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2025年普通高等学校招生全国统一考试
高考模拟调研卷数学(三)
数学测试卷共4页，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1. 已知集合 和集合 ,集合 满足: ,且 , 则满足条件的集合的个数是
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
2. 使复数 为纯虚数的最小自然数 是
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 已知函数 则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. “直角三角形的三边成等差数列”是“三角形三边之比为3：4：5”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，规定累计先胜5局者为胜方。称从开赛到决出胜方的一个具体比赛过程为一个“比赛记录”，比如，“乙胜了第2、6、7局，甲胜了第1、3、4、5、8局，甲胜”就是一个比赛记录，则该比赛可能的比赛记录有
A. 126个 B. 196个 C. 210个 D. 252个
6. 已知圆柱形罐头盒的体积为定值，则其表面积取最小值时，底面圆的半径为
A. B. C. D.
7. 已知 的顶点 , 是边上的高, 则下列结论错误的是
A. 所在直线的方程是
B.的平分线所在直线的方程是
C.外接圆的方程为
D. 的面积为10
8. 若函数 与函数 相交于一点 其中
A. 1 B. C. 2 D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知等比数列 中，是，的等差中项，则数列的公比可以是
A. B. C. 1 D. 2
10.已知函数 则
A. 有三个零点 B. 有两个极值点
C. D.
11. 已知双曲线 是其左右焦点，过点 的直线与右支交于，两点， 的内切圆的圆心为， 的角平分线与轴交于点 ，则下列说法正确的有
A. 周长的最小值为33
B. 点 满足
C. 若于,则
D.若点的横坐标为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知锐角 中， .
13.在测量某物理量的过程中，因仪器观察的误差，使得次测量分别得到 共个数据，我们规定所测物理量的“最佳近似值”是这样一个量，与其它近似值比较，与各数据的差的平方和最小.依此规定,从 推出的 .
14. 若 的展开式中项系数为24,系数的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知是锐角，且满足
(1)求 的值：
(2) 求的值.
16.(15分)
某小区进行小区内车位摇号，某栋楼附近有20个车位可供选择，该栋楼共100户居民有资格参与摇号，每户居民按事先抽到的顺序号进行顺次抽取.小区物业在全体居民的关注和监督员的监督下，将带有20个车位编号的卡片放入不透明的箱子里，同时放入80个空白卡，100张卡片外形大小等完全一致，每位居民按顺序号依次抽取卡片，已知甲抽到的顺序号是3号.
(1)如果抽到卡片的人公布是否抽到车位，求在前两个人都抽到车位的情况下，甲抽到车位的概率；
(2)如果每个人都不公布自己是否抽到车位，求甲抽到车位的概率.
17. (15分)
已知四面体中， 为中点，且 平面, 为的中点.
(1) 过点作直线,交平面于点, 使得，求点在 内的轨迹的长度；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18. (17分)
已知函数
(1)若 恒成立，求实数的取值范围：
(2)若 有两个极值点 求证：
19. (17分)
已知抛物线 的焦点为 ，点列 在抛物线上，且在第一象限，其横坐标 直线，交C的另一点为 直线 交直线 于点，直线交直线 于点
(1)求 的坐标；
(2) 求的坐标；
(3)试确定与与面积间的关系.数学（三）参考答案
一、选择题：
1～4 BBBC 5～8 DBCA
二、选择题：
9．AC 10．BCD 11．BCD
三、填空题：
12． 13． 14．
四、解答题：
15．（ 13分）
解：（1）由，得，
令，则，又是锐角，则，
所以有，解得（舍）， ……4分
即有，．
从而； ……7分
（2）由，，可得：
，故．
当时，可求得，故，
当时，可求得，故，
从而的值为或． ……13分
16．（ 15分）
解：（1）设事件表示第号人抽到车位，则； ……6分
（2）
(
O
A
B
C
D
E
G
)． ……15分
17．（ 15分）
解：（1）由，有，，
取中点，连结，，由，是中点，
则有，又平面，所以平面，
由是中点，则有，又平面，所以平面，
平面，，所以平面平面，
所以点在内的轨迹为，长度为； ……6分
(
O
A
B
C
D
E
x
y
z
H
)（2）以点为坐标原点，分别为轴，过点作平面的垂线为轴，
建立空间直角坐标系，则，，
过作，所以，因为平面平面，
则平面，经计算，所以．
则，，
设平面的法向量为，由，，取．
设平面的法向量为，由，，取．
从而平面与平面成角的余弦值为． ……15分
18．（ 17分）
解： （1）由题设，，令，，
易知函数是增函数，且时函数值为0，
从而当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，所以； ……6分
（2），若函数有两个极值点，则，
即有两个解，令，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减
所以，，
所以
因为，所以 ……13分
令，，所以单调递减，
所以，所以
综上，． ……17分
19．（17分）
解： （1），直线，
与抛物线方程联立得，，
解得其两个分别为，从而
由，直线，
与抛物线方程联立得，，
解得其两个分别为，从而，
，令，解得，则
，令，解得，则；
……5分
（2）由条件可得，有，
与抛物线方程联立得，，
解得其两个分别为，从而，有
，
令，解得，及； ……11分
（3）由（2）同理可得，即与关于轴对称，
有，从而的面积与的面积相等，
的面积与的面积相等，
而与的面积和为的面积，
所以与面积的和与面积相等． ……17分

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