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13.1.3　直观图的斜二测画法
课标要求　1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图. 2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及部分复杂空间图形的直观图.
【引入】 学习空间图形，常需要作图来表示这些空间图形，以便进一步提高对空间图形结构特征的认识.在初中我们就已经知道，三视图是观察者从三个不同位置来观察同一个空间图形而画出的图形，但它们都是平面图形，不能给人以立体感，如何画出空间图形的直观图呢？
一、水平放置的平面图形的直观图的画法
探究1 乒乓球台是长方形，从斜上方看起来还是长方形吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
　用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
温馨提示　(1)在已知图形中建立直角坐标系时，尽量利用原图形的对称性和垂直关系，且使尽量多的点、线段落在坐标轴上或与坐标轴平行.
(2)简记口诀：九十度，画一半；横不变，纵减半，平行关系不改变，画出图形更直观.
例1 (链接教材P158例4)画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.
训练1 (链接教材P160练习T1)已知图中△ABC为正三角形，用斜二测画法画出其水平放置时的直观图.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、空间图形的直观图的画法
探究2 结合水平放置的平面图形的画法，你能给出正方体的画法吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
用斜二测画法画空间图形的直观图的步骤
(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝__________，且∠yOz＝________.
(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于点O′，并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面.
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成________于x′轴、y′轴或z′轴的线段.
(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度________；平行于y轴的线段，长度为原来的________.
温馨提示　(1)与平面图形的直观图画法相比，空间图形的直观图画法多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.
(2)成图后，要去掉辅助线，并将被遮挡的部分改为虚线.
(3)圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面，水平放置的圆的直观图画成椭圆.
例2 (链接教材P159例5)已知长方体的长、宽、高分别为3 cm，2 cm，2 cm，试画出该长方体的直观图.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　空间图形的直观图的画法
(1)对于一些常见空间图形(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出.
(2)画空间图形的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向.
(3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.
训练2 画出底面是边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、直观图的还原与计算
例3 (1)已知△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′，如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么△ABC是(　　)
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰且非等边的三角形
D.三边互不相等的三角形
(2)如图，梯形A1B1C1D1是一水平放置的平面图形ABCD在斜二测画法下的直观图.若A1D1平行于y′轴，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝3，A1D1＝1，则平面图形ABCD的面积是(　　)
A.14 B.7
C.7 D.14
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由此可得：直观图面积是原图形面积的倍.
训练3 (1)如图，一个水平放置的平面图形的直观图A′B′C′D′是边长为1的菱形，且O′D′＝1 ，则原平面图形的面积为(　　)
A.2 B.1
C.2 D.
(2)若△ABC的面积为2，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.(多选)(链接教材P161练习T4)关于斜二测画法所得到的直观图，下列说法正确的是(　　)
A.三角形的直观图是三角形
B.平行四边形的直观图是平行四边形
C.正方形的直观图是正方形
D.菱形的直观图是菱形
2.在用斜二测画法画一个高为5 cm的圆柱的直观图时，圆柱的高应画成(　　)
A.平行于z′轴且为5 cm
B.平行于z′轴且为2.5 cm
C.与z′轴成45°且为5 cm
D.与z′轴成45°且为2.5 cm
3.用斜二测画法画一个平面四边形ABCD的水平放置的直观图，得到一个如图所示的边长为1的正方形A′B′C′D′，则原图中AD的长度为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.2
4.已知△ABC的斜二测画法的直观图为△A′B′C′，若A′B′＝4，B′C′＝3，∠A′B′C′＝60°，则△ABC的面积为(　　)
A.3 B.
C.6 D.12
13.1.3　直观图的斜二测画法
探究1　提示　不是长方形，而是平行四边形.
知识梳理
45°　135°　水平面　 x′轴或 y′轴　不变　一半
例1　解　画法：(1)如图所示，取AB所在的直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点取C′D′＝CD，并使C′D′∥x′轴.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
训练1　解　如图所示，按以下步骤完成：
(1)在已知的△ABC中，取AB所在直线为x轴，取高线CO所在直线为y轴，画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上取O′A′＝OA，O′B′＝OB，在y′轴上取O′C′＝OC.
(3)连接A′C′，B′C′，所得△A′B′C′就是水平放置的△ABC的直观图.
探究2　提示　正方体可以看作底面沿竖直方向平移得到，故画正方体可以先画出一个底面，再确定竖直方向的棱即可.
知识梳理
(1)90°　90°　(3)平行　(4)不变　一半
例2　解　如图所示，按如下步骤完成：
第一步，画水平放置的矩形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝3 cm，AD＝1 cm.
第二步，过A作z′轴，使∠BAz′＝90°，分别过点B，C，D作z′轴的平行线，在z′轴及这组平行线上分别截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝2 cm.
第三步，连接A′B′，B′C′、C′D′，D′A′，得到的图形就是所求作的长方体的直观图.
训练2　解　(1)画轴.画x轴、y轴、z轴，
使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.
(2)画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB＝CD＝1.2 cm，EF＝AD＝BC＝0.6 cm.
(3)画顶点.在Oz轴上截取OP，使OP＝1.5 cm.
(4)成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.
例3　(1)A　(2)B　[(1)原△ABC如图所示，由题意知BC＝B′C′＝2，BO＝CO＝B′O′＝1，AO＝2A′O′＝，
所以AB＝BC＝AC＝2，故△ABC为等边三角形.
(2)根据直观图画法的规则，直观图中A1D1平行于y′轴，A1D1＝1，
可知原图中AD∥Oy，从而得出AD⊥DC，且AD＝2A1D1＝2.
直观图中
A1B1∥C1D1，
A1B1＝C1D1＝3，
可知原图中AB∥CD，AB＝CD＝3，
即四边形ABCD的上底和下底边长分别为3，4，高为2，如图，
故其面积S＝×(3＋4)×2＝7.]
训练3　(1)A　(2)　[(1)把直观图还原出原平面图形为平行四边形，如图所示，
其中OD＝2O′D′＝2，
AB＝CD＝A′B′＝1，
所以原平面图形的面积为S＝2×1＝2.故选A.
(2)如图所示作△ABC，CO为其高，由斜二测画法作出其直观图△A′B′C′，过C′作C′G⊥A′B′，
可得C′O＝CO＝C′G，
所以＝＝，所以S△A′B′C′＝.]
课堂达标
1.AB　[斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，但垂直关系、相等关系可能改变，故A，B正确，C、D错误.]
2.A　[由斜二测画法的规则可知圆柱的高应平行于z′轴且为5 cm.]
3.C　[由直观图还原得到原图形如图，
由斜二测画法可得CD＝AB＝A′B′＝1，AC＝2A′C′＝2＝2，
∠OCD＝90°，
所以AD＝＝3，故选C.]
4.C　[由条件可知，S△A′B′C′＝×4×3×＝3，由＝＝，解得S△ABC＝6.](共55张PPT)
第13章 13.1　基本立体图形
13.1.3　直观图的斜二测画法
课标要求
1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及部分复杂空间图形的直观图.
引入
学习空间图形，常需要作图来表示这些空间图形，以便进一步提高对空间图形结构特征的认识.在初中我们就已经知道，三视图是观察者从三个不同位置来观察同一个空间图形而画出的图形，但它们都是平面图形，不能给人以立体感，如何画出空间图形的直观图呢？
课时精练
一、水平放置的平面图形的直观图的画法
二、空间图形的直观图的画法
三、直观图的还原与计算
课堂达标
内容索引
水平放置的平面图形的直观图的画法
一
探究1 乒乓球台是长方形，从斜上方看起来还是长方形吗？
提示　不是长方形，而是平行四边形.
　用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
知识梳理
45°
135°
水平面
x′轴或y′轴
不变
一半
温馨提示
(1)在已知图形中建立直角坐标系时，尽量利用原图形的对称性和垂直关系，且使尽量多的点、线段落在坐标轴上或与坐标轴平行.
(2)简记口诀：九十度，画一半；横不变，纵减半，平行关系不改变，画出图形更直观.
例1
(链接教材P158例4)画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
画法：(1)如图所示，取AB所在的直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.
思维升华
(链接教材P160练习T1)已知图中△ABC为正三角形，用斜二测画法画出其水平放置时的直观图.
训练1
如图所示，按以下步骤完成：
(1)在已知的△ABC中，取AB所在直线为x轴，取高线CO所在直线为y轴，画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(3)连接A′C′，B′C′，所得△A′B′C′就是水平放置的△ABC的直观图.
空间图形的直观图的画法
二
探究2 结合水平放置的平面图形的画法，你能给出正方体的画法吗？
提示　正方体可以看作底面沿竖直方向平移得到，故画正方体可以先画出一个底面，再确定竖直方向的棱即可.
知识梳理
用斜二测画法画空间图形的直观图的步骤
(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝_____，且∠yOz＝ _____.
(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于点O′，并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面.
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成______于x′轴、y′轴或z′轴的线段.
(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度______ ；平行于y轴的线段，长度为原来的______.
90°
90°
平行
不变
一半
温馨提示
(1)与平面图形的直观图画法相比，空间图形的直观图画法多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.
(2)成图后，要去掉辅助线，并将被遮挡的部分改为虚线.
(3)圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面，水平放置的圆的直观图画成椭圆.
例2
(链接教材P159例5)已知长方体的长、宽、高分别为3 cm，2 cm，2 cm，试画出该长方体的直观图.
如图所示，按如下步骤完成：
第一步，画水平放置的矩形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝3 cm，AD＝1 cm.
第二步，过A作z′轴，使∠BAz′＝90°，
分别过点B，C，D作z′轴的平行线，
在z′轴及这组平行线上分别截取
AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝2 cm.
第三步，连接A′B′，B′C′、C′D′，D′A′，
得到的图形就是所求作的长方体的直观图.
思维升华
空间图形的直观图的画法
(1)对于一些常见空间图形(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出.
(2)画空间图形的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向.
(3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.
画出底面是边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图.
训练2
(1)画轴.画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.
(2)画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB＝CD＝1.2 cm，EF＝AD＝BC＝0.6 cm.
(3)画顶点.在Oz轴上截取OP，使OP＝1.5 cm.
(4)成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.
直观图的还原与计算
三
例3
√
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰且非等边的三角形
D.三边互不相等的三角形
√
根据直观图画法的规则，直观图中A1D1平行于y′轴，A1D1＝1，
可知原图中AD∥Oy，从而得出AD⊥DC，且AD＝2A1D1＝2.
即四边形ABCD的上底和下底边长分别为3，4，高为2，如图，
思维升华
训练3
(1)如图，一个水平放置的平面图形的直观图A′B′C′D′是边长为1的菱形，且O′D′＝1 ，则原平面图形的面积为
√
(2)若△ABC的面积为2，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为________.
把直观图还原出原平面图形为平行四边形，如图所示，
其中OD＝2O′D′＝2，AB＝CD＝A′B′＝1，
所以原平面图形的面积为S＝2×1＝2.故选A.
(2)若△ABC的面积为2，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为________.
(2)若△ABC的面积为2，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为________.
【课堂达标】
1.(多选)(链接教材P161练习T4)关于斜二测画法所得到的直观图，下列说法正确的是
A.三角形的直观图是三角形 B.平行四边形的直观图是平行四边形
C.正方形的直观图是正方形 D.菱形的直观图是菱形
√
斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，但垂直关系、相等关系可能改变，故A，B正确，C、D错误.
√
√
2.在用斜二测画法画一个高为5 cm的圆柱的直观图时，圆柱的高应画成
A.平行于z′轴且为5 cm B.平行于z′轴且为2.5 cm
C.与z′轴成45°且为5 cm D.与z′轴成45°且为2.5 cm
由斜二测画法的规则可知圆柱的高应平行于z′轴且为5 cm.
3.用斜二测画法画一个平面四边形ABCD的水平放置的直观图，得到一个如图所示的边长为1的正方形A′B′C′D′，则原图中AD的长度为
√
由直观图还原得到原图形如图，
由斜二测画法可得CD＝AB＝A′B′＝1，
4.已知△ABC的斜二测画法的直观图为△A′B′C′，若A′B′＝4，B′C′＝3，∠A′B′C′＝60°，则△ABC的面积为
√
由条件可知，
【课时精练】
√
1.(多选)下列命题中正确的个数是
A.水平放置的角的直观图一定是角
B.相等的角在直观图中仍然相等
C.相等的线段在直观图中仍然相等
D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
A正确；
正方形的直观图为平行四边形，角度不一定相等，B错；
因为平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，所以C错；
平行的性质不会改变，所以D正确.
√
√
2.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′，A′C′所在直线分别与x′轴，y′轴平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是
因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x′O′y′＝45°，A′B′＝A′C′，且A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形.
A.等腰三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
√
3.已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m.如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为
A.4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm B.4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm
C.4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm D.4 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm
由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，所以在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.
√
4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是
还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长.
A.AB B.AD
C.BC D.AC
√
5.如图，一个水平放置的平面图形的直观图A′B′C′D′为矩形，其中A′D′＝2A′B′＝2，则原平面图形的周长为
把直观图还原出原平面图形，如图所示，
∴这个原平面图形为邻边长分别为6，1的平行四边形，
它的周长为6＋6＋1＋1＝14.故选C.
6.如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.
7.边长为2的正三角形的直观图的面积为________.
如图，在直角坐标系xOy中，△ABC为等边三角形，
3
8.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′＝2B′C′＝2，A′B′＝1，则平面图形ABCD的面积为________.
由三视图知原平面图形是直角梯形ABCD，如图，
其中AB＝2，AD＝2，BC＝1，
9.(链接教材P160练习T1)如图，已知正五边形ABCDE，试用斜二测画法画出其直观图.
画法：
(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③).
10.一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图.
(1)如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画圆柱的两底面.在xOy平面上画出底面圆O，使直径为3 cm，在z轴上截取OO′，使OO′＝3 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面圆O′，使其直径为3 cm.
(3)画圆锥的顶点.在z轴上画出点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.
(4)连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此机器部件的直观图，如图②.
√
11.如图，△A′B′C′是△ABC用斜二测画法画出的直观图，则△ABC的周长为
作出△ABC的直观图如图所示，
12.如图，△A′B′C′是斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，D′是B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，A′D′＝2，B′C′＝2，那么
√
根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示，
其中AD⊥BC，AD＝2A′D′＝4，BC＝B′C′＝2，
因为△ADC是直角三角形，故AD＜AC，选项A错误；
13.泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征.为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格.现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱构成的空间图形，请画出其直观图(尺寸自定).
(1)先按照斜二测法画出直四棱柱的直观图A′B′C′D′－ABCD，如图①所示；
(2)以直四棱柱的上底面ABCD为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图ADE－BCF.可得直观图如图②所示.
14.用斜二测画法得到的多边形A1A2…An的直观图为多边形A1′A2′…An′，试探索多边形A1A2…An与多边形A1′A2′…An′的面积之间有无确定的数量关系.
②当△ABC的三边都不与x轴平行时，可过其中一个顶点作与x轴平行的直线与对边相交，不妨设过点A作与x轴平行的直线交BC于点D，
则AD将△ABC分成△ABD和△ACD，第13章　课时精练34　直观图的斜二测画法
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共6分.
一、基础巩固
1.(多选)下列命题中正确的个数是(　　)
水平放置的角的直观图一定是角
相等的角在直观图中仍然相等
相等的线段在直观图中仍然相等
若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
2.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′，A′C′所在直线分别与x′轴，y′轴平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是(　　)
等腰三角形 钝角三角形
等腰直角三角形 直角三角形
3.已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m.如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为(　　)
4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm
4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm
4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm
4 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm
4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是(　　)
AB AD
BC AC
5.如图，一个水平放置的平面图形的直观图A′B′C′D′为矩形，其中A′D′＝2A′B′＝2，则原平面图形的周长为(　　)
3 8
14 2＋2
6.如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.
7.边长为2的正三角形的直观图的面积为________.
8.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′＝2B′C′＝2，A′B′＝1，则平面图形ABCD的面积为________.
9.(10分)(链接教材P160练习T1)如图，已知正五边形ABCDE，试用斜二测画法画出其直观图.
10.(10分)一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图.
二、综合运用
11.如图，△A′B′C′是△ABC用斜二测画法画出的直观图，则△ABC的周长为(　　)
12 2(2＋)
4(1＋) 2(2＋＋)
12.如图，△A′B′C′是斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，D′是B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，A′D′＝2，B′C′＝2，那么(　　)
AD>AC S△ABC＝4
S△A′B′C′＝2 ∠ABC＝
13.(13分)泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征.为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格.现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱构成的空间图形，请画出其直观图(尺寸自定).
三、创新拓展
14.(16分)用斜二测画法得到的多边形A1A2…An的直观图为多边形A1′A2′…An′，试探索多边形A1A2…An与多边形A1′A2′…An′的面积之间有无确定的数量关系.
课时精练34　直观图的斜二测画法
1.AD　2.D　3.C　4.D　5.C
6.　7.　8.3
9.解　画法：
(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD.
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③).
10.解　(1)如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画圆柱的两底面.在xOy平面上画出底面圆O，使直径为3 cm，在z轴上截取OO′，使OO′＝3 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面圆O′，使其直径为3 cm.
(3)画圆锥的顶点.在z轴上画出点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.
(4)连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此机器部件的直观图，如图②.
11.C　12.B
13.解　(1)先按照斜二测法画出直四棱柱的直观图A′B′C′D′－ABCD，如图①所示；
(2)以直四棱柱的上底面ABCD为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图ADE－BCF.可得直观图如图②所示.
14.解　①设在△ABC中，CH为高，边AB平行于x轴，用斜二测画法得到其直观图为△A′B′C′，则有C′H′＝CH，△A′B′C的高为C′M＝C′H′＝CH，
所以S△A′B′C′＝A′B′·C′M＝S△ABC.
②当△ABC的三边都不与x轴平行时，可过其中一个顶点作与x轴平行的直线与对边相交，不妨设过点A作与x轴平行的直线交BC于点D，
则AD将△ABC分成△ABD和△ACD，
由①可知S△A′B′C′＝S△A′B′D′＋S△A′C′D′
＝S△ABD＋S△ACD＝S△ABC.
③对多边形A1A2…An，可连接A1A3，A1A4，…A1An－1，得到(n－2)个三角形，即△A1A2A3，△A1A3A4，…，△A1An－1An，由①②知S多边形A1′A2′…An′＝S△A1′A2′A3′＋S△A1′A3′A4′＋…＋S△A1′An－1′An′
＝(S△A1A2A3＋S△A1A3A4＋…＋S△A1An－1An)＝S多边形A1A2…An.
综上可知，多边形A1A2…An与其直观图多边形A1′A2′…An′的面积之间有确定的数量关系，且S多边形A1′A2′…An′＝S多边形A1A2…An.

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