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2025年北京市初中学业水平考试数学一模练习卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
一、选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.）
1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，
如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，
其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　 　）
A． B． C． D．
2． 如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（　 　）

A． B． C． D．
3． 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　 　）
A． B． C． D．
4． 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　 　）
A．1 B．-1 C．-5 D．-6
“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种．
石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平，小明和小红玩这个游戏，
他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（　 　）
A． B． C． D．
年5月3日时分长征五号遥八运载火箭托举嫦娥六号探测器飞向月球，
至6月日时7分嫦娥六号返回器携带来自月背的月球样品安全着陆在内蒙古四子王旗预定区域，嫦娥六号的太空往返之旅历时天，完成往返万公里行程，实现了五星红旗首次在月球背面独立动态展示，填补了月球背面研究的历史空白，为我们理解月球背面与正面地质差异开辟了新的视角．数据用科学记数法可以表示为（　 　）
A． B． C． D．
如图，在中，按以下步骤作图：
① 分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，
两弧相交于点M和N，连接，分别与，交于点D和E；
② 以点A为圆心，任意长为半径作弧，交于点G，交于点H；
③ 分别以点G和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；
作射线，分别交，于点F，Q．
若，，则的度数为（　 　）

A． B． C． D．
如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，
将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（　 　）
A．2 B． C． D．
二、填空题：（本大题共8题，每题2分，共16分.）
9 . 若是二次根式，则的取值范围是 ．
10． 因式分解：＝ ．
11．方程的解是 ．
12 在平面直角坐标系中，若点，均在反比例函数的图象上，
则 ．（填“＞”“＝”或“＜”）
学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，
将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是 分
14 .图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．
已知屋面的倾斜角为22°，长为3米的真空管与水平线的夹角为37°，
安装热水器的铁架竖直管的长为0.5米．则安装热水器的铁架水平横管的长度约为 米．
（结果精确到0.1米）参考数据：，，，，，
15 . 如图，一次函数与轴、轴分别交于两点，
以为一边在第二象限作正方形，反比例函数经过点．
将正方形沿轴正方向平移个单位后，点恰好落在反比例函数上，则的值是 ．

16．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，
延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：
①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．
在以上4个结论中，其中一定成立的 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
解答题：（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，
第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）
17 .计算：．
18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

19．化简求值：，其中
如图，在中，，中线，交于点，，分别是，的中点，
连接，，，．
求证：四边形是平行四边形．
当，时，求的长．
五一小长假，小明、小杰等同学随家长一同到公园游玩，下面是购买门票时小明与他爸爸的对话
（如图所示），试根据图中的信息，解答下列问题：
(1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)请你帮助小明算一算，怎样购买门票最省钱，最多能省多少元？
22．一次函数的图像与轴交于点，且经过点．
(1) 当时，求一次函数的解析式及点的坐标；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
直接写出的取值范围．
23．为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．
报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），
取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出
每人的总评成绩．

小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，
这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
采访 写作 摄影
小悦 83 72 80 78
小涵 86 84 ▲ ▲

在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．
这组数据的中位数是__________分，
众数是__________分，
平均数是__________分；
请你计算小涵的总评成绩；
学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
24. 如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为C，，垂足为E．连接．

求证：平分；
若，，求的半径．
【背景】
在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，
完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，
电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据：
… 1 3 4 6 …
… 4 3 2.4 2 …

(1)_______，_______；
(2)【探究】
根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，
探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；

②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________．
(3)【拓展】
结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________．
喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．
如图2，将喷灌架置于坡度为的坡地底部点O处（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），
喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷水头的水平距离为20米时，
达到最大高度（与喷灌架底部所在水平面的距离）9米．

求图2中抛物线表达式；
当喷射出的水流达到最大高度时，求水流与坡面之间铅直高度的长；
若喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为米，求水流与喷水头的水平距离．
在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
点D、E和F分别是斜边AB、直角边AC和直角边BC上的动点，∠EDF=90°，
如图1，若四边形DECF是正方形，求这个正方形的边长．
如图2，若E点正好运动到C点，并且tan∠DCF=，求BF的长．
如图3，当时，求的值
28 . 对于线段和点给出如下定义：点在线段的垂直平分线上，若以点为圆心，
为半径的优弧上存在三个点，使得是等边三角形，
则称点是线段的“关联点”．例如，图1中的点是线段的一个“关联点”.
特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称点是线段的“强关联点”．

在平面直角坐标系中，点的坐标为．
如图2，在点，，，中，是线段的“关联点”的是 ；
点在直线上．存在点，是线段的“关联点”，也是线段的“强关联点”．
① 直接写出点的坐标；
② 动点在第四象限且，记．若存在点，使得点是线段的“关联点”，
也是的“关联点”，直接写出及线段的取值范围．
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2025年北京市初中学业水平考试数学一模练习卷解答
（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
一、选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.）
1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，
如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，
其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形；如果一个图形绕某一个点旋转180度后能与它自身重合，这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A选项不是轴对称图象，也不是中心对称图形，不合题意；
B选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；
C选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；
D选项是轴对称图象，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
2．如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（　 　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可．
【详解】解：如图，作，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．
【详解】解：根据图形可以得到：
，，
∴，故A项错误，
，故B项错误，
，故C项错误，
，故D项错误．
故选：D．
4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　 　）
A．1 B．-1 C．-5 D．-6
【答案】D
【分析】根据根的判别式得到，然后解关于m的不等式，即可求出m的取值范围，并根据选项判断．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴m+1>4，m>3，或m+1<-4，m<-5．
故选D ．
“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种．
石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平，小明和小红玩这个游戏，
他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】B
解：根据题意画出树状图：
∴共有9种等可能的结果，小明获胜的有3种情况，
∴小明获胜的概率
P==，
故选: B.
年5月3日时分长征五号遥八运载火箭托举嫦娥六号探测器飞向月球，
至6月日时7分嫦娥六号返回器携带来自月背的月球样品安全着陆在内蒙古四子王旗预定区域，嫦娥六号的太空往返之旅历时天，完成往返万公里行程，实现了五星红旗首次在月球背面独立动态展示，填补了月球背面研究的历史空白，为我们理解月球背面与正面地质差异开辟了新的视角．数据用科学记数法可以表示为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．
【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，，
∴用科学记数法表示为，
故选：B．
如图，在中，按以下步骤作图：
① 分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，
两弧相交于点M和N，连接，分别与，交于点D和E；
② 以点A为圆心，任意长为半径作弧，交于点G，交于点H；
③分别以点G和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；
作射线，分别交，于点F，Q．
若，，则的度数为（　 　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据步骤得，是的垂直平分线， 是的角平分线，再根据内角和求得 ，再根据角平分线的性质得，根据内角和求得，即可求得，再根据是的垂直平分线，即可求得结果．
【详解】解：由步骤①可知是的垂直平分线，由步骤②可知是的角平分线
，，
是的角平分线
，
是的垂直平分线
故选A．
如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，
将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（　 　）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接交于点F，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处，
∴点C与点A关于直线对称，
∴，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∴
∴．
故选：A．
二、填空题：（本大题共8题，每题2分，共16分.）
9 . 若是二次根式，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．根据被开方数是非负数，建立不等式求解即可．
【详解】解：是二次根式，
，即，
故答案为：．
10．因式分解：＝ ．
【答案】xy（y-x）
【分析】观察发现有公因式xy，直接提取公因式可得．
【详解】解：xy2-x2y=xy（y-x）．
故答案为：xy（y-x）．
11．方程的解是 ．
【答案】
【分析】观察可得方程最简公分母为，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，具体方法是方程两边同时乘以最简公分母，在此过程中有可能会产生增根，增根是转化后整式的根，不是原方程的根，因此要注意检验．
【详解】解：
方程两边同乘得：
，
整理、解得．
检验：把代入．
∴是原方程的解，
故答案为．
12 .在平面直角坐标系中，若点，均在反比例函数的图象上，
则 ．（填“＞”“＝”或“＜”）
【答案】＞
【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
根据反比例函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数中，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：＞
学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，
将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是 分
【答案】90
【分析】本题考查了中位数的知识，解题的关键是了解中位数的求法，难度不大．
根据中位数的定义（数据个数为偶数时，排序后，位于中间位置的数为中位数），结合图中的数据进行计算即可；
【详解】解：∵共有12个数，
∴中位数是第6和7个数的平均数，
∴中位数是；
故答案为：90
14 .图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．
已知屋面的倾斜角为22°，长为3米的真空管与水平线的夹角为37°，
安装热水器的铁架竖直管的长为0.5米．则安装热水器的铁架水平横管的长度约为 米．
（结果精确到0.1米）参考数据：，，，，，
【答案】米
【分析】本题考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力．过作于．构建中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案． 然后根据的长可求出的长，再判定出四边形是矩形，可求出与的长，再用的长减去的长即可解答．
【详解】解：如图，过作交于点．

在中，，
则（米）．
在中，，
则（米）．
由题意得，四边形是矩形．
（米），（米），
（米），
在中，，
则（米），
（米），
答：安装热水器的铁架竖直管的长度约为米．
故答案为：．
15 .如图，一次函数与轴、轴分别交于两点，
以为一边在第二象限作正方形，反比例函数经过点．
将正方形沿轴正方向平移个单位后，点恰好落在反比例函数上，则的值是 ．

【答案】1
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G，过点D作DF⊥x轴于点F，如图，先求出点A、B的坐标，然后利用正方形的性质、余角的性质可证△OAB≌△FDA≌△EBC，进而可利用全等三角形的性质求出点D、C的坐标，进一步即可求出反比例函数的解析式，于是可得点G坐标，再根据平移的性质即可求出答案．
【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G，过点D作DF⊥x轴于点F，如图，
在y＝2x+2中，令x＝0，解得：y＝2，即B的坐标是（0，2），令y＝0，解得：x＝﹣1，即A的坐标是（﹣1，0）．
则OB＝2，OA＝1．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAF＝90°，

又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA＝90°，
∴∠DAF＝∠OBA，
在△OAB和△FDA中，
∵∠OBA＝∠DAF，∠BOA＝∠AFD，AB＝AD，
∴△OAB≌△FDA（AAS），
同理可证：△OAB≌△EBC，
∴AF＝OB＝EC＝2，DF＝OA＝BE＝1，
∴D的坐标是（﹣3，1），C的坐标是（﹣2，3）．
将点D代入得：k＝﹣3，
则函数的解析式是：y＝﹣．
∴G的坐标是（﹣1，3），
∴当点C与G重合时，正方形沿x轴正方向平移了1个单位，即a＝1．
故答案为1．
16．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，
延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：
①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．
在以上4个结论中，其中一定成立的 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
【答案】①②④．
【详解】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
∴△ADG≌△FDG，①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，
即：（x+6）2=62+（12-x）2，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，
则△GED不是等腰三角形，
△GDE与△BEF不相似， ③错误；
S△GBE=×6×8=24，S△BEF=S△GBE=×24=，④正确.
故答案为：①②④
解答题：（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，
第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）
17 .计算：．
【答案】2
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
．
18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式组的解集为：，数轴表示见解析
【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示不等式组的解集为：

19．化简求值：，其中
【答案】，
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再把的值代入计算即可求出值
【详解】解：
，
当时，原式．
如图，在中，，中线，交于点，，分别是，的中点，
连接，，，．
求证：四边形是平行四边形．
当，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由是的中位线，则且，由是的中位线，则且，推出且，由一组对边相等且平行的四边形是平行四边形即可证；
（2）由（1）可得点O是的中点，点分别是的中点，结合，可得，根据，易得，则，由勾股定理求出，最后利用勾股定理可求得的长．
【详解】（1）证明：∵点D是的中点，点E是的中点，
∴是的中位线，则且，
，分别是，的中点，
∴是的中位线，
且，
且，
四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴点O是的中点，
，
点分别是的中点，
，
，
，
，
，
，
点D是的中点，
，
．
五一小长假，小明、小杰等同学随家长一同到公园游玩，下面是购买门票时小明与他爸爸的对话
（如图所示），试根据图中的信息，解答下列问题：
(1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)请你帮助小明算一算，怎样购买门票最省钱，最多能省多少元？
【答案】(1)12个成人，6个学生
(2)购买16人的团体票和2张学生票最省钱，最多能省154元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据总价单价数量结合成人票及学生票的价格，列出关于的一元一次方程；（2）求出购买16人的团体票和2张学生票的钱数．
（1）设小明他们一共去了个成人，则个学生，根据共需525元列方程求解；
（2）只需计算购买16人的团体票和2张学生票的钱数，再与525进行比较即可求解．
【详解】（1）解：设小明他们一共去了个成人，则个学生，依题意有，解得，
，
答：小明他们一共去了12个成人，6个学生；
（2）解：购买16人的团体票和2张学生票，
共需费用：
（元，
，
（元，
答：购买16人的团体票和2张学生票最省钱，最多能省154元．
22．一次函数的图像与轴交于点，且经过点．
(1) 当时，求一次函数的解析式及点的坐标；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
直接写出的取值范围．
【答案】(1)y=x+，点A的坐标为(-4，0)
(2)
【分析】（1）当m=2时，把点C的坐标代入y=kx+4k(k≠0)，即可求得k的值，得到一次函数表达式，再求出点A的坐标即可；
（2）根据图像得到不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：∵m=2，
∴将点C(2，2)代入y=kx+4k，
解得k=；
∴一次函数表达式为y=x+，
当y=0时，x+=0，
解得x=-4
∵一次函数y=x+的图像与x轴交于点A，
∴点A的坐标为(-4，0)．
（2）解：如图，y=kx+4k(k≠0)过定点，
∵当时，，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数y=kx+4k(k≠0)的值，
∴，，
解得k≤ ．
∴k≤ ．
23．为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．
报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），
取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出
每人的总评成绩．

小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，
这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
采访 写作 摄影
小悦 83 72 80 78
小涵 86 84 ▲ ▲

在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．
这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分；
(2)请你计算小涵的总评成绩；
(3)学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
【答案】(1)69，69，70
(2)82分
(3)小涵能入选，小悦不一定能入选，见解析
【分析】（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数．
（2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可．
（3）小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选．
【详解】（1）从小到大排序，
67，68，69，69，71，72， 74，
∴中位数是69，
众数是69，
平均数：
69，69，70
（2）解：（分）．
答：小涵的总评成绩为82分．
（3）结论：小涵能入选，小悦不一定能入选
理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，
总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，
学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；
小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选．
24. 如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为C，，垂足为E．连接．

(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由直线是的切线得到，又由得到，则，由得到，则，即可证明结论；
（2）连接，由是的直径得到，则，又由得到，由（1）得，则，在中，，则，得到，在中，由勾股定理得到，即可得到的半径．
【详解】（1）证明：连接，

∵直线是的切线，切点为C，
∴，
又∵，垂足为E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：连接，

∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【背景】
在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，
完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，
电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据：
… 1 3 4 6 …
… 4 3 2.4 2 …

(1)_______，_______；
(2)【探究】
根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；

②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________．
(3)【拓展】
结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________．
【答案】(1)2，
(2)①见解析；②函数值逐渐减小
(3)或
【分析】（1）根据解析式求解即可；
（2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；
（3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论．
【详解】（1）解：由题意，，
当时，由得，
当时，，
故答案为：2，；
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：

②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小，
故答案为：函数值逐渐减小；
（3）解：当时，，当时，，
∴函数与函数的图象交点坐标为，，
在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图，

由图知，当或时，，
即当时，的解集为或，
故答案为：或．
喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．
如图2，将喷灌架置于坡度为的坡地底部点O处（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），
喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷水头的水平距离为20米时，
达到最大高度（与喷灌架底部所在水平面的距离）9米．

(1)求图2中抛物线表达式；
(2)当喷射出的水流达到最大高度时，求水流与坡面之间铅直高度的长；
(3)若喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为米，求水流与喷水头的水平距离．
【答案】(1)或
(2)高度的长为5米
(3)5米或25米
【分析】本题考查了抛物线的生活应用，待定系数法求解析式，坡度比的应用．
（1）根据定义，得到抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为，代入已知点，确定a值即可．
（2）设铅直高度与水平面的交点为M，根据坡比为，得，，求，继而计算即可．
（3）设喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为米,且与水平面的交点为G，
设，则，根据坡比为，得，求，继而得到，根据点P在抛物线上，列式计算即可．
【详解】（1）∵ 抛物线的顶点坐标为，且过点，
设抛物线的解析式为，
∴，
解得，
故抛物线的解析式为或．
（2）设铅直高度与水平面的交点为N，
根据坡比为，得，，
解得，

(米)．
答：铅直高度为5米．
设点P为抛物线上的一点，
且喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为米且与水平面的交点为G，
设，则，
∵坡比为，
∴，
解得，
∴，
∵点P在抛物线上，
∴，

整理，得，
解得，
答：水流与喷水头的水平距离为5米或25米．
在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
点D、E和F分别是斜边AB、直角边AC和直角边BC上的动点，∠EDF=90°，
如图1，若四边形DECF是正方形，求这个正方形的边长．
如图2，若E点正好运动到C点，并且tan∠DCF=，求BF的长．
如图3，当时，求的值
【答案】(1)；
(2)1；
(3)
【分析】（1）设正方形的边长为x，则AE＝3－x，
由正方形的性质，得DEBC，则AE：AC＝DE：BC，代入计算即可求解；
过D点作DG⊥BC，垂足为G点，由tan∠DCF＝，得DG：CG＝1：2，
设DG＝y，则CG＝2y，则BG＝4－2x，根据DGAC，得DG：AC＝BG：BC，
代入即可求得x=1.2，从而求得BG＝4－2x＝1.6，
再根据tan∠GDF =tan∠DCF＝，得，
即可求得FG＝0.6，然后由FB＝BG－FG求解即可；
过D点作DM⊥AC，垂足为M点，作DN⊥BC，垂足为N点，
先由勾股定理求得AB=5，再证明Rt△DME∽Rt△DNF，得＝，
由=，得=，设DM＝z，则DN＝2z，
再由DMBC ，得DM：BC＝AM：AC＝AD：AB，即z：4＝（3－2z）：3 ，
解得 z＝，所以：4＝AD：5 ，
求得AD＝，BD＝5－＝，即可代入求解．
【详解】（1）解：∵四边形AOBC是的正方形，
∴DEBC，
∴AE：AC＝DE：BC
设正方形的边长为x，则AE＝3－x，
∴（3－x）：3＝x：4，
解得 x＝，
即这个正方形的边长为；
（2）解：过D点作DG⊥BC，垂足为G点，如图2，
∵tan∠DCF＝，
∴DG：CG＝1：2
设DG＝y，则CG＝2y，
∴BG＝4－2y，
∵DGAC，
∴DG：AC＝BG：BC，
∴y：3＝（4－2y）：4，解得 y＝1.2 ，
BG＝4－2y＝1.6，
∵∠EDF＝，
∴∠CDG＋∠GDF＝，
∵DG⊥BC，
∴∠CDG＋∠DCG＝，
∴∠GDF＝∠DCG，
∵tan∠DCF＝，
∴tan∠GDF＝，
∴，
∵DG＝1.2，
∴FG＝0.6，
∴FB＝BG－FG＝1.6－0.6 ＝1；
（3）解：过D点作DM⊥AC，垂足为M点，过D点作DN⊥BC，垂足为N点，如图3，
∵∠ACB＝，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∵DM⊥AC，DN⊥BC，∠ACB＝，
∴∠MDN＝，
∴∠MDE＋∠EDN＝，
∵∠EDF＝，
∴∠FDN＋∠EDN＝，
∴∠MDE＝∠FDN，
∴Rt△DME∽Rt△DNF，
∴＝，
∵=，
∴=，
设DM＝z，则DN＝2z，
∵DMBC ，
∴DM：BC＝AM：AC＝AD：AB，
∴z：4＝（3－2z）：3 ，解得 z＝，
∴：4＝AD：5 ，
∴AD＝，BD＝5－＝，
∴＝．
28 . 对于线段和点给出如下定义：点在线段的垂直平分线上，若以点为圆心，
为半径的优弧上存在三个点，使得是等边三角形，
则称点是线段的“关联点”．例如，图1中的点是线段的一个“关联点”.
特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称点是线段的“强关联点”．

在平面直角坐标系中，点的坐标为．
如图2，在点，，，中，是线段的“关联点”的是 ；
点在直线上．存在点，是线段的“关联点”，也是线段的“强关联点”．
① 直接写出点的坐标；
② 动点在第四象限且，记．若存在点，使得点是线段的“关联点”，
也是的“关联点”，直接写出及线段的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②或或；
【分析】（1）根据“关联点”的定义进行判断即可；
（2）①设直线与线段的垂直平分线交于点C，求出，根据点P是线段的“关联点”，是线段的“强关联点”，得出点P在直线上，，，证明，求出，得出点B的纵坐标为，即可求出结果；
②根据题意得出点D在以点A为圆心，2为半径的圆上，点Q在直线上，点Q也在的垂直平分线上，画出图形，找出临界点，然后求出的取值范围，的范围即可．
【详解】（1）解：在的垂直平分线上取点，连接，使，以点为圆心，为半径作圆，交的垂直平分线于点，连接，，

则，，
∴为等边三角形，
此时在优弧上只能作一个等边三角形，
∴点是线段的“强关联点”，
∵当时，在优弧上任意作一个圆周角一定大于，
∴要使线段的“关联点”存在，，
∵不在线段的垂直平分线上，
∴点不是线段的“关联点”，
连接，，，，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∴，
∴点是线段的“关联点”，
∵，
∴，
∴点不是线段的“关联点”；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点是线段的“关联点”；
（2）解：①设直线与线段的垂直平分线交于点C，如图所示：

把代入得：，
∴，
∴，
∵点P是线段的“关联点”，是线段的“强关联点”，
∴点P在直线上，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴点B的纵坐标为，
把代入得：，
解得：，
∴；
②∵，
∴点D在以点A为圆心，2为半径的圆上，
∵，，
∴点O、B在该圆上，
过点A作于点E，
∴，
∴垂直平分，
∴点Q在直线上，
根据解析①可知：，
∴当时，
∴，
∵点Q也在的垂直平分线上，
∴的垂直平分线必须与相交，
当时，的垂直平分线与的垂直平分线互相平行，此时的不符合题意，
根据解析（1）可知，当时，点Q不是的“关联点”，
∴要Q是的“关联点”，则，
即，
如图，取、，使，
则点D在（不包括端点、）上时，不符合题意，
∴的取值范围是：或或，

作的垂直平分线交于点F，交于点Q，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
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