·(a－2b)＝0.
因为a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，
所以λa＋b＝(－3λ－1，2λ)，a－2b＝(－1，2)，
所以(λa＋b)·(a－2b)＝(－3λ－1)×(－1)＋2λ×2＝0，
即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－.
法二　因为a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，
所以a2＝13，b2＝1，a·b＝3.
又向量λa＋b与a－2b垂直，
所以(λa＋b)·(a－2b)＝0，
即λa2＋(1－2λ)a·b－2b2＝13λ＋3(1－2λ)－2＝7λ＋1＝0，解得λ＝－.
(2)易得＝(－5，4)，＝(－1，9)，
∴·＝－5×(－1)＋4×9＝41.
∵∠ACB是与的夹角，
∴cos∠ACB＝＝＝.
∵0°≤∠ACB≤180°，
∴∠ACB＝45°.
∴点A到直线BC的距离为||·sin∠ACB＝×＝.
课堂达标
1.BC　[A中，＝(5，－12)－(－3，－4)＝(8，－8)，故A错误；
B中，＝－＝＝－＝(－8，8)，故B正确；
C中，||＝＝8，故C正确；
D中，· ＝8×5＋(－8)×(－12)＝136，故D错误.]
2.C　[∵2a－b与b垂直，
∴(2a－b)·b＝2a·b－|b|2
＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，
∴n2＝3，∴|a|＝＝2.]
3.C　[因为a＝(4，3)，所以2a＝(8，6).
又2a＋b＝(3，18)，所以b＝(－5，12)，
所以a·b＝－20＋36＝16.
设a与b的夹角为θ，
又|a|＝5，|b|＝13，
所以cos θ＝＝＝.]
4.或　[设与向量a垂直的单位向量的坐标为(x，y)，
则
解得或
故与向量a垂直的单位向量的坐标为或.](共55张PPT)
第9章 9.3　9.3.2　向量坐标表示与运算
第2课时　向量数量积的坐标表示
课标要求
1.掌握向量数量积的坐标表示，会进行向量数量积的坐标运算.
2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.
引入
前面我们学面向量数量积及其性质，上节课学习了向量的坐标表示及向量加、减、数乘运算的坐标表示，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？
课时精练
一、向量数量积的坐标表示
二、向量的模
三、向量的夹角与垂直问题
课堂达标
内容索引
向量数量积的坐标表示
一
探究1 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量.
(1)计算i2，j2及i·j的值；
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何计算a·b
提示　(1)i2＝|i|2＝1，j2＝|j|2＝1，
由于i⊥j，∴i·j＝0.
(2)∵a＝(x1，y1)＝x1i＋y1j，b＝(x2，y2)＝x2i＋y2j，
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1i·(x2i＋y2j)＋y1j·(x2i＋y2j)
＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2
＝x1x2＋y1y2.
向量数量积的坐标表示
若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝_____________.
即两个向量的数量积等于________________________.
知识梳理
x1x2＋y1y2
它们对应坐标的乘积的和
温馨提示
(1)向量数量积的坐标表示适用于任意向量.
(2)a·b∈R.
例1
√
(链接教材P35例1)(1)已知a＝(－2，1)，b＝(－3，2)，则(3a－b)·(a－2b)＝
A.－15 B.－9 C.－27 D.13
法一　a＝(－2，1)，b＝(－3，2)，
所以3a－b＝(－3，1)，a－2b＝(4，－3)，
所以(3a－b)·(a－2b)＝－12－3＝－15.
a·b＝(－2)×(－3)＋1×2＝8，所以(3a－b)·(a－2b)＝3|a|2－7a·b＋2|b|2＝－15.
以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
数量积坐标运算的技巧
(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
①|a|2＝a·a.
②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.
③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积.
思维升华
训练1
√
a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.
如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴，建立直角坐标系，则
向量的模
二
探究2 设向量a＝(x，y)，试用x，y表示|a|.
提示　a2＝a·a＝x2＋y2，
探究3 对于平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何用向量推导A，B两点间的距离.
提示　由A(x1，y1)，B(x2，y2)，
例2
已知平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1).
(1)求a－2b及其模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.
(1)∵a＝(3，5)，b＝(－2，1)，
思维升华
训练2
∵|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(2，1)，
√
∴(a－b)2＝|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋4－2a·b＝5，
∴a·b＝0.
∴|3a－b|2＝9a2＋b2－6a·b＝9＋4＝13，
∵a＝(2，1)，∴a2＝5，
√
即a2＋2a·b＋b2＝50，
∴5＋2×10＋b2＝50，
∴b2＝25，∴|b|＝5.
向量的夹角与垂直问题
三
知识梳理
温馨提示
a⊥b x1x2＋y1y2＝0的前提条件是a，b均不为零向量.
例3
(2)求点A到直线OB的距离.
点A到直线OB的距离为
思维升华
训练3
√
法一　由向量λa＋b与a－2b垂直，得(λa＋b)·(a－2b)＝0.
因为a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，
所以λa＋b＝(－3λ－1，2λ)，a－2b＝(－1，2)，
所以(λa＋b)·(a－2b)＝(－3λ－1)×(－1)＋2λ×2＝0，
法二　因为a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，
所以a2＝13，b2＝1，a·b＝3.
又向量λa＋b与a－2b垂直，
所以(λa＋b)·(a－2b)＝0，
(2)(链接教材P37习题9.3(3)T5)已知点A(－3，5)，B(1，10)，C(2，1)，则∠ACB的大小为________；点A到直线BC的距离为________.
45°
【课堂达标】
√
√
√
∵2a－b与b垂直，
∴(2a－b)·b＝2a·b－|b|2
＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，
√
因为a＝(4，3)，所以2a＝(8，6).
又2a＋b＝(3，18)，所以b＝(－5，12)，所以a·b＝－20＋36＝16.
设a与b的夹角为θ，又|a|＝5，|b|＝13，
设与向量a垂直的单位向量的坐标为(x，y)，
【课时精练】
√
1.(多选)已知向量a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，则
√
√
√
2.(链接教材P36练习T6)已知点A(－2，－3)，B(19，4)，C(－1，－6)，则△ABC是
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
√
√
4.已知向量a＝(m，2)，b＝(2，－1)，则“a·b<0”是“0A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
因为a＝(m，2)，b＝(2，－1)，
所以由a·b＝2m＋2×(－1)<0，解得m<1.
因为(－∞，1)?(0，1)，
所以“m<1”是“0即“a·b<0”是“0√
因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝0，
7.已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(m，2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________.
因为a＝(2，－1)，b＝(m，2)，且a⊥b，
所以a·b＝2m－2＝0，所以m＝1，
所以a＋b＝(3，1)，
8.已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝a＋b，则向量a，c的夹角为________.
因为单位向量a，b满足a·b＝0，
不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝a＋b＝(1，1)，
所以c·a＝1×1＋0×1＝1，
9.(1)(链接教材P37习题9.3(3)T2)已知点A(0，1)，B(6，4)，C(4，8)，D(－2，5)，求证：四边形ABCD是矩形.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴△ABC是等腰直角三角形.
10.(链接教材P37习题9.3(3)T8)已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(－1，－1).
(1)求|2a－b|；
因为a＝(1，－2)，b＝(－1，－1)，
所以2a－b＝2(1，－2)－(－1，－1)＝(3，－3)，
a＋λb＝(1，－2)＋λ(－1，－1)＝(1－λ，－2－λ)，
整理得λ2＋λ－2＝0，解得λ＝1或λ＝－2.
√
代入(*)式整理得2t2－4t＝8|t|－t·|t|.
当t>0时，3t2＝12t，所以t＝4；
当t<0时，t2＝－4t，所以t＝－4.
综上，实数t的值为4或－4.
√
14.对于任意的a，b，c，d∈R，试用向量方法证明柯西不等式(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2).
设x＝(a，b)，y＝(c，d).
则x·y＝ac＋bd，
|x|2＝a2＋b2，|y|2＝c2＋d2，
∵x·y＝|x||y|cos θ≤|x||y|(θ为x与y的夹角)，
∴(x·y)2≤|x|2|y|2，即(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2).第9章　课时精练9　向量的坐标表示及向量线性运算的坐标
表示
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分.
一、基础巩固
1.(多选)下面说法中正确的有(　　)
相等向量的对应坐标相同
平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
一个坐标对应于唯一的一个向量
平面上一个点的坐标与以原点为始点、该点为终点的向量的坐标一一对应
2.已知点A(1，1)，B(2，4)，将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得向量的坐标是(　　)
(2，0) (3，3)
(1，3) (3，4)
3.向量a，b满足a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，则b＝(　　)
(3，4) (－3，4)
(3，－4) (－3，－4)
4.若向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，c＝(4，2)，则c等于(　　)
3a－b 3a＋b
－a＋3b a＋3b
5.设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝(　　)
(2，6) (－2，6)
(2，－6) (－2，－6)
6.(链接教材P33练习T2)在平面直角坐标系中，若A(－2，3)，B(3，2)，则＝________；线段AB的中点坐标为________.
7.(链接教材P33习题9.3(2)T2)已知向量a＝(3，5)，a的起点A的坐标为(－3，7)，则向量a的终点B的坐标为________.
8.(链接教材P33习题9.3(2)T4)设m，n为实数，若＝(2，3)，＝(m，n)，＝(－1，4)，＝(－5，－3)，则m，n的值分别为________.
9.(13分)(1)(链接教材P33练习T5)在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点是A(3，2)，B(－3，1)，C(1，－1)，D是BC的中点，求的坐标；
(2)(链接教材P33习题9.3(2)T7)已知点O(0，0)，A(1，3)，B(－2，4)，且＝2，＝3，求A′，B′两点及的坐标.
10.(13分)已知点A(－1，2)，B(2，8)且＝，＝－，求点C，D和的坐标.
二、综合运用
11.已知两点A(4，1)，B(7，－3)，||＝5，则与向量同向的单位向量是(　　)
12.(多选)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，则第四个顶点的坐标可能为(　　)
(2，2) (4，6)
(－6，0) (4，－6)
13.(17分)(链接教材P33习题9.3(2)T9)已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，且点P满足＝＋λ(λ∈R)，当λ为何值时，点P
(1)在直线y＝x上？
(2)在第四象限？
三、创新拓展
14.已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底a，b表示c，则(　　)
c＝3a－2b c＝－3a＋2b
c＝－2a＋3b c＝2a＋3b
课时精练9　向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示
1.ABD　2.C　3.B　4.A　5.D
6.(5，－1)　　7.(0，12)　8.4，－4
9.解　(1)∵B(－3，1)，C(1，－1)，
D是BC的中点，∴D(－1，0)，又A(3，2)，
∴＝(－1，0)－(3，2)＝(－4，－2).
(2)设A′(x1，y1)，B′(x2，y2)，
则＝(x1，y1)，＝(x2，y2).
∵A(1，3)，B(－2，4)，
∴＝(1，3)，＝(－2，4)，
∵＝2＝(2，6)，＝3＝(－6，12)，
∴
∴A′(2，6)，B′(－6，12)，∴＝(－8，6).
10.解　设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3，6)，
＝(－1－x2，2－y2)，＝(－3，－6).
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3，6)＝(1，2)，
(－1－x2，2－y2)＝－(－3，－6)＝(1，2)，
则有和
解得和
∴点C，D的坐标分别为(0，4)和(－2，0)，
∴＝(－2，－4).
11.A　12.ABC
13.解　(1)由题意设P(n，n)，则＝(n－2，n－3)，＝(3，1)，＝(5，7).
∵＝＋λ，
∴(n－2，n－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
即解得
∴当λ＝，点P在直线y＝x上.
(2)设P(x，y)，
由(1)知∴
∵点P在第四象限，
∴解得－1<λ<－.
∴当－1<λ<－时，点P在第四象限.
14.A第9章　课时精练10　向量数量积的坐标表示
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共6分.
一、基础巩固
1.(多选)已知向量a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，则(　　)
(a＋b)·b＝4 (a－3b)⊥b
|a－b|＝|b| a2＝b2＋4a·b
2.(链接教材P36练习T6)已知点A(－2，－3)，B(19，4)，C(－1，－6)，则△ABC是(　　)
等腰三角形 等边三角形
直角三角形 等腰直角三角形
3.已知向量a＝(1，)，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于(　　)
2
0 －
4.已知向量a＝(m，2)，b＝(2，－1)，则“a·b<0”是“0充分不必要条件
必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
5.已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为(　　)
－2 2
4 6
6.已知向量a＝(，1)，b＝(x，y)(xy≠0)，且|b|＝1，a·b<0，则向量b的坐标可以是______.
7.已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(m，2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________.
8.已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝a＋b，则向量a，c的夹角为________.
9.(10分)(1)(链接教材P37习题9.3(3)T2)已知点A(0，1)，B(6，4)，C(4，8)，
D(－2，5)，求证：四边形ABCD是矩形.
(2)(链接教材P37习题9.3(3)T4)已知O为坐标原点，＝(－1，8)，＝(－4，1)，＝(1，3).求证：△ABC是等腰直角三角形.
10.(10分)(链接教材P37习题9.3(3)T8)已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(－1，－1).
(1)求|2a－b|；
(2)若向量a＋λb与2a－b的夹角为，求实数λ的值.二、综合运用
11.已知非零向量a＝(t，0)，b＝(－1，)，若a＋2b与a的夹角等于a＋2b与b的夹角，则实数t＝(　　)
4 4或－4
2 2或－2
12.已知点A(1，2)，B(3，2)，C(3，4)，则向量在向量上的投影向量的坐标为(　　)
(1，1)
(2，2) (，)
13.(13分)(链接教材P37习题9.3(3)T10)已知|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，试求：
(1)|a－b|；
(2)a＋b与a－b的夹角θ.
三、创新拓展
14.(16分)对于任意的a，b，c，d∈R，试用向量方法证明柯西不等式(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2).
课时精练10　向量数量积的坐标表示
1.ABD　2.C　3.B　4.B　5.B
6.(答案不唯一)　7.
8.
9.证明　(1)由题意得＝(6，3)，＝(－6，－3)，＝(－2，4)，
则＝－，∴AB綊CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵·＝6×(－2)＋3×4＝0，
∴⊥，即AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形.
(2)易得＝(5，2)，＝(2，－5)，
∴||2＝29，||2＝29，
·＝5×2＋2×(－5)＝0，
∴||＝||，⊥，
∴△ABC是等腰直角三角形.
10.解　(1)因为a＝(1，－2)，b＝(－1，－1)，
所以2a－b＝2(1，－2)－(－1，－1)＝(3，－3)，所以|2a－b|＝＝3.
(2)a＋λb＝(1，－2)＋λ(－1，－1)
＝(1－λ，－2－λ)，
所以|a＋λb|＝，
(a＋λb)·(2a－b)＝3(1－λ)＋(－3)×(－2－λ)＝9.
又向量a＋λb与2a－b的夹角为，所以(a＋λb)·(2a－b)＝|a＋λb||2a－b|cos ，
即9＝×3×，
整理得λ2＋λ－2＝0，解得λ＝1或λ＝－2.
11.B　12.B
13.解　(1)由a＋b＝(，1)，
可得|a＋b|＝＝2，则(a＋b)2＝4，
即a2＋b2＋2a·b＝4，又|a|＝1，|b|＝，
则a·b＝0，则|a－b|＝＝＝2.
(2)cos θ＝＝＝－，
又θ∈[0，π]，
则θ＝π，故a＋b与a－b的夹角θ为π.
14.证明　设x＝(a，b)，y＝(c，d).
则x·y＝ac＋bd，
|x|2＝a2＋b2，|y|2＝c2＋d2，
∵x·y＝|x||y|cos θ≤|x||y|(θ为x与y的夹角)，∴(x·y)2≤|x|2|y|2，
即(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2).

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