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培优课　极化恒等式、与向量有关的最值(范围)问题
课标要求　1.掌握极化恒等式及其应用. 2.掌握解决与向量有关的最值(范围)问题的常用方法.
【引入】 极化恒等式是我们解决向量问题经常用到的一个常用结论，常用于向量数量积及向量模的计算，还用来解决数量积的最值问题.
一、极化恒等式
探究1 如图，在平行四边形ABCD中，已知＝a，＝b.
证明：(1)||2＋||2＝2(||2＋||2)；
(2)a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 如图，在△ABC中，设D为BC的中点，试证明·＝||2－||2.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].
几何意义：两向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
2.两种模式
　　　　　　　　　　　　　
(1)平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，则·＝[||2－||2].
(2)三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝||2－||2.
温馨提示　(1)极化恒等式的作用主要在于它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”的有关计算.
(2)极化恒等式及两种模式，注意右端差式的顺序不能颠倒.
例1 (1)如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且MN＝2BC，点E为DC的中点，则·＝(　　)
A.－3 B.－2
C.－ D.－
(2)已知||＝10，若平面内一点P满足对于任意t∈R，有|－t|≥3，则·的最小值为________，此时|＋|＝________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　以下两种情形，常考虑极化恒等式
(1)两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量；
(2)有中点或能构造中点的有关数量积的向量问题.
训练1 (1)点P是矩形ABCD所在平面内一点，PA＝3，PC＝4，AC＝6，则·＝________.
(2)如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴正半轴、y轴正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是________.
二、向量的模、夹角的最值(范围)
例2 (1)已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为线段CD，BC上的点，若·＝13，·＝13，则||的最小值是(　　)
A.1 B.
C. D.3
(2)已知|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.求向量模的最值与范围的常用方法
(1)写出目标函数，化为函数求最值、值域；
(2)利用向量运算的几何定义，数形结合求解；
(3)利用三角不等式，|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
2.求向量夹角的范围或由夹角范围求参数的范围，关键是列出夹角的某种三角函数值的等价不等式求解.
训练2 (1)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值；
(2)已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、数量积的最值、范围
例3 (1)如图，在菱形ABCD中，||＝|AD|＝3，∠DAB＝60°，E，F分别在边BC和CD上，且＝3，＝k(0≤k≤1)，则·的取值范围为________.
(2)如图，正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，MN为圆O的直径.若点P在正六边形的边上运动，则·的取值范围是________.
思维升华　常用方法
(1)函数法或基本不等式法；
(2)数形结合；
(3)利用极化恒等式；
(4)利用数量积的几何意义；
(5)利用数量积的性质|a·b|≤|a||b|.
训练3 (1)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a·b＝－2，c为任意向量，则
(a－c)·(b－c)的最小值为(　　)
A.－2 B.－
C.－3 D.－
(2)在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值是________.
【课堂达标】
1.已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，0)，则|2a－b|的最大值和最小值分别是(　　)
A.4，0 B.4，2
C.25，1 D.5，1
2.(多选)已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，a与b的夹角为钝角，则λ的取值可能是(　　)
A.－1 B.－6
C.－12 D.1
3.如图，在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.
4.若|a|＝1，|b|＝2，则a·b的取值范围为________.
培优课　极化恒等式、与向量有关的最值(范围)问题
探究1　提示　(1)
①＋②得(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)，
即||2＋||2＝2(||2＋||2).
(2) a·b
＝[(a＋b)2－(a－b)2].
探究2　提示　利用探究1中的(2)的结论，
·＝－
＝2－
＝||2－||2.
例1　(1)A　(2)－16　6　[(1)连接OE(图略)，则由题意知
MN＝2BC＝4，OM＝2，OE＝1，
所以·＝2－2＝1－4＝－3.
(2)设＝t，则点C在直线AB上.
由|－t|≥3，得|－|＝||≥3，
当⊥时取最小值3.
设AB的中点为O，则||≥3.
由极化恒等式得，·＝2－2＝2－25≥9－25＝－16，
即当||＝3时，·取最小值，
此时|＋|＝|2|＝6.]
训练1　(1)－　(2)2　[(1)如图，设矩形对角线交点为O，连接PO，
由
两式平方相加可得：
2(2＋2)＝42＋2，
即2(32＋42)＝42＋62，解得2＝.
根据极化恒等式得·＝[(＋)2－(－)2]＝(42－2)＝2－
2，又矩形对角线BD＝AC＝6，即2＝BD2＝36，故·＝2－2
＝－9＝－.
(2)如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，OM，
则·＝2－.
因为OM≤ON＋NM
＝AD＋AB＝，
当且仅当O，N，M三点共线时取等号，
所以·的最大值为－＝2.]
例2　(1)B　(2)∪　[(1)如图所示，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(4，0)，D(0，4).
设E(a，4)，F(4，b)，a，b∈[0，4]，
则·＝(－a，－4)·(4－a，－4)
＝a2－4a＋16＝13，
故a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.
·＝(－4，－b)·(－4，4－b)
＝b2－4b＋16＝13，
故b2－4b＋3＝0，解得b＝1或b＝3.
因为||2＝(4－a)2＋(b－4)2，
所以当a＝3，b＝3时，||取得最小值，为.
(2)由题意，知e1·e2＝1，
所以(2te1＋7e2)·(e1＋te2)
＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7，
所以2t2＋15t＋7<0，解得－7当2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π时，
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ<0)，
即(2t－λ)e1＝(λt－7)e2，
因为e1，e2不是零向量且不共线，
所以，所以t＝－(t＝舍去)，
所以当t＝－时，2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.
所以实数t的取值范围是
∪.]
训练2　解　(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝.
因为e为单位向量，
所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示).
由图可知当B在点B1时，O，A，B1三点共线，
||即|a＋e|最大，最大值是3.
(2)∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
又∵a，b的夹角α为钝角，
∴即
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1).
例3　(1)　(2)[8，12]　[(1)因为＝3，＝k(0≤k≤1)，
所以＝＋，
＝＋＝－k.
又·＝||||cos 60°
＝3×3×＝，
所以·＝·(－k)＝2－k2＋·
＝－k.
因为0≤k≤1，所以·∈.
(2)法一　连接PO(图略)，则由极化恒等式知·＝||2－||2＝||2－4.
因为正六边形ABCDEF的内切圆半径为
r＝OAsin 60°＝4×＝2，
外接圆的半径为R＝4，
所以r≤||≤R，
即2≤||≤4，
所以12≤||2≤16，可得8≤||2－4≤12，
故·的取值范围是[8，12].
法二　连接PO(图略).
正六边形ABCDEF的内切圆半径为
r＝OAsin 60°＝4×＝2，
外接圆的半径为R＝4.
·＝(＋)·(＋)
＝2＋·＋·＋·
＝2＋·(＋)－2
＝2－2＝2－4.
因为r≤||≤R，即2≤||≤4，
所以12≤2≤16，可得8≤2－4≤12，
故·的取值范围为[8，12].
训练3　(1)B　(2)－　[(1)法一　由题意得|a＋b|＝＝.
设a＋b与c的夹角为θ，|c|＝t，
则(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2
＝t2－tcos θ－2＝－－2≥－－2≥－，
当且仅当θ＝0，t＝时等号成立.
法二　设向量a，b的夹角为θ，
由|a|＝2，|b|＝，且a·b＝－2，
得cos θ＝＝＝－，
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
取a＝(2，0)，b＝(－1，1)，满足|a|＝2，|b|＝，且a·b＝－2.
设c＝(x，y)，则a－c＝(2－x，－y)，
b－c＝(－1－x，1－y)，
(a－c)·(b－c)＝(2－x)(－1－x)＋(－y)(1－y)＝x2－x－2＋y2－y＝＋－，所以当x＝y＝时，
(a－c)·(b－c)取最小值－.
(2)法一　设弦AB的中点为M，
则·＝(＋)·＝·.
若，同向，则·>0；
若，反向，则·<0，
故·的最小值在，反向时取得，
此时|＋||＝，
·＝－||·||≥
－()2＝－，
当且仅当||＝||＝时取等号，
即·的最小值是－.
法二　如图，取OB的中点D，连接PD，
则·＝||2－||2＝||2－，
于是只需求PD的最小值.
由图可知，当PD⊥AB，即PD＝时，·取得最小值，为－.]
课堂达标
1.D　[|2a－b|＝
＝
＝＝.
∵cos θ∈[－1，1]，
∴13－12cos θ∈[1，25]，
∴|2a－b|∈[1，5]，故选D.]
2.BC　[由题意可得：a·b＝λ－1＜0，解得λ＜1，又a与b的夹角不能为180°，即≠，所以λ≠－1，据此可得λ＜－1或－1＜λ＜1，故选BC.]
3.－16　[因为M是BC的中点，故由极化恒等式得·＝||2－||2＝9－×100＝－16.]
4.[－2，2]　[设a与b的夹角为θ，则θ∈[0，π]，
所以cos θ∈[－1，1]，
所以a·b＝|a||b|cos θ∈[－2，2].](共69张PPT)
第9章 平面向量
培优课　极化恒等式、与向量有关的最值(范围)问题
课标要求
1.掌握极化恒等式及其应用.
2.掌握解决与向量有关的最值(范围)问题的常用方法.
引入
极化恒等式是我们解决向量问题经常用到的一个常用结论，常用于向量数量积及向量模的计算，还用来解决数量积的最值问题.
课时精练
一、极化恒等式
二、向量的模、夹角的最值(范围)
三、数量积的最值、范围
课堂达标
内容索引
极化恒等式
一
知识梳理
温馨提示
(1)极化恒等式的作用主要在于它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”的有关计算.
(2)极化恒等式及两种模式，注意右端差式的顺序不能颠倒.
例1
√
连接OE(图略)，则由题意知
MN＝2BC＝4，OM＝2，OE＝1，
－16
6
以下两种情形，常考虑极化恒等式
(1)两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量；
(2)有中点或能构造中点的有关数量积的向量问题.
思维升华
训练1
如图，设矩形对角线交点为O，连接PO，
如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，OM，
2
向量的模、夹角的最值(范围)
二
例2
√
如图所示，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
＝a2－4a＋16＝13，
由题意，知e1·e2＝1，
思维升华
1.求向量模的最值与范围的常用方法
(1)写出目标函数，化为函数求最值、值域；
(2)利用向量运算的几何定义，数形结合求解；
(3)利用三角不等式，|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
2.求向量夹角的范围或由夹角范围求参数的范围，关键是列出夹角的某种三角函数值的等价不等式求解.
训练2
因为e为单位向量，
所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示).
由图可知当B在点B1时，O，A，B1三点共线，
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1).
∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
数量积的最值、范围
三
例3
[8，12]
思维升华
常用方法
(1)函数法或基本不等式法；
(2)数形结合；
(3)利用极化恒等式；
(4)利用数量积的几何意义；
(5)利用数量积的性质|a·b|≤|a||b|.
训练3
√
设a＋b与c的夹角为θ，|c|＝t，
则(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2
(a－c)·(b－c)＝(2－x)(－1－x)＋(－y)(1－y)＝x2－x－2＋y2－y
【课堂达标】
√
√
2.(多选)已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，a与b的夹角为钝角，则λ的取值可能是
A.－1 B.－6 C.－12 D.1
√
－16
因为M是BC的中点，故由极化恒等式得
4.若|a|＝1，|b|＝2，则a·b的取值范围为____________.
[－2，2]
设a与b的夹角为θ，则θ∈[0，π]，
所以cos θ∈[－1，1]，
所以a·b＝|a||b|cos θ∈[－2，2].
【课时精练】
√
√
以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
A.2 B.3 C.4 D.5
则A(0，0)，B(2，0).
√
所以a·b≤0，
√
如图所示，取CD的中点E，连接PE，
√
√
取BD的中点N，连接NF，EB.
因为AB＝4，AE＝2，∠BAC＝60°，
4
7.已知e1，e2是互相垂直的两个单位向量，若向量a＝te1＋e2与向量b＝e1＋te2的夹角是钝角，则实数t的取值范围是__________________________.
∵向量a与向量b的夹角是钝角，∴a·b<0，且〈a，b〉≠π.
由(te1＋e2)·(e1＋te2)<0，
且|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，得t<0.
令te1＋e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，
(－∞，－1)∪(－1，0)
(2，4)
如图，以BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线AO为y轴建立直角坐标系，
所以cos θ>0，所以θ为锐角.
如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，
则|CD|＝|BC|sin θ.
√
法一　由题意可知，|a|＝|b|＝|c|＝1，
又∵a·b＝0且(a－c)·(b－c)≤0，∴a·b－a·c－c·b＋|c|2≤0，
即a·c＋c·b≥1，c·(a＋b)≥1，
故选B.
法二　设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，
则x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，
b－c＝(－x，1－y)，
则(a－c)·(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)(1－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，
即x＋y≥1.
又a＋b－c＝(1－x，1－y)，
√
因为单位向量e1，e2的夹角为60°，
设AD＝3m，BC＝2n(m>0，n>0).第9章　课时精练12　极化恒等式、与向量有关的最值(范围)
问题
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共6分.
一、基础巩固
1.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　)
1 2
3 4
2.如图所示，在正方形ABCD中，已知||＝2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值是(　　)
2 3
4 5
3.已知单位向量a，b满足|a－b|＋2a·b＝0，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为(　　)
4.已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则·的最大值是(　　)
2
5.(多选)已知向量m＝(3，4)，n＝(2t，1－t)，则下列说法正确的是(　　)
当t＝1时，|m＋n|＝
存在t<0，使得m∥n
当m与n的夹角为锐角时，t>－2
若m⊥n，则t＝－2
6.如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝6，∠BAC＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且＝2，＝3，若F为DE的中点，则·的值为________.
7.已知e1，e2是互相垂直的两个单位向量，若向量a＝te1＋e2与向量b＝e1＋te2的夹角是钝角，则实数t的取值范围是________.
8.在平面直角坐标系中，已知向量＝(1，5)，＝(7，1)，＝(1，2)，点P满足＝t(t∈R).当·取得最小值时，向量的坐标为________，cos∠APB＝________.
9.(13分)已知△ABC是边长为2a(a>0)的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，求·(＋)的最小值.
10.(15分)已知△ABC的面积S满足≤S≤3，·＝6，与的夹角为θ，求θ的取值范围.
二、综合运用
11.若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)
－1 1
2
12.在平面中，已知单位向量e1，e2的夹角为60°，向量a＝xe1＋ye2，且1≤x2≤4，1≤y2≤4.设向量a与e1的夹角为α，则cos α的最大值为(　　)
13.(16分)阅读以下一段文字：(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，两式相减得(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b，则a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.
(1)若AD＝6，BC＝4，求·的值；
(2)若·＝4，·＝－1，求·的值.
三、创新拓展
14.已知向量a，b的夹角为，|b|＝2，若对任意x∈R，恒有|b＋xa|≥，则函数f(t)＝|tb－a|＋(t∈R)的最小值为________.
课时精练12　极化恒等式、与向量有关的最值(范围)问题
1.A　2.C　3.B　4.B　5.AD
6.4　7.(－∞，－1)∪(－1，0)
8.(2，4)　－
9.解　如图，以BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线AO为y轴建立直角坐标系，
则A(0，a)，B(－a，0)，C(a，0).
设P(x，y)，则＝(－x，a－y).
＝(－a－x，－y)，＝(a－x，－y)，
＋＝(－2x，－2y).
所以·(＋)
＝(－x，a－y)·(－2x，－2y)
＝2x2＋2y2－2ay
＝2x2＋2－a2≥a2，
故当x＝0，y＝a时，
·(＋)取最小值，最小值为－a2.
10.解　因为·＝||||cos θ＝6>0，
所以cos θ>0，所以θ为锐角.
如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，
则|CD|＝|BC|sin θ.
由题意知，
·＝||||cos θ＝6，①
S＝|AB||CD|＝||||sin θ.②
由②÷①得＝tan θ，即3tan θ＝S.
因为≤S≤3，所以≤3tan θ≤3，
即≤tan θ≤1.
又因为θ∈[0，π]，所以θ∈.
11.B　12.C
13.解　(1)因为＋＝2，－＝，所以·＝[(＋)2－(－)2]＝2－2＝36－4＝32.
(2)设AD＝3m，BC＝2n(m>0，n>0).
由(1)知·＝2－2.
又·＝4，所以9m2－n2＝4.①
因为＋＝，－＝，
所以·＝[(＋)2－(－)2]＝2－2＝－1，
即m2－n2＝－1.②
由①②解得m2＝，n2＝.
又＋＝2＝，－＝，
所以·＝[(＋)2－(－)2]＝2－2＝4m2－n2＝－＝.
14.

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